Die ersten Näherungen auf 50 Stellen genau

19.1 Man setze a1 = 1 und berechne mit Hilfe der Folge (19.5) die dritte Wurzel aus 3 auf vier zählende Stellen
genau.
1⎛
3 ⎞
an+1 = ⎜⎜⎜an + 2 ⎟⎟⎟
2 ⎜⎝
an ⎠⎟
a1 = 1,00000, a2 = 2,00000, a3 = 1.37500, a4 = 1,480889, …
a12 = 1,442392, a13 = 1,442178
Jetzt ändert sich die dritte Stelle nach dem Komma nicht mehr, man hat also vier zählende Stellen
⇒ 3 3 = 1, 442
Die ersten Näherungen auf 50 Stellen genau:
2.0000000000000000000000000000000000000000000000000
1.3750000000000000000000000000000000000000000000000
1.4808884297520661157024793388429752066115702479339
1.4244292172283118362819077883734333521047968627322
1.4514955542860844176492906579816991454245598892335
1.4377147357020187373071420180673390619360158046384
1.4445384658068350679671211089823112624762395921363
1.4411105598744721907199590338034712701317154166967
1.4428204262390088501568740583248292158498681689188
1.4419644810880426347258923494777005605933928138951
1.4423921994696794632990972262511730325218520370146
1.4421782768811370364945782751219812321563121284444
1.4422852223071682529942904398337463350771177172526
19.2 Man bestimme die Grenzwerte der unten definierten Folgen oder stelle ihre Divergenz fest (große
Buchstaben bezeichnen positive reelle Zahlen).
an = n −1/ 2
Vermutung: Grenzwert a = 0
Zu jedem ε > 0 muss es eine natürliche Zahl nε geben, so dass für alle n ≥ nε gilt
an − a =
1
1
−0 < ε ⇒ n > 2
ε
n
⎛J
⎞
− Kn ⎟ I
n
5
4
U − Vn + Wn 2 ⎜⎝ n
⎠ ⋅ n + Cn
⋅
bn =
Un + n 2
Kn 2
n5
D+ 2
E
Es gilt
n
lim
JJJG ∞ (an ⋅ bn ) = n lim
JJJG ∞ ( an )⋅ n lim
JJJG ∞ (bn ) falls (an) und (bn) konvergente Folgen sind.
⎛J
⎞
n ⎜ − Kn ⎟ I
n
⎝
⎠ → −I
Kn 2
U − Vn + Wn 2
→W
Un + n 2
n5 + Cn 4
→E
n5
D+ 2
E
⎛J
⎞
n ⎜ − Kn ⎟ I
5
4
U − Vn + Wn
⎝n
⎠ ⋅ n + Cn → −WIE
bn =
⋅
Un + n 2
Kn 2
n5
D+ 2
E
2
cn =
dn =
n+B
n
→
= n → ∞ Folge divergiert
A+ n
n
(
L Kn3/ 4 + Mn5 / 8
2
Es gilt
(
(
n 7 + L4 n
n
)
)+
)
(
)
n1/2 7 + Ln1/4 ⋅ n −6/8
Ln6
2
( 5n − 3n
2
+ n3
)
2
⎛ 1 1 ⎞
⎜1 − n − 2 ⎟
n ⎠
⎝
+ Gn H
1
1
+
−
Un 2 Vn3 Wn 4
1
n2
+
1
lim
JJJG ∞ (an + bn ) = n lim
JJJG ∞ ( an ) + n lim
JJJG ∞ (bn ) falls (an) und (bn) konvergente Folgen sind.
