Crashkurs Liegruppen und Liealgebren

Crashkurs Liegruppen und Liealgebren
Ulrike Fiedler
Universität Stuttgart
16. Dezember 2007
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Lineare Liegruppen
Allgemeines
Definition
Beispiele
Zusammenhangskomponente
Kompaktheit
Die Matrixexponentialabbildung
Ein-Parameter Untergruppen
2
Liealgebren
Allgemeines
Definition
Darstellung der Liealgebra
Die adjungierte Darstellung
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Lineare Liegruppen
Allgemeines
Eine Liegruppe beinhaltet drei verschiedene mathematische
Strukturen:
I
I
I
Sie erfüllt die Axiome einer Gruppe.
Ihre Elemente bilden einen topologischen Raum, so dass man die
Liegruppe auch als besonderen Fall einer topologischen Gruppe
beschreiben kann.
Ihre Elemente bilden eine analytische Mannigfaltigkeit.
Alle Liegruppen, die von physikalischem Interesse sind, sind linear.
Die Grundeigenschaft jeder Liegruppe ist, dass eine nicht-abzählbare
Menge von Elementen nahe des neutralen Elements der Gruppe liegt.
Die Struktur dieser Umgebung bestimmt weitgehend die Struktur der
ganzen Gruppe.
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Lineare Liegruppen
Definition
Definition (treu)
Eine Darstellung ρ : G → GL(n, K ) heißt treu, wenn ker ρ = {1} ist.
Bevor wir zur Definition der linearen Liegruppe kommen, sollten wir noch
einen Abstand definieren. Dabei sei Γ eine treue m-dimensionale
Darstellung der Gruppe G und T , T 0 ∈ G :
m m
X
X
2 1 0
0
2
d(T , T ) = (
Γ(T )jk − Γ(T )jk ) j=1 k=1
Die Abstandsfunktion d(T , T 0 ) ist eine Metrik und somit symmetrisch,
positiv definit und erfüllt die Dreiecksungleichung.
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Lineare Liegruppen
Definition
Definition (n-dimensionale lineare Liegruppe)
Eine Gruppe G heißt lineare Liegruppe der Dimension n, wenn gilt:
a) G besitzt mindestens eine treue endlich-dimensionale Darstellung Γ.
b) ∃ δ > 0, so dass jedes Element von G , das in der δ-Umgebung Mδ um
das neutrale Element der Gruppe liegt, durch n reelle Parameter
x1 , ..., xn parametrisiert werden kann. Die Parametrisierung ist
eindeutig und das neutrale Element der Gruppe wird parametrisiert
durch x1 = ... = xn = 0.
c) ∃ η > 0 so, dass jeder Punkt des Rn , für den gilt:
n
X
xj2 < η 2
(1)
j=1
einem Element T aus Mδ entspricht.
d) Jeder Eintrag der Matrix Γ(x1 , ..., xn ) ist eine analytische Funktion in
x1 , ..., xn für alle (x1 , ..., xn ), die die Ungleichung (1) erfüllen.
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Lineare Liegruppen
Beispiele
Beispiel (Die multiplikative Gruppe der reellen Zahlen)
Sei G die Gruppe der reellen Zahlen t 6= 0 mit üblicher Multiplikation als
Gruppenoperation und 1 als neutralem Element.
G besitzt die treue 1-dimensionale Darstellung Γ(t) = [t], wodurch
Eigenschaft a) erfüllt ist.
Die Metrik d ist dann gegeben durch d(t, t 0 ) = |t − t 0 |. Sei δ = 12 , dann
ist 12 < t < 32 ∀t ∈ Mδ .
Eine geeignete Parametrisierung für t ∈ Mδ ist
t = exp(x1 ).
(2)
Die 1 entspricht, wie gefordert, x1 = 0 (Eigenschaft b)).
Eigenschaft c) folgt mit η = log 32 , denn x12 < (log 23 )2 impliziert
2
3
3 < exp(x1 ) < 2 .
