Definitions- und Satzverzeichnis

Definitions- und
Satzverzeichnis
5 Lineare Abbildungen
5.1 Lineare Abbildung . . . . . . . .
5.2 Rang, Bild, Kern . . . . . . . . .
5.3 Affine Linearität . . . . . . . . .
5.4 Abbildungsmatrix bzgl. Basen . .
5.5 Transformationsmatrix . . . . .
5.6 Eigenschaften einer Matrixnorm .
5.7 Frobenius-Norm . . . . . . . . . .
Höhere Mathematik 1
WS 2009/10
Inhaltsverzeichnis
I
Definitionen
3
1 Grundlagen
1.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Natürliche Zahlen und Vollständige Induktion . . .
1.3 Rationale und Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Beträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Ungleichungen und Intervalle . . . . . . . .
1.3.4 Maximum, Minimum, Supremum, Infimum
1.4 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Polardarstellung . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Axiomatik für N und R . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Peano-Axiome . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2 Zahlendarstellung, Basis . . . . . . . . . . .
1.8.3 Axiomatik für R . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
2 Matrizen und lineare Gleichungssysteme
2.1 Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Matrix-Addition und Skalar-Multiplikation
2.3 Matrix-Multiplikation . . . . . . . . . . . .
2.4 Einheitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Äquivalente LGS . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Homogene LGS . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Gauß’sches Eliminationsverfahren . . . . . .
2.8 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Transponierte Matrix . . . . . . . . . . . . .
2.10 Symmetrische, schiefsymmetrische Matrix .
2.11 Gauß-Jordan-Verfahren . . . . . . . . . . .
2.12 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13 Dreiecksmatrix, Stufenform . . . . . . . . .
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3 Vektorräume
3.1 Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Unterraum . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Kern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Linearkombination, lineare Hülle . . . . . .
3.7 Erzeugendensystem . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Lineare Abhängigkeit . . . . . . . . . . . . .
3.9 Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11 Zeilen- und Spaltenraum . . . . . . . . . . .
3.12 Restklassen-Körper . . . . . . . . . . . . . .
3.13 Codes und Codewörter . . . . . . . . . . . .
3.14 Fehler erkennende und korrigierende Codes
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4 Länge, Winkel, Skalarprodukte
4.1 Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 lp -Normen, Maximumsnorm . . . . . . . . . . . . .
4.3 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Positive Definitheit . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Orthogonalbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Orthogonale Zerlegung und orthogonale Projektion
4.9 Gram-Schmidt Orthogonalisierung . . . . . . . . .
4.10 Orthogonale Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11 Kreuzprodukt/Vektorprodukt . . . . . . . . . . . .
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6 Eigenwerte und Matrixfaktorisierung
6.1 Eigenwert, Eigenvektor . . . . . . . . .
6.2 Algebraische Vielfachheit . . . . . . .
6.3 Eigenraum, geometrische Vielfachheit
6.4 Diagonalisierbarkeit (Funktion) . . . .
6.5 Diagonalisierbarkeit (Matrix) . . . . .
6.6 Ähnliche Matrizen . . . . . . . . . . .
6.7 Schur-Zerlegung (Algorithmus) . . . .
6.8 Singulärwertzerlegung (Algorithmus) .
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7 Folgen und Reihen
7.1 Beschränkte Folge . . . . . . .
7.2 Konvergenz . . . . . . . . . . .
7.3 Spezielle Grenzwerte, Divergenz
7.4 ε-Umgebung, Konvergenz . . .
7.5 Monotonie . . . . . . . . . . . .
7.6 Teilfolge . . . . . . . . . . . . .
7.7 Reihe, Folge der Partialsummen
7.8 Absolute Konvergenz . . . . . .
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II
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Sätze und Propositionen
1 Grundlagen
1.1 Rechenregeln: Mengen . . . . . . . . . .
1.2 Gerade und ungerade Zahlen . . . . . .
1.3 Vielfache von 3 . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Periodische
Dezimalbrüche . . . . . . . .
√
2∈
/Q . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6
1.7 Betrag, Wurzel, Dreiecksungleichung . .
1.8 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Zahlendarstellung, Größte Zahl, Basis .
1.10 Summe, geometrische Summe . . . . . .
1.11 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . .
1.12 Pascal’sches Dreieck . . . . . . . . . . .
1.13 Binomischer Lehrsatz . . . . . . . . . .
1.15 Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . .
1.16 Additionstheoreme . . . . . . . . . . . .
1.17 Additionstheoreme (Sonderfälle) . . . .
1.18 Tangens, Kotangens . . . . . . . . . . .
1.19 Sinusgleichungen . . . . . . . . . . . . .
1.20 Fundamentalsatz der Algebra . . . . . .
1.22 Komplexe Zahlen: Division . . . . . . .
1.23 Polardarstellung: Multiplikation . . . . .
1.24 Injektiv, surjektiv, bijektiv . . . . . . . .
1.25 Eindeutigkeit der Darstellung einer Zahl
1.26 R ist nicht abzählbar . . . . . . . . . . .
1.27 Fundamentalsatz der Arithmetik . . . .
1.28 Es gibt unendlich viele Primzahlen . . .
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2 Matrizen und lineare Gleichungssysteme
2.1 Addition, Skalar-Multiplikation . . . . . .
2.2 Einheitsmatrix In , neutrales Element . . .
2.3 Matrixmultiplikation . . . . . . . . . . . .
2.4 Anzahl der Lösungen eines LGS . . . . . .
2.5 Äquivalent Umformungen . . . . . . . . .
2.6 Homogenität, triviale Lösung . . . . . . .
2.7 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Lösungen von homogenen LGS . . . . . .
2.9 Lösungen von inhomogenen LGS . . . . .
2.10 Rechenregeln: Transponierte Matrizen . .
2.11 Inverse einer Matrix . . . . . . . . . . . .
2.12 Invertierbarkeit einer Matrix . . . . . . .
2.13 Rechenregeln: Invertierbare Matrizen . . .
2.14 Berechnen einer Determinanten . . . . . .
2.15 Determinante der Einheitsmatrix . . . . .
2.16 Sarrus-Regel . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.17
2.19
2.20
2.21
2.22
2.24
Rechenregeln: Determinanten . . . . . . . . .
