Lösungen zum Aufgabenblatt 4 Logik und modelltheoretische

Lösungen zum Aufgabenblatt 4
Logik und modelltheoretische Semantik
Universität München, CIS, SS 2014
Hans Leiß
Abgabetermin: Do, 15.5.2014
in der Übungsstunde
Aufgabe 4.1 Zeigen Sie von der Regel
Γ, α ⊲ ∆
Γ, β ⊲ ∆
Γ, (α ∨ β) ⊲ ∆
(∨L)
des Gentzen-Kalküls, daß die Untersequenz genau dann gültig ist, wenn beide Obersequenzen
gültig sind.
(4 Punkte)
Lösung von Aufgabe 4.1
(a) Angenommen, beide Obersequenzen sind gültig. Dann wissen wir:
(i) Jede Belegung, die alle Aussagen aus Γ, α wahr macht, macht mindestens eine Aussage
aus ∆ wahr, und
(ii) jede Belegung, die alle Aussagen aus Γ, β wahr macht, macht mindestens eine Aussage
aus ∆ wahr.
Wir müssen zeigen, daß die Untersequenz gültig ist. Sei dazu h eine Belegung, die alle
Aussagen aus Γ, (α ∨ β) wahr macht; wir müssen zeigen, daß h mindestens eine Aussage
aus ∆ wahr macht.
Wegen 1 = [[α ∨ β]]h = max([[α]]h , [[β]]h ) ist 1 = [[α]]h oder 1 = [[β]]h . Im ersten Fall macht h
wegen (i) eine Aussage aus ∆ wahr, im zweiten Fall wegen (ii).
(b) Angenommen, die Untersequenz ist gültig, also
(iii) Jede Belegung, die alle Aussagen aus Γ, (α ∨ β) wahr macht, macht eine Aussage aus
∆ wahr.
Wir zeigen zuerst, daß die Obersequenz Γ, α ⊲∆ gültig ist. Sei dazu h eine Belegung, die alle
Aussagen aus Γ, α wahr macht. Dann wird [[α ∨ β]]h = max([[α]]h , [[β]]h ) = max(1, [[β]]h ) = 1,
sodaß h auch alle Aussagen aus Γ, (α ∨β) wahr macht. Nach (iii) macht h dann mindestens
eine Aussage aus ∆ wahr.
Analog kann man zeigen, daß auch die zweite Obersequenz Γ, β ⊲ ∆ gültig ist.
Aufgabe 4.2 Das “Koinzidenzlemma”
Sind h, g : Var → A und h(x) = g(x) für x ∈ X ⊆ Var , so ist
A
(i) [[t]]A
h = [[t]]g , falls frei (t) ⊆ X,
A
(ii) [[ϕ]]A
h = [[ϕ]]g , falls frei (ϕ) ⊆ X.
beweist man durch Induktion über den Term- und Formelaufbau. Zeige von Behauptung (ii) die
Fälle, wo ϕ (a) eine atomare Formel R(t1 , . . . , tn ), (b) eine Konjunktion (ϕ1 ∧ ϕ2 ), und (c) eine
Existenzformel ∃yψ ist. Dabei darf (i) als richtig vorausgesetzt werden.
Beim Beweis durch Induktion über den Termaufbau (bzw. Formelaufbau) darf man zum Beweis
der Behauptung für t (bzw. für ϕ) annehmen, daß die Behauptung für alle kleineren Terme als t
(bzw. kleineren Formeln als ϕ) wahr ist. (Man muß ein bißchen aufpassen, was “die Behauptung”
ist, z.B. muß man folgende Behauptungen über Terme t unterscheiden:
A
(a) falls frei (t) ⊆ X, so ist [[t]]A
h = [[t]]g
A
(b) für alle h, g : Var → A und X ⊆ Var mit frei (t) ⊆ X ist [[t]]A
h = [[t]]g
Welche sollte man hier beweisen, und warum? Analog bei Behauptungen über ϕ.) (6 Punkte)
Lösung von Aufgabe 4.2
(a) ϕ ist die atomare Formel R(t1 , . . . , tn ): Dann haben wir
[[ϕ]]A
= [[R(t1 , . . . , tn )]]A
h
h
A
= RA ([[t1 ]]A
h , . . . , [[tn ]]h )
(nach Def. von [[·]]A
h)
A
= RA ([[t1 ]]A
g , . . . , [[tn ]]g )
(nach (i))
= [[R(t1 , . . . , tn )]]A
g
(nach Def. von [[·]]A
g )
= [[ϕ]]A
g
(b) ϕ ist die Konjunktion (ϕ1 ∧ ϕ2 ): Dann haben wir
A
B
[[(ϕ1 ∧ ϕ2 )]]A
= [[ϕ1 ]]A
h
h · [[ϕ2 ]]h
A
B
= [[ϕ1 ]]A
g · [[ϕ2 ]]g
(nach Induktionsannahme)
= [[(ϕ1 ∧ ϕ2 )]]A
g .
(c) ϕ ist ∃xψ: Zur Vereinfachung der Schreibweise benutze ich max(X) für Mengen X ⊆ B.
[[∃xψ]]A
= max{ [[ψ]]A
h
h[x/a] | a ∈ A }
= max{ [[ψ]]A
g[x/a] | a ∈ A } (nach Induktionsannahme)
= [[∃xψ]]A
g .
Beachte, daß frei (ψ) ⊆ X ∪ {x} und h[x/a](y) = g[x/a](y) für alle y ∈ X ∪ {x}, sodaß
man die Induktionsannahme anwenden kann.
2