Lineare Algebra und Optimierung Winterseme

Übungsaufgaben
Grundkurs Höhere Mathematik
für Wirtschaftswissenschaftler
Teil 1: Lineare Algebra und Optimierung
Wintersemester
Matrizenrechnung
Aufgabe 1
(
Gegeben sind die Matrizen A =

3
0
2 −1



2 −4
−1
0  und F =  0 .
D= 0
−3
6
2
1
5
)


(
)
2
1
6
2
4
, B =  3 −1  , C =
,
0 1 0
4
3
a) Berechnen Sie die Matrix 2A + B ⊤ − C.
b) Berechnen und interpretieren Sie die Produkte AB, BA, CD, F ⊤ F und F F ⊤ .
Aufgabe 2


Gegeben sind die Matrizen A = 



1
0
2
−1
1

(
)

1 
−1
1
2
0
1
, B =

und
C
=

1 
1 −1 0 2 1

1
1
0
1
0
1



.


Berechnen Sie mit möglichst wenigen elementaren Additionen und Multiplikationen das dreifache Matrizenprodukt ABC .
Aufgabe 3
(
Welche Matrix X ist mit der Matrix A =
Aufgabe 4
(
Gegeben sei die Matrix A =
a) A + AT = E ,
1
2
a
1
1 1
0 1
)
vertauschbar, so dass AX = XA gilt ?
)
1
2
. Für welche reellen Zahlen a gilt
b) A − AT = O ,
c) AA = A ,
d) aA + E ≤ O ,
wenn E die passende Einheitsmatrix und O die passende Nullmatrix ist.
Aufgabe 5
Gegeben ist die Gleichung AC ⊤ + B = X + A⊤ B. Die Matrix A besitze 5 Spalten und die
Matrix C besitze 3 Zeilen. Welchen Typ müssen die Matrizen A, B, C und X besitzen, damit
für diesen Fall die Gleichung sinnvoll ist ?
Aufgabe 6
Gegeben sind die Matrix C =
(
3 1
1 2
)
(
und die Vektoren s =
1
1
)
(
,x=
Bilden Sie die Produkte s⊤ x, x⊤ x, x⊤ Cx und interpretieren Sie diese.
x1
x2
)
.
Aufgabe 7
Die Herstellung von drei Zwischenprodukten Zj , j=1,2,3 erfordert die zwei Rohstoffe Ri ,
i=1,2. Aus den Zwischenprodukten werden vier Endprodukte Ek , k= 1,2,3,4 hergestellt. Die
zur Herstellung einer Produkteinheit benötigten Ausgangsmengen sind in den nachstehenden
Tabellen dargestellt.
aij
R1
R2
Z1
1
0
Z2
2
1
Z3
1
3
bjk
Z1
Z2
Z3
E1
1
2
0
E2
0
1
3
E3 E4
2
1
2
0
1
2
a) Bestimmen Sie aus A=(aij ) und B=(bjk ) die Bedarfsgrößen cik an Rohstoffen für jeweils
eine Produkteinheit Endprodukt in Form einer Matrix C.
b) Welche Rohstoffmengen gi , i=1,2, benötigt man zur Herstellung von x1 =5 Mengeneinheiten E1 , x2 =10 Mengeneinheiten E2 , x3 =7 Mengeneinheiten E3 und x4 = 4 Mengeneinheiten E4 ?
c) Welche Rohstoffkosten entstehen für das Produktionsprogramm aus b) insgesamt bei
Rohstoffpreisen von p1 =8 für eine Einheit R1 und p2 =4 für eine Einheit R2 ?
Bestimmen Sie vor der Rechnung der Zahlenbeispiele zunächst allgemein die entsprechenden
Abhängigkeiten in Form geeigneter Matrizenprodukte.
Aufgabe 8
Ein Produkt wird auf einem Markt von den Produzenten P1 ,


