Analysis II Carsten Schütt SS 2015 1. Konvergiert die Folge {(10n

Analysis II
Carsten Schütt
SS 2015
1. Konvergiert die Folge
(10n)!
nn
?
n∈N
2. Es sei f : (a, b) → R in zweimal stetig differenzierbar und x0 ∈ (a, b). Dann gilt
f (x0 + h) + f (x0 − h) − 2f (x0 )
= f 00 (x0 ).
h→0
h2
lim
(Hinweis: Benutzen Sie den Satz von Taylor.)
3. (Bernoulli Ungleichung)
(i) Für alle r mit r ≥ 1 und alle x mit −1 ≤ x gilt
1 + rx ≤ (1 + x)r
(ii) Für alle r mit 0 < r < 1 und alle x ≥ −1 gilt
(1 + x)r ≤ 1 + rx
Zeigen Sie dies mit Hilfe der Ableitungen der Funktionen.
4. Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit Hilfe der Formel von L’Hôpital.
(i) Es seien 0 < b < a.
eax − ebx
lim ex
x→0 a − bex
(ii)
e2x − 1
lim
x→0
x
(iii)
1
lim (e3x − 5x) x
x→0
1
Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich
viele von ihnen als falsch.
Bertrand Russel
Abgabe: Donnerstag, 23.4.2015, um 14:00
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5. Es seien y > 0 und x ∈ R. Dann gibt es eindeutige Zahlen k ∈ Z und r ∈ R mit
0 ≤ r < y und
x = k · y + r.
Wir definieren
hxiy = x mod y = r.
Es sei y eine irrationale Zahl mit 0 < y < 1. Was ist die Menge der Häufungswerte
der Folge
{hnyi1 }n∈N ?
Existieren Limes Inferior und Limes Superior dieser Folge? Wenn ja, bestimmen Sie
Limes Inferior und Limes Superior.
(Hinweis: Zeigen Sie, dass zu jedem > 0 ein n ∈ N mit
0 < hnyi1 < existiert. Um dies zu zeigen, beweisen Sie, dass zu jedem n ∈ N ein ` ∈ N mit
h`nyi1 ≤
1
hnyi1
2
existiert.)
6. (i) Betrachten Sie die Folge {sin n}n∈N . Welche Zahlen sind die Häufungswerte
dieser Folge? Besitzt diese Folge Limes Inferior und Limes Superior? Wenn ja,
welche Zahlen sind Limes Inferior und Limes Superior?
(ii) Betrachten Sie die Folge {cos n}n∈N . Welche Zahlen sind die Häufungswerte
dieser Folge? Besitzt diese Folge Limes Inferior und Limes Superior? Wenn ja,
welche Zahlen sind Limes Inferior und Limes Superior?
(iii) Betrachten Sie die Folge {tan n}n∈N . Welche Zahlen sind die Häufungswerte
dieser Folge? Besitzt diese Folge Limes Inferior und Limes Superior? Wenn ja,
welche Zahlen sind Limes Inferior und Limes Superior?
(Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 5.)
7. Es sei (M, d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie:
(i) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.
(ii) Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
8. Es sei (M, d) ein metrischer Raum. Dann gibt es zu allen Punkten x, y ∈ M mit
x 6= y zwei Umgebungen U (x) und U (y) mit U (x) ∩ U (y) = ∅.
3
Wahrlich es ist nicht das Wissen, sondern das Lernen, nicht das Besitzen sondern das Erwerben, nicht das Da-Seyn, sondern das Hinkommen, was den größten
Genuss gewährt.
Brief von Gauß an Bolayi, Göttingen 2.9.1808
In: Paul Stäckel, Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauss und Wolfgang Bolayi, B.G. Teubner, Leipzig 1899, S. 94.
Abgabe: Donnerstag, 30.4.2015, um 14:00
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9. Die reellen Zahlen R seien mit der diskreten Metrik ausgestattet. Welches sind
die offenen Mengen, abgeschlossenen Mengen und kompakten Mengen? Welches
sind die konvergenten Folgen?
