Elementary Number Theory

Elementary Number Theory
Dr. Michael Woodbury
Inhaltsverzeichnis
1.
2.
3.
4.
5.
6.
11
14
18
21
25
28
April
April
April
April
April
April
2
2
4
5
7
8
1
2
Diese Notizen befinden sich die Definitionen und Sätze des Kurses: „Elementary
Number Theory” des Sommersemesters an der Universität zu Köln. Hier findet man
normalerweise keine Beweisen, aber manchmal die Idee dazu. Man kann die Beweisen aus fast jedem Zahlentheoriebuch finden, aber wäre es besser, wenn man ohne
Hilfe zu beweisen versuchen würde. Auf jeden fall, wir besprechen alles während der
Vorlesungen.
1. 11 April
Man versucht in der Zahlentheorie Fragen über die natürlichen Zahlen N =
{1, 2, . . .} zu beantworten. Dabei sind die ganzen Zahlen Z, der Körper Q, und
oftmals andere Ringen und Körper hilfreich.
Zwei Fragen von Zahlentheorie:
• Welche n ∈ N können als Summe von zwei Quadrate geschrieben werden?
(Einfacher: für welche Primzahlen p kann man a, b ∈ Z finden, damit p =
a2 + b2 ist?)
• Kann man jeden PPT1 (a, b, c) ausschreiben?2 Definition: (a, b, c) ∈ N3 ist
eine PPT, falls a2 + b2 = c2 und ggT(a, b, c) = 1.
2. 14 April
Bekanntes
• Z ist mit gewöhnlicher Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring
mit Eins 1.
Zur Erinnerung
Ein Ring R ist eine nichtleere Menge mit zwei binären Operationen + und
·, so dass gilt
(i) (R, +) abelsche Gruppe
∗ abg. bzgl. Addition
∗ Assoziativitätsgesetz
∗ Einheit 0
∗ Inverses
∗ abelsch a + b = b + a
∀a, b ∈ R
(ii) Assoziativitätsgesetz für Multiplikation
(iii) Distributivgesetz
(a + b)c = ac + bc
kommutativer Ring:
ab = ba
1auf
∀a, b ∈ R
Englisch: PPT=primitive Pythagorean triple.
haben (3, 4, 5) und (5, 12, 13), die PPTs sind. Gibt es andere? Wie viele?
2Wir
3
Ring mit Eins 1:
1·a=a=a·1
∀a ∈ R
• Z ist Integritätsring
a, b ∈ Z
ab = 0 ⇒ a = 0 oder b = 0
(wenn dies nicht gelten würde, hießen a, b Nullteiler.)
• Wohlordnungsprinzip (N pos. ganze Zahlen)
Es sei A ⊂ N, A 6= ∅
Dann gibt es ein kleinstes Element in A, d.h. ∃a ∈ A, so dass a ≤ x ∀x ∈ A.
Satz 2.1 (Divisionsalgorithmus). Für a ∈ N, b ∈ Z existieren eindeutig bestimmte
q, r ∈ Z mit b = qa + r und 0 ≤ r < a.
Idee vom Beweis: Die Menge A = {b − qa | q ∈ Z, b − qa ≥ 0} ist nicht leer. Sei
r ∈ A das kleinstes element.
Definition. Es sei R ein kommutativer Ring, a, b ∈ R.
a heißt ein Teiler von b (b ist durch a teilbar, b ist ein Vielfaches von a), wenn es
ein q ∈ R gibt mit b = qa.
Zeichen:
a|b ↔ a - b
Bemerkung. Falls R ein Integritätsring ist, a 6= 0, a|b, so gibt es genau ein q ∈ R, so
dass b = qa.
Satz 2.2. Es sei R ein kommutativer Ring mit Eins 1, a, b, c, d, u, v ∈ R. Dann gilt:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
1 | a, a | a, a | 0.
Aus a | b und b | c folgt a | c.
Aus d | a und d | b folgt d | (ua + vb).
Aus a | b folgt a | bc und ac | bc.
Aus 0 | a folgt a = 0.
Sei R nun ein Integritätsring. Dann gilt:
(6) Aus av | bv und v 6= 0 folgt a | b.
In R = Z gilt:
(7) Die einzigen Teiler von 1 sind ±1.