0, 7 0, 1 0, 2
P2 und P3 angeboten. Zu Beginn liegt die folgende MarktaufW =  0, 2 0, 5 0, 3 
teilung vor: 30% für P1 , 40% für P2 , 30% für P3 . Schätzungen
0, 3 0, 1 0, 6
gehen davon aus, dass 24000 Kunden zum Markt gehören.
Die Wanderungszahlen wij der Matrix W geben den Anteil der Kunden des Produzenten Pi
an, die im Verlauf einer Periode zum Produzenten Pj wandern. Es wird angenommen, dass
die Wanderungszahlen für mehrere aufeinanderfolgende Perioden konstant bleiben.
a) Ermitteln Sie die Marktanteile prozentual und als Kundenanteile am Ende der ersten
und zweiten Periode.
b) Ermitteln Sie die Zahl der Kunden, die innerhalb der ersten bzw. zweiten Periode dem
Produzenten P1 treu bleiben.
c) Ermitteln Sie die Zahl der Kunden, die der Produzent P2 am Ende der ersten Periode
verloren hat.
d) Ermitteln Sie die Zahl der Kunden, die innerhalb der zweiten Periode zum Produzenten
P3 wechseln.
e) Angenommen, es liege zu Beginn einer Periode t die folgende spezielle Marktaufteilung
vor: 47,2% für P1 , 16,7% für P2 und 36,1% für P3 . Ermitteln Sie die prozentuellen
Marktanteile nach Ablauf der Periode t und interpretieren Sie das Ergebnis.
Lineare Gleichungssysteme
Aufgabe 1
Geben Sie Beispiele für lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen
an, die eindeutig lösbar sind, bzw. unendlich viele Lösungen besitzen, bzw. unlösbar sind.
Interpretieren Sie den Sachverhalt geometrisch.
Aufgabe 2
Lösen Sie die linearen Gleichungssysteme
a)
2x1 + 4x2 + 3x3 = 9
4x1 − 6x2 − 2x3 = −2
− 5x1 + 8x2 + 2x3 = 4
b)
2x2 + 3x3 − x4 = 1
2x1 + x2 − x3 + 2x4 = 2
4x1 + 4x2 + x3 + 3x4 = t
für t = 1 und t = 5
c)
3x1
7x1
− x1
− x1
− x2
− 4x2
− 3x2
+ 2x2
5x2
+ 2x3
− x3
− 12x3
+ 5x3
+ 17x3
= 0
= −2
= −4
= 2
= 6
Besitzen die linearen Gleichungsysteme
nichtnegative Lösungen ? Wie lauten die
Lösungen der zugehörigen homogenen
linearen Gleichungsysteme ?
Aufgabe 3
x1 + 2x2 + x3 = 2
x2 − 2x3 = 0
Erzeugen Sie alle kanonischen Formen des
linearen Gleichungssystems. Geben Sie alle
Basislösungen sowie die Lösungsmenge des
linearen Gleichungssystems an.
Aufgabe 4
Diskutieren Sie die Lösbarkeit des nebenstehenden
linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit von
den reellen Parametern a und b.
x1 − 2x2 + 3x3 = −4
2x1 + x2 + x3 = 2
x1 + ax2 + 2x3 = b
Aufgabe 5
Bestimmen Sie für jede reelle Zahl a die Lösungsmenge des lineaen Gleichungssystems
x1 + x2 +
x3
=
1
x1 + a x2 +
a x3
=
a
x1 + x2 + (a + 1) x3 = a + 2 .
Aufgabe 6




