Kalkül für Aussagenlogik

Kalkül für Aussagenlogik
ϕ, Γ ⊢ ϕ, ∆
(axiom)
false, Γ ⊢ ∆
Γ′ ⊢ ∆′
(weakening, Γ′ ⊆ Γ, ∆′ ⊆ ∆)
Γ⊢∆
(false left)
Γ ⊢ ϕ, ∆
ϕ, Γ ⊢ ∆
(cut formula)
Γ⊢∆
Γ ⊢ ϕ, ∆
(negation left)
¬ ϕ, Γ ⊢ ∆
ϕ, ψ, Γ ⊢ ∆
ϕ ∧ ψ, Γ ⊢ ∆
ϕ, Γ ⊢ ∆
ψ, Γ ⊢ ∆
ϕ ∨ ψ, Γ ⊢ ∆
Γ ⊢ ϕ, ∆
ψ, Γ ⊢ ∆
ϕ → ψ, Γ ⊢ ∆
Γ ⊢ true, ∆
(true right)
ψ, Γ ⊢ ∆
(negation right)
Γ ⊢ ¬ ψ, ∆
(conjunction left/right)
Γ ⊢ ϕ, ∆
Γ ⊢ ψ, ∆
Γ ⊢ ϕ ∧ ψ, ∆
(disjunction left/right)
Γ ⊢ ϕ, ψ, ∆
Γ ⊢ ϕ ∨ ψ, ∆
(implication left/right)
ϕ, Γ ⊢ ψ, ∆
Γ ⊢ ϕ → ψ, ∆
Γ ⊢ ϕ, ψ, ∆ ϕ, ψ, Γ ⊢ ∆
ϕ, Γ ⊢ ψ, ∆ ψ, Γ ⊢ ϕ, ∆
(equivalence left/right)
ϕ ↔ ψ, Γ ⊢ ∆
Γ ⊢ ϕ ↔ ψ, ∆
25
Regeln für Quantoren und Gleichungen
ϕτx , ∀ x.ϕ, Γ ⊢ ∆
(all left)
•
∀ x.ϕ, Γ ⊢ ∆
Γ ⊢ ϕτx , ∃ x.ϕ, ∆
(exists right)
Γ ⊢ ∃ x.ϕ, ∆
ϕyx , Γ ⊢ ∆
•
(exists left)
∃ x.ϕ, Γ ⊢ ∆
Γ ⊢ ϕyx , ∆
(all right)
Γ ⊢ ∀ x.ϕ, ∆
ϕτx die Substitution von x durch einen beliebigen Term τ in ϕ.
y ist eine neue Variable, i.e. eine die nicht frei in Q x.ϕ, Γ, ∆ (Q ∈ {∀, ∃})
vorkommt.
Genauer: y 6∈ (free(ϕ)\{x}) ∪ free(Γ) ∪ free(∆)
•
Γ ⊢ τ = τ, ∆
x = τ, Γτx ⊢ ∆τx
(insert equation)
x = τ, Γ ⊢ ∆
(reflexivity right)
26
Variablen und freie Variablen eines Ausdrucks
Die Variablen eines Ausdrucks (Var (e))
Var (x)
Var (op(t1 , . . . , tn ))
Var (e = e′ )
Var (Qx.ϕ)
=
=
=
=
{x}
x∈X
Sn
i=1 Var (ti )
Var (e) ∪ Var (e′ )
{x} ∪ Var (ϕ)
Q ∈ {∀, ∃}
Die freien Variablen einer Formel (free(ϕ)) sind genauso definiert ausser:
free(Qx.ϕ) = free(ϕ) \ {x} Q ∈ {∀, ∃}
27
Substitution
die Substitution einer Variablen x durch einen Ausdruck t in e (etx )
xtx
= t
yxt
= y
falls x 6= y
op(e1 , . . . , en )tx = op((e1 )tx , . . . , (en )tx )
(e1 = e2 )tx
(Qy.ϕ)tx
= (e1 )tx = (e2 )tx )
=


Qy.ϕ




 Qy.ϕt






x
Qz.(ϕzy )tx
falls y = x ∨ x 6∈ free(ϕ)
falls y 6= x, y 6∈ free(t), x ∈ free(ϕ)
falls y 6= x, y ∈ free(t), x ∈ free(ϕ)
(z neu, d. h. z 6∈ Var (ϕ) ∪ Var (t))
(Q ∈ {∀, ∃})
28
KIV: Organisation in Projekte
Grundlegende Organisation:
• In KIV arbeitet man in (SW-Entwicklungs-) Projekten
• Jedes Projekt definiert Spezifikationen (Σ + Ax + Weiteres)
• Spezifikationen können aufeinander aufbauen
⇒ Entwicklungsgraph
• Über jeder Spezifikation kann man
Theoreme formulieren und beweisen
29
KIV: Projektauswahl- und Projektebene
4 Ebenen:
1. Projektauswahlebene
• Projekte anlegen, löschen, auf einem Projekt arbeiten
2. Projektebene
• zeigt den Entwicklungsgraph der Spezifikationen
• Spezifikationen anlegen, ändern, löschen
• Auf einer Spezifikation arbeiten