L Kn6/8 + Mn5/8 ⋅ n −6/8
(5n − 3n
Ln6
+n
)
3 2
=
=
L( K + Mn −1/8 )
→K
7n −1/4 + L
L
⎛ 5n − 3n 2 + n3 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
n3
⎝
⎠
2
=
L
⎛ 5 3 ⎞
⎜ n 2 − n + 1⎟
⎝
⎠
2
→L
1 ⎛ 1 1 ⎞ 4
1 1
1− − 2 ⎟ ⋅ n
2
2
1− − 2
2 ⎜
−
−
n
n
n
1
:
1
n
n ⎝
n ⎠
n n
= 2
=
→
=U
1
1
1 ⎞ 4 ⎛n
⎛ 1
n 1⎞ 2 1+ 1 − 1
+
−
⋅
n
⎜ 2
⎜⎜ + − ⎟⎟ : n
3
4 ⎟
U Vn Wn 2
U
⎝ Un Vn Wn ⎠
⎝U V W ⎠
(
)
Gn H → G
dn → K + L + U + G
Gesamtlösung: O - WIE ¶ KLUG
19.3 Fibonacci-Folge: Ein Mann bekommt im Januar ein Pärchen Kaninchen geschenkt, die gerade geboren sind
und erst im übernächsten Monat (März) und dann in jedem folgenden Monat ein Pärchen erzeugen. Auch dieses
und alle weiteren Pärchen erzeugen ab dem zweiten Monat nach ihrer Geburt jeweils ein Pärchen monatlich. Wie
viele Pärchen hat der Mann im Dezember? Wie lautet die Rekursionsformel für diese erste implizit definierte
Folge? [„Fibonacci“ (Sohn des Gutchens) war der Spitzname von Leonardo von Pisa.]
Ende März: 1 Pärchen + 1 Pärchen = 2 Pärchen
Ende April: 2 Pärchen + 1 Pärchen = 3 Pärchen
Ende Mai:
3 Pärchen + 2 Pärchen = 5 Pärchen
usw.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.
Ende Dezember: 89 Pärchen +55 Pärchen = 144 Pärchen
Da jeweils die im letzten Monat n - 1 vorhandenen Paare an-1 überleben und die im vorletzten Monat n - 2
vorhandenen Paare an-2 sich verdoppeln, lautet die Rekursionsformel:
an = an-1 + an-2 , n ≥ 3, a1 = a2 = 1
a3 = a1 + a2 = 1 + 1 = 2
a4 = a3 + a2 = 2 + 1 = 3 …
20.1 Man untersuche das Konvergenzverhalten folgender Reihen:
∞
a)
1
∑ (−1)n + 2 n
alternierende Reihe, Nullfolge ⇒ Konvergenz nach Leibniz-Kriterium
n =1
∞
b)
1
∑ 2n
n =1
∑
n2
2n
2 1
an+1 (n + 1) 2 ⋅ 2n n 2 + 2n + 1 1 + n + n 2
1
=
=
=
→ ⇒ Konvergenz
Quotientenkriterium:
2
2
n+1
2 ⋅n
2⋅ n
2
2
an
∞
2n
n!
Quotientenkriterium:
∞
c)
n =1
d)
∑
n =1
∞
e)
⎞
1 1 1 1
1⎛ 1 1 1
= + + + + ... = ⎜⎜1 + + + + ...⎟⎟⎟ halbe harmonische Reihe ⇒ Divergenz
⎜
⎠
2 4 6 8
2⎝ 2 3 4
an+1
2n+1 ⋅ n!
2
=
=
→ 0 ⇒ Konvergenz
n
(n + 1)!⋅ 2
an
n +1
1
∑ n + n2
n =1
∞
1
∑ n2
∞
ist konvergente Majorante, denn Reihenverdichtung zeigt:
n =1
1
∞
1
∑ 2k (2k )2 = ∑ 2k
k =1
ist eine konvergente
k =1
geometrische Reihe.
Mit Hilfe der "Teleskop-Formel"
1
1
1
1
=
= −
2
n+n
n(n + 1) n n + 1
lässt sich sogar der Wert der
ursprünglichen Reihe berechnen:
k
k
⎛1
⎛1
1
1 ⎞⎟ ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎛⎜ 1 1 ⎞⎟ ⎛⎜ 1 1 ⎞⎟
1 ⎞⎟
1
= ∑ ⎜⎜ −
= ⎜1− ⎟⎟ + ⎜ − ⎟⎟ + ⎜ − ⎟⎟ + ... + ⎜⎜ −
→1
⎟
⎟⎟ = 1−
∑
2
⎟
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
1
2
2
3
3
4
1
1
n
n
k
k
k
+
+
+
n
n
+
n =1
n =1
∞
f)
n2
∑ 1 + n3
n =1
∞
g)
1
∞
∑
ist divergent, da
n =1
∞
1
1
∞
1
∑ ln 2n = ∑ n ⋅ ln 2 = ln 2 ∑ n
n =1
n =1
n2
1 ∞ 1
= ∑
3
3
2 n =1 n
n +n
divergente Minorante ist.
harmonische Reihe ⇒ Divergenz
n =1
[Hinweis: Für ln2n beachte man Abschn. 24.1, insbesondere (24.9).]
