Übung zu Mechanik 4 Seite 17 Aufgabe 31 Gegeben sei der dargestellte, gedämpfte Schwinger. Die beiden homogenen Kreisscheiben (mB, rB und mC, rC) sind fest miteinander verbunden und frei drehbar auf einer reibungsfreien Achse gelagert. Das fest um die kleine Kreisscheibe geschlungene Seil ist ebenso wie der Stab mit der Einzelmasse mA masselos und dehnstarr. Die Federn sind in der Ruhelage vorgespannt. Bestimmen Sie die gedämpfte Kreisfrequenz des Systems für kleine Schwingungen! Es kann D < 1 (schwache Dämpfung) angenommen werden! Ansicht Schnitt A - A Gegeben: mA : mB : mC = 1 : 4 : 8 rB : rC cF, d =1: 2 Übung zu Mechanik 4 Seite 18 Aufgabe 32 Über eine homogene Kreisscheibe (Masse m, Radius r) ist ein dehnstarres, masseloses Seil gewickelt, das wie skizziert an einer Feder (Federkonstante cF) befestigt ist und an seinem freien Ende die Punktmasse m trägt. An der Punktmasse greift die periodisch wirkende Kraft F(t) = f0 cos (Ω t) an. Bestimmen Sie a) die Amplitude der stationären Lösung! b) die Seilkraft S(t) im stationären Zustand! c) die Erregerfrequenz Ω* für den Resonanzfall! Aufgabe 33 Eine homogene Walze (Masse m, Radius r) rollt auf einer festen Unterlage. An ihrer Achse ist wie skizziert eine Feder (Federkonstante cF) befestigt, deren freies Ende periodisch nach der Funktion u(t) = u0 sin (Ω t) bewegt wird. Mit welcher Amplitude x0 bewegt sich die Walzenachse, und wie groß ist ihre maximale Geschwindigkeit v0? Übung zu Mechanik 4 Seite 19 Aufgabe 34 Der skizzierte masselose Träger trägt eine Maschine (Masse m), die während des Anfahrens und des Betriebes eine periodisch veränderliche Kraft F(t) = F0 cos (Ω t) im Frequenzbereich zwischen 0 Hz und 7Hz auf den Träger ausübt. Bemessen Sie den Träger als HEB-Profil (die Dämpfung kann vernachlässigt werden) unter Beachtung der zulässigen Normalspannungen! welches Profil wäre für die statische Beanspruchung ausreichend? Gegeben: m = 10 t F0 = 10 kN E = 2,1 · 105 N/mm2 zul σ = 140 N/mm2 Aufgabe 35 Am Ende einer einseitig eingespannten, masselosen Blattfeder (Dicke h = 1 mm) befindet sich eine Punktmasse m, auf die eine periodisch wirkende Kraft F(t) = F0 cos (Ω t) ausgeübt wird. Wie breit muß man die Feder machen, wenn die Amplitude der erzwungenen Schwingung den Wert x0 = 1 mm haben soll? Gegeben: m = 0,1 kg F0 = 0,5 N E = 2 · 105 N/mm2 Ω = 100 s-1 Übung zu Mechanik 4 Seite 20 Aufgabe 36 Ein masseloser Mast, der wie skizziert von zwei starren Stäben abgestützt wird trägt an seinem oberen Ende eine Punktmasse m. Der Mast wird durch Windböen zum Schwingen angeregt. a) Bestimmen Sie die Amplitude X0 des ungedämpften Systems im stationären Zustand für die periodisch angreifende Erregerkraft F(t) = F0 cos (Ω t)! b) Berechnen Sie das Verhältnis von dynamischer zu statischer Auslenkung X0/xstat für den Fall stationärer erzwungener Schwingungen des gedämpften Systems (geschwindigkeitsproportionale Dämpfung, Dämpfungskonstante d)! Gegeben: m = 3 · 103 kg EJ = 3 · 108 Nm2 F0 = 104 N Ω = 10 s-1 d = 104 Ns/m Übung zu Mechanik 4 Seite 21 Aufgabe 37 Das Schwingungsverhalten eines Glockenturmes soll näherungsweise mit Hilfe eines Ersatzsystems berechnet werden, bei dem der Turmschaft, der als parallelgurtiges Fachwerk ausgebildet ist, durch einen Biegestab ersetzt ist. An seinem oberen Ende befindet sich eine Masse m. Die Masse des Fachwerkstabes soll vernachlässigt werden. a) Man bestimme die Eigenkreisfrequenz ω und die Schwingungsdauer T für Biegeschwingungen. b) Wie groß ist die Amplitude der stationären erzwungenen Schwingung, wen an der Punktmasse m die periodische Kraft F(t) = F0 cos (Ω t) angreift? Gegeben: m = 15 t H = 30 m a =3m AG = 75 cm2 E = 2,1 ⋅ 105 N/mm2 Ω = 8 s-1 F0 = 40 kN Übung zu Mechanik 4 Seite 22 Aufgabe 38 Eine Maschine vom Gesamtgewicht GM steht wie skizziert auf einem Ι-Träger mit der Biegesteifigkeit EJ. Der Träger wird durch ein umlaufendes Maschinenteil vom Gewicht GT zu Vertikalschwingungen angeregt. Berechnen Sie für das angegebene Ersatzsystem die Eigenkreisfrequenz ω des Systems, die Erregerkraft