(8) Wenn a | b und b | a, dann gilt a = ±b.
(9) Wenn a | b und b 6= 0, dann |a| ≤ |b|.
Beweis: z.B. (6)
bv = qav ⇒ (b − qa)v = 0 ⇒ b − qa = 0 ⇒ b = qa ⇒ a | b.
4
Definition. Jede natürliche Zahl n hat die Teiler 1 und n. Falls p > 1 nur die
Teiler 1 und p hat, so heißt p eine Primzahl.
(1 wird nicht als Primzahl angesehen. → Probleme z.B. bei eindeutiger Primzahlzerlegung, die wir später zeigen.)
Satz 2.3. Jede natürliche Zahl n > 1 kann als Produkt von endlich vielen Primzahlen dargestellt werden.
Beweis: Induktiv. n = 2 ist eine Primzahl. Sei n > 2 und jede Zahl m ∈ N mit
2 ≤ m < n sei Produkt endlich vieler Primzahlen. Falls n eine Primzahl ist, sind
wir fertig. Sonst hat n einen Teiler m1 mit 2 ≤ m1 < n, n = m1 m2 , 2 ≤ m2 <
n. Nach Induktionsvorraussetzung sind sowohl m1 und m2 Produkte endlich vieler
Primzahlen, also auch n = m1 m2 .
Satz 2.4. Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis (Euklid): Seien p1 , . . . , pr Primzahlen. Dann ist N = p1 · · · pr + 1 ist durch
keine der Zahlen p1 , . . . , pr teilbar. Nach Satz 2.3 besitzt N einen Primteiler, der
von p1 , . . . , pr verschieden ist.
Definition. Es sei R ein kommutativer Ring mit 1, a1 , . . . , am ∈ R. Ein Element
d ∈ R heißt ein gemeinsamer Teiler von a1 , . . . , am falls d | ak , 1 ≤ k ≤ m. Gilt
außerdem für jeden weiteren Teiler δ von a1 , . . . , ar , dass δ | d, so heißt d ein
größter gemeinsamer Teiler von a1 , . . . , am . Man schreibt d = ggT(a1 , . . . , am ).
Ist 1 ein größter gemeinsamer Teiler von a1 , . . . , am , so heißen a1 , . . . , am teilerfremd.
Man nennt a1 , . . . , am paarweise teilerfremd falls
ggT(aj , ak ) = 1
j, k ∈ {1, . . . , m} , j 6= k.
Ein t ∈ R heißt gemeinsames Vielfaches von a1 , . . . , am falls ak | t für 1 ≤ k ≤ m.
Falls außerdem für jedes gemeinsame Vielfache s von a1 , . . . , am auch t | s gilt,
so heißt t ein kleinstes gemeinsames Vielfaches von a1 , . . . , am . Man schreibt t =
kgV(a1 , . . . , am ).
3. 18 April
Es sei R ein Ring mit 1. Ein element u ∈ R heißt eine Einheit falls es v ∈ R
gibt, damit uv = 1 gilt. Die Menge aller Einheiten heißt die Einheitengruppe. Man
schriebt
R× = {u ∈ R | u ist ein Einheit}.
Ein Körper ist ein kommutativ Ring K mit K × = K \ {0}.
Beispiele von Ringen:
• Z: die einzigen Einheiten sind ±1.
• Die Gaußchen Zahlen: Z[i] = {a + ib | a, b ∈ Z} mit Z[i]× = {±1, ±i}.
5
• Falls R ein Ring ist und n ∈ N,


 a11

Mn (R) :=  ...


an1
dann ist


· · · a1n 


..
 aij ∈ R .
.


· · · ann ein Ring.
• Falls R ein Ring ist, dann ist
R[x] := {a0 + a1 x + · · · an xn | n ∈ N0 , aj ∈ R}
ein Ring. Wir nehnen R[x] Ring der Polynome in einer Variablen über R.
Satz 3.1 (Euklidischer Algorithmus). Es seien a ∈ Z, b ∈ N. Dann gibt es ganze
Zahlen k ≥ 0 und r1 , . . . , rk , q1 , . . . , qk+1 mit
a
b
r1
= bq1 + r1
= r1 q2 + r2
= r2 q3 + r3
..
.