10. Es sei (M, d) ein metrischer Raum.
(i) Der Grenzwert einer konvergenten Folge in M ist eindeutig.
(ii) Eine konvergente Folge in M ist eine Cauchy Folge.
(iii) Es sei {xn }n∈N eine Cauchy Folge in M . Die Folge {xn }n∈N besitze eine Teilfolge,
die konvergiert. Dann konvergiert auch die Cauchy Folge und sie konvergiert gegen
denselben Grenzwert.
11. Es sei K eine total beschränkte Teilmenge eines metrischen Raumes. Dann gibt
es zu jedem > 0 ein n ∈ N und x1 , . . . , xn ∈ K mit
K⊆
n
[
B(xi , ).
i=1
12. Die reellen Zahlen R seien mit den Metriken d1 und d2 ausgestattet, die für alle
s, t ∈ R durch d1 (s, t) = |s − t| und
s
t −
d2 (s, t) = 1 + |s| 1 + |t| definiert sind. Zeigen Sie, dass d2 eine Metrik ist. Zeigen Sie, dass die offenen
Mengen in (R, d1 ) und (R, d2 ) dieselben sind. Zeigen Sie weiter, dass (R, d2 ) nicht
vollständig ist.
5
Ob ich die Mathematik auf ein Paar Dreckklumpen anwende, die wir Planeten
nennen, oder auf rein arithmetische Probleme, es bleibt sich gleich, die letztern haben
nur noch einen höhern Reiz für mich.
Carl Friedrich Gauß
In: Wolfgang Sartorius von Waltershausen, Gauss zum Gedächtnis, Leipzig 1856,
S. 101.
Die 2-Fach-Bachelor Studenten brauchen die Aufgabe 12 nicht zu bearbeiten.
Abgabe: Donnerstag, 7.5.2015, um 14:00
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13. Es seien (X, dX ) und (Y, dY ) zwei metrische Räume. Zeigen Sie, dass eine
Funktion f : X → Y genau dann in einem Punkt x0 ∈ X stetig ist, falls für alle
Folgen {xn }n∈N mit limn→∞ xn = x0
lim f (xn ) = f (x0 )
n→∞
gilt.
14. (i) Es sei (X, d) ein metrischer Raum und x0 ∈ X. Es seien f, g : X → R
Funktionen, die in x0 stetig sind. Zeigen Sie, dass dann auch f + g und f · g in x0
stetig sind.
(ii) Es seien (X, dX ), (Y, dY ) und (Z, dZ ) metrische Räume. Die Funktion f : X → Y
sei in x0 stetig und g : Y → Z sei in f (x0 ) stetig. Zeigen Sie, dass dann g ◦ f in x0
stetig ist.
15. Zeigen Sie, dass die Reihe
∞
X
n=1
x2
(1 + x2 )n
punktweise konvergiert auf R und für alle a > 0 auf den Intervallen (−∞, −a] und
[a, ∞) gleichmäßig. Die Reihe konvergiert nicht gleichmäßig auf R.
16. Es seien für alle n ∈ N die Funktionen fn : R → R durch fn (x) = cos(n·x)
n
definiert.
(i) Konvergiert die Folge {fn }n∈N punktweise oder gleichmäßig? Falls sie konvergiert,
gegen welche Grenzfunktion konvergiert sie?
(ii) Existieren für alle n ∈ N die Ableitungen fn0 ? Falls die Ableitungen existieren,
konvergiert die Folge {fn0 }n∈N punktweise oder gleichmäßig? Falls die Folge konvergiert, welches ist die Grenzfunktion?
7
Zu Eulers Zeiten war die Beweisführung noch nicht durchformalisiert. So hat
Euler bewiesen
∞
X
1 Y 1
=
,
n p∈P 1 − p1
n=1
wobei das Produkt über alle Primzahlen P genommen wird. Man fragt sich, was
diese Gleichung bedeuten soll, da auf beiden Seiten ∞ steht. Dies wurde später von
Kronecker geklärt, der zeigte, dass für alle s > 1 gilt
∞
X
Y 1
1
.