Determinante einer oberen Dreiecksmatrix . .
Umformen einer Determinante . . . . . . . .
Kriterien für eindeutige Lösbarkeit eines LGS
Rechenregeln: Determinanten . . . . . . . . .
Cramer’sche Regel . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Vektorräume
3.1 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Beispiele für Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Beispiele für Körper . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Rechenregeln: Vektorraum . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Rechenregeln: Untervektorraum . . . . . . . . . . .
3.11 Lineare Abhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13 Lineare Abhängigkeit, Nullvektor, Teilfamilie . . .
3.14 Lineare Abhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.15 Linearkombination . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.16 Lineare Abhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.17 K-VR mit zwei Basen ⇒ gleiche Anzahl Vektoren .
3.18 Basisergänzungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.20 Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.22 Dimension von Zeilen- und Spaltenräumen . . . . .
3.23 Rechenregeln: Zeilen- und Spaltenräume . . . . . .
3.24 Äquivalenz bei elementaren Operationen . . . . . .
3.25 Rangungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.26 Dimensionsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.27 Invertierbarkeit, Dimension, Lin. Unabhängigkeit .
3.28 Restklassen-Körper, Modulo-Multiplikation . . . .
3.29 Existenz n-elementiger Körper Fn . . . . . . . . . .
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4 Länge, Winkel, Skalarprodukte
4.4 Definition eines Skalarproduktes auf Rn
4.6 Positive Definitheit . . . . . . . . . . . .
4.7 Induzierte Norm des Skalarproduktes . .
4.8 Cauchy-Schwarz-Ungleichung . . . . .
4.10 Standard ONB, Lineare Unabhängigkeit
4.11 Orthogonale Zerlegungen . . . . . . . .
4.12 Orthogonaler Raum . . . . . . . . . . .
4.13 Orthogonale Projektion . . . . . . . . .
4.14 Abstand, Orthogonale Projektion . . . .
4.15 Rechenregeln: Orthogonale Matrizen . .
4.16 Rechenregeln: Kreuzprodukt . . . . . . .
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5 Lineare Abbildungen
5.2 Bild(f ) ⊂ Y , Kern(f ) ⊂ X . . . . . . . . . . . . . .
5.5 f injektiv ⇔ Kern(f ) = {0} . . . . . . . . . . . . .
5.6 Dimensionsformel Bild, Kern . . . . . . . . . . . .
5.7 f : X → X ⇔ f bijektiv . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Lösungsmenge Ax = b, Kern, Rang, Inv.barkeit . .
5.10 Eigenschaften einer Basis . . . . . . . . . . . . . .
5.11 Anwendung der Abbildungsmatrix . . . . . . . . .
5.12 Invertierbarkeit der Transformationsmatrix . . . .
5.13 Basiswechsel mit Transformationsmatrix (Matrix)
5.14 Basiswechsel mit Transformationsmatrix (λ) . . .
5.15 Abbildungsmatrix bezüglich neuer Basen . . . . .
5.18 Induzierte Matrixnorm . . . . . . . . . . . . . . . .
5.19 Induzierte Maximums- und 1-Norm . . . . . . . . .
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6 Eigenwerte und Matrixfaktorisierung
6.1 Eigenwerte, Charakteristisches Polynom . . . . . .
6.3 Determinante, Invertierbarkeit . . . . . . . . . . .
6.5 Algebraische und geometrische Vielfachheiten . . .
6.7 Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren . . . .
6.8 Diagonale Abbildungsmatrix Af ⇒ f (vi ) = λi vi .
6.9 Abbildungs-, Diagonal- und Transformationsmatrix
6.10 Diagonaliserbarkeit, Eigenwerte, Eigenvektoren . .
6.13 Diagonalisierbarkeit, Eigenwerte . . . . . . . . . .
6.14 Symmetrie ⇒ ONB aus Eigenvektoren . . . . . . .
6.15 Ähnlichkeit, Diagonalisierbarkeit, Eigenwerte/vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.16 Symmetrie, positive Definitheit, Eigenwerte . . . .
6.17 Obere Schranke für Eigenwerte . . . . . . . . . . .
6.18 Euklidische Norm (Symmetrische Matrix) . . . . .
6.19 Euklidische Norm (Asymmetrische Matrix) . . . .
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6.20 Schur-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.24 Singulärwertzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . .
6.25 Eigenschaften der Singulärwertzerlegung . . . . . .
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7 Folgen und Reihen
7.2 Eindeutigkeit des Grenzwertes . . . . . . . . . . . .
7.3 Beschränkte Folge, Grenzwert . . . . . . . . . . . .
7.4 Beschränktheit, Konvergenz . . . . . . . . . . . . .
7.5 Grenzwert: Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Grenzwert: Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . .
7.8 Sandwich-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9 Beschränktheit, Monotonie, Konvergenz . . . . . .
7.10 Fixpunktgleichung, Rekursion . . . . . . . . . . . .
7.11 Bernoulli-Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . .
7.13 Euler’sche Folge, Exponentialfunktion . . . . . . .
7.14 Konvergenz-Kriterium für Folgen (Cauchy) . . . .
7.15 Konvergenz von Teilfolgen . . . . . . . . . . . . . .
7.16 Divergenz, Teilfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.17 Beschränktheit, konvergente Teilfolge (BolzanoWeierstraß) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.18 Geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.19 Harmonische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.20 Rechenregeln: Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.21 Konvergenz-Kriterium für Reihen (Cauchy) . . . .
7.22 Reihen-Konvergenz, Nullfolge . . . . . . . . . . . .
7.23 Absolute Konvergenz, Konvergenz . . . . . . . . .
7.24 Alternierende Reihe (−1)k ak (Leibniz-Kriterium)
7.25 Beschränktheit, Absolute Konvergenz . . . . . . .
7.26 Majoranten-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . .
7.27 Zeta-Reihe 1/kr . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.29 Quotientenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.30 Quotientenkriterium für k → ∞ . . . . . . . . . . .