1
1
1
3
0 −1  und der Vektor b =  q  .
Gegeben sind die Matrix A =  1
p −1
1
−3
a) Für welche Koeffizienten p und q ist das lineare Gleichungssystem Ax = b unlösbar ?
b) Geben Sie die Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b für p = 0 , q = 3 an.
c) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax = b für p = −3 ,
q = 0 und untersuchen Sie, ob es nichtnegative Lösungen mit x2 ≤ 1 gibt.
d) Welche Bedingungen muss der Koeffizient p erfüllen, damit das homogene lineare Gleichungssystem Ax = 0 nur die triviale Lösung besitzt ?
e) Gibt es eine reelle Zahl p, so dass das homogene lineare Gleichungssystem Ax = 0 eine
Lösung mit der Eigenschaft x1 + x2 + x3 = 1 besitzt ?
Aufgabe 7
Gegeben sei das lineare Gleichungssystem
√
x1 + ax2 = √ 3
ax1 + 2x2 = 6 .
√
a) Zeigen Sie, dass das lineare Gleichungssystem für a ̸= ± 2 eindeutig lösbar ist und
geben Sie dafür die Lösung in Abhängigkeit von a an.
√
b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems für a = 2.
√ √ √
c) Lösen Sie die folgenden durch Rundung von 2, 3, 6 aus der Ausgangsaufgabe
entstandenen linearen Gleichungssysteme:
(A)
x1 + 1.4x2 = 1.7
1.4x1 + 2x2 = 2.4
(B)
x1 + 1.41x2 = 1.73
1.41x1 +
2x2 = 2.45
Vergleichen Sie die Lösungen der beiden linearen Gleichungssysteme (A) und (B) .
Interpretieren Sie den auftretenden Sachverhalt.
Linearkombinationen, lineare Unabhängigkeit, Rang
Aufgabe 1
Bilden die folgenden Vektortripel
•
a1 = (1, 1, 2)⊤ ,
a2 = (2, 0, 2)⊤ ,
a3 = (1, 2, 4)⊤
•
a1 = (1, 1, 2)⊤ ,
a2 = (2, 0, 2)⊤ ,
a3 = (3, 2, 5)⊤
eine Basis des R3 ?
Stellen Sie in beiden Fällen die Vektoren b1 = (0, 2, 2)⊤ bzw. b2 = (2, 2, 1)⊤ als Linearkombination von a1 , a2 und a3 dar, falls dies möglich ist.
Aufgabe 2
(
Gegeben sind die Vektoren a =
1
1
)
(
, b=
1
5
)
(
, c=
5
5
)
(
, v=
2
4
)
(
, w=
1
6
)
.
Stellen Sie den Vektor v als konvexe Linearkombination der Vektoren a, b und c dar.
Weisen Sie nach, dass dies für den Vektor w nicht möglich ist. Kann der Vektor w wenigstens
als nichtnegative Linearkombination der Vektoren a, b und c dargestellt werden ?
Aufgabe 3
Eine Metallhütte hat einen Auftrag zur Herstellung einer Aluminiumlegierung mit 4 % Titan
und 2 % Chrom. Als Rohstoff sind vier verschiedene Legierungen einsetzbar mit den in der
Tabelle angegeben Anteilen an Titan und Chrom.
Legierung Nr.
Anteil Titan %
Anteil Chrom %
1
6
1
2
1
3
3
4
0
4
3
4
Gesucht sind die Mengenanteile xj der Legierung Nr. j , die benötigt werden, um eine Mengenseinheit der erwünschten Legierung zu erzeugen.
Aufgabe 4
Bestimmen Sie den Rang der folgenden



1 1 0 0
1
1
 0 0 1 1 
 1
1


A=
 1 0 1 0  B =  −1 −1
0 1 0 1
0
0
Matrizen:



1 1
(
)
1
2
3
4
5
0 0 
a
a
 C= 0 1 2 3 4  H=
1 1 
a b
0 0 1 2 3
1 1
Für die letzte Matrix sind a und b gegebene reelle Parameter.
Determinanten und Inverse
Aufgabe 1
Berechnen Sie die folgenden Determinanten:
−1 −2 7 −2 3 1 0 0
log 7 8
1 10 −1 1 −1 2 4 4
1
0 2
4 log 8 7 4 1 5 4
0 3
4 Aufgabe 2

0 5x
Gegeben sind die Matrizen A =  x 0
5x 2


1
x
 0
0  und B = 
 1
0
0
0
x
0
2
5
7
8
9
0
2
7
8
0
0
2
7
0
0
0
5

x
0
0
1 
.
0 −2 
1
0
Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x, für die | A | = |B ⊤ | gilt.
Aufgabe 3


 

−1
1
1
3 −1
t
4  , a1 =  0  und a2 =  1  .
Es seien C =  −2
0
1
−3 −4
2

Lösen Sie die folgenden Aufgaben durch die Untersuchung geeigneter Determinanten.
a) Für welche reellen Zahlen t sind die Spaltenvektoren der Matrix C linear abhängig ?
b) Vervollständigen Sie das Vektorsystem aus a1 und a2 zu einer Basis des R3 .
Aufgabe 4
Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrizen:
(
)
(
)
(
)
2
1
2 1
2 0
A=
B=
C=
4 −1
−1 4
0 2
Aufgabe 5
Entscheiden Sie für die Matrizen


(
)
1 1 1
0
−1
A =  1 2 2 , B =
2
7
1 2 3

und
1
 0
C=
 1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
ob sie eine Inverse besitzen und berechnen Sie diese gegebenenfalls.

