Ubungen zur Vorlesung Logik für Informatiker

Institut für Informatik
der Universität München
Prof. M. Hofmann
Dipl.-Inf. Hermann Gruber
SS 2008
04.06.2008
Übungen zur Vorlesung
Logik für Informatiker
Blatt 7
Aufgabe H-23: Sei L eine Sprache, Γ und ∆ Formelmengen, φ eine prädikatenlogische Formel, t ein geschlossener Term über L und c eine “frische”
Konstante, die weder in L, noch in Γ, ∆, oder ϕ vorkommt.
In der Vorlesung wurde gezeigt, dass sich durch Anwendung der Regel ∀-R auf
allgemeingültige Prämissen nur allgemeingültige Sequenzen schliessen lassen.
Beweisen Sie für die Regeln ∃-L und ∃-R in ähnlicher Weise die Korrektheit im
folgenden Sinne:
a) Wenn die Sequenz Γ, φ[c/x] =⇒L∪{c} ∆ allgemeingültig ist, so ist auch
Γ, ∃x.φ =⇒L ∆ allgemeingültig.
b) Wenn die Sequenz Γ =⇒L ∆, φ[t/x] allgemeingültig ist, so ist auch Γ =⇒L
∆, ∃x.φ allgemeingültig.
Aufgabe H-24: Bei der Einführung des Sequenzenkalküls wurde bisher nur
Quantifizierung ohne Typen erlaubt. Hier wollen wir die Regeln erweitern, so
dass auch Formeln der Form ∀x : D.φ und ∃x : D.φ gehandhabt werden können.
Hierbei ist D ein einstelliges Prädikatssymbol. Diese stehen als Kurzschreibweise
für ∀x.D(x) ⇒ φ und ∃x.D(x) ∧ φ.
Betrachten wir nun die folgenden Regeln:
typed-∃-R
Γ =⇒L ∆, φ[t/x]
Γ =⇒L ∆, D(t)
Γ =⇒L ∆, ∃x : D.φ
typed-∀-R
Γ, D(c) =⇒L∪{c} ∆, φ[c/x]
Γ =⇒L ∆, ∀x : D.φ
a) Beweisen Sie, dass die obigen beiden Regeln aus den Regeln des Sequenzenkalküls herleitbar sind; der Begriff der Herleitbarkeit ist ähnlich wie
im Sequenzenkalküls für die Aussagenlogik definiert.
b) Der obige Regelsatz ist eine “unvollständige” Erweiterung in dem Sinne, dass sich typisiert quantifizierte Formeln nur im Sukzedens einer Sequenz erzeugen lassen1 . Entwerfen Sie geeeignete Regeln typed-∃-L und
typed-∀-L, die diesen offenbaren Missstand beheben.
Aufgabe H-25: Beweisen Sie zunächst die folgenden beiden Aussagen im
Sequenzenkalkül, und wiederholen Sie dann den Beweis in PVS:
• (∃x.D(x) ∧ (P ⇒ Q(x))) ⇒ (P ⇒ ∃x.D(x) ∧ Q(x)).
• ∃x.D(x) ∧ (P ⇒ ∃x.D(x) ∧ Q(x)) ⇒ ∃x.D(x) ∧ (P ⇒ Q(x)).
elektronische Abgabe: Dateien predicate.pvs und predicate.prf sind
über UniWorX abzugeben.
Aufgabe H-26: Beweisen Sie den folgenden Sachverhalt im Sequenzenkalkül
und dann in PVS unter Zuhilfenahme des Hilfsprädikates ϕ(x, y, δ) aus Aufgabe
H-22a:
Ist f : R → R eine global stetige Funktion, so ist die Hintereinanderausführung
von f nach f (also: “f (f (x))”) wieder global stetig.
Die Datei stetigkeit.pvs mit der enstprechenden Theorie finden Sie auf der
Homepage der Vorlesung.
Hinweise: Überlegen Sie sich erst, wie Sie die Aussage als mathematischen Beweis zeigen würden. Sie brauchen für keine der beiden Lösungen die Definition
von φ(x, y, δ) auszupacken.2 Will man eine quantifizierte Formel im mehrmals
instantiieren (was wir hier genau einmal tun müssen), kann man dies mittels des
copy-Befehls tun: Mit (copy -1) wird die Formel mit Nummer -1 verdoppelt.
elektronische Abgabe: Datei stetigkeit.prf ist über UniWorX abzugeben.
Abgabetermin: Am Mittwoch, 11.06.2008, 10:00 Uhr.
1
ausser natürlich man benutzt dafür die Definition der untypisierten Quantifikation
Dies kann man in PVS mittels (expand ‘‘phi’’) wenn man es dennoch ausprobieren
will.
2