Mit (2) ergibt sich Γ(x1 )11 = exp(x1 ), was analytisch ist und somit ist auch
Eigenschaft d) erfüllt. Also ist G eine 1-dimensionale lineare Liegruppe.
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Lineare Liegruppen
Beispiele
Beispiel (Die Gruppen O(2) und SO(2))
O(2) ist die Gruppe aller reellen orthogonalen 2x2-Matrizen A und SO(2)
ist die Untergruppe von O(2) mit det A = +1.
Für A ∈ O(2) ist Γ(A) = A eine treue endlich-dimensionale Darstellung.
Aus der Orthogonalität AAt = At A = E2 folgt, dass:
A211 + A212 = A211 + A221 = A221 + A222 = A212 + A222 = 1
(3)
A11 A21 + A22 A12 = A11 A12 + A22 A21 = 0
(4)
Aus (3) folgt, dass A211 = A222 und A212 = A221 und somit gibt es zwei
mögliche Lösungen für (4):
i) A11 = A22 und A12 = −A21
In diesem Fall impliziert Gleichung (3), dass det A = 1, also
1
A ∈ SO(2). Außerdem ist d(A, E2 ) = 2(1 − A11 ) 2 .
ii) A11 = −A22 und A12 = A21
In diesem Fall ist det A = −1 und d(A, E2 ) = 2.
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Lineare Liegruppen
Beispiele
Beispiel (Fortsetzung: Die Gruppen O(2) und SO(2))
√
Für δ = 2 erfordert Eigenschaft b) eine Parametrisierung einer Teilmenge
von i), aber nicht von ii), da diese Teilmenge komplett außerhalb von Mδ
liegt.
Eine mögliche Parametrisierung ist:
cos x1 sin x1
A = Γ(A) =
(5)
− sin x1 cos x1
Natürlich entspricht x1 = 0 dem neutralen Element E2 der Gruppe.
Jeder Punkt des R1 , für den x12 < ( 13 π)2 gilt, ergibt eine Matrix A ∈ Mδ
so, dass Eigenschaft c) erfüllt ist.
Eigenschaft d) ist offensichtlich erfüllt und somit sind O(2) und SO(2)
lineare Liegruppen der Dimension 1.
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Lineare Liegruppen
Zusammenhangskomponente
Definition (Zusammenhangskomponente einer linearen Liegruppe)
Sei G eine lineare Liegruppe und Γ eine treue endlich-dimensionale
Darstellung von G . Eine maximale Menge, bestehend aus Elementen
T ∈ G , die mittels stetiger Änderung eines oder mehrerer Matrixeinträge
Γ(T )jk ineinander überführt werden können, nennt man eine
Zusammenhangskomponente von G .
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Lineare Liegruppen
Zusammenhangskomponente
Beispiel (Die multiplikative Gruppe der reellen Zahlen)
Sei G die Gruppe der reellen Zahlen t 6= 0 mit üblicher Multiplikation als
Gruppenoperation und 1 als neutralem Element.
G besitzt die treue 1-dimensionale Darstellung Γ(t) = [t].
Die Teilmenge {t : t > 0} ergibt eine Zusammenhangskomponente und die
Teilmenge {t : t < 0} bildet eine zweite. Da t = 0 nicht Element der
Gruppe ist, kann keine der beiden Teilmengen stetig aus der anderen
erhalten werden.
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Lineare Liegruppen
Zusammenhangskomponente
Definition (Zusammenhängende lineare Liegruppe)
Eine lineare Liegruppe heißt zusammenhängend, wenn sie nur eine
Zusammenhangskomponente besitzt.