7.31 Wurzelkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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14
15
15
15
15
15
3
man von einem Minimum von M: min(M ) = inf(M ). Jede nach
unten beschränkte Menge hat ein Infimum ∈ R.
Wenn M ⊂ R nicht nach oben bzw. unten beschränkt, dann schreibe sup(M ) = +∞ bzw. inf(M ) = −∞.
Teil I
Definitionen
1 Grundlagen
1.4
1.1
Mengen
Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte, die wir Elemente dieser Menge nennen.
Wenn x Element von M ist, dann schreibe x ∈ M , sonst x ∈
/ M.
Kardinalität |M | := Anzahl der Elemente von M .
∃
:=
,,es existiert”
∀
:=
,,für alle”
[n]
:=
{1, 2, ...n}
∅
:=
,,leere Menge”
k
S
Mi
:=
M1 ∪ M2 ∪ ... ∪ Mk
i=1
k
T
i=1
k
P
i=1
k
Q
Mi
:=
M1 ∩ M2 ∩ ... ∩ Mk
ai
:=
a1 + a2 + ... + ak
N
N0
Z
1.3
Q
R
1.3.1
1.5
cos(α) und sin(α) sind die Koordinaten des Punktes Pα auf dem
Einheitskreis mit Winkel α, also Pα = (cos(α), sin(α)).
sin(x)
tan(x) := cos(x) ∀ x 6= πk + π2 mit k ∈ Z
ai
:=
a1 · a2 · ... · ak
Natürliche Zahlen und Vollständige Induktion
:=
:=
:=
Rationale und Reelle Zahlen
:=
:=
1.6
Komplexe Zahlen
,,natürliche Zahlen” := {1, 2, 3, ...}
C := {(a, b) | a, b ∈ R} heißt die Menge der komplexen Zahlen.
,,natürliche Zahlen mit Null” := {0, 1, 2, 3, ...}
,,ganze Zahlen” := N0 ∪ {−n | n ∈ N} = {0, 1, −1, 2, −2, ...}Die Menge {(a, b) ∈ C | b = 0} ⊂ C entspricht R.
{m
n
,,rationale Zahlen” =
| m ∈ Z, n ∈ N}
,,reelle Zahlen” = ,,alle möglichen Dezimalzahlen”,
insb. auch nicht-endliche und nicht-periodische Zahlen.
Wurzeln
Beträge
(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d) := (ac − bd, ad + bc)
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d
i := (0, 1) ,,imaginäre Einheit”
(a, b) = a + i · b
Re(a + ib) := a ,,Realteil von a + ib”
Im(a + ib) := b ,,Imaginärteil von a + ib”
a + ib := a√
− ib ,,Konjugierte Zahl zu a + ib”
|a + ib| := a2 + b2 ,,Betrag von a + ib”
(
a
−a
wenn a ≥ 0
wenn a < 0
Ungleichungen und Intervalle
Seien a, b ∈ R mit
[a, b]
:=
(a, b)
:=
(a, b]
:=
[a, b)
:=
[a, +∞)
:=
(a, +∞)
:=
(−∞, b]
:=
(−∞, b)
:=
Polardarstellung
p
x2 (
+ y2
+ arccos( xr ) für y ≥ 0
ϕ := arg(x + iy) :=
− arccos( xr ) für y ≤ 0
x = r cos(ϕ), y = r sin(ϕ)
r := |x + iy| =
Wenn a ∈ R, dann ist der Betrag von a |a| :=
1.3.4
∀ x 6= πk mit k ∈ Z
√
sin( π5 ) = 41 10 − 2 5 ,
arcsin(x) = y ⇔ x = sin(y)
arccos(x) = y ⇔ x = cos(y)
1.6.1
1.3.3
1
tan(x)
p
√
Sei n ∈ N und a ∈ R mit a ≥ 0. n a ist die eindeutige, nicht
negative reelle Lösung √
der Gleichung xn = a. Wenn n ungerade
und a < 0, dann ist − n −a Lösung der Gleichung xn = a.
1.3.2
Trigonometrie
Einheitskreis := Kreis um Ursprung mit Radius 1
Bogenlänge := Länge der Kreislinie
π ≈ 22
≈ 3, 14 := Bogenlänge des halben Einheitskreises
7
cot(x) :=
i=1
1.2
Kombinatorik
Q
n! := n
k=1 k = 1 · 2 · ... · n ,,n Fakultät”
0! := 1
n
n!
,,Binomial-Koeffizient”
:= k!(n−k)!
k
a < b.
{x ∈ R | a ≤ x
{x ∈ R | a < x
{x ∈ R | a < x
{x ∈ R | a ≤ x
{x ∈ R | a ≤ x
{x ∈ R | a < x
{x ∈ R |
{x ∈ R |
Q
zx
∧
∧
∧
∧
x ≤ b} ,,abgeschlossen”
x < b} ,,offen”
x ≤ b} ,,halboffen”
x < b}
}
}
x ≤ b}
x < b}
Maximum, Minimum, Supremum, Infimum
M ⊂ R heißt nach oben beschränkt ⇔ ∃b ∈ R mit x ≤ b ∀ x ∈ M .
b heißt dann obere Schranke von M .
M ⊂ R heißt nach unten beschränkt ⇔ ∃a ∈ R mit a ≤ x ∀ x ∈
M . a heißt dann untere Schranke von M .
M ⊂ R heißt beschränkt, wenn M nach oben und nach unten
beschränkt ist.
Q
P
P
zi = ( |zi |) (cos( ϕi ) + i sin( ϕi ))
x
= |z| (cos(xϕ) + i sin(xϕ))
1.7
Seien X, Y Mengen. Eine Funktion f von X nach Y ist eine
Teilmenge f ⊂ {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y } mit der Eigenschaft
|{y ∈ Y | (x, y) ∈ f }| = 1 ∀ x ∈ X.
Das zu x ∈ X durch f eindeutig zugeordnete y ∈ Y heißt Bild
von x und wird mit f (x) bezeichnet.
Schreibe: f : X → Y, x 7→ f (x).