0
1 
,
0 
1
Aufgabe 6




0 b 1
a 0 0
Gegeben seien die Matrizen C =  a a b  und D =  0 b 0  ,
1 a 0
0 0 a
wobei a und b reelle Zahlen sind.
a) Weisen Sie nach, dass die Matrix C für a > 1 stets regulär ist.
b) Weisen Sie nach, dass die Matrix C für a < 0 stets invertierbar ist.
c) Es sei a = 0. Berechnen Sie die Inverse der Matrix C für alle b ̸= 0.
d) Es sei b = 0. Für welche Zahlen a ist die Matrix C ⊤ singulär?
e) Für welche Zahlenpaare (a, b) gilt r(D) = 2 ?
f) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix D .
g) Berechnen Sie die Determinante der Matrix F = abDD .
Matrizengleichungen
Aufgabe 1
(
Gegeben sind die Matrizen A =
1 −1
0
1
)
(
und B =
7 1
2 1
)
.
Lösen Sie die Matrizengleichungen AX = B und Y A = B.
Aufgabe 2
Für

 



1
0 −1
1
0
2
2 
A =  2 −1 −2  , b =  2  , B =  2
−1
2
2
1
3 −1
berechne man die Inverse A−1 , die Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b und
die Lösung der Matrizengleichung AX = B. Welche Möglichkeit gibt es, die Rechnungen
simultan und ohne zusätzliche Matrizenmultiplikation auszuführen ?
Ā entstehe aus A durch Vertauschung der Spalten 1 und 2. Wie ändern sich die Lösungen,
wenn A durch Ā ersetzt wird ?
Aufgabe 3
Lösen Sie folgende Matrizengleichungen nach X auf. Unter welchen Voraussetzungen ist das
möglich ?
a) XA + BA⊤ = XC ⊤ + BC
b) A⊤ X = A + 2X
Bestimmen Sie für beide Matrizengleichungen konkrete Lösungen für
(
)
(
)
(
)
2 1
2 1
A=
, B= p p , C=
.
0 6
2 1
Aufgabe 4
Die Matrizengleichung (AX − C T D)⊤ = 2X ⊤ B ist nach X aufzulösen. Unter welchen
Voraussetzungen ist das möglich, wenn A eine quadratische Matrix ist und alle weiteren
Matrizen von geeignetem Format sind.
Lässt sich die Matrizengleichung AX + XB = C nach X aufzulösen ?
Welche Aussagen sind zur Lösbarkeit der Matrizengleichung X + X ⊤ = A möglich ?
Aufgabe 5
Gegeben seien eine n-reihige Diagonalmatrix D, eine Matrix C mit n Zeilen, eine reelle
Zahl α und die Matrizengleichung αX = C − DX .
a) Welche Bedingungen müssen die Diagonalelemente der Matrix D erfüllen, damit die
Matrizengleichung eine eindeutige Lösung in X besitzt ?
(
(
)
)
0 0
1 5 0 2
und C =
.
b) Es sei D =
0 1
4 0 2 4
Geben Sie die Lösung der Matrizengleichung für α = 1 an.
c) Es sei C eine Nullmatrix und α = 2017 . Ist die Matrizengleichung für alle Diagonalmatrizen D lösbar ?
Aufgabe 6
Gegeben sind die Matrizen
(
Q=
1 1
0 1
)
(
, U=
1 1 1
1 0 1
)