Die gesamte zusammenhängende lineare Liegruppe der Dimension n kann
nun durch n reelle Zahlen y1 , ..., yn , die eine zusammenhängende Menge
im Rn bilden, parametrisiert werden. Dabei sind alle Matrixeinträge Γ(T )jk
stetige Funktionen in y1 , ..., yn , die weder analytisch noch bijektiv sein
müssen. Somit erfüllt diese Parametrisierung nicht unbedingt alle
Eigenschaften, die in der Definition der linearen Liegruppe gefordert sind.
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Lineare Liegruppen
Kompaktheit
Satz (Heine-Borel)
Eine Teilmenge von Punkten des reellen (oder komplexen)
endlich-dimensionalen euklidischen Vektorraums ist kompakt genau dann,
wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Eine n-dimensionale lineare Liegruppe mit endlich vielen
Zusammenhangskomponenten ist kompakt, wenn sich die Parameter
y1 , ..., yn über abgeschlossene endliche Intervalle aj ≤ yj ≤ bj , j = 1, ..., n
erstrecken.
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Lineare Liegruppen
Kompaktheit
Beispiel (Die multiplikative Gruppe der reellen Zahlen)
Sei G die Gruppe der reellen Zahlen t 6= 0 mit üblicher Multiplikation als
Gruppenoperation und 1 als neutralem Element.
G besitzt die treue 1-dimensionale Darstellung Γ(t) = [t].
Eine geeignete Parametrisierung ist
t = exp(y1 ).
Offensichtlich ist diese Menge unbeschränkt, folglich ist die Gruppe nicht
kompakt.
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Lineare Liegruppen
Kompaktheit
Beispiel (Die Gruppen O(2) und SO(2))
Im ersten Beispiel mit O(2) und SO(2) haben wir gesehen:
Eine mögliche Parametrisierung ist:
cos x1 sin x1
A = Γ(A) =
− sin x1 cos x1
(5)
Die Parametrisierung (5) lässt sich mit −π ≤ x1 ≤ π auf die ganze Gruppe
SO(2) ausdehnen.
Die Menge der Matrizen A ∈ O(2) mit det A = −1 kann man mit (5)
nicht parametrisieren. Allerdings lassen sie sich so schreiben
0 1
cos x1 sin x1
− sin x1 cos x1
A=
=
1 0
− sin x1 cos x1
cos x1 sin x1
Mit y1 = x1 erstreckt sich der Parameter zwischen −π ≤ y1 ≤ π und somit
sind SO(2) und O(2) kompakte Liegruppen.
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Lineare Liegruppen
Die Matrixexponentialabbildung
Definition (Die Matrixexponentialabbildung)
Sei a eine m × m - Matrix, dann ist exp(a) eine m × m - Matrix, definiert
durch:
exp(a) = Em +
∞
X
aj
j=1
(6)
j!
Satz
Die Summe in Gleichung (6) konvergiert für jede m × m - Matrix a.
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Lineare Liegruppen
Die Matrixexponentialabbildung
Satz
Die Matrixexponentialabbildung einer m × m - Matrix a besitzt folgende
Eigenschaften:
a)
b)
c)
d)
exp(a) = exp(a)
exp(a)t = exp(at )
exp(a)∗ = exp(a∗ )
Für jede nicht-singuläre Matrix S gilt:
exp(SaS −1 ) = S exp(a) S −1
e) Sind λ1 , ..., λm die Eigenwerte von a, dann sind e λ1 , ..., e λm die
Eigenwerte von exp(a)
f) det exp(a) = exp(tr a)
g) exp(a) ist immer nicht-singulär und
exp(a)−1 = exp(−a)
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Lineare Liegruppen
Ein-Parameter Untergruppen
Definition (Lieuntergruppe)
Eine Untergruppe G 0 einer linearen Liegruppe, die selbst wieder eine
lineare Liegruppe ist, heißt Lieuntergruppe.
Definition (Ein-Parameter Untergruppe)
Eine Ein-Parameter Untergruppe einer linearen Liegruppe G ist eine
Lieuntergruppe von G bestehend aus Elementen T (t), die von einem
reellen Parameter t abhängen. Dieser nimmt alle Werte von −∞ bis ∞ an
und es gilt:
T (s)T (t) = T (s + t)
für alle s und t, −∞ < s, t < ∞.