=
ns p∈P 1 − p1s
n=1
Nun stehen auf beiden Seiten der Gleichung endliche Zahlen.
Abgabe: Freitag, 15.5.2015, um 10:00
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17. Es sei (X, d) ein metrischer Raum. Dann bezeichnen wir die Menge der Cauchy
Folgen in (X, d) mit
CFX = {x = {x(n)}n∈N |{x(n)}n∈N ist Cauchy Folge in X}.
Wir führen auf CFX eine Äquivalenzrelation ein. Wir sagen, dass
{x(n)}n∈N ∼ {y(n)}n∈N
gilt, falls
lim d(x(n), y(n)) = 0.
n→∞
Die Menge aller Äquivalenzklassen von CFX bezüglich der Äquivalenzrelation ∼
bezeichnen wir mit CF X . Wir definieren die Metrik dCF : CF X × CF X → [0, ∞)
durch
dCF ([{x(n)}n∈N ], [{y(n)}n∈N ]) = lim d(x(n), y(n)).
n→∞
(i) Zeigen Sie, dass die Relation ∼ auf CFX eine Äquivalenzrelation ist.
(ii) Zeigen Sie, dass dCF wohldefiniert ist und auf CF X eine Metrik ist.
18. (i) Der Rn sei mit der Euklidischen Norm ausgestattet und r ≥ 0. Die
abgeschlossene Kugel B2n (0, r) mit Radius r und ihr Rand ∂B2n (0, r) sind kompakt.
(ii) Eine Teilmenge des Rn mit der Euklidischen Norm ist genau dann beschränkt,
wenn sie total beschränkt ist.
(iii) Zeigen Sie, dass die offenen, abgeschlossenen und kompakten Mengen des Rn
für alle Normen gleich sind.
19. Beweisen oder widerlegen Sie: Die Funktion f : [0, 1] → R mit f (x) = x2
ist Riemann-integrierbar. Verwenden Sie hierbei nur die Definition der RiemannIntegrierbarkeit.
Stefan Banach wurde am 30. März 1892 in Krakau geboren, er starb am 31. August 1945 in Lemberg. Er war einer der wichtigsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts. Er bestimmte die Entwicklung der Funktionalanalysis. Er traf sich mit Kollegen im Schottischen Café in Lemberg, wo sie gemeinsam arbeiteten. Wichtige Sätze
der Funktionalanalysis wie der Satz von Hahn-Banach und der Satz von BanachSteinhaus gehen auf ihn zurück. Besonders bemerkenswert ist das Paradoxon von
9
Banach-Tarski: Man kann die Euklidische Kugel mit Radius 1 in endlich viele Teile
zerlegen, die man wiederum zu zwei Kugeln mit Radius 1 zusammensetzen kann.
Man kann also mühelos ein Volumen verdoppeln!
Abgabe: Donnerstag, 21.5.2015, um 14:00
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20. Es seien a, b, c, d ∈ R mit a 6= 0 und z ∈ C. Die Funktion f : C → C mit
f (z) = az 3 + bz 2 + cz + d
(1)
ist ein Polynom 3. Grades. Die Diskriminante des Polynoms f ist
∆ = 18abcd − 4b3 d + b2 c2 − 4ac3 − 27a2 d2 .
b
(i) Zeigen Sie, dass die Division durch a und die Substitution z = w− 3a
das Polynom
f in das Polynom
w3 + pw + q
(2)
überführt, wobei
c
b2
p= − 2
a 3a
2
q=
27
3
b
1 bc d
+ .
−
a
3 a2 a
(ii) Zeigen Sie, dass für die Diskriminanten ∆z und ∆w der Polynome (1) und (2)
die Gleichung ∆z = a4 ∆w gilt.