F(t) und die Amplitude X0 im stationären Zustand der erzwungenen Schwingung! System: Gegeben: GM = 25 kN GT = 1,25 kN EJ = 104 kNm2 Ω = 10 π s-1 r = 20 cm G = GM + G T Ersatzsystem: Übung zu Mechanik 4 Seite 23 Aufgabe 39 Eine Einzelmasse m befindet sich wie skizziert in der Mitte eines masselosen Trägers mit der Biegesteifigkeit EJ. An der Masse greift die periodisch wirkende Kraft F(t) = F0 cos (Ωt) an. Wie groß muß m werden, wenn die Durchbiegung aus der dynamischen Beanspruchung höchstens l/1000 sein darf? Gegeben: E = 2 ⋅ 105 N/mm2 J = 400 cm4 F0 = 6,4 kN Ω = 60 s-1 Aufgabe 40 Das skizzierte System stellt das Modell eines Kraftwagens (Masse m, Federkonstante cF, masseloses Rad) auf welliger Fahrbahn (Amplitude u0) dar. Bestimmen Sie die auf u0 bezogenen Amplituden X0 der Fahrzeugmasse in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v! Wie groß muß das Dämpfungsmaß D infolge eines parallelgeschalteten Dämpfers sein, wenn das Verhältnis zwischen X0 und u0 nicht größer als 1,5 werden soll? Gegeben: ω2 = cF = 100 s-2 m Übung zu Mechanik 4 Seite 24 Aufgabe 41 Eine Maschine mit der Gesamtmasse m steht auf einer reibungsfreien, horizontalen Unterlage. Im starren Gehäuse (Masse mA) rotiert eine Unwuchtmasse (Masse mB) mit konstanter Winkelgeschwindigkeit Ω. Die Maschine wird in horizontaler Richtung wie dargestellt durch eine Feder mit der Federkonstanten cF gehalten. a) Wie groß muß mA mindestens gewählt werden, damit die Maschine nicht von der Unterlage abhebt? b) Berechnen Sie die Amplitude der sich einstellenden stationären Schwingung für das Massenverhältnis mA : mB = 3 : 1! Gegeben: mB = 400 kg r = 40 cm Ω = 10 s-1 cF = 90 kN/m Übung zu Mechanik 4 Seite 25 Aufgabe 42 Gegeben ist das skizzierte System aus einer homogenen Kreisscheibe (Masse mA, Radius r), einer Feder (Federkonstante cF), einem masselosen, dehnstarren Seil, das über eine masselose und reibungsfreie Umlenkrolle geführt wird, und der Punktmasse mB. An der Punktmasse greift eine periodische Erregerkraft F(t) = F0 cos (Ω t) an. Bestimmen Sie den maximalen Ausschlag der Scheibenachse für reines Rollen im stationären Zustand der Schwingung! Wie groß muß der Haftreibungskoeffizient µH sein, damit reines Rollen auftreten kann? Gegeben: mA : mB = 2 : 1 Ω2 = cF 14 mB Übung zu Mechanik 4 Seite 26 Aufgabe 43 Ein homogenen, starrer Stab mit der Masse m ist auf zwei gegenläufig rotierende Walzen gelagert und durch eine Feder (Federkonstante cF) gehalten. Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenz ω für die Schwingbewegung des Stabes. Der Reibungskoeffizient zwischen den Walzen und dem Stab beträgt µG. Es soll eine kleine Schwingung vorausgesetzt werden, bei der der Schwerpunkt des Stabes sich stets zwischen den beiden Walzenachsen befindet. Gegeben: m, a, Ω µG, cF Aufgabe 44 Der skizzierte Schwinger aus einem homogenen, starren Stab (Masse m) wird durch eine periodisch angreifende Kraft F(t) = F0 cos (Ω t) erregt. Dabei wird eine Auslenkungsamplitude ϕ0 gemessen. Ermitteln Sie die Erregerfrequenz Ω! Gegeben: m = 4,9 t cF = 30 kN/m d = 10 kNs/m F0 = 4 kN ϕ0 = 3,60° Übung zu Mechanik 4 Seite 27 Aufgabe 45 Eine Einzelmasse m hängt wie skizziert an zwei Schraubenfedern (Federkonstante cF) und einem Dämpfungselement. Auf die Masse wirkt eine periodisch veränderliche Vertikalkraft F(t) = F0 cos (Ω t). Wie groß muß die Dämpfungskonstante d gewählt werden, wenn die Amplitude der Schwingung höchstens auf das dreifache der statischen Auslenkung der Feder infolge der Last F0 ansteigen darf? Gegeben: m = 10 kg cF = 50 N/cm Aufgabe 46 Der skizzierte homogene, starre Träger (Masse m) ist im Punkt A drehbar gelagert. Zusätzlich sind eine Feder (Federkonstante cF) und ein Dämpfungselement (Dämpfungskonstante d) angebracht. Die periodisch angreifende Kraft F(t) = F0 cos (Ω t) bewirkt eine stationäre Schwingung des Systems. Wie groß ist die Amplitude der Schwingung am Lastangriffspunkt, und welche maximale Kraft überträgt das Dämpfungselement? Gegeben: m = 10 t cF = 120 kN/m d = 8 kNs/m F0 = 2 kN Ω = 0,8 s-1