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Lineare Liegruppen
Ein-Parameter Untergruppen
Satz
Jede Ein-Parameter Untergruppe einer linearen Liegruppe G aus m × m Matrizen entsteht durch Exponenzieren von m × m - Matrizen. Bilden also
die Matrizen A(t) eine Ein-Parameter Untergruppe von G , dann ist:
A(t) = exp(ta)
wobei a = dA/dt ausgewertet bei t = 0.
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Liealgebren
Allgemeines
Jede Liegruppe gehört zu genau einer reellen Liealgebra, allerdings
kann eine Liealgebra zu mehreren nicht-isomorphen Liegruppen
gehören.
Die Liealgebra bestimmt lokal die Struktur der zugehörigen Liegruppe.
Liealgebra und Liegruppe hängen folgendermaßen zusammen:
exp
Liealgebra −→ Liegruppe
Tangentialraum
Liealgebra ←−−−−−−−−−− Liegruppe
Wobei der Tangentialraum so definiert ist:
Ist I ein offenes Intervall in R mit 0 ∈ I , dann nennt man die
differenzierbare Abbildung γ : I → G eine Kurve in G durch die 1 der
Gruppe G, mit γ(0) = 1. Dabei bezeichnet γ̇(0) die Ableitung von γ
an der Stelle 0. Nun kann man γ̇(0) als Tangentialvektor an G in der
1 auffassen und
T1 G := {γ̇(0) : γ Kurve in G durch 1}
ist der Tangentialraum an G in der 1.
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Liealgebren
Definition
Definition (Reelle (Komplexe) Liealgebra L)
Eine reelle (komplexe) Liealgebra L der Dimension n, ist ein reeller
(komplexer) Vektorraum der Dimension n, ausgestattet mit einem
Lieprodukt (auch Kommutator oder Lieklammer genannt) [a, b] so, dass
für alle a, b ∈ L gilt:
i) [a, b] ∈ L, ∀a, b ∈ L
ii) [αa + βb, c] = α[a, c] + β[b, c], ∀a, b, c ∈ L und alle reellen
(komplexen) Zahlen α und β.
iii) [a, b] = −[b, a], ∀a, b ∈ L
iv) ∀a, b, c ∈ L
[a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = 0
(Jacobi-Identität)
Definition (abelsche Liealgebra)
Eine Liealgebra L heißt abelsch, wenn [a, b] = 0 ∀a, b ∈ L.
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Liealgebren
Darstellung der Liealgebra
Definition (Darstellung einer Liealgebra)
Existiert für jedes a ∈ L eine d × d - Matrix Γ(a) so, dass
i) Γ(αa + βb) = αΓ(a) + βΓ(b) für alle a, b ∈ L und α, β ∈ R (bzw. C)
ii) Γ([a, b]) = [Γ(a), Γ(b)] für alle a, b ∈ L
dann bilden diese Matrizen eine d-dimensionale Darstellung von L.
Satz (Schur’s Lemma)
Seien Γ und Γ0 zwei irreduzible Darstellungen einer Liealgebra L der
Dimension d bzw. d 0 . Falls eine d × d 0 - Matrix A existiert, so dass
Γ(a)A = AΓ0 (a) für alle a ∈ L, dann ist entweder A = 0d×d 0 , oder d = d 0
und det A 6= 0.
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Liealgebren
Die adjungierte Darstellung
Satz
Sei L eine reelle oder komplexe Liealgebra der Dimension n und sei
a1 , ..., an eine Basis von L. Für a ∈ L sei ad(a) die n × n - Matrix gegeben
durch:
n
X
[a, aj ] =
(ad(a))kj ak
k=1
für j = 1, ..., n. Die Menge der Matrizen ad(a) ergibt eine n-dimensionale
Darstellung von L, die so genannte adjungierte Darstellung von L.