21. Es seien a, b, c, d ∈ R mit a 6= 0 und z ∈ C. Die Funktion f : C → C mit
f (z) = az 3 + bz 2 + cz + d
(3)
ist ein Polynom dritten Grades mit z als Variablen. ∆z bezeichnet die Diskriminante
des Polynoms (3). Zeigen Sie:
(i) Falls ∆z > 0, dann besitzt das Polynom drei verschiedene, reelle Nullstellen.
(ii) Falls ∆z = 0, dann sind alle Nullstellen reell.
Falls ∆z = 0 und b2 − 3ac = 0, dann gibt es eine dreifache, reelle Nullstelle
z1 = z2 = z3 = −
b
.
3a
Falls ∆z = 0 und b2 − 3ac 6= 0, dann gibt es eine einfache, reelle Nullstelle und eine
zweifache, reelle Nullstelle
z1 = z2 =
9ad − bc
2(b2 − 3ac)
z3 =
4abc − 9a2 d − b3
.
a(b2 − 3ac)
(Benutzen Sie Aufgabe 20. Überlegen Sie sich, dass das Polynom genau dann
drei verschiedene, reelle Nullstellen besitzt, wenn die Werte des Polynoms in den
kritischen Punkten verschiedene Vorzeichen haben.)
11
22. Ist die Funktion f : [−1, 1] → R mit
0 −1 ≤ x ≤ 0
f (x) =
1 0<x≤1
Riemann-integrierbar? Beweisen oder widerlegen Sie dies. Verwenden Sie nur die
Definition der Integrierbarkeit.
23. Es seien f, g : [a, b] → R integrierbare Funktionen und c ∈ R. Beweisen Sie:
(i) f + g ist integrierbar und
Z
b
Z
b
f + gdx =
a
Z
f dx +
a
b
gdx
a
(ii) f g ist integrierbar.
(iii) cf ist integrierbar und
Z
b
Z
cf dx = c
a
b
f dx
a
Gerolamo Cardano wurde am 24. September 1501 in Pavia geboren und er starb
am 21 September 1576 in Rom. Er war Arzt, Philosoph und Mathematiker. Er
erhielt Angebote von Papst Paul III., von König Christian III. von Dänemark und
vom schottischen Erzbischof John Hamilton für die Stellung eines Leibarztes. Er
lehnte die Angebote ab.
Er gilt als einer der letzten Universalgelehrten der Renaissance.
Die Kardanwelle ist nach ihm benannt, weil er 1548 eine solche Welle für eine
Kutsche von Kaiser Karl V. entwarf.
Cardano hat auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik
gearbeitet.
Der Mathematiker Tartaglia kannte die Lösung von kubischen Gleichungen ohne
den quadratischen Term. Cardano überredete Tartaglia, ihm die Lösung zu verraten. Er musste aber schwören, dass er niemandem die Lösung verraten werde.
Später erfuhr er, dass del Ferro die Lösung bereits kannte und er veröffentlichte die
Lösung in seinem Buch Ars magna sive de regulis algebraicis. Tartaglia bezichtete
ihn daraufhin des Meineids.
Abgabe: Donnerstag, 4.6.2015, um 14:00
12
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24. Es sei f : [a, b] → R integrierbar und c ∈ [a, b]. Zeigen Sie, dass
Z b
Z c
Z b
f (x)dx.
f (x)dx +
f (x)dx =
a
c
a
25. Falls eine Funktion f : I → R eine Stammfunktion besitzt, so bezeichnen wir
die Menge {F | F ist Stammfunktion von f } mit
Z
f (x)dx
und nennen dies das unbestimmte Integral von f . Berechnen Sie die unbestimmten
Integrale:
Z
Z
Z
ln x
x2
x
2 x
(i)
xe dx
(ii)
(e + x) (e + 1)dx
(iii)
dx
x
Z
Z
Z √
√
1
2
√
(iv)
(vi)
x x + 1dx
dx
(v)
2x x + 9dx
3x + 5
Z
Z
Z
1
2
(viii)
x(ln x) dx
(ix)
x3 ex dx
(vii)
1 dx
3
1+x
(Hinweis: Begründen Sie bei (i) und (viii) genau alle Ihre Schritte. Bei den übrigen
Integralen führen Sie nur die Rechnungen mit den notwendigen Hinweisen durch.)