Die Menge f −1 (y) := {x ∈ X | f (x) = y} heißt Urbild von y.
f heißt
injektiv wenn |f −1 (y)| ≤ 1 ∀ y ∈ Y
surjektiv wenn |f −1 (y)| ≥ 1 ∀ y ∈ Y
bijektiv wenn |f −1 (y)| = 1 ∀ y ∈ Y
Wenn ∃f : N → M , f surjektiv, dann heißt die Menge M
abzählbar.
1.8
M sei nach oben beschränkt. Die kleinste obere Schranke von
M heißt Supremum von M , sup(M ). Wenn sup(M ) ∈ M , dann
spricht man von einem Maximum von M: max(M ) = sup(M ).
Jede nach oben beschränkte Menge hat ein Supremum ∈ R.
M sei nach unten beschränkt. Die größte untere Schranke von M
heißt Infimum von M , inf(M ). Wenn inf(M ) ∈ M , dann spricht
Funktionen
1.8.1
Axiomatik für N und R
Peano-Axiome
1. 1 ∈ N
2. ∃ genau ein Nachfolger(n) ∀ n ∈ N
3. Jede Zahl ∈ N ist Nachfolger von höchstens einer Zahl ∈ N
4
2.7
Gauß’sches Eliminationsverfahren
1. Aufstellen von (A|b)
5. Für jede Teilmenge M ⊂ N gilt:
Wenn 1 ∈ M und Nachfolger(n) ∈ M ∀ n ∈ M , dann ist
M =N
2. Vorwärtselimination
mit
1.8.2
Zahlendarstellung, Basis
Axiomatik für R
R = {( a, a1 a2 a3 ... ) mit a ∈ Z, ai ∈ {0, ...9}}
P
−i
( a, a1 a2 a3 ... ) steht für x = a + ∞
i=1 ai 10 . ai heißt i-te Nachkommastelle von x.
P
−i mit x(0) := 0
x(n) := a + n
i=1 ai 10
x, y ∈ R sind gleich, wenn x(n) = y(n) ∀ n ∈ N oder
x = a, a1 a2 ...
ak
999... mit ak 6= 9
y = a, a1 a2 ...
(ak + 1)
000...
1.9
..
Zeilen-
3. Lösbarkeitstest
Sei b ∈ N, b ≥ 2, k ∈ N0 , ai ∈ {0, 1, ..., b − 1}.
( ak ak−1 ... a1 a0 )b ist eine Darstellung der Zahl
P
n = ki=0 ai bi zur Basis b.
1.8.3
elementaren
!
a011 ... a01n
0
0 0 a0mn
.
/Spaltenumformungen. Ziel:
...
4. Keine Zahl ∈ N hat den Nachfolger 1
4. Wenn lösbar: Rückwärtssubstitution
2.8
Rang
Sei A ∈ Rm×n , b ∈ Rm , Ax = b, (A|b).
Rang(A) :=Anzahl der ”Nicht-Komplett-Null-Zeilen”von A, wenn
(A|b) in Zeilenstufenform.
Rang(A|b) :=Anzahl der ”Nicht-Komplett-Null-Zeilen”von (A|b),
wenn (A|b) in Zeilenstufenform.
2.9
Transponierte Matrix
Sei A = (aij ) ∈ Rm×n . Dann ist AT ∈ Rn×m definiert durch
(AT )ij = aji . AT heißt Transponierte von A.
2.10
Primzahlen
Symmetrische, schiefsymmetrische Matrix
Sei A ∈ Rn×n (d.h. A quadratisch).
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl n > 1, die nur durch 1 und
sich selbst teilbar ist.
1. A heißt symmetrisch :⇔ AT = A.
2. A heißt schiefsymmetrisch :⇔ AT = −A.
2 Matrizen und lineare Gleichungssysteme
2.11
2.1
Prüft, ob A ∈ Rn×n invertierbar ist.
1. Erweitere mit Einheitsmatrix (A|In )
m, n ∈ N. Eine m × n Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema
der Form
a
a
... a
2. Vorwärtselimination bis (M |N ), wobei M in Zeilenstufenform sein soll.
1n
...
.
..
...
...
am1 am2 ... amn
abkürzende Schreibweise: A = (aij ) = (aij )i∈[m],j∈[n]
Rm×n ist die Menge aller m × n Matrizen mit reellen Komponenten. m×n heißt Dimension von A. Zwei m×n Matrizen A = (aij )
und B = (bij ) sind gleich, wenn ∀ i ∈ [m] , ∀ j ∈ [n] : aij = bij .
2.2
3. Rang(M ) = n ⇒ A invertierbar
4. Rückwärtselimination bis M = In . Man erhält (In |A−1 )
2.12
Matrix-Addition und Skalar-Multiplikation
Für A = (aij ) und B = (bij ) mit A, B ∈ Rm×n ist
für C := A + B wieder C ∈ Rm×n mit C = (cij ) und
∀ i ∈ [m] , ∀ j ∈ [n] : cij := aij + bij .
Für A = (aij ) ∈ Rm×n und λ ∈ R ist C := λA wieder
C ∈ Rm×n mit C = (cij ) und ∀ i ∈ [m] , ∀ j ∈ [n] : cij := λaij
Determinanten
1. Wenn A = a ∈ R1×1 , dann det(A) := a
2. Wenn A = ac db ∈ R2×2 , dann det(A) := ad − bc
3. Bezeichne mit Aij die (n−1)×(n−1) Matrix, die man durch
Löschen der i-ten Zeile und j-ten Spalte erhält.
n
P
det(A) :=
(−1)k+1 ak1 det(Ak1 ).
k=1
2.13
Dreiecksmatrix, Stufenform
∗
Matrix-Multiplikation
j=1
mal Spalte”
(
1
0
i=j
heißt n × n Einheitsmai 6= j
trix.
2.5
Äquivalente LGS
Zwei LGS Ax = b und Cx = d mit A ∈ Rm×n , b ∈ Rm und
C ∈ Rr×n , d ∈ Rr und x ∈ Rn , heißen äquivalent, wenn ihre
Lösungsmengen gleich sind.
2.6
.
0
Homogene LGS
Ein LGS Ax = b heißt homogen, wenn b = 0. Sonst: inhomogen.
