Folgen und Reihen

Folgen und Reihen
Folgen
Eine Zahlenfolge a ist eine Funktion, deren Definitionsbereich
eine Menge natürlicher Zahlen ist und deren Wertebereich aus
reellen Zahlen, den Gliedern der Zahlenfolge, besteht.
Folgen
Bemerkung
Funktion: Zuordnung, Abbildung, formal: Menge von
geordneten Paaren, rechtsseitig eindeutig
Neben Zahlenfolgen gibt es Folgen von Vektoren, Matrizen,
Funktionen, Folgen von Folgen . . .
Bezeichnung bei Folgen abweichend von Funktionen, nicht
f (n), sondern meist fn . Die Folge heißt dann f , es ist auch
zulässig (fn )∞
n=1 .
Arithmetische Folge
Geometrische Folge
Glieder unterscheiden sich um konstante Differenz d
rekursive Bildungsvorschrift: an+1 = an + d
explizite Bildungsvorschrift: an+1 = a1 + nd
Folge fallend für
d <0
konstant für d = 0
wachsend für d > 0
Glieder unterscheiden sich um konstanten Quotienten q
rekursive Bildungsvorschrift: an+1 = an q
explizite Bildungsvorschrift: an+1 = a1 q n
Bei a1 > 0
Example (einige Schaltjahre)
a=(2004,
2008,
2012,
2016,
2020,
Bemerkung:
2024, . . . )
Example (Halbierung)
g=(1,
Folgen können endlich oder unendlich sein.
Arithmetisch vs geometrisch
Folge alternierend für q < 0
fallend für
0<q<1
konstant für
q=1
wachsend für q > 1
Vielfalt
1/2, 1/4,
1/8,
1/16, . . . )
Fibonacci–Zahlen
n=∞
Eine rekursive Zahlenfolge (an )n=n
wird durch Anfangsglieder
1
und eine Vorschrift, wie man aus Vorgängern Nachfolger
bestimmt, definiert.
Beispiel 1 – Fakultäten
p0 = 1, pn = n · pn−1 , n = 1, 2, 3 . . .
Beispiel 2 – Sparplan
k0 = 1000, kn = 1.08kn−1 + 600, n = 1, 2, 3 . . . 18
Beispiel 3 – Fibonacci-Zahlen
f0 = 0, f1 = 1, fn+1 = fn + fn−1 , n = 1, 2, 3 . . .
Gewöhnlich zieht man eine explizite Darstellung vor.
Lösung der Differenzengleichung
Die charakteristische Gleichung hat 2 Lösungen:
√
1± 5
z1/2 =
2
Damit erfüllen alle Folgen der Form
fn = cz1n + dz2n
die Rekursionsvorschrift.
Sofern die Formel zur Berechnung des Nachfolgers linear ist
und die Koeffizienten konstant sind, ist dies bei Abhängigkeit
vom aktuellen oder vom aktuellen und vom letzten Glied
problemlos möglich.
Wir zeigen dies am Beispiel der Fibonacci–Zahlen.
Wir setzen an: fn = z n , setzen in die Rekursionsformel ein und
vereinfachen.
Wir erhalten die charakteristische Gleichung
z2 − z − 1 = 0 .
Dies ist das typische Vorgehen bei linearen
Differenzengleichungen.
Explizite Darstellung
Man findet leicht heraus, dass mit den Koeffizienten
√
√
5
5
c=
d =−
5
5
die Anfangsbedingungen erfüllt werden.
Somit ist die explizite Darstellung der Fibonacci–Zahlen:
√
√ !n √
√ !n
5 1+ 5
5 1− 5
fn =
−
5
2
5
2
Nach demselben Prinzip geht man bei allen linearen
Differenzengleichungen vor.