0 < r1 < b
0 < r2 < r1
0 < r3 < r2
rk−2 = rk−1 qk + rk 0 < rk < rk−1
rk−1 = rk qk+1
Es gilt: rk = ggT(a, b).
Man erhält eine Lösung x, y ∈ Z von ax + by = ggT(a, b), indem man aus der
Gleichungskette rk−1 , rk−2 , . . . , r1 eliminiert.
Idee vom Beweis: Falls g | a, b, benutzt man mehrmalig Satz 2.2 um g | rk zu
zeigen. Genauso, zeigt man dass rk | a, b.
Satz 3.2. Es seien a, b ∈ Z und a 6= 0. Dann gilt
{ax + by | x, y ∈ Z} = ggT(a, b)Z = {n ggT(a, b) | n ∈ Z}.
Satz 3.3. Es seien a, b ∈ Z, und x0 , y0 ∈ Z so dass ax0 + by0 = ggT(a, b). Dann ist
jede Lösung (x, y) ∈ Z2 der Form
ak
bk
x0 −
, y0 +
ggT(a, b)
ggT(a, b)
mit k ∈ Z.
4. 21 April
Satz 4.1. Es seien a1 , . . . , ar ∈ Z, p Primzahl. Wenn p | a1 a2 · · · ar , dann folgt a | aj
für einege 1 ≤ j ≤ r.
6
Idee vom Beweis: Für r = 1 ist die Behauptung richtig. Sei p | a1 a2 · · · ar , p - a1 .
Schreibe a = a1 und b = a2 · · · ar . Nach Satz 3.1 gibt es x, y ∈ Z, so dass ax+py = 1.
Multiplikation mit b ergibt
abx + pby = b.
Nach Satz 2.3(3) folgt p | b. Nach Induktionsvorraussetzung folgt die Behauptung.
Definition. Ein Integritätsring R heißt euklidischer Ring, falls es eine Gradfunktion
g : R \ {0} → N0 gibt, so dass in R der folgende Divisionsalgorithmus besteht:
Zu beliebigen a, b ∈ R mit b 6= 0 existieren q, r ∈ R mit a = qb + r wobei r = 0 oder
g(r) < g(b) ist.
Definition. Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Ein x ∈ R heißt irreduzibel oder
unzerlegbar, falls x 6= 0 und x 6∈ R× ist und falls jeder Teiler von x entweder Einheit
oder assoziiert zu x ist. Ein x ∈ R heißt prim oder Primelement, falls x 6= 0 und
x 6∈ R× und falls aus a, b ∈ R und x | ab stets folgt, dass x | a oder x | b.
Bemerkungen.
(1) Jedes Primelement ist irreduzibel.
(2) Nach Satz 4.1 ist in Z jedes irreduzible Element prim, dies gilt auch in einem
beliebigen euklidischen Ring.
Definition. Ist a eine ganze zu N teilerfremde Zahl, so heißt a eine prime Restklasse
oder teilerfremde Restklasse. (Wohldefiniert, da mit a auch a + rN teilerfremd zu N
ist.) Bezeichne mit ϕ(N ) die Anzahl der primen Restklassen Eulersche Phi-Funktion.
Beispiel. Es sei N = 6. Dann sind 1, 5 die primen Restklassen, also ϕ(6) = 2.
Es sei N = 12. Dann sind 1, 5, 7, 11 die primen Restklassen, also ϕ(12) = 4.
Die Menge {a1 , , . . . , ar } ⊂ Z, (ai , N ) = 1 heißt ein primes Restsystem
oder reduziertes Restsystem modulo N , wenn es zu jedem a ∈ Z mit ggT(a, N ) = 1
genau ein 1 ≤ j ≤ r gibt, so dass a ≡ aj (mod N ).
Beispiel. {1, 5, 7, 11} ist ein primes Restsystem modulo 12.
Bemerkung. Mann verwendet Restklassen um zu zeigen, dass es keine Lösungen
(x, y) ∈ Q zu x2 + y 2 = 3 gibt. Idee: eine Lösung existiert genauso wenn es (a, b, c) ∈
Z3 gibt mit ggT(a, b, c) = 1 und
a2 + b2 = 3y 2 .
