Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen Wiederholen – Vertiefen

Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen
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17 d Ein Patient nimmt 1 mg eines Medikamentes ein. Die Menge m des Medikamentes
21 d Zwischen einer Bohrinsel B und ei-
im Blut des Patienten hängt von der Zeit t ab, die nach der Einnahme des Medikamentes
vergangen ist. Für ein bestimmtes Medikament lässt sich die Menge m (t) näherungs2t
weise mithilfe der Funktionsgleichung m (t) = _
, t ≥ 0 bestimmen (t in h, m (t) in mg).
8 + t3
a) Zeichne den Graphen der Funktion m mit dem GTR und kläre, wie viel Prozent der eingenommenen Menge des Medikamentes maximal im Blut auftreten können. Zu welchem
Zeitpunkt wird dieses Maximum etwa erreicht?
b) In welchem Zeitraum wird das Medikament am schnellsten abgebaut? Wie hoch ist
hier etwa die auf eine Stunde bezogene Abnahmerate?
ner Raffinerie R soll eine Pipeline verlegt
werden (Fig. 1). Jeder Kilometer Pipeline
im Wasser kostet 850 000 €, über Land
400 000 €.
a) Wie groß sind die Kosten bei einer geradlinigen Verbindung zwischen B und R?
b) Wie muss die Pipeline verlegt werden,
damit die Kosten möglichst klein werden.
Vergleiche mit den Kosten, die sich bei der
geradlinigen Verbindung in a) ergeben.
18 d Ein Kegel hat den Radius x dm, die Höhe y dm und das Volumen 1 dm3 (Fig. 1).
s
y
x
1
2
V=—
3 px y
M = pxs
Fig. 1
a) Welche Kegelhöhe ergibt sich bei einem Radius von 0,5 dm (1 dm, 10 dm)? Was lässt
sich über die Kegelhöhe aussagen, wenn x ¥ ∞ strebt?
b) Für welche Radien ist der Kegel höher als 1 m? Was folgt für den Radius, wenn y ¥ ∞
strebt?
c) Der Mantelflächeninhalt M 2 in dm2 3 ist vom jeweiligen Radius x abhängig. Bestimme
den Funktionsterm der Funktion x ¥ M (x). Welche Aussage ergibt sich für den Mantelflächeninhalt, wenn x ¥ ∞ strebt, was ergibt sich für x ¥ 0?
Untersuche mit dem GTR, ob die Funktion M einen Extremwert hat. Deute das Ergebnis
im Sachzusammenhang.
19 d Bei Kanalkilometer 36 brennt in
300 m Entfernung vom Ufer ein Haus
(Fig. 2). Das Feuerwehrhaus des Ortes liegt
auf derselben Kanalseite bei Kilometer
34,5 und ist 600 m vom Ufer entfernt. Das
Feuerwehrfahrzeug muss zunächst an den
Kanal, um Wasser zu holen, und kann erst
dann zum Brandort fahren. Das Gelände ist
Grasland, auf dem das Feuerwehrfahrzeug
überall gleich schnell vorankommt.
Bestimme mit dem GTR den Weg, der gewählt werden sollte, um möglichst schnell
am Brandort zu sein.
Fig. 2
20 d Auf der Zahlengeraden sind die Zahlen 0, 20, 28, 58 und 90 eingezeichnet (Fig. 3).
Fig. 3
a) Für welche Zahl x * R ist die Summe der Abstände von den fünf eingezeichneten
Zahlen am geringsten?
b) Welche Aussage ergibt sich, wenn man bei der Fragestellung aus Teilaufgabe a) nur
vier der fünf eingezeichneten Zahlen berücksichtigt? Unterscheide verschiedene Fälle.
Erläutere den Sachverhalt.
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III Funktionseigenschaften und ganzrationale Funktionen
22
Veranschauliche die folgende Aussage mithilfe einer selbst gewählten Funktion f und
begründe. Ist f eine Funktion mit der lokalen Extremstelle x0, so hat auch die Funktion g
mit der Gleichung g (x) = (f (x)) 2 eine lokale Extremstelle bei x0.
23
Welcher Punkt P des Graphen von f hat vom Ursprung den kleinsten Abstand?
Vergleiche die Steigung der Geraden OP mit der Steigung der Tangente im Punkt P an
den Graphen von f. Was stellst du fest? Erläutere den Sachverhalt.
_____
2
a) f (x) = _x , x > 0
b) f (x) = 4 – x2, x ≥ 0
c) f (x) = √4 – x2 , | x | ≤ 2
24 Zwei Radfahrer R1 und R2 bewegen
sich auf eine Straßenkreuzung zu (Fig. 2).
Zum dargestellten Zeitpunkt t = 0 (t in
min) ist R1 noch 700 m von der Kreuzung
entfernt, R2 noch 600 m. Beide Radfahrer
fahren mit konstanter Geschwindigkeit:
R1 legt in einer Minute 300 m zurück, R2
fährt 400 m in der Minute.
a) Wie weit sind R1 und R2 zum dargestellten Zeitpunkt voneinander entfernt,
welchen Abstand haben sie 1 min später
Fig. 2
voneinander, welchen 2 min später?
b) Untersuche, zu welchem Zeitpunkt t0 die beiden Radfahrer den kleinsten Abstand voneinander haben. Wie groß ist dieser Minimalabstand und wo befinden sich R1 und R2 zum
Zeitpunkt t0?
Minimale Entfernungen sind wünschenswert
Bei der Berechnung des
Abstandes hilft die GTRFunktion abs.
Fig. 1
Bei der Berechnung
von Abständen treten
häufig Wurzelterme
auf. Zur Bestimmung
der Extremstellen einer
Distanzfunktion d kann
auch die quadrierte
Distanzfunktion d2 verwendet werden.
25
Mithilfe von vier gleich langen Stäben der Länge ø (ø = 1,5 m) soll ein pyramidenförmiges Zelt mit quadratischer Grundfläche aufgestellt werden (Fig. 3).
Bei welcher Höhe h und welcher Kantenlänge a der Grundfläche ergibt sich das maximale
Zeltvolumen? Wie viele Quadratmeter Zeltstoff sind in diesem Fall erforderlich?
Fig. 3
26
Aus einer Kugel vom Radius R soll ein Zylinder maximalen Volumens hergestellt werden (Fig. 4).
a) Untersuche, welche Abmessungen r und h für den Zylinder zu wählen sind.
b) Vergleiche das Zylindervolumen im Maximalfall mit dem Kugelvolumen. Welcher Anteil
des Kugelvolumens wird durch den Zylinder ausgeschöpft?
Fig. 4
III Funktionseigenschaften und ganzrationale Funktionen
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