Inhaltsverzeichnis Teil I
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Inhaltsverzeichnis Teil I Mathematik Rechenverfahren.................................................................................................... 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Rechnen in der Schule und an der U niversität....................................... Entscheidungen über und innerhalb von V e rfa h re n ............................ Lernen von einigen (oder keinen) Beispielen......................................... Sich selbst Beispiele ü b e rle g e n ................................................................ Rechenschritte aufschreiben..................................................................... Fehlersuche.................................................................................................. Mathematik besteht nicht nur aus Rechnen ......................................... 3 3 4 7 10 11 13 14 Abstrakte O bjekte.................................................................................................. 19 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 Zahlen als abstrakte Objekte..................................................................... Funktionen als abstrakte O b je k te ........................................................... Um welche Art von Objekt handelt es sich wirklich?............................ Objekte, die sich aus Rechenverfahren ergeben.................................... Hierarchische Gliederung von O b je k te n ................................................. Wie man Rechenverfahren in Objekte verw a n d e lt............................... Neue Objekte: Relationen und zweistellige V erkn üp fu n g en............. Neue Objekte: Symmetrien........................................................................ 19 20 22 24 26 28 29 31 Definitionen............................................................................................................ 37 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 37 37 38 40 42 44 47 49 53 54 Axiome, Definitionen und S ä tz e .............................................................. Was sind A xiom e?....................................................................................... Was sind Definitionen? ............................................................................. Was sind Sätze? .......................................................................................... Wie man Definitionen versteht: gerade Z a h le n .................................... Wie man Definitionen versteht: steigende Funktionen....................... Wie man Definitionen versteht: K om m utativität................................. Wie man Definitionen versteht: offene M e n g e n ................................. Wie man Definitionen versteht: G renzw erte......................................... Definitionen und In tu itio n ........................................................................ S ä tze .......................................................................................................................... 61 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 Sätze und logische N otw endigkeit............................................................ Ein einfacher Satz über ganze Zahlen....................................................... Ein Satz über Funktionen und A bleitungen............................................ Ein Satz über weniger vertraute O b je k te ............................................... Die logische Sprache: „ w e n n " .................................................................... Die logische Sprache: „wenn" in der Alltagssprache............................. Die logische Sprache: Q u an to ren ............................................................... Die logische Sprache: mehrfache Q u a n to re n .......................................... Wie man Sätze u m fo rm u lie rt.................................................................... Verständnis: logische Form und Bedeutung............................................ 61 63 64 67 69 71 73 75 77 78 B eweise..................................................................................................................... 83 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 Beweise in der Schulmathematik.............................................................. Der Beweis, dass eine Definition erfüllt i s t ............................................ Der Beweis allgemeiner Aussagen............................................................ Der Beweis allgemeiner Sätze mithilfe von D efinitionen..................... Definitionen und andere Darstellungsweisen....................................... Beweise, logische Herleitungen und O b jekte.......................................... Der Beweis offensichtlicher Tatsach en .................................................... Das Unglaubliche glauben: die harmonische Reihe............................... Das Unglaubliche glauben: die Erde und das S e il.................................. Wird mein ganzes Studium aus Beweisen b e s te h e n ? .......................... Beweisverfahren undT ric k s ..................................................................................... 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 Allgemeine Beweisstrategien.................................................................... Der direkte Beweis ...................................................................................... Der Beweis durch W iderspruch................................................................. Beweis durch In d u k tio n .............................................................................. Eindeutigkeitsbeweise................................................................................. Das Gleiche addieren und s u b tra h ie re n .................................................. Wie man etwas a u s p ro b ie rt...................................................................... Darauf wäre ich nie g e k o m m e n !.............................................................. Wie man Mathematik lie s t ..................................................................................... 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 Selbstständiges Lesen................................................................................... Ihre eigene Vorlesungsmitschrift le s e n .................................................... Lesen, um zu v e rs te h e n .............................................................................. Lesen, um einen Überblick zu bekom m en............................................... Zusammenfassungen für die Wiederholung v e rw e n d e n ..................... Lesen, um sich etwas einzuprägen............................................................ Abbildungen als Erinnerungsstütze......................................................... Beweise lesen, um sie sich e in z u p rä g e n ................................................. 83 85 87 90 92 95 97 100 102 104 109 109 110 114 118 124 126 128 129 133 133 134 136 142 147 148 151 153 Inhaltsverzeichnis X V II Wie man Mathematik s c h re ib t........................................................................... 157 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 157 159 162 166 169 171 172 Wie erkennt man gutes Schreiben?......................................................... Warum sollte ein Student gut fo rm u lie re n ? .......................................... Einen Beweis deutlich form ulieren............................................................ Notationen richtig verwenden ................................................................. Pfeile und Klam m ern................................................................................... Ausnahmen und F e h le r .............................................................................. Formulierungsaufgaben a b tre n n e n ......................................................... Teil II Lerntechniken fürs Studium Vorlesungen............................................................................................................. 177 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 177 178 179 181 183 184 187 Wie sieht eine Vorlesung aus?................................................................... Wie ticken D o ze n te n ? ................................................................................ M it Vorlesungen zurechtkom m en............................................................ Verbreitete Probleme b e w ä ltig e n ............................................................ In Vorlesungen etwas lernen ...................................................................... Höflichkeit in Vorlesungen......................................................................... Feedback auf Vorlesungen......................................................................... Dozenten, Kommilitonen und andere gute Geister 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 ....................................... 189 Dozenten als Lehrkräfte.............................................................................. Tutorien und Übungen................................................................................ Fragen vor und nach der Vorlesung s te lle n ............................................ Ein Einzelgespräch mit einem Dozenten vereinb aren .......................... Fragen auf elektronischem Weg s te lle n ................................................. Mathematische Betreuungsangebote...................................................... Projekte und P r a k tik a ................................................................................ M it anderen Studenten le r n e n ................................................................. Hilfsangebote für alles andere ................................................................. 189 190 192 193 195 196 197 199 201 Zeitm anagement..................................................................................................... 207 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 207 208 209 214 220 221 225 226 226 Warum sollte ein guter Student dieses Kapitel lesen?.......................... Ziele und Dinge, die Sie vermeiden s o llte n ............................................ Ein Semester planen ................................................................................... Eine typische Woche p la n e n ...................................................................... Planen, wann Sie was lernen ...................................................................... Eine echte Woche p la n e n ........................................................................... Wo wollen Sie arbeiten? ........................................................................... Ihre Unterlagen o rg an isieren ................................................................... Dinge nicht fertig m a c h e n ......................................................................... P anik.......................................................................................................................... 229 12.1 Den Anschluss verp assen ........................................................................... 12.2 Was t u n ? ........................................................................................................ 229 230 (Nicht) Der Beste s e i n ........................................................................................... 235 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 Erfolgreich sein in der Schule und an der U n iv e rs itä t.......................... Was ist eigentlich Verständnis?................................................................. M ith a lte n ........................................................................................................ Verständnis und G eschw indigkeit............................................................ Versuchen Sie nicht alles zu v e rs te h e n .................................................... Das Märchen vom Genie.............................................................................. 235 236 237 239 240 242 Was Mathematikdozenten tun ........................................................................... 245 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 Wenn Dozenten nicht le h r e n .................................................................... Lehre................................................................................................................ V e rw a ltu n g ................................................................................................... Forschung ..................................................................................................... Mathematiker w e rd e n ................................................................................. 245 246 246 247 250 Literatur ............................................................................................................................. 253 Sachverzeichnis 267