Die Restklassen von Quadraten modulo 4 sind:
a (mod 4) a2
0
1
2
3
(mod 4)
0
1
0
1
7
Nach a2 + b2 ≡ 3c2 folgt a2 , b2 , c2 ≡ 0 (mod 4). Das ist troztdem ein Widerspruch,
da a, b, c gerade sein müssen, um diese Kongruenzen zu gelten.
5. 25 April
Beispiel. Restklassen werden auch bunutzt zu zeigen: Sei n ∈ N. Dann gilt 3 | n,
genauso wenn 3 die Summe der von n teilt. Dass heißt,
X
X
+j = 1N aj
3|n=
+j = 1N aj 10j (0 ≤ aj ≤ 9) ↔ 3
gilt.
Definition. Eine Gruppe (G, ?) ist eine Menge G und eine binären Operation
?:G×G→G
(man schreibt g ? h =: ?(g, h)),
so dass gilt
• (Associativitätsgesetz) a ? (b ? c) = (a ? b) ? c für alle a, b, c ∈ G.
• (Einheit) Es gibt e ∈ G, so dass gilt e ? g = g ? e = g für alle g ∈ G.
• (Inverses) Wenn g ∈ G ist, gibt es g 0 ∈ G, damit g ? g 0 = g 0 ? g = e.
Beispiel.
• Sei N ∈ Z, N > 1. Dann ist (Z/N, +) eine Gruppe mit a+b := a+b
(mod N ).
• Sei N ∈ Z, N > 1. Dann ist (Z/N, ·)× eine Gruppe mit a · b := ab (mod N ).
Satz 5.1.
(1) G sei eine endliche Gruppe, e ein neutrales Element und m ihre Ordnung.
Dann gilt: am = e für alle a ∈ G.
(2) Eulerscher Satz
Für alle N ∈ N und alle a ∈ Z mit ggT(a, N ) = 1 gilt
aϕ(N ) ≡ 1
(mod N ).
(3) Kleiner Fermatscher Satz
Ist p eine Primzahl, so gilt ap−1 ≡ 1 (mod p) für alle a ∈ Z mit p - a und es
gilt ap ≡ a (mod p) für alle a ∈ Z.
Idee vom Beweis: Sei G eine abelsche Gruppe mit n = #G und G = {g1 , · · · , gn }.
Wenn g ∈ G merkt man, dass G = {gg1 , · · · , ggn }. Dann findet man dass
(gg1 ) ? (gg2 ) ? · · · ? (ggn ) = g1 ? g2 ? · · · ? g n
gilt. Da G abelsche ist, folgt g n = e gilt.
Teile (2) und (3) folgen nach (1) mit (G, ?) = (Z/N × , ·) bzw. (G, ?) == (Z/p, ·).
Bemerkung. Satz 5.1(1) gilt für alle endlichen Gruppen. Der Beweis davon ist nicht
besonders schwer nur länger, und wir brauchen in diesem Kurs so einen allgemeinen
Satz nicht.
8
6. 28 April
Definition. Seien n > 1, b > 1 natürliche Zahlen. n heißt pseudoprim zur Basis b,
falls n nicht prim ist und bn ≡ b (mod n). Man nennt n pseudoprim, falls n pseudoprim zur Basis 2 ist.
Beispiel. Alle Pseudoprimzahlen unter 2000 sind: 341, 561, 645, 1105, 1387, 1729, 1905.
Lehmer (1950) fand die erste gerade Pseudoprimzahl: 161038.
Beeger (1951): Es gibt unendlich viele gerade Pseusoprimzahlen (wir werden dies
spÃďter zeigen).
Definition. n ∈ N heißt vollkommen, falls n gleich der Summe seiner positiven
Teiler d < n ist. Also ist n vollkommen ⇔ σ(n) = 2n, wobei
X
σ(n) =
d.
d|n
d>0
Beispiel.
6 = 1 + 2 + 3,
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
Satz 6.1.
(1) Wenn p eine Primzahl der Form p = 2N − 1 mit N ∈ N ist, dann ist n =
2N −1 p vollkommen.
(2) Wenn n eine gerade vollkommene Zahl ist, dann ist n = 2N −1 (2N − 1) mit
N ∈ N, wobei 2N − 1 prim ist.
Beispiele.
6 = (22 − 1)2,
28 = (23 − 1)22 ,
496 = 31 · 16 = (25 − 1)24 .
Fragen.
(1) Gibt es ungerade vollkommene Zahlen?
