Lösungen zum Aufgabenblatt 7 Logik und modelltheoretische

Lösungen zum Aufgabenblatt 7
Logik und modelltheoretische Semantik
Universität München, CIS, SS 2014
Hans Leiß
Abgabetermin: Do, 5.6.2014
Aufgabe 7.1
Beweisen Sie mit den Regeln des Gentzen-Kalküls der Prädikatenlogik die
folgenden Sequenzen:
(a) ∃x P (x), ∀x (P (x) → Q(x)) ⊲ ∃x Q(x)
(3 Punkte)
(b) ⊲ ∀y[ϕ(x/y)] → ∀x ϕ, falls y ∈
/ frei (ϕ)
(3 Punkte)
Da im Kurs die Umkehrung von (b) gezeigt wurde,
⊲ ∀x ϕ → ∀y[ϕ(x/y)],
falls y ∈
/ frei (ϕ),
können wir also einen Fall der Umbenennung gebundener Variablen“, nämlich
”
⊲ ∀y[ϕ(x/y)] ↔ ∀x ϕ,
falls y ∈
/ frei (ϕ),
mit den vorhandenen Regeln schon beweisen und brauchen dafür keine eigenen Beweisregeln.
Man überlege sich, daß man mit Hilfe der Schnittregel (siehe Folien) eine Annahme ∀xϕ durch
∀y[ϕ(y/x)] ersetzen darf, sofern y ∈
/ frei (ϕ). Ebenso für eine Behauptung ∀xϕ. Dasselbe muß
man analog für ∃xϕ machen.
Lösung von Aufgabe 7.1
(a) Wenn man den Beweis von unten nach oben konstruiert, muß man zuerst (∃L) anwenden,
dann (∀L) und (∃R), damit die Nebenbedinung an freie Variablen bei (∃L) erfüllt ist:
P (x), ∀x(P (x) → Q(x)) ⊲ Q(x), P (x)
P (x), ∀x(P (x) → Q(x)), Q(x) ⊲ Q(x)
P (x), ∀x(P (x) → Q(x)), (P (x) → Q(x)) ⊲ Q(x)
P (x), ∀x(P (x) → Q(x)) ⊲ ∃xQ(x)
∃xP (x), ∀x(P (x) → Q(x)) ⊲ ∃xQ(x)
(∃L, x!)
(→ L)
(∀L, ∃R)
(b) Da ϕ(x/y)(y/x) = ϕ ist, ist die oberste Sequenz im folgenden Beweis ein Axiom:
∀y[ϕ(x/y)], ϕ(x/y)(y/x) ⊲ ϕ
(∀ L)
∀y[ϕ(x/y)] ⊲ ϕ
(∀R, x!)
∀y[ϕ(x/y)] ⊲ ∀xϕ
(→ R)
⊲ ∀y[ϕ(x/y)] → ∀xϕ
Aufgabe 7.2 Zeige, daß die Regel
Γ, ϕ ⊲ ∆
Γ, ∃xϕ ⊲ ∆
(∃L), falls x ∈
/ frei (Γ, ∆),
korrekt ist, d.h. daß, wenn die Obersequenz allgemeingültig ist, dann auch die Untersequenz
allgemeingültig ist.
(4 Punkte)
Eine Sequenz Γ ⊲ ∆ hieß allgemeingültig, wenn die Formel
^
_
Γ→
∆
für jede Struktur A und Belegung g : Var → A wahr ist.
Bem.: Die Regel (∃ L) ist ohne die Nebenbedingung nicht korrekt. Zeige das durch ein Beispiel!
Lösung von Aufgabe 7.2 Sei A = (A, RA , . . . , f A , . . .) eine Struktur und g : Var → A eine
Belegung. Um zu zeigen, daß
^
_
Γ ∧ ∃xϕ →
∆
bei A und g den Wert 1 hat, können wir annehmen, daß
^
Γ ∧ ∃xϕ
den Wert 1 hat und müssen noch zeigen, daß das auch für
[[
_
W
∆ gilt:
A
∆]] = 1.
g
Wir wissen schon, daß
1 = [[
^
Γ ∧ ∃xϕ]] = min{[[
^
A
Γ]] , [[∃xϕ]]A
g },
g
V
also sind Γ und ∃xϕ bei A und g wahr. Daher gibt es ein a ∈ A, sodaß [[ϕ]]A
g[x/a] = 1 ist. Nach
Voraussetzung über die Obersequenz ist
^
_
Γ∧ϕ→
∆
bei jeder Struktur und Belegung wahr, also auch bei A und g[x/a]. Da wegen der Nebenbedingung
x∈
/ frei (Γ, ∆) aber
[[
^
A
Γ]] = [[
g
^
Γ]]
A
g[x/a]
und
2
[[
_
A
∆]] = [[
g
_
∆]]
A
g[x/a]
,
ist [[
V
Γ ∧ ϕ]]A
g[x/a] = 1 und dann auch [[
W
∆]]A
g = [[
W
∆]]A
g[x/a] = 1, was zu zeigen war.
Bemerkung Die Regel (∃ L) ohne die Nebenbedingung ist nicht korrekt: im Beispiel
¬x=0,
˙ x=0
˙ ⊲ x=0
˙
¬x=0,
˙ ∃x x=0
˙ ⊲ x=0
˙
(∃L ohne die Nebenbedingung)
ist die Obersequenz allgemeingültig, da bei jeder Struktur A und jedem g : Var → A ja
[[¬x=0
˙ ∧ x=0
˙ → x=0]]
˙ A
g =1
ist, da der wenn“-Teil den Wert 0 hat. Aber die Untersequenz ist nicht allgemeingültig, denn
”
bei A = ({a, b}, 0A ) mit 0A = a und g(x) = b ist die Untersequenz nicht wahr:
[[¬x=0
˙ ∧ ∃x x=0
˙ → x=0]]
˙ A
g = 0,
da der wenn“-Teil wahr ist (b 6= 0A = a, aber es gibt ein Element 0A , nämlich a), aber der
”
dann“-Teil (b = 0A = a) falsch ist.
”
3