Beweis:
Zu zeigen:
i) ad(a) ist wohldefiniert
Beweis:
[a, aj ] ist wohldefiniertes Element von L und Linearkombinationen aus
Basiselementen sind ebenfals wohldefiniert. Also sind die Skalare
(ad(a))ij alle wohldefiniert und somit auch ad(a).
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Liealgebren
Die adjungierte Darstellung
ii) ad(αa + βb) = αad(a) + βad(b) ∀a, b ∈ L und α, β ∈ R oder C
Beweis:
Betrachte einzelne Spalte der Matrix ad(a), d.h. wähle j beliebig aber
fest. Diese berechnen sich folgendermaßen:
[αa + βb, aj ] =
n
X
(ad(αa + βb))kj ak
(7)
k=1
α[a, aj ] + β[b, aj ] = α
n
X
(ad(a))kj ak + β
k=1
n
X
(ad(b))kj ak
(8)
k=1
Nach den Rechenregeln der Lieklammer ist die linke Seite in (7) und
(8) gleich, also sind auch die rechten Seiten gleich.
α
n
n
n
X
X
X
(ad(a))kj ak +β
(ad(b))kj ak =
(αad(a)+βad(b))kj ak (9)
k=1
k=1
k=1
Da ak k = 1, ..., n eine Basis ist, sind die Koeffizienten der rechten
Seite in (7) und (9) gleich und es gilt:
(ad(αa + βb))kj = (αad(a) + βad(b))kj
⇒ (ad(αa + βb)) = (αad(a) + βad(b))
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Liealgebren
Die adjungierte Darstellung
iii) ad([a, b]) = [ad(a), ad(b)] ∀a, b ∈ L
Beweis:
Wie in ii) j beliebig aber fest.
[[a, b], aj ] =
n
X
(ad[a, b])kj ak
k=1
Aus der Jacobi-Identität und den Rechenregeln der Lieklammer folgt:
[[a, b], aj ] = −[[b, aj ], a] − [[aj , a], b] = −[[b, aj ], a] + [[a, aj ], b]
= −[
=−
n
n
X
X
(ad(b))lj al , a] + [ (ad(a))lj al , b]
l=1
l=1
n
X
n
X
(ad(b))lj [al , a] +
l=1
=
n
n
X
X
(ad(b))lj [a, al ] −
(ad(a))lj [b, al ]
l=1
=
n
X
(ad(a))lj [al , b]
l=1
l=1
n
n
n
X
X
X
(ad(b))lj ( (ad(a))kl ak ) −
(ad(a))lj ( (ad(b))kl ak )
l=1
k=1
l=1
k=1
n X
n
X
=
( ((ad(b))lj (ad(a))kl − (ad(a))lj (ad(b))kl ))ak
k=1 l=1
⇒ (ad([a, b]))kj =
n
X
(ad(a)kl ad(b)lj − ad(b)kl ad(a)lj )
l=1
⇒ ad([a, b]) = ad(a)ad(b) − ad(b)ad(a) = [ad(a), ad(b)]
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Liealgebren
Die adjungierte Darstellung
Satz
Sei G eine lineare Liegruppe und L die zugehörige reelle Liealgebra, dann
ist für jedes A ∈ G und jedes b ∈ L, AbA−1 Element von L.
Satz
Sei G eine lineare Liegruppe der Dimension n und sei a1 , ..., an eine Basis
der zugehörigen reellen Liealgebra L. Für alle A ∈ G sei Ad(A) die n × n Matrix gegeben durch:
Aaj A−1 =
n
X
(Ad(A))kj ak
k=1
für j = 1, ..., n. Die Menge der Matrizen Ad(A) bildet eine n-dimensionale
analytische Darstellung von G , auch adjungierte Darstellung von G
genannt.
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