26. Es sei f : [a, b] → R eine Riemann integrierbare Funktion und g : [a, b] → R
eine Funktion, die in allen mit Ausnahme von endlich vielen Punkten gleich der
Funktion f ist. Zeigen Sie, dass g Riemann integrierbar ist und das Integral von g
gleich dem von f ist.
27. (i) Berechnen Sie den Flächeninhalt, der von den beiden Funktionen f (x) = x
und g(x) = 6 − x2 eingeschlossen wird.
(ii) Berechnen Sie den Flächeninhalt, der von den beiden Funktionen f (x) = x2 und
g(x) = 12 − 2x2 eingeschlossen wird.
Aus der Autobiografie von Girolamo Cardano:
13
Nachdem, wie man mir erzählt, vergebens Abtreibungsmittel angewandt worden
waren, kam ich zur Welt im Jahre 1501,am 24. September...... Meine Gestalt ist
mittelgroß. Meine Füße sind klein, vorn an den Zehen breit und haben einen etwas
hochgewölbten Rücken, sodass ich mir nur mit Mühe passende Schuhe finde.....
Meine Brust ist etwas eng. Die Arme sind viel zu dünn, die rechte Hand zu plump
und ihre Finger unförmig,..... Ich hatte die Gepflogenheit - worüber manche Leute
sich wunderten -, dass ich, sobald ich keine Schmerzen hatte, mir solche selbst zu
bereiten suchte,...... Von Natur fürchte ich erhöhte Orte, und seien sie auch noch so
breit, desgleichen solche Plätze, wo mir ein wütender Hund begegnen könnte.... Ich
pflege zehn Stunden im Bett zuzubringen, und von diesen ....acht....zu schlafen
Die 2-Fach-Bachelor Studenten brauchen die Aufgabe 26 nicht zu bearbeiten.
Abgabe: Donnerstag, 11.6.2015, um 14:00
14
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28. Berechnen Sie die folgenden Integrale mittels Substitution oder partieller Integration.
Z 2
Z 6 √
Z 5
x
5
2
3
(i)
(2x+1) dx
(ii)
x x + 9dx
(iii)
dx
2 2
1
3
3 (30 − x )
√
Z 8
Z 4
√
(1 + x)4
√
dx
(v)
t 1 + tdt
(iv)
x
1
0
29. Berechnen Sie das unbestimmte Integral
Z
Zr
1+x
dx
(ii)
sin2 xdx
(i)
1−x
Z
Z
4
(iv)
sin xdx
(v)
cos3 x
Z
(iii)
Z
(vi)
cos2 xdx
cos3 x sin2 xdx
30. (i) Zeigen Sie, dass die Funktion f : [0, ∞) → R mit f (x) = sinx x uneigentlich
Riemann integrierbar ist.
Hinweis: Zeigen Sie, dass es eine Konstante c > 0 gibt, so dass für alle n ∈ N
(2n+2)π
Z
2nπ
sin x
c
dx ≤ 2
x
n
gilt.
(ii) Zeigen Sie, dass die Funktion f : [0, ∞) → R mit f (x) = | sinx x| nicht uneigentlich
Riemann integrierbar ist.
Hinweis: Zeigen Sie, dass es eine Konstante c > 0 gibt, so dass für alle n ∈ N
Z
(2n+1)π
2nπ
c
sin x
dx ≥
x
n
gilt.
31. Gibt es eine Folge fn : [0, 1] → R, n ∈ N, von Riemann integrierbaren Funktionen, die punktweise gegen eine beschränkte, nicht Riemann integrierbare Funktion
konvergiert?