Hierbei gilt:
Ordnung der charakteristischen Gleichung = Rekursionstiefe
Graphische Darstellung
Konvergenz von Folgen
Grenzwert limn→∞ an = g
Eine Zahlenfolge konvergiert gegen den Grenzwert g, wenn es
zu jedem vorgegebenen > 0 ein n0 ∈ N gibt, so dass für alle
n ≥ n0 gilt: |g − an | < .
20
40
15
20
10
0
5
0
2
4
6
8
2
4
6
8
10
Nullfolge: limn→∞ an = 0
–20
Die Abbildungen zeigen die ersten 11 Fibonacci–Zahlen.
In der rechten Graphik werden beide Summanden einzeln
geplottet, der zweite 50-fach überhöht.
Grenzwertsätze
Falls limn→∞ an = a und limn→∞ bn = b, so gilt:
limn→∞ (an ± bn ) = a ± b
limn→∞ (an bn ) = ab
(bn 6= 0; b 6= 0)
limn→∞ abnn = ba
spezielle Grenzwerte:
limn→∞ n1 = 0
√
limn→∞ n n = 1
n
limn→∞ an! = 0
limn→∞ (1 + n1 )n = e
1 n
limn→∞ (1 + n−1
) =e
p n
limn→∞ (1 + n ) = ep

für |a| < 1
 =0
n
=1
für a = 1
limn→∞ a

divergent für |a| > 1
Reihen
Reihen
Konvergenzkriterien von Reihen
sn = a1 + a2 + . . . + an =
Pn
i=1 ai
s = a1 + a2 + . . . + an + . . . =
Geometrische Reihe s =
- nte Partialsumme
P∞
i=1 ai
P∞
n=1 a1 q
n−1
= limn→∞ sn
=
a1
1−q
konvergiert für |q| < 1. Für q < −1 und q > 1 ist sie divergent.
Arithmetische Reihe s =
divergiert für alle d 6= 0.
P∞
n=1 [a
+ (n − 1)d]
Reihen mit positiven Gliedern
Hauptkriterium: Konvergenz
genau dann, wenn
P
Partialsummenfolge ni=1 ai nach oben beschränkt.
Definition
Majorante ist Reihe, deren Glieder nicht kleiner als die Glieder
der untersuchten Reihe sind.
Minorante ist Reihe, deren Glieder nicht größer als die der
untersuchten Reihe sind.
Chauchy: Für alle > 0 existiert ein n0 (), so dass
|sm − sn | = |an+1 + an+2 + . . . + am | < für m > n ≥ n0 ().
Notwendiges Konvergenzkriterium:
Glieder der Reihe bilden eine Nullfolge.
Alternierende Reihen s =
P∞
n−1 |a |
n
n=1 (−1)
Leibniz: Eine alternierende Reihe ist konvergent, wenn
limn→∞ |an | = 0 und |an | monoton fallend ist, d.h.:
∀n ∈ N
|an | ≥ |an+1 | .
Dann gilt auch: |s − sn | ≤ |an+1 |
Vergleichskriterien
Harmonische Reihe
Verallgemeinerungen
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + · · · =
∞
X
1
n=1
n
Bemerkung:
Das allgemeine Glied hn der harmonischen Reihe ist das
harmonische Mittel seiner direkten Nachbarn, analog bei der
arithmetischen und geometrischen Folge wie Reihe.
Bemerkung:
Die alternierende harmonischen Reihe konvergiert nach
Leibnitz.
Bemerkung:
Verallgemeinerungen
Bemerkung:
Die harmonischen Reihe ist divergent, obwohl hn gegen Null
strebt. Durch Summation von Sequenzen jeweils bis zur
nächsten Zweierpotenz erhält man jeweils Beiträge von mehr
als 1/2. (Cauchy-Kontraktion)
Vergleichskriterien
divergieren sonst.
∞
P
n=1
1
nα
konvergieren für α > 1 und
Absolute Konvergenz
Definition
Majorantenkriterium: Konvergenz,
P∞ 1 falls eine konvergente
Majorante existiert, z.B. n=1 n2 .