Unklar. Vermutung, dass es keine gibt.
(2) Für welche n ist 2n − 1 prim?
(Satz 6.1 führt die Suche nach geraden vollkommenen Zahlen zurück auf
Primzahlen der Form 2n − 1.)
Für a > 1, b > 1 gilt:
xab − 1 = (xa − 1) xa(b−1) + xa(b−2) + . . . + xa + 1 .
Daher ist 2ab −1 nicht prim. Für p Primzahl heißt Mp = 2p −1 eine Mersennesche Zahl.
Falls Mp prim ist, heißt Mp eine Mersennesche Primzahl.
9
Beispiel. M2 , M3 , M5 , M7 sind prim, aber M11 = 2047 = 23 · 89 ist nicht
prim.
Satz 6.2.
(1) Es sei n ∈ N mit 2n ≡ 2 (mod n). Dann ist auch 2Mn ≡ 2 (mod Mn ) für
Mn = 2n − 1.
(2) Ist p eine Primzahl, dann ist Mp prim oder pseudoprim.
(3) Ist n pseudoprim, dann ist auch Mn pseudoprim.
(4) Es gibt unendlich viele Pseudoprimzahlen (zur Basis 2).
Beweis:
(1) n = 1 folgt, da M1 = 1.
Sei nun n > 1 und 2n = 2 (mod n). Das heißt 2n = 2 + kn für ein k ∈ N.
n
Dann ist 2Mn = 22 −1 = 2 · 2kn . Also
2Mn − 2 = 2(2kn − 1) = 2(2n − 1) 2(k−1)n + 2(k−2)n + . . . + 2n + 1
= 2Mn 2(k−1)n + . . . + 2n + 1 ≡ 0 (mod Mn ).
Also gilt (1).
(2) Ist p prim, so gilt 2p ≡ 2 (mod p) (Kleiner Fermatscher Satz).
Nach (1) ist daher Mp prim oder pseudoprim.
(3) folgt nach (1) und (2). (Nicht prim nach Vorbemerkung.)
(4) 341 ist pseudoprim, eine unendliche Folge von Pseudoprimzahlen ist gegeben
durch
M341 , MM341 , MMM341 , . . . .
n
Definition. Für ganze Zahlen n ≥ 0 heißen Fn = 22 + 1 die Fermatschen Zahlen.
Bemerkung. Ist m keine Zweierpotenz, dann ist 2m + 1 nicht prim. Denn schreibe
m = vt mit v ∈ N, t ≥ 3 ungerade. Dann ist
2m + 1 = 2vt + 1 = (2v + 1) 2v(t−1) − 2v(t−2) + . . . − 2v + 1
mit Faktoren > 1.
Satz 6.3. Für jedes n ≥ 0 ist 2Fn ≡ 2 (mod Fn ) und Fn ist prim oder pseudoprim.
n
n
Beweis: Es ist Fn = 22 + 1, also 22 ≡ −1 (mod Fn ). Potenzieren ergibt
n
2a·2 ≡ (−1)a
(mod Fn ) für alle a ≥ 0.
Es ist
n +1
2Fn = 2k·2
n
n −n
mit k · 2n = 22 also k = 22
n
= 2 · 2k·2
∈ 2Z. Daher ist
n
2Fn = 2 · 2k·2 ≡ 2(−1)k ≡ 2
(mod Fn ).
10
Definition. Eine natürliche Zahl n > 1 heißt eine Carmichael-Zahl, falls n nicht
prim ist und an ≡ a (mod n) für alle a ∈ Z.
Setzt man a = −1 ein, so folgt, dass jede Carmichael-Zahl ungerade ist. Für
Carmichael-Zahlen n und alle a mit ggT(a, n) = 1 gilt an−1 ≡ 1 (mod n).
Satz 6.4. Sei n = p1 · · · pr , r ≥ 2, p1 , . . . , pr verschiedene ungerade Primzahlen.
Für jedes j = 1, . . . , r sei ϕ(pj ) = pj − 1 ein Teiler von n − 1. Dann ist n eine
Carmichael-Zahl.
Beweis: n ist nicht prim, da r ≥ 2. Für jedes j ist n − 1 = (pj − 1)kj mit kj ∈ N.