15
1996 reichte der Physiker Alan Sokal bei der sehr angesehenen, sozialwissenschaftlichen
Zeitschrift Social Text seine Arbeit Transgressing the Boundaries: Towards a Transformative Hermeneutics of Quantum Gravity ein. Die Arbeit ist eine unerträgliche
Ansammlung von Fakten und Zitaten, die zu absurden Schlüssen kommt. So wird
behauptet, dass die Zahl π keine Konstante ist. Die Arbeit wurde angenommen.
Alan Sokals Ziel war es, damit nachzuweisen, dass die wissenschaftlichen Standards
dieses Gebietes niedrig sind.
Abgabe: Donnerstag, 18.6.2015, um 14:00
16
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SS 2015
32. Es sei f : R2 → R durch
(
f (x, y) =
0
x2 y
x2 +y 2
x=y=0
sonst
gegeben. Wo ist f stetig und wo differenzierbar? In welchen Punkten existieren alle
Richtungsableitungen? In welchen Punkten existieren alle partiellen Ableitungen?
33. Es sei U eine offene Teilmenge des Rn , x0 ∈ U und f, g : U → R seien
differenzierbar in x0 .
(i) Zeigen Sie, dass f + g in x0 differenzierbar ist. Was ist das Differential von f + g
in x0 ?
(ii) Zeigen Sie, dass f · g in x0 differenzierbar ist. Was ist das Differential von f · g
in x0 ?
34. (i) Es sei f : R × R × (R \ {0}) → R durch
x · y f (x, y, z) = sin
z
Wo ist f differenzierbar? Berechnen Sie die Ableitung von f in den Punkten, in
denen f differenzierbar ist, und berechnen Sie ∂f
(1, 2, 3).
∂z
(ii) Es sei f : R3 \ {(0, 0, 0)} → R durch
1
f (x, y, z) = p
x2 + y 2 + z 2
definiert. Wo ist f differenzierbar? Berechnen Sie die Ableitung von f in den
Punkten, in denen f differenzierbar ist.
35. Es sei f : R2 → R durch
(
f (x, y) =
0
y3
x2 +y 2
x=y=0
sonst
Wo ist f stetig und wo differenzierbar? In welchen Punkten existieren alle Richtungsableitungen? In welchen Punkten existieren alle partiellen Ableitungen?
Abgabe: Donnerstag, 25.6.2015, um 14:00
17
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SS 2015
36. (i) Es sei f : Rn → R durch
v
uX
u n
f (x) = kxk2 = t
|xj |2
j=1
gegeben. Wo ist f differenzierbar?
(ii) Es sei g : Rn → R durch
g(x) = kxk1 =
n
X
|xj |
j=1
gegeben. Wo ist g differenzierbar?
37. (i) Es seien f : R2 → R und g : R → R2 durch
f (x, y) = x2 y
g(t) = (t2 , t3 )
gegeben. Berechnen Sie für alle t0 ∈ R
d(f ◦ g)
(t0 )
dt
und
dg
df
(g(t0 )) ◦ (t0 )
d(x, y)
dt
(ii) Es seien f : R2 → R und g : R × {R \ {0}} → R2 durch
u
f (x, y) = ex·y
g(u, v) = 2u + v,
v
gegeben. Berechnen Sie für alle (u0 , v0 ) ∈ R × {R \ {0}}
d(f ◦ g)
(u0 , v0 )
d(u, v)
und
df
dg
(g(u0 , v0 )) ◦
(u0 , v0 )
d(x, y)
d(u, v)
38. Es sei f : R3 → R3 durch


r cos φ1
f (r, φ1 , φ2 ) =  r sin φ1 cos φ2 
r sin φ1 sin φ2
18
gegeben. Berechnen Sie die Funktionalmatrix von f und entscheiden Sie, in welchen
Punkten die Funktionalmatrix invertierbar ist.
(Hinweis: Berechnen Sie die Determinante der Funktionalmatrix.)