0
∗
···
∗
∗
,,Untere Dreiecksmatrix”
!
0
∗
∗
,,Spalten-Stufenform”
3 Vektorräume
3.1
Einheitsmatrix
In = (bij ) ∈ Rn×n mit bij :=
∗
..
Für A = aij ∈ Rm×n und B = bij ∈ Rn×r ist C := AB ∈ Rm×r
n
P
definiert durch C = (cik ) und cik :=
aij bjk . Sprich: ,,Zeile
2.4
∗
0
..
..
2.3
∗
,,Obere” bzw.
∗
∗
,,Zeilen-” bzw.
.
.
∗
.
12
a21 a22 ... a2n
..
11
A=
...
Matrix
Gauß-Jordan-Verfahren
Gruppe
Eine Gruppe ist ein Paar (G, ∗), wobei G eine Menge und ∗ eine
Verknüpfung, d.h.
∗:
G×G→G
(x, y) 7→ x ∗ y
mit den Eigenschaften:
1. ∀ x, y, z ∈ G : (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) (Assoziativgesetz)
2. ∃e ∈ G : (neutrales Element von G)
(G1) ∀ x ∈ G : e ∗ x = x
(G2) ∀ x ∈ G, ∃x0 ∈ G : x0 ∗ x = e
Wenn außerdem noch ∀ x, y ∈ G : x ∗ y = y ∗ x gilt, dann heißt
G kommutativ oder abelsch.
5
3.2
Körper
3.7
Ein Körper ist ein Tripel (K, +, ·), wobei K eine Menge und +
und · Verknüpfungen sind,
+:
K×K →K
(x, y) 7→ x + y
·:
K×K →K
(x, y) 7→ x · y
mit den folgenden Eigenschaften:
(K1) (K, +) ist abelsche Gruppe, 0 sei neutrales Element, −x sei
Inverses zu x.
Erzeugendensystem
Sei V ein K-VR und U ein UVR von V . Dann heißen Vektoren v1 , . . . , vk ∈ V Erzeugendensystem für U , wenn U =
lin(v1 , . . . , vk ).
3.8
Lineare Abhängigkeit
V sei K-VR. v1 , . . . , vk ∈ V heißen linear abhängig, wenn
∃α1 , . . . , αk ∈ K, so dass α1 v1 + . . . + αk vk = 0 und NICHT
α1 = . . . = αk = 0.
(K2) ∀ x, y ∈ K ∗ := K\{0} : x · y ∈ K ∗ und (K ∗ , ·) ist abelsche
Gruppe, 1 sei neutrales Element, x−1 sei Inverses zu x.
3.9
(K3) ∀ x, y, z ∈ K : x · (y + z) = x · y + x · z, (x + y) · z = x · z + y · z
Eine Familie v1 , . . . , vk ∈ V , heißt Basis des VR V , wenn
3.3
1. v1 , . . . , vk linear unabhängig
Vektorraum
Sei K ein Körper. Ein K-Vektorraum ist ein Tripel (V, +, ·),
bestehend aus einer Menge V und Verknüpfungen
+:
V ×V →V
(x, y) 7→ x + y
·:
K×V →V
(λ, v) 7→ λ · v
mit den folgenden Eigenschaften:
(V1) (V, +) ist eine abelsche Gruppe. Ihr neutrales Element 0V
heißt Nullvektor, das zu v ∈ V inverse Element −v heißt zu
v negativer Vektor.
(V2) ∀ v, w ∈ V, λ, µ ∈ K :
(a)
(b)
(c)
(d)
3.4
(λ + µ) · v = (λ · v) + (µ · v)
λ · (v + w) = (λv) + (λw)
(λµ) · v = λ · (µ · v)
1·v =v
Unterraum
Sei V ein K-VR. Eine Teilmenge U ⊂ V heißt Unter(vektor)raum
(UVR) von V , wenn gilt:
1. U 6= ∅
2. lin(v1 , . . . , vk ) = V
3.10
Dimension
Ein VR V 6= {0} heißt endlich dimensional, wenn er eine Basis
mit endlich vielen Vektoren besitzt. Die Anzahl der Basisvektoren
beschreibt die Dimension von V , kurz dim(V ).
Vereinbarung: für V = {0} gelte dim(V ) = 0.
3.11
Zeilen- und Spaltenraum
Sei A ∈ Rm×n .
SA := lin(s1 , . . . , sn ) ⊂ Rm heißt Spaltenraum von A.
ZA := lin(z1 , . . . , zm ) ⊂ Rn heißt Zeilenraum von A.
3.12
Restklassen-Körper
(Zn , +n ) bildet abelsche Gruppe mit Zn := {0, 1, . . . , n − 1} mit
x +n y := x + y mod n.
Wenn n eine Primzahl ist, dann ist (Zn , +n , ·n ) ein Körper mit
x ·n y := x · y mod n. (Satz 3.28)
3.13
2. ∀ x, y ∈ U ⇒ x + y ∈ U
Codes und Codewörter
)n
3. ∀ x ∈ U, ∀ λ ∈ K ⇒ λ · x ∈ U
D.h. ein UVR ist ein in sich abgeschlossener Teil eines VR und
auch selbst ein VR.
3.5
Basis
Kern
Sei A ∈ Rm×n . Der Kern von A ist die Lösungsmenge des homogenen LGS
Ax = 0 : Kern(A) := {x ∈ Rn : Ax = 0}
Es gilt: Kern(A) ist UVR von Rn :
(Zp
= {(a1 . . . an ) : ai ∈ {0, . . . , p − 1}} ,,Menge aller Codewörter”
C ⊂ (Zp )n ,,Code”, Elemente ,,Codewörter”
d(a, b) := |{i ∈ [n] : ai 6= bi }| ,,Abstand der Codewörter a und b”
d(C) := min{d(a, b) : a, b ∈ C ∧ a 6= b} ,,Minimalabstand des
Codes C”
3.14
Fehler erkennende und korrigierende Codes
Code C ist. . .