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KIV: Spezifikations- und Beweisebene
3. Spezifikationsebene
⋆ Theoreme anlegen, ändern, löschen
⋆ einen Beweis führen
4. Beweisebene
⋆ Beweise führen durch interaktive Anwendung von Regeln
⋆ Zwei Regelsätze: Basisregeln/für’s Beweisen optimierte Regeln
⋆ Backtracking, Pruning
⋆ Simplifikation + Heuristiken zur automatischen Anwendung von
Regeln
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KIV: Verzeichnisstruktur
Verzeichnisstruktur:
• Ein Projektverzeichnis <projektname>
• darin:
⋆ ein Unterverzeichnis specs
⋆ [eine Datei devgraph für den Entwicklungsgraph]
• in specs: ein Unterverzeichnis <specname> für jede Spezifikation
• darin:
⋆ eine Datei specification für Signatur, Axiome etc.
⋆ eine Datei sequents für Theoreme
⋆ [ein Verzeichnis proofs das geladene Theoreme, geführte Beweise
etc. speichert]
32
Semantik von
Formeln und Sequenzen
33
Grundidee der Verwendung von
Logik im Software Entwurf
Syntax:
⊢K
„ist beweisbar”
O
Menge von Formeln
= Axiome Ax
Semantik:
Vollständigkeit
Korrektkeit
beschreiben
Software-Systeme:
Menge von Algebren
{A, B, . . .}
|=
„ist gültig in”
34
Formel ϕ
beschreibt
Eigenschaft ϕA
Grundidee der Verwendung von
Logik im Software Entwurf (1)
Semantik (i.e. der Inhalt, dessen was wir tun):
• 1. Schritt: Wir wollen Softwaresysteme und funktionale Anforderungen
an solche beschreiben
• SW-Systeme sind Datenstrukturen, Programme etc. bei eingebetteten
Systemen evtl. inclusive Umgebung.
• 2. Schritt: Gegeben eine beliebige Implementierung, die die
Anforderungen erfüllt, wollen wir Eigenschaften wie z.B. Korrektheit und
Sicherheit nachweisen
Mathematik: Das allgemeinste Modell für ein SW-System ist eine Algebra A.
Wir wollen also Algebren beschreiben, und Eigenschaften von Algebren
nachweisen.
35
Grundidee der Verwendung von
Logik im Software Entwurf (2)
Mathematik: Sprachen zum Beschreiben von Algebren und ihren
Eigenschaften heissen Logiken
Bem.: auch Prog.sprachen sind spezielle Beschreibungen von Algebren!
Syntax
• Algebren kann man durch Formelmengen Ax beschreiben
• Eigenschaften werden durch Formeln ϕ beschreiben
• Statt informell zu überlegen ob eine Eigenschaft gilt, verwenden wir
einen Kalkül K , und zeigen formal: Ax ⊢K ϕ
Gewinn: Garantie, dass SW-System Eingenschaft hat
keine absolute Garantie: nur so gut, wie genau man das SW-System
beschrieben wurde (insbes. die Umgebung bei eingebetteten Systemen!)