Felix Hausdorff wurde am 8. November 1868 in Breslau geboren. Er arbeitete
auf den Gebieten der Topologie, Mengenlehre, Maßtheorie und Funktionalanalysis.
Er lehrte in Leipzig, Greifswald und Bonn.
Unter dem Pseudonym Paul Mongré veröffentlichte er ein Gedichtband, ein Theaterstück und literarische Schriften.
Mitte 1941 wurden die Bonner Juden nach Bonn-Endenich deportiert. Wie aus
Hausdorffs Abschiedsbrief hervorgeht, glaubte er nicht, dass sie in Bonn-Endenich
würden bleiben können. Hausdorff, seine Frau und deren Schwester begingen gemeinsam mit Veronal Selbstmord. Hier ein Auszug aus dem Abschiedsbrief von Hausdorff:
Lieber Freund Wollstein!
Wenn Sie diese Zeilen erhalten, haben wir drei das Problem auf andere Weise
gelöst - auf die Weise, von der Sie uns beständig abzubringen versucht haben. Das
Gefühl der Geborgenheit, das Sie uns vorausgesagt haben, wenn wir erst einmal die
Schwierigkeiten des Umzugs überwunden hätten, will sich durchaus nicht einstellen,
im Gegenteil:
Auch Endenich
Ist noch vielleicht das Ende nich!
Was in den letzten Monaten gegen die Juden geschehen ist, erweckt begründete
Angst, dass man uns einen für uns erträglichen Zustand nicht mehr erleben lassen
wird.
..
.
Verzeihen Sie, dass wir Ihnen über den Tod hinaus noch Mühe verursachen; ich bin
überzeugt, dass Sie tun, was Sie tun können (und was vielleicht nicht sehr viel ist).
Verzeihen Sie uns auch unsere Desertion! Wir wünschen Ihnen und allen unseren
Freunden, noch bessere Zeiten zu erleben.
Ihr treu ergebener
Felix Hausdorff
Abgabe: Donnerstag, 2.7.2015, um 14:00
19
Hinweise für die Bearbeitung der Analysis II
Klausuren
July 7, 2015
1
Äußere Form
Im Gegensatz zur Übung wird bei den Klausuraufgaben nicht verlangt, dass der
Aufgabentext in die Form Voraussetzung: ..., Behauptung: ..., Beweis: ... gebracht
wird. Man kann also immer gleich mit der Bearbeitung der Aufgabe anfangen.
Grundsätzlich darf man völlig frei alle Sätze und Aussagen aus Vorlesung und
Übung verwenden, sofern der Aufgabentext nicht explizit etwas anderes verlangt, wie
zum Beispiel: Rechnen Sie die Integrierbarkeit folgender Funktion nur anhand der
Definition nach.Wenn die Klausuraufgabe gerade darin besteht, eine Übungsaufgabe
oder einen Satz aus der Vorlesung noch einmal zu zeigen, ist die schlichte Feststellung
Das ist nach Übung/Vorlesung wahr.selbstverständlich nicht ausreichend.
2
Nachrechnen von Stetigkeit/Differenzierbarkeit
Wenn Stetigkeit oder (1-mal, 2-mal, usw. stetige) Differenzierbarkeit von Funktionen f : [a, b] → R benötigt wird, muss dies nicht weiter nachgerechnnet werden,
wenn f durch Linearkombination, Produkt- und Quotientenbildung sowie Hintereinanderausführung folgender elementarer Funktionen dargestellt werden kann:
Polynome; xα für α ∈ R>0 ; Exponentialfunktionen sowie Logarithmusfunktionen; die trigonemetrischen Funktionen zusammen mit ihren Umkehrfunktionen; die
hyperbolischen Funktionen zusammen mit ihren Umkehrfunktionen
Da die Definition der Richtungsableitung (oder spezieller partielle Ableitung)
anhand der 1-dim. Differezierbarkeit definiert wird, braucht es für die Existenz der
Richtungsableitungen ebenfalls keine weitere Begründung, wenn die Funktion wie
oben beschrieben zusammengesetzt ist.