. . . t Fehler erkennend ⇔ ∀ a, b ∈ C mit a 6= b: d(a, b) ≥ t + 1
. . . t Fehler korrigierend ⇔ ∀ a, b ∈ C mit a 6= b: d(a, b) ≥ 2t + 1
1. A · 0 = 0 ⇒ 0 ∈ Kern(A)
4 Länge, Winkel, Skalarprodukte
2. x, y ∈ Kern(A) :
⇒ A(x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0
⇒ x + y ∈ Kern(A)
4.1
3. x ∈ Kern(A), λ ∈ R :
⇒ A(λx) = λ(Ax) = λ0 = 0
3.6
Linearkombination, lineare Hülle
Sei V ein K-VR und {v1 , . . . , vk } eine Menge von Vektoren in V .
1. Eine Linearkombination von v1 , . . . , vk ist jede Summe der
Form
k
P
λ1 v1 + . . . + λk vk =
λi v i
mit Skalaren
i=1
λ1 , . . . , λk ∈
Norm
Sei V ein R- oder C-Vektorraum. Eine Abbildung k · k : V →
R, x 7→ kxk
heißt Norm auf V, wenn Sie folgende Eigenschaften hat:
(N1) Positive Definitheit
∀ x ∈ V ist kxk ≥ 0 und kxk = 0 ⇔ x = 0
(N2) Homogenität
∀ x ∈ V, λ ∈ R bzw. C : kλxk = |λ|kxk,
λ ∈ C : |λ| =
p
λλ
(N3) Dreiecksungleichung
∀ x, y ∈ V : kx + yk ≤ kxk + kyk
K
2. Die lineare Hülle von v1 , . . . , vk ist die Menge aller Linearkombinationen von v1 , . . . , vk :
k
P
λi vi : λ1 , . . . , λk ∈ K}
lin(v1 , . . . , vk ) := {
i=1
Die lineare Hülle heißt auch Spann, Erzeugnis oder der von
v1 , . . . , vk erzeugte/aufgespannte UVR. Sie ist ein UVR von
V.
4.2
lp -Normen, Maximumsnorm
Sei p ∈ [1; ∞), dann definiert man auf Rn die lp -Norm durch
1
kxkp := (|x1 |p + · · · + |xn |p ) p
und die l∞ -Norm oder Maximumsnorm durch
kxk∞ := max |xi |
1≤i≤n
6
5 Lineare Abbildungen
Skalarprodukt
1. Symmetrie:
∀ x, y ∈ V : hx, yi = hy, xi
5.1
Seien X, Y K-VR und f : X → Y eine Abbildung. f heißt linear
wenn
1. ∀ x1 , x2 ∈ X : f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 )
2. Linearität in jedem Faktor:
∀ x, y, z ∈ V : hx + y, zi = hx, zi + hy, zi
∀ x, y ∈ V, λ ∈ R : hλx, yi = λ hx, yi
2. ∀ x ∈ X, ∀ α ∈ K : f (αx) = αf (x)
3. Positive Definitheit:
∀ x ∈ V : hx, xi ≥ 0 mit hx, xi = 0 ⇔ x = 0
Also: f (αx + βy) = αf (x) + βf (y)
Ausschluss-Kriterium: f (0) 6= 0 ⇒ f nicht linear
5.2
Positive Definitheit
Eine Matrix A ∈ Rn×n heißt positiv definit, wenn gilt:
∀ x ∈ Rn \ {0} : xT Ax > 0
Winkel
hx,yi
kxkkyk
Wenn hx, yi = 0, (also ϕ = ](x, y) = π2 ) dann heißen x und y
zueinander orthogonal, wir schreiben x ⊥ y.
4.7
Orthogonale Zerlegung und orthogonale Projektion
Sei V ein R-VR mit Skalarprodukt h. , . i, U UVR von V, x ∈ V
beliebig.
Wenn x = xu + xu⊥ mit xu ∈ U und xu⊥ ∈ U ⊥ , dann heißt
x = xu + xu⊥ orthogonale Zerlegung von x bezüglich U und xu
ist die orthogonale Projektion von x auf U.
4.9
f : X → Y, B = {b1 , . . . , bn } Basis von X, C = {c1 , . . . , cm } Basis
von Y
f (b1 ) = α11 c1 + . . . + αm1 cm
α11 ... α1n Af =
∈ Rm×n
αm1 ... αmn
f (bn ) = α1n c1 + . . . + αnn cm
Geg: Basis v1 , . . . , vr eines VR oder UVR W
Ges: ONB von W
b1 :=
5.5
Transformationsmatrix
f : X → Y , B alte Basis von X, B 0 neue Basis von X
B ⇔ T B = (B)−1 · B 0 ⇔ T B 0 = (B 0 )−1 · B
B 0 = B · TB
0
B
B0
Y · x transformiert x (von rechts nach links) aus
Anschaulich: TX
der Basis X in die Basis Y.
In
In
0
0
Sonderfall B = In : TB
0 = B bzw. B = In : TB = B
Vgl. Satz 5.12, 5.13, 5.14, 5.15.
5.6
Eigenschaften einer Matrixnorm
1. Eine Norm k . . . k auf Rn×n heißt submultiplikativ, wenn
∀ A, B ∈ Rn×n : kABk ≤ kAkkBk
2. k . . . k auf Rn×n heißt verträglich mit k . . . kV auf Rn , wenn
∀ A ∈ Rn×n , ∀ x ∈ Rn : kAxkV ≤ kAkkxkV
Gram-Schmidt Orthogonalisierung
1. Normiere v1 :
Abbildungsmatrix bzgl. Basen
heißt Abbildungsmatrix von f bezüglich B und C
Orthogonalbasis
V sei R-VR mit Skalarprodukt h. , . i, Familie v1 , . . . , vk ∈ V \ {0}
heißt orthogonal, wenn ∀ i, j ∈ [k] , i 6= j : hvi , vj i = 0. Familie
heißt Orthogonalbasis von V, wenn sie Basis von V und orthogonal
ist. Eine Familie heißt orthonormal, wenn
(
1 i = j ∈ [k]
hvi , vj i = δij :=
0 i 6= j ∈ [k]
4.8
f : X → Y heißt affin linear, wenn es eine lineare Funktion g :
X → Y und a ∈ Y gibt mit ∀ x ∈ X : f (x) = g(x) + a
5.4
Orthogonalität
Affine Linearität
...
cos ϕ =
5.3
.