36
Semantik: Σ-Algebren
Eine Σ-Algebra A = ((As )s∈S , (opA )op∈OP )
zu einer Signatur Σ = (S, OP ) ist ein Paar mit:
• nichtleeren Mengen As für jede Sorte s ∈ S (Trägermengen)
• Die Trägermenge Abool ist immer gleich {tt,ff}
• Funktionen op A : As1 × . . . × Asn → As′ für alle op : s1 , . . . , sn → s′
• Die vordefinierten booleschen Symbole haben in jedem A
die “normale” Bedeutung (Wahrheitstafeln):
trueA = tt, ∧A (tt,ff) = ff, ∨A (tt,ff) = tt etc.
Die Menge aller Σ-Algebren über Σ wird mit Alg(Σ) bezeichnet.
37
Semantik: Belegungen von Variablen
Eine Belegung (engl. v aluation; auch: ein Zustand)
v:
S
s∈S
vs : Xs → As
ist eine Abbildung, die jedem Variablensymbol in Xs einen Wert in As
zuordnet
Die Abänderung vxa der Belegung v für x ∈ Xs und a ∈ As ist definiert durch:
vxa
:=
(
v(y)
a
38
falls x 6= y
falls x = y
Semantik von Ausdrücken
Gegeben eine Algebra A und eine Belegung v . Dann ist die Semantik [[e]]A,v
eines Ausdrucks e der Sorte s das folgende Element aus As :
• [[x]]A,v := v(x) für x ∈ Xs
• [[op(e1 , . . . , en )]]A,v := op A ([[e1 ]]A,v , . . . , [[en ]]A,v ) für op ∈ OP und
ei ∈ Expr (Σ, X)
• [[e1 = e2 ]]A,v := tt, falls [[e1 ]]A,v = [[e2 ]]A,v (sonst := ff)
• [[∀ x.ϕ]]A,v := tt, falls für alle a ∈ As′ gilt: [[ϕ]]A,vxa = tt (sonst := ff)
(x ∈ Xs′ )
• [[∃ x.ϕ]]A,v := tt, falls es ein a ∈ As′ gibt mit [[ϕ]]A,vxa = tt (sonst := ff)
(x ∈ Xs′ )
Hinweis: Falls ϕ eine Formel ist, so ist [[ϕ]]A,v immer tt oder ff.
(“die Formel ist wahr oder falsch in A mit v ”)
39
Gültigkeit und Erfüllbarkeit
Für ϕ ∈ For (Σ, X) und Ax ⊆ For (Σ, X) definiert man:
• A, v |= ϕ :⇔ [[ϕ]]A,v = tt
• A |= ϕ :⇔ für jedes v gilt: A, v |= ϕ
Gesprochen: „ϕ gilt in A“, „A Modell von ϕ “
• A |= Ax :⇔ A |= ϕ für alle ϕ ∈ Ax
• Ax |= ϕ :⇔ für alle A ∈ Alg(Σ) gilt: A |= Ax ⇒ A |= ϕ
Gesprochen: „ϕ folgt aus Ax “
• ϕ Tautologie, |= ϕ :⇔ für alle A ∈ Alg(Σ) gilt A |= ϕ
• ϕ erfüllbar :⇔ es gibt A ∈ Alg(Σ) mit A |= ϕ
• Ax erfüllbar :⇔ es gibt A ∈ Alg(Σ) mit A |= Ax
40
Eigenschaften der Prädikatenlogik (1)
1. A, v |= ϕ ⇔ Nicht A, v |= ¬ ϕ (kurz: A, v 6|= ¬ ϕ)
2. A, v |= ϕ oder A, v |= ¬ ϕ
3. v(x) = v ′ (x) für alle x ∈ free (ϕ) ⇒ (A, v |= ϕ ⇔ A, v ′ |= ϕ)
4. Nur, wenn free (ϕ) = ∅: A |= ϕ oder A |= ¬ ϕ
5. Nur, wenn free (ϕ) = ∅: A |= ϕ ⇔ A 6|= ¬ ϕ
6. A |= ϕ ⇔ A |= Cl∀ (ϕ)
Bedeutung: Cl∀ (ϕ) - Allquantifizierung aller freien Variablen in ϕ
41
Eigenschaften der Prädikatenlogik (2)
Substitutionstheorem
[[t]]A,v
A, vx
|= ϕ ⇔ A, v |= ϕtx
Korollar (Instanzierung und Umbenennung)
Es gilt:
|= (∀ x. ϕ) → ϕtx
Wenn z 6∈ free (ϕ) \ {x}, so gilt außerdem:
• A, v |= ∀ y . ϕ ⇔ A, v |= ∀ z . ϕzy
• |= (∀ y . ϕ) ↔ (∀ z . ϕzy )
42
Semantik von Sequenzen
Definition (Semantik von
Sequenzen)
V
W
A, v |= Γ ⊢ ∆ ⇔ A, v |=
Γ→ ∆
Folgerungen
Für ϕ ∈ For (Σ, X) und Ax ⊆ For (Σ, X) gilt
A |= ϕ
A |= ¬ ϕ
Ax |= ϕ
Ax |= ¬ ϕ
⇔
⇔
⇔
⇔
43
A |= ⊢ ϕ
A |= ϕ ⊢
Ax |= ⊢ ϕ
Ax |= ϕ ⊢
Korrektheit der basic rules
Satz (Regelkorrektheit der basic rules)
Für alle basic rules gilt:
A |= {Γ1 ⊢ ∆1 , . . . , Γn ⊢ ∆n } ⇒ A |= (Γ ⊢ ∆)
alles andere wäre nicht sehr sinnvoll!
Satz (Invertierbarkeit der basic rules)
Für alle basic rules außer Abschwächung gilt:
A |= (Γ ⊢ ∆) ⇒ A |= {Γ1 ⊢ ∆1 , . . . , Γn ⊢ ∆n }
Wichtige Konsequenz:
Durch Regelanwendung wird aus einer beweisbaren Sequenz nie eine
unbeweisbare!
(man kann nichts falsch machen, nur unnötiges und umständliches)
44
Korrektheit und Vollständigkeit von PL
Erhält man aus der Formelmenge Ax durch Anwendung der basic rules die
Sequenz ⊢ ϕ, dann schreibt man
Ax ⊢P L ϕ.
Das ist genau dann der Fall, wenn es einen KIV-Beweisbaum für ⊢ ϕ aus Ax
gibt.
Satz (Korrektheit)
Für eine Formel ϕ und eine Formelmenge Ax gilt
Ax ⊢P L ϕ
⇒
Ax |= ϕ
Satz (Vollständigkeit)
Für eine Formel ϕ und eine Formelmenge Ax gilt
Ax |= ϕ
⇒
Ax ⊢P L ϕ
45
Unentscheidbarkeit von PL
Satz (Unentscheidbarkeit von PL)
Es gibt kein Entscheidungsverfahren für die Allgemeingültigkeit von
prädikatenlogischen Formeln. Zählt man alle Beweise des
Sequenzenkalküls auf, so wird darin jede allgemeingültige Formel
irgendwann vorkommen, aber das Verfahren kann nicht so verschärft
werden, daß es auch für alle nicht allgemeingültigen Formeln immer
abbricht.
Beachte: Für reine Aussagenlogik ist Sequenzenkalkül ein
Entscheidungsverfahren: man kann blind einfach Regeln anwenden,
das terminiert immer. Genau wenn der Beweis geschlossen wird ist die
Formel allgemeingültig!
Das Problem bei PL liegt wo ?
46
Unentscheidbarkeit von PL
Satz (Unentscheidbarkeit von PL)
Es gibt kein Entscheidungsverfahren für die Allgemeingültigkeit von
prädikatenlogischen Formeln. Zählt man alle Beweise des
Sequenzenkalküls auf, so wird darin jede allgemeingültige Formel
irgendwann vorkommen, aber das Verfahren kann nicht so verschärft
werden, daß es auch für alle nicht allgemeingültigen Formeln immer
abbricht.
Beachte: Für reine Aussagenlogik ist Sequenzenkalkül ein
Entscheidungsverfahren: man kann blind einfach Regeln anwenden,
das terminiert immer. Genau wenn der Beweis geschlossen wird ist die
Formel allgemeingültig!
Das Problem bei PL liegt bei der Frage welche Terme τ man bei
den Regeln all left/exists right wählen soll.