Minorantenkriterium:
P∞ 1 Divergenz, falls divergente Minorante
existiert, z.B. n=1 n .
a
limn→∞ an+1
n
Quotientenkriterium: Falls
= q, so konvergiert die
Reihe für q < 1 und divergiert für q > 1. Keine Aussage über
Konvergenz und Divergenz im Fall q = 1 möglich.
√
Wurzelkriterium: limn→∞ n an = q, so konvergiert die Reihe für
q < 1 und divergiert für q > 1.
Keine Aussage über Konvergenz und Divergenz im Fall q = 1
möglich.
P∞
Eine
Reihe
n=n0 bn heißt absolut konvergent, wenn die Reihe
P∞
n=n0 |bn | konvergiert.
Bemerkung:
Bei absolut konvergenten Reihen spielt die Reihenfolge der
Terme keine Rolle. Man kann etwa alle positiven und alle
negativen Terme separat aufaddieren und dann die Bilanz
bilden. Ist die Summe der Beträge nicht endlich, kann durch
Umsortieren jeder Wert als Grenzwert der Partialsummenfolge
erzeugt werden.
Bemerkung:
Konvergenz der Reihe der Beträge kann auch bei
komplexwertigen Reihen als Kriterium für die Konvergenz
genutzt werden.
Potenzreihen
Häufig treten Potenzreihen auf: f (x) =
∞
X
Zahlenbereiche
cn x n .
n=n0
Das allgemeine Glied hängt von einer Variablen x ab.
Potenzreihen konvergieren für alle x, deren Betrag kleiner ist
als ihr Konvergenzradius r , sofern dieser existiert:
p
r = lim 1/ n |cn | .
n→∞
Beispiel:
P
n
Es ist s(x) = ∞
n=0 x = 1/(1 − x) der Wert der geometrischen
Reihe, der für x zwischen −1 und +1 existiert.
bekannt:
Bereich
Bezeichnung
natürliche Zahlen
ganze Zahlen
rationale Zahlen
reelle Zahlen
Es gilt:
Beispiele
0, 1, . . .
0, -1, 1, -2, 2 . . .
7/13, 1.8
π, e
N
Z
Q
R
N⊂Z⊂Q⊂R
(ohne die Grenzen)
Bemerkung:
cn Wenn der Grenzwert r = lim cn+1 existiert, so ist er gleich
n→∞
dem Konvergenzradius.
Komplexe Zahlen
Paare reeller Zahlen:
C 3 z = (x, y ) = x + yi
(1, 0) = 1
(0, 1) = i - imaginäre Einheit
z̄
Rechenregeln:
(x1 + y1 i) + (x2 + y2 i) = x1 + x2 + (y1 + y2 )i
(x1 + y1 i) − (x2 + y2 i) = x1 − x2 + (y1 − y2 )i
(x1 + y1 i) · (x2 + y2 i) = x1 x2 − y1 y2 + (x1 y2 + x2 y1 )i
:
(x2 + y2 i)
=
1
x − yi
= 2
x + yi
x + y2
i 2 = −1
Wir bezeichnen:
x = Re(z) – Realteil von z
y = Im(z) – Imaginärteil von z
(x1 + y1 i)
Insbesondere:
x2 y1 − x1 y2
x1 x2 + y1 y2
+
i
2
2
x2 + y2
x22 + y22
=
x + yi
:=
|z| = |x + yi| :=
x − yi
−
p
x2 + y2 −
konjugiert
komplexe Zahl
Betrag
Trigonometrische Darstellung
Exponentielle Darstellung
∀z = x + yi ∈ C ∃ϕ = arg(z) ∈ R :
Neben der kartesischen oder algebraischen Darstellung einer
komplexen Zahl z ∈ C
z = |z|(cos(ϕ) + i sin(ϕ))
Additionstheoreme
z = x + yi
sin(ϕ1 + ϕ2 ) = sin(ϕ1 ) cos(ϕ2 ) + sin(ϕ2 ) cos(ϕ1 )
cos(ϕ1 + ϕ2 ) = cos(ϕ1 ) cos(ϕ2 ) − sin(ϕ1 ) sin(ϕ2 )
⇒
arg(z1 · z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 )
n
arg(z ) = n arg(z)
n∈N
und der trigonometrischen
z = |z|(cos(ϕ) + i sin(ϕ))
gibt es dank der komplexen Exponentialfunktion auch noch die
Exponentialdarstellung
z = |z|eiϕ .