Sei V ein R-VR mit Skalarprodukt h. , . i , k . . . k dadurch induzierte
Norm, und x, y ∈ V \{0}. Der Winkel ϕ = ](x, y) ∈ [0, π] zwischen
x und y ist definiert durch
4.6
Sei f : X → Y linear.
Rang(f ) := dim(Bild(f ))
Bild(f ) := {y ∈ Y : ∃x ∈ X mit f (x) = y}
Kern(f ) := {x ∈ X : f (x) = 0} ⊂ X = f −1 (0)
...
4.5
Rang, Bild, Kern
...
4.4
Lineare Abbildung
..
4.3
Sei V ein R-VR. Eine Abbildung
hx, yi : V × V → R, (x, y) 7→ hx, yi
heißt (reelles) Skalarprodukt, wenn sie folgende Eigenschaften hat:
3. Die durch k . . . kV auf Rn induzierte Matrixnorm ist definiert
durch
kAxkV
kAk :=
sup
kxk
1
v
kv1 k 1
x∈Rn ,x6=0
2. Bestimme die zu b1 orthogonale Komponente von v2 :
z2 = v2 − hv2 , b1 i · b1 und normiere b2 = kz1 k z2
V
4. eine induzierte Norm heißt ,,natürliche Norm”.
2
3. Mach den Quatsch für 2 ≤ k ≤ r so weiter:
k−1
P
zk = v k −
hvk , bi i · bi
i=1
bk =
4.10
4.11
Rn×n
und
s
m P
n
P
i=1 j=1
AT A
= In , dann heißt A orthogonal.
Kreuzprodukt/Vektorprodukt
V ×V →V
a1 b1
Seien a = a2 ∈ R3 und b = b2 ∈ R3
a3
b

 3
a2 b2
+ det
a b

3 3 
a2 b3 −a3 b2


1 b1
a3 b1 −a1 b3 .
=
Dann a × b :=  − det a

a
b

a1 b2 −a2 b1
3 3
+ det
Frobenius-Norm
kAkF :=
1
z
kzk k k
Orthogonale Matrix
Wenn A ∈
5.7
a1 b1
a2 b2
a2ij
6 Eigenwerte und Matrixfaktorisierung
6.1
Eigenwert, Eigenvektor
Sei A ∈ Cn×n . λ ∈ C heißt Eigenwert von A, wenn es x ∈ Cn , x 6=
0 mit Ax = λx gibt. x heißt dann Eigenvektor zum Eigenwert
λ. Anm: λ = 0 erlaubt. λ ∈ R ⇒ ,,reeller Eigenwert”.
6.2
Algebraische Vielfachheit
Seien λ1 , ...λr ∈ C die paarweise verschiedenen Eigenwerte von A.
⇒ χA (t) = (λ1 − t)K1 · (λ2 − t)K2 · ... · (λr − t)Kr
Ki ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts λi .
7
6.3
7 Folgen und Reihen
Eigenraum, geometrische Vielfachheit
Cn
Vλ = Kern(A−λIn ) ⊂
heißt Eigenraum von A zum Eigenwert
λ.
Vλ enthält die Eigenvektoren zum Eigenwert λ.
dim(Vλ ) := ,,geometrische Vielfachheit von λ”
(an )n∈N0 heißt beschränkt, wenn eine Zahl K ∈ R existiert, so
dass ∀ n ∈ N0 : |an | ≤ K
6.4
7.2
Diagonalisierbarkeit (Funktion)
Sei V ein VR und f : V → V Abbildung.
f heißt diagonalisierbar, wenn es eine Basis von V gibt, so dass
die Abbildungsmatrix von f bzgl. B eine Diagonalmatrix ist, also
außerhalb der Diagonalen nur Nullen hat.
7.1
Beschränkte Folge
Konvergenz
(an ) konvergiert gegen a ∈ R (ist konvergent), wenn für jede (beliebig kleine) Zahl ε > 0, ε ∈ R, eine natürlich Zahl Nε existiert,
mit
∀ ε > 0 : ∃Nε ∈ N : ∀ n > Nε : |an − a| < ε
n→∞
Schreibe dazu lim an = a, oder an −→ a.
n→∞
6.5
Diagonalisierbarkeit (Matrix)
7.3
A ∈ Rn×n heißt diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare Transformationsmatrix T ∈ Rn×n und eine Diagonalmatrix
D ∈ Rn×n gibt mit
T −1 AT = D
Spezielle Grenzwerte, Divergenz
lim an = 0 ⇒ (an ) heißt Nullfolge.
n→∞
lim an = +∞ ⇔ ∀ K ∈ R, ∃NK ∈ N, ∀ n > NK : an > K.
n→∞
lim an = −∞ ⇔ ∀ K ∈ R, ∃NK ∈ N, ∀ n > NK : an < K.
n→∞
6.6
Wenn (an ) keinen Grenzwert a ∈ R hat, dann heißt (an ) divergent.
Insbesondere sind Folgen mit lim an = ±∞ divergent.
Ähnliche Matrizen
n→∞
Zwei Matrizen A, B ∈ Rn×n heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix T ∈ Rn×n gibt mit T −1 AT = B.
6.7
lim an = a ⇔ ∀ ε > 0 : ∃Nε ∈ N : ∀ n > Nε : |an − a| < ε
Sei A0 ∈ Rn×n quadratische
Matrix. Gesucht: Obere Dreiecksmaλ1
∗
T
λ2
trix Q A0 Q =
mit EW auf Hauptdiagonalen.
.
..
1. Bestimme einen EW λ1 und EV v1 von A0
2. Bilde ONB
des Rn×n
mit v1 und n − 1 anderen Vektoren.
| |
|
V1 := v1 w2 ... wn ∈ Rn×n , orthogonal
|
|
|
e1
3. Berechne A
=
V1T A0 V1
λ
*
1
=
0
mit A1
A1
∈
4. Wiederhole Schritte 1 und 2 für A1 an Stelle von A0
⇒ V2 ∈ R(n−1)×(n−1) , orthogonal
⇒ A2 ∈ R(n−2)×(n−2)
λ2
∗
0
A2
0
..