(
)
1
0
1
9
0
2
, V =  1 −1  , W =
2 0 0 8
−1
1
und zwei quadratische n-reihige Matrizen F und G.
a) Berechnen Sie die Lösung X der Matrizengleichung QX = Q⊤ Q .
b) Berechnen Sie die Lösung X der Matrizengleichung U V X = W .
c) Unter welchen Voraussetzungen besitzt die Matrizengleichung GX ⊤ − F G = G − X ⊤
eine eindeutige Lösung in X ?
Aufgabe 7
Es werden die innerbetrieblichen Leistungsverflechtungen einer Unternehmung mit den vier
Produkten A, B, C und D betrachtet. Für die Herstellung einer Mengeneinheit des Produktes
A sollen 0.5 zusätzliche Mengeneinheiten von B sowie 0.3 Mengeneinheiten des Produktes
C notwendig sein. Analog benötigt man zur Herstellung einer Mengeneinheit von B eine
zusätzliche Mengeneinheit von C, für eine Mengeneinheit C zusätzlich 0.4 Mengeneinheiten
von D sowie für eine Mengeneinheit D zusätzlich 0.5 Mengeneinheiten von C.
a) Welche Mengen der Produkte A, B, C und D müssen hergestellt werden, um genau
eine Mengeneinheit der Sorte A zu verkaufen ?
b) Welche Mengen der Produkte A, B, C und D müssen hergestellt werden, um genau
k Mengeneinheiten von jeder Sorte zu verkaufen ?
Lineare Optimierung
Aufgabe 1
Lösen Sie die folgenden linearen Optimierungsaufgaben graphisch:
a)
b)
x1 − 2x2
3x1 + x2
3x1 + 4x2
x 1 , x2
− x1 + 2x2
2x1 − x2
x1 + 3x2
x1 , x2
≤ 2
≥ 3
≤ 12
≥ 0
(1) z = 12x1 + 4x2 → max
(2) z = 12x1 + 4x2 → min
(3) Ersetze x1 ≥ 0 durch x1 ≥ 5
≤
8
≥ −2
≥
3
≥
0
(1) z = 2x1 − 4x2 → min
(2) z = 2x1 − 4x2 → max
Aufgabe 2
Lösen Sie die folgenden linearen Optimierungsaufgaben mit Hilfe der Simplexmethode:
− 2x1 + x2
x1 + 3x2
x1
x1 , x2
a)
b)
x1 −
≤ 3
≤ 15
≤ 6
≥ 0
(1) z = 4x1 + x2 → max
(2) z = 4x1
x2 + x3 + x4 = 1
3x2 − 4x3 − 2x4 ≤ 4
x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0
→ max
(1) z = 5x1 − x2 + x3 → max
(2) z = 5x1 − 2x2 + x3 → max
Aufgabe 3
Lösen Sie die folgenden linearen Optimierungsaufgaben mit Hilfe der 2-Phasen-Simplexmethode:
a)
z = 2x1 + 4x2 − 3x3 → min
2x1 +
2x1
b)
x2 − 4x3
x2 + 4x3
− 3x3
x1 , x2 , x3
=
≤
≥
≥
z = 8x1 + 7x2
x1 −
x1 −
x2 − x3
x2
+ x4
x1 , x2 , x3 , x4
12
16
4
0
→ max
=
=
≥
2
1
0
Aufgabe 4
Beim Lösen der in Normalform gegebenen Aufgabe (A) mit Parameter p (beliebig reell)
ergibt sich das Simplextableau (ST).
3x1 + px2
(A) :
−
→ max
x1 − x2 + 5x3 = 1
x1 + 2x2 − 7x3 = 1
x1 , x2 , x3 ≥ 0
(ST) :
xB cB
x1 3
x2 p
x1 x2
x3
3 p
0
b
1 0
3
3
0 1
−2
2
0 0 9 − 2p 9 + 2p
a) Geben Sie die zu (ST) gehörende Basislösung nebst Zielfunktionswert an.
b) Für welche p ist die zu (ST) gehörende Basislösung die eindeutig bestimmte Optimallösung ?
c) Welcher optimale Zielfunktionswert ergibt sich für p = 2 ?
d) Bestimmen Sie ausgehend von (ST) eine Optimallösung für p > 29 .
e) Geben Sie die Menge aller Optimallösungen für p = 92 an .
f) Für einen fest gewählten Parameter p sei zmax (p) der optimale Zielfunktionswert der
Aufgabe (A). Skizzieren Sie die Optimalwertfunktion zmax (p) im Intervall −5 ≤ p ≤ 7 .
Aufgabe 5
Gegeben ist das lineare Ungleichungssystem (LUGS) :
2 x1 − x2
2 x1 + x2
3 x1 + 4 x2
x1 , x2
≥ 2
≤ 6
≤ 12
≥ 0
a) Bestimmen Sie mit Hilfe der graphischen Darstellung alle Lösungen von (LUGS), für
die die Zielfunktion z1 = 4x1 + 2x2 ihren maximalen Wert annimmt .
b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Simplexmethode eine Lösung von (LUGS), für die die
Zielfunktion z2 = x1 + x2 ihren minimalen Wert annimmt.
Aufgabe 6
Anläßlich und zur Finanzierung einer Examensfeier soll ein neues Mixgetränk Leichte Prüfung
kreiert werden. Zum Mischen stehen drei Basisflüssigkeiten in ausreichendem Maße zur
Verfügung:
Basisflüssigkeit Alkohol (%)
Klarer
40
Kräuterlikör
20
Orangensaft
0
Kosten (e/Liter)
6
9
1
Leichte Prüfung soll einen Alkoholgehalt von mindestens 6% haben, aus mindestens 10%
Kräuterlikör bestehen und einen Orangensaftanteil von höchstens 75% besitzen.
Wie muss die Mischung aussehen, damit Leichte Prüfung möglichst geringe Kosten pro Liter
verursacht ? Wie ändert sich die Lösung, wenn Leichte Prüfung einen Alkoholgehalt von
genau 10% haben soll ?
Mathematik ist sexy, ...
weil sie die Phantasie reizt und den Intellekt befriedigt.
Sabine Alt
Das Gefährlichste an der Schulmathematik ...
ist die Omnipräsenz der Taschenrechner.
Sie töten jedes Gefühl für Zahlen.
Sabine Alt