In folgender Aufgabe reicht es also, nur die Stetigkeit zu erwhnen: Aufgabe:
2
Zeigen Sie, dass f : [1, 9] → R, f (x) = π cosh(3x +4x+1) Riemann-integrierbar ist.
Beweis: f ist stetig und somit nach Vorlesung Riemann-integrierbar. 2 Bei
folgendem Beispiel muss indes die Stetigkeit noch gezeigt werden: Aufgabe: Zeigen
20
Sie, dass f : [−1, 1] → R,
(
f (x) =
sin(x)
,
x
falls x 6= 0
1, falls x = 0
Riemann-integrierbar ist.
Beweis: Nach Vorlesung ist f Riemann-integrierbar, wenn f stetig ist. f ist
wegen ... existiert
stetig, weil f |(0,1] und f |[−1,0) stetig ist und der Grenzwert lim sin(x)
x→0 x
und gleich 1 ist und somit f in 0 folgenstetig ist.
2
Falls ein Sachverhalt aus der Vorlesung/Übung bekannt ist, darf er natürlich
gerne verwendet werden, man muss es aber dazuschreiben:
Beweis: Nach Vorlesung ist f Riemann-integrierbar, wenn f stetig ist. f ist nach
einem Beispiel aus der Vorlesung stetig.
Für Funktionen auf hherdimensionalen Gebieten muss stets ein Argument für
Stetigkeit und totale Differenzierbarkeit folgen.
3
Bearbeitung von Integralaufgaben
Bei Aufgaben zur Integralberechnung ist zweischrittig zu verfahren:
3.1
Existenz des Integrals
Zunächst wird (möglichst kurz) begründet, warum das Integral existiert, also zum
Beispiel
R2
Das Integral x2 dx existiert, weil...
0
der Integrand stetig ist oder weil der Integrand monoton steigend ist oder weil
der Integrand beschränkt ist und wir zu jedem ε > 0 Partitionen wie folgt haben,
sodass ... oder was immer sonst noch in den Kontext passt ...
3.2
Berechnung des Integrals
Rb
Rb
Rb
Elementare Integralumformungen wie a αf (x) + g(x)dx = α a f (x)dx + a g(x)dx,
müssen nicht weiter dokumentiert werden.
Substitution und partielle Integration müssen immer dokumentiert sein. Ausreichend ist folgende Art und Weise:
Zur Substitution:
Z3
1
exp(−x )xdx = −
2
2
Z3
exp(−x2 )(−2x)dx
2
2
2
Subst. mit y = −x und dy = −2xdx
Z−9
... = exp(y)dy = ...
−4
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Die Substitutionsfunktion ist stets zusammen mit ihrer Ableitung anzugeben. Ein
Aufschrieb wie in dem Beispiel ist ausreichend. Weitere Argumente, warum die so
durchgeführte Substitution korrekt ist, werden für die Bearbeitung nicht gefordert
Zur partiellen Integration:
Z4
cos(x)x2 dx
0
p.I. mit u = sin(x), u0 = cos(x) und v = x2 , v 0 = 2x
... = [sin(x)x2 ]40 − 2
Z4
sin(x)xdx
0
Mit u0 und v sind für eine vollständige Bearbeitung auch u und v 0 angeben. Ein
Aufschrieb wie in dem Beispiel ist ausreichend. Weitere Argumente, warum die
so durchgeführte partielle Integration korrekt ist, werden für die Bearbeitung nicht
gefordert.
3.3
Angabe von Endergebnissen
Bitte keine gerundeten Endergebnisse! Ansonsten gilt wie immer bei konkreten
Berechnungen: Ergebnis so weit vereinfachen wie möglich, also zum Beispiel: Brüche
weitesgehend kürzen, Funktionswerte wie sin(0), cos( π4 ), ln(e1/4 ) weiter auswerten,
Wurzeln aus Quadratzahlen ziehen, ...
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