Funktionalanalysis - (IGPM) | RWTH Aachen

Funktionalanalysis
WS 2014/15
Prof. Dr. O. Sander – A. Burchardt – K. Hanowski
Zehntes Übungsblatt
Abgabe bis Dienstag, den 6. Januar 2015 um 10 Uhr (Kasten vor Raum 149)
Aufgabe 1 [Das Spiel von Banach-Mazur]
Um 1928 ersann der polnische Mathematiker S. Mazur das folgende mathematische
Spiel“. Spieler (A) erhält“ eine beliebige Teilmenge A eines nichtleeren, abgeschlosse”
”
nen Intervalls I0 , während der Spieler (B) die komplementäre Menge B “ I0 zA erhält.
Das Spiel wird nun wie folgt gespielt: (A) wählt ein beliebiges Intervall I1 Ă I0 , anschließend wählt (B) ein abgeschlossenes Intervall I2 Ă I1 . Danach wählt (A) wieder ein
abgeschlossenes Intervall I3 Ă I2 . So geht es abwechselnd weiter. Auf diese Weise definieren beide Spieler
Ş eine Folge ineinandergeschachtelter abgeschlossener Intervalle In .
Enthält die Menge In mindestens einen Punkt der Menge A, so gewinnt der Spieler
(A), andernfalls gewinnt der Spieler (B).
Eine Strategie für Spieler (B) ist eine Folge von Funktionen f2n pI0 , I1 , . . . , I2n´1 q “:
I2n derart, dass I2 n Ă II2n´1 ein abgeschlossenes Intervall ist. Die Funktion f2n muss
mindestens für alle Intervalle, die den Bedingungen
I0 Ą I1 Ą I2 Ą ¨ ¨ ¨ Ą I2n´1
(1)
sowie
I2i “ f2i pI0 , I1 , . . . , I2i´1 q,
i “ 1, 2, . . . , n ´ 1
(2)
genügen, definiert sein.
Eine Strategie wird Gewinnstrategie für (B) genannt, wenn
gilt, die (1) und (2) für jedes n erfüllt.
Ş
In Ă B für jede Folge pIn q
(a) Zeigen Sie, dass für pBq genau dann eine Gewinnstrategie existiert, wenn A von
1. Kategorie ist.
(b) Zeigen Sie, dass für pAq genau dann eine Gewinnstrategie existiert, wenn I1 X B von
1. Kategorie ist, wobei I1 Ă I0 ein beliebiges abgeschlossenes Intervall ist.
5 Punkte
1
Aufgabe 2 [Gδ -Menge]
Eine Teilmenge M eines metrischen Raums heißt Gδ -Menge, wenn M als abzählbarer
Schnitt offener Mengen geschrieben werden kann.
(a) Zeigen Sie, dass Q keine Gδ -Menge in R ist.
Hinweis: Benutzen Sie den Satz von Baire!
(b) Sei f : R Ñ R eine Funktion. Dann ist die Menge aller Stetigkeitspunkte tt P R |
f ist stetig bei tu eine Gδ -Menge.
(c) Zeigen Sie, dass keine Funktion f : R Ñ R existiert, die bei allen rationalen Zahlen
stetig und bei allen irrationalen Zahlen unstetig ist. Zeigen Sie, dass jedoch eine
Funktion f : R Ñ R existiert, die bei allen irrationalen Zahlen stetig und bei allen
rationalen Zahlen unstetig ist.
5 Punkte
Aufgabe 3 [Schwache Cauchyfolgen]
Eine Folge pxn q in einem normierten Raum X heißt schwache Cauchy-Folge, falls für alle
x1 P X 1 die skalare Folge px1 pxn qq eine Cauchy-Folge ist.
(a) Geben Sie ein Beispiel für eine schwache Cauchy-Folge in c0 an, die nicht schwach
konvergiert.
(b) Zeigen Sie, dass eine schwache Cauchy-Folge beschränkt ist.
(c) Zeigen Sie, dass in einem reflexiven Banachraum eine schwache Cauchy-Folge schwach
konvergent ist.
5 Punkte
Aufgabe 4 [Partiell stetige Bilinearformen auf Banachräumen sind stetig]
Seien X und Y Banachräume und B : X ˆ Y Ñ K bilinear. Zeigen Sie, dass aus der
partiellen Stetigkeit von B, d.h. die Abbildungen y ÞÑ Bpx, yq ist für alle x P X stetig
und die Abbildung x ÞÑ Bpx, yq ist für alle y P Y stetig, die Stetigkeit von B folgt.
Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Banach-Steinhaus!
5 Punkte
Aufgabe 5 [Weihnachts-Bonusaufgabe]
Lesen und verstehen Sie den Artikel “A Note on Piffles” von A.B. Smith, The Mathematical Gazette, Band. 51, Nr. 376, (1967). Der Artikel ist online unter
http://www.jstor.org/stable/3614401 zu finden.
Zeigen Sie dann, dass jeder Piffel isometrisch isomorph zu einem Demi-Boffel ist.
Hinweis: Versuchen Sie zu zeigen, dass die Demi-Boffels eine Menge 1. Kategorie in den
Wuffels bilden.
5 Punkte
2