46
Der KIV-Kalkül
Simplifier und Heuristiken
47
KIV-Kalkül: Überblick
• Versuch 1: basic rules, ab Versuch 2: KIV-Kalkül
• Sequenzenkalkül kennt keine Beweisstrukturierung:
⇒ Lemmas + Regeln zum Anwenden von Lemmas
• Beobachtung: Sequenzenkalkül ist sehr elementar:
⇒ viele Regeln automatisch anwendbar
• Deshalb: Definition eines Simplifiers, der alle unkritischen Regeln
immer automatisch macht.
• Regeln mit 2 Prämissen (disjunction left, conjunction right etc.) sind der
Idee nach alle Fallunterscheidung
⇒ Zusammenfassen zu einer Regel case distinction
• Automatisches Anwenden von Regeln durch Heuristiken, die man
jederzeit dazu- oder wegschalten kann
48
Nachtrag zum Basiskalkül:
cut und weakening
Wozu braucht man:
Γ′ ⊢ ∆′
(weakening, Γ′ ⊆ Γ, ∆′ ⊆ ∆)
Γ⊢∆
49
Γ ⊢ ϕ, ∆
ϕ, Γ ⊢ ∆
(cut formula)
Γ⊢∆
Nachtrag zum Basiskalkül:
cut und weakening
Wozu braucht man:
Γ′ ⊢ ∆′
(weakening, Γ′ ⊆ Γ, ∆′ ⊆ ∆)
Γ⊢∆
Γ ⊢ ϕ, ∆
ϕ, Γ ⊢ ∆
(cut formula)
Γ⊢∆
Erinnerung: Wenn Axiome (in KIV auch: Lemmas) gegeben sind, dürfen
diese als Prämissen in Beweisebäumen übrigbleiben
49
Nachtrag zum Basiskalkül:
cut und weakening
Wozu braucht man:
Γ′ ⊢ ∆′
(weakening, Γ′ ⊆ Γ, ∆′ ⊆ ∆)
Γ⊢∆
Γ ⊢ ϕ, ∆
ϕ, Γ ⊢ ∆
(cut formula)
Γ⊢∆
Erinnerung: Wenn Axiome (in KIV auch: Lemmas) gegeben sind, dürfen
diese als Prämissen in Beweisebäumen übrigbleiben
• Regeln werden nur benötigt, um Axiome als Prämissen
hinzubekommen
• im Basiskalkül: insert axiom, erzeugt eine Prämisse
• im KIV-Kalkül: insert lemma & insert rewrite-lemma
⊢ Ax
Cl∀ (Ax ), Γ ⊢ ∆
(insert axiom)
Γ⊢∆
49
KIV-Kalkül: Lemmaanwendung
Beim Anwenden von Axiome will man nicht umständlich cut, all left (und
evtl. insert equation) machen
Γ′
⊢
∆′
Γ ⊢ Θ(
V
Γ′ ), ∆
Θ( ∆′ ), Γ ⊢ ∆
W
Γ⊢∆
(insert lemma)
• Γ′ ⊢ ∆′ is das Lemma (Axiom oder anderes Theorem)
• Θ ist eine Substitution für die freien Variables des Lemmas
• die Prämisse mit dem Lemma wird vom System als geschlossen
beachtet
50
KIV-Kalkül: Ersetzungslemmas
′
Γ ⊢ϕ→σ=τ
Γ ⊢ Θ( Γ′ ∧ ϕ), ∆
Γ⊢∆
V
Γ′′ ⊢ ∆′′
(insert rewrite lemma)
• Γ′ ⊢ ϕ → σ = τ ist das Lemma (Γ und Vorbedingung ϕ dürfen fehlen)
• Θ ist eine Substitution für die freien Variables des Lemmas
• Γ′′ ⊢ ∆′′ entsteht aus Γ ⊢ ∆ durch Ersetzen von Θ(σ) durch Θ(τ )
• Lemmas der Form Γ′ ⊢ ϕ → (ψ ↔ χ) mit ψ Literal erlaubt:
Dann wird Θ(ψ) durch Θ(χ) ersetzt
• Wird kontextsensitiv unterstützt: Klicken auf das führende
Funktionssymbol von σ in der Sequenz bietet passende
Rewrite-Regeln an
51