→ Vorschrift zum Radizieren.
exp, sin, cos . . . – Reihenentwicklung
(siehe Differentialrechnung)
n-te komplexe Wurzel
Sei zp= x + iy = r (cos ϕ + i sin ϕ),
r = x 2 + y 2 , ϕ = arg(z).
Dann gilt
mit
wkn = z
√
ϕ + 2k π
ϕ + 2k π
n
+ i sin
wk = r cos
n
n
für alle k = 0 . . . n − 1.
Damit existieren insbesondere je zwei (rein imaginäre)
Quadratwurzeln aus negativen reellen Zahlen.
complex.mw
Somit wird im Komplexen jede quadratische Gleichung lösbar.
Mehr noch: jede Polynomgleichung n-ten Grades hat n (nicht
notwendig verschiedene) komplexe Lösungen:
C ist algebraisch abgeschlossen.
Beispiel
x 2 + 2x + 2 = 0 hat die Lösungen: x1,2 = −1 ± i.
Dabei gilt (nach Vieta):
x 2 + 2x + 2 = (x + 1 + i)(x + 1 − i)
Eine quadratische Gleichung
Realteil
p(x) = x 2 − 18x + 130 = 0
450
400
Aus der Lösungsformel folgt:
√
√
x1/2 = 9 ± 81 − 130 = 9 ± −49 = 9 ± 7i
350
500
300
400
300
Re p(x)
250
200
Die obige Gleichung ist nicht lösbar – die Parabel ist nach oben
geöffnet, und der Scheitelpunkt hat eine positive Ordinate.
Die Lösung hat in diesem Fall die Abszisse des
Scheitelpunktes als Realteil:
Re x1/2 = argmin {p(x) x ∈ R}
Der Imaginärteil ergibt sich als ± Wurzel aus der Ordinate:
q
Im x1/2 = ± min p(x) ∈ R
200
100
150
10
0
100
5
−100
−10
50
0
−10
−5
0
5
10
15
0
−5
0
−5
5
20
10
15
20
−10
Im x
Re x
In der linken Abbildung sehen wir den Realteil der quadratischen
Funktion p(x) (linke Seite der quadratischen Gleichung von der
letzten Folie) eingeschränkt auf rein reelle Argumente x.
Rechts sehen wir den Realteil von p(x) als Funktion von Real- und
Imaginärteil von x.
x∈R
Imaginärteil
Aufgaben
10
8
300
4
200
2
Im x
100
Im p(x)
Existiert
√
√
√
lim n
n+1− n−1 ,
6
400
k →∞
und wenn ja, berechnen Sie den Wert.
0
0
−2
−100
−4
−200
Geben Sie eine explizite Formel für das allgemeine Glied an:
10
−300
−400
−10
5
−6
0
−5
0
−8
−5
5
10
Re x
15
20
−10
Im x
−10
−10
−5
0
5
Re x
10
15
20
Links sehen wir den Imaginärteil von p(x) als Funktion von Real- und
Imaginärteil von x.
Rechts sind die Nulllinien von Realteil (blau) und Imaginärteil in der
x-Ebene dargestellt. Ihre Schnittpunkte sind die Lösungen von
p(x) = 0 in der komplexen Zahlenebene.
a0 = 1 ,
a1 = 2
an+1 = 3an − an−1 + 2
Arbeitsblattausschnitt