∞
20.2 Für welche Zahlen q konvergiert die Reihe
∑ q n −1 ?
n =1
Das ist die geometrische Reihe. Sie konvergiert für |q| < 1.
∞
20.3 Für welche Zahlen q konvergiert die Reihe
Quotientenkriterium:
qn
∑ n! ?
n =1
an+1
q n+1 ⋅ n!
q
=
=
→ 0 ⇒ Die Reihe konvergiert für alle q.
n
an
n +1
(n + 1)!⋅ q
20.4 Man bestimme eine konvergente Majorante für
∞
a)
1
∑ n + n 2 + n3
n =1
1
1
< 2
2
3
n+n +n
n +n
∞
Die Reihe
1
∑ n + n2
ist nach Aufgabe 20.1 e) konvergent und hat den Grenzwert 1. Sie eignet sich also als
n =1
∞
konvergente Majorante, ebenso wie die Reihe
1
∑ n2 .
n =1
∞
b)
1
∑ 3n2 + ln 3n
.
n =1
[Hinweis: Für ln3n beachte man Abschn. 24.1, insbesondere (24.9).]
∞
[Anmerkung: Selbstverständlich kann man auch
2
∑ an
als konvergente Majorante angeben, wenn man weiß,
n =1
∞
dass
1
∑ an
konvergiert.]
n =1
1
1
1
= 2
< 2
Majorante:
2
n
3n + ln 3
3n + n ln 3 n + n
∞
1
∑ n + n2
∞
oder
n =1
1
∞
1
∑ 3n2 oder ∑ n2
n =1
n =1
20.5 Man stelle 0,123123123… als Bruch dar. [Hinweis: Umformung mit Hilfe der geometrischen Reihe.]
0,123 123 123… =
⎞ 123
123 123 123
123 ⎛
1
1
1
123
+
+
+ ... = 3 ⎜⎜1 + 3 + 6 + ...⎟⎟⎟ = 3 ⋅
=
1
⎠ 10
1000 106 109
10 ⎜⎝ 10 10
1− 3 999
10
20.6 97 ist als Summe einer geometrischen Reihe mit dem Anfangsglied 1 darzustellen.
97 = 1 + q + q 2 + q 3 + q 4 + ... =
1
96
⇒ q=
1− q
97
20.7 In einen Würfel von 1 m Kantenlänge ist eine Kugel einbeschrieben, in diese wieder ein Würfel, in diesen
eine Kugel usw. Wie groß ist die Oberfläche aller Würfel? [Hinweis: Der Durchmesser der Kugel im Würfel n ist
die Raumdiagonale des Würfels n + 1.]
Der Durchmesser der Kugel im Würfel ist die Kantenlänge des Würfels.
Die Kantenlänge s eines Würfels ist mit seiner Raumdiagonale D nach dem dreidimensionalen Satz des
Pythagoras verknüpft: s2 + s2 + s2 = D2 .
Für die Kantenlänge sn + 1 des (n + 1)-ten Würfels gilt also:
1
sn+12 = sn 2 , mit n = 1, 2, 3, ...
3
Die Oberfläche des n-ten Würfels ist 6ÿsn2.
Die Gesamtoberfläche alle Würfel ist damit:
⎛ 1 1
⎞
6 s12 + 6s2 2 + 6 s32 + ... = 6 m 2 ⎜⎜1 + + + ...⎟⎟⎟ = 6 m 2
⎜⎝ 3 9
⎠
1
1
1−
3
= 9 m2
21.1 Man prüfe mit der ε,δ-Definition die Stetigkeit der folgenden Funktionen auf \:
Ziel: Ein δ > 0 bestimmen, so dass für |x – x0| < δ gilt: | f (x) – f (x0) | < ε.