Für a ∈ Z, pj - a folgt
kj
≡ 1kj ≡ 1 (mod pj ),
an−1 = apj −1
nach dem kleinen Fermatschen Satz. Es folgt an ≡ a (mod pj ) für alle a ∈ Z und
alle j = 1, . . . , r, also an ≡ a (mod n) für alle a ∈ Z.
Bemerkung. Es gibt genau drei Carmichael-Zahlen n < 2000, nämlich
561 = 3 · 11 · 17,
1105 = 5 · 13 · 17,
1729 = 7 · 13 · 19.
Idee eines Testes für Zusammengesetztheit
Wenn für n − 1 = 2s · t, t ungerade, s ≥ 1 und ein b ∈ N die Fermat-Kongruenz
s
bn−1 ≡ b2 t ≡ 1 (mod n) erfüllt ist, dann prüfe man auch die „Quadratwurzeln“.
1
1
b 2 (n−1) , b 4 (n−1) , . . . , bt
(mod n).
Definition. Es seien n, b ∈ N, n ≥ 3 ungerade, ggT(n, b) = 1 und n − 1 = 2s t mit t
ungerade. n heißt stark pseudoprim zur Basis b, falls entweder bt ≡ 1 (mod n) oder
r
b2 t ≡ −1 (mod n) für ein r mit 0 ≤ r < s gilt.
Satz 6.5.
(1) Ist n prim und n 6= 2, dann ist n stark pseudoprim zu jeder Basis b mit
ggT(b, n) = 1.
(2) Es sei n ≥ 3 ungerade, quadratfrei und stark pseudoprim zu jeder Basis b
mit ggT(b, n) = 1. Dann ist n prim oder eine Carmichael-Zahl.
Beweis:
(1) Sei n 6= 2 prim, n − 1 = 2s t mit t ungerade. Nach dem kleinen Fermatschen
s
Satz gilt: b2 t = bn−1 ≡ 1 (mod n). Im Körper Fn hat 1 nur die beiden
Quadratwurzeln 1 und −1. Falls also bt 6≡ 1 (mod n) ist, dann ist in der
2
s−1
Folge der Restklassen von bt , b2t , b2 t , . . . , b2 t modulo n die letzte von 1
verschiedene Restklasse gleich der Restklasse von −1. Also gibt es ein r mit
11
r
0 ≤ r < s mit b2 t ≡ −1 (mod n). Also ist n stark pseudoprim zu jeder Basis
b mit ggT(b, n) = 1.
(2) Durch wiederholtes Quadrieren folgt bn−1 ≡ 1 (mod n) für alle b ∈ Z mit
ggT(b, n) = 1. Da n quadratfrei ist, folgt bn ≡ b (mod n) für alle b ∈ Z. Also
ist n prim oder eine Carmichael-Zahl.
t
z}|{
Beispiel. Es sei n = 561. Dann ist n − 1 = 24 · 35 . Da 25 ≡ −2 (mod 17) ist
235 = (25 )7 ≡ (−2)7 = −22 · 25 ≡ 8
(mod 17) ⇒ 235 6≡ ±1
(mod n).
Da
25 ≡ −1
(mod 11) ⇒ 235 ≡ −1
r ·35
(mod 11) ⇒ 22
≡1
(mod 11)
für r ∈ {1, 2, 3}. Also ist n nicht stark pseudoprim zur Basis 2.
Definition. Ist n nicht stark pseudoprim zur Basis b, dann heißt b ein Zeuge für
die Zerlegbarkeit von n.
Satz 6.6 (Satz von Rabin). Wenn n > 9 ungerade und zerlegbar ist, dann sind
mindestens 43 aller teilerfremden Reste b (mod n) Zeugen für die Zerlegbarkeit von
n.
Beweis: entfällt
Rabin-Miller-Test
Wähle ein „kleines“ k und Basen b1 , . . . , bk . Es sei ein „großes“ ungerades n vorgelegt.
Man testet, ob n stark pseudoprim zu den Basen b1 , . . . , bk ist. Falls nicht, dann
ist n zusammengesetzt. Falls doch, wird n für „wahrscheinlich prim“ erklärt. Die
Wahrscheinlichkeit, dass n fälschlicherweise für prim gehalten wird, ist nach dem
Satz von Rabin kleiner als 4−k (falls die Zeugen unabh. sind).