a)
f (x) = x + 2
Sei δ = ε
|x – x0| < δ fl | f (x) – f (x0) | = |(x + 2) – (x0 + 2)| = |x – x0| < δ = ε
b) f (x) = |x|
Sei δ = ε
|x – x0| < δ fl | f (x) – f (x0)| = ||x| – |x0|| § |x – x0| < δ = ε
c)
f (x) = x3
Sei δ = ε/|( x2 + x x0 + x02)|
|x – x0| < δ fl | f (x) – f (x0)| = |x3 – x30| = |(x – x0)|ÿ|( x2 + x x0 + x02)| < δÿ|( x2 + x x0 + x02)| = ε
21.2 Man zeige die Stetigkeit der Funktion f (x) = ◊x im Intervall (0, ¶). Wie ist δ zu wählen?
[Hinweis: |◊x – ◊x0| = |(x – x0)/(◊x + ◊x0)|]
Sei δ = ε |◊x + ◊x0|
|x – x0| < δ fl | f (x) – f (x0)| =
x − x0 =
x − x0
x + x0
=
x − x0
x + x0
<
δ
x + x0
=ε
21.3 Man zeige die gleichmäßige Stetigkeit der Funktion f (x) = x–1 im Intervall [1, 10]. Wie ist δ zu wählen?
[Hinweis: |1/x – 1/x0| = |(x – x0)/xÿx0|]
Sei δ = ε. Für das ganze Intervall [1, 10] gilt:
|x – x0| < δ fl | f (x) – f (x0)| = |1/x – 1/x0| = |(x – x0)/xÿx0| < δ/xÿx0 = ε/xÿx0 § ε
21.4 Man zeige die gleichmäßige Stetigkeit der Funktion f (x) = x2 im Intervall [0, 10] mit Hilfe eines nur von ε
abhängenden δ.
Sei δ = ε/20. Für das ganze Intervall [0, 10] gilt:
|x – x0| < δ fl | f (x) – f (x0)| = |x2 – x20| = |(x – x0)( x + x0)| < δ( x + x0) § 20δ = ε
∞
22.1 Welchen Konvergenzradius besitzt die Reihe
n
⎛1
⎞
∑ (−1)n ⎜⎝ 2 + x ⎟⎠ ?
n=0
[Hinweis: Man substituiere x + 1/2 := y.]
∞
∞
⎛1
⎞
∑ (−1)n ⎜⎝ 2 + x ⎟⎠ = ∑ (−1)n y n
n =0
n =0
n
Quotientenkriterium:
an+1
y n+1
= n = y ⇒ |y| < 1 ⇒ |x + 1/2| < 1 ⇒ -3/2 < x < 1/2
an
y
oder
Konvergenzradius ρ = lim
n→∞
an
= 1 ⇒ |y| < 1 ⇒ |x + 1/2| < 1 ⇒ -3/2 < x < 1/2
an +1
Falls x in diesem Intervall liegt, konvergiert die Reihe.
22.2 Man zeige, dass folgende Reihen (vgl. Kap. VII) den Konvergenzradius ρ = ¶ besitzen:
[Hinweis: Man setze x2n = (x2)n := (y)n und zerlege
x 2 n +1
x
x2n
in
, worin der erste Faktor für n → ¶
(2n + 1)! 2n + 1 (2n)!
verschwindet, also gewiss kleiner als 1 ist.]
∞
xn
n =0 n !
a) e x = ∑
Konvergenzradius ρ = lim
n→∞
∞
b) cos x = ∑ (−1) n
n =0
2n
(n + 1)!
an
= n +1 → ∞ ⇒ ρ = ∞
= lim
n→∞
n!
an +1
x2n
(2n)!
2 n
x = (x ) := (y)n
Konvergenzradius ρ = lim
n→∞
∞
c) sin x = ∑ (−1)n
n=0
an
(2(n + 1))!
= (2n + 1)(2n + 2) → ∞ ⇒ ρ = ∞
= lim
n→∞
an +1
(2n)!
x 2 n +1
(2n + 1)!
x 2 n +1
x
x 2n
x 2n
=
<
für n Ø ¶
(2n + 1)! (2n + 1) (2n)! (2n)!
Konvergenzradius ρ = lim
n→∞
an
(2(n + 1))!
= (2n + 1)(2n + 2) → ∞ ⇒ ρ = ∞
> lim
n→∞
an +1
(2n)!