5. Erweitere V2 mit In zu Vb2 :=
0
V2
0
0
∗
∗
A2
Sei A ∈ Rm×n , k = min(m, n).
..
.
1. Bestimme EW λi und EV vi von AT A ∈ Rn×n
Sortiere: λ1 ≥ . . . ≥ λn ≥ 0
Normiere die EV vi .
√
2. Berechneδi = λi für i ∈ [k]
δ1
0
Bilde Σ:
mit 0 zu m × n auffüllen δi 6= 0
0
3. Bilde V =
δk
|
|
v1 ... vn
|
|
4. Berechne u1 , . . . , uk mit ui = 1 Avi .
δi
|
|
Bilde U = u1 ... um
|
|
Falls m > n, ergänze zu ONB
≥1
Teilfolge
Eine Teilfolge der Folge (an ) ist eine Folge der Form (ank )k∈N ,
also an1 , an2 , an3 , . . . mit n1 < n2 < n3 < . . .
Reihe, Folge der Partialsummen
∞
P
k=1
ak ist konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsum-
k=1
Singulärwertzerlegung (Algorithmus)
a >0 an+1
an
∈ Rn×n
λ1 ∗
 0 λ2
≥ an ∀ n ∈ N, dann ist (an )
monoton steigend
> an
streng monoton steigend
≤ an
monoton fallend
< an
streng monoton fallend
Es gilt: an+1 ≥ an ⇔ an+1 − an ≥ 0 n⇔
7.7

.
Fertig, wenn Ai eindimensional oder Ai obere Dreiecksmatrix mit
EW auf Hauptdiagonalen.
Ergebnis: QT A0 Q mit Q = V1 · Vb2 · Vb3 · · ·
6.8
Wenn an+1
an+1
an+1
an+1
Die Reihe

Berechne Q2 = V1 Vb2 , so dass QT
2 A0 Q2 =
Monotonie
Sei (ak )k∈N eine Folge.
n
P
(sn )n∈N mit sn :=
ak ,,Folge der Partialsummen”
!
.
1
7.5
7.6
R(n−1)×(n−1) und EW λ1 aus Schritt 1
e2 = V T A1 V2 =
A
2
ε-Umgebung, Konvergenz
n→∞
Schur-Zerlegung (Algorithmus)
0
7.4
men (sn ) konvergiert:
∞
P
ak := lim sn
k=1
7.8
∞
P
k=1
n→∞
Absolute Konvergenz
ak heißt absolut konvergent, wenn
∞
P
k=1
|ak | konvergiert.
8
Teil II
Sätze und Propositionen
1 Grundlagen
1.1
Kombinatorik
1. Es gibt genau n! Möglichkeiten, n verschiedene Objekte in
eine Reihenfolge zu bringen.
Möglichkeiten eine Teilmenge der Größe
2. Es gibt genau n
k
k aus einer Menge der Größe n auszuwählen.
Rechenregeln: Mengen
1.12
1. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
2. A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)
1.2
1.11
Pascal’sches Dreieck
1.
n
k
2.
n
0
Gerade und ungerade Zahlen
3.
G := {n ∈ Z : ∃k ∈ Z mit n = 2k}
U := {n ∈ Z : ∃k ∈ Z mit n = 2k + 1}
G∩U =∅
1.13
=
n+1
k
n
n
=
=1
n
k
n
P
n k−1
n k n−k
a b
k
k=0
Vielfache von 3
1.15
∀ n ∈ N : 22n − 1 ist durch 3 teilbar
+
Binomischer Lehrsatz
(a + b)n =
1.3
n n−k
=
Sinus und Cosinus
1. −1 ≤ cos(x) ≤ 1 , −1 ≤ sin(x) ≤ 1
1.5
Periodische Dezimalbrüche
1.6
1.7
√
2. cos(−x) = cos(x) , sin(−x) = − sin(x)
b1 ...bk
9...9
0, b1 . . . bk =
3. (cos(x))2 + (sin(x))2 = 1
4. ∀ k ∈ Z : cos(x + 2πk) = cos(x) , sin(x + 2πk) = sin(x)
2∈
/Q
5. ∀ k ∈ Z : sin(x) = 0 ⇔ x = πk , cos(x) = 0 ⇔ x =
+ πk
Betrag, Wurzel, Dreiecksungleichung
1.16
1. |a| ≥ 0
√
2.
a2 = |a| und a2 = |a|2
Additionstheoreme
1. cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)
2. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
3. |ab| = |a||b|
4. |a + b| ≤ |a| + |b|
1.8
π
2
1.17
Additionstheoreme (Sonderfälle)
1. sin(x +
Ungleichungen
2. cos(x −
Seien a, b, c ∈ R.
π
) = cos(x)
2
π
) = sin(x)
2
3. sin(π − x) = − sin(x − π) = sin(x)
1. Genau einer der Fälle a < b, b < a, a = b tritt ein.
4. cos(π − x) = − cos(x)
2. Wenn a < b und b < c, dann a < c
1.18
3. a < b ⇔ a + c < b + c
Tangens, Kotangens
4. Wenn c > 0 : a < b ⇔ ac < bc
1. tan(−x) = − tan(x) , cot(−x) = − cot(x)
5. Wenn c < 0 : a < b ⇔ ac > bc
2. ∀ k ∈ Z : tan(x + πk) = tan(x) , cot(x + πk) = cot(x)
1.9
Zahlendarstellung, Größte Zahl, Basis
Sei Basis b ∈ N, b ≥ 2. Dann gilt ∀ Länge L ∈ N
L
P
(b − 1)bi = bL+1 − 1
i=0
1.10
n
P
k=m
n
P
2.
ak =
n
P
ak )(
5.
k=
k=0
6.
n
P
k=0
7.
n
Q
k=0
bk
k=m
1.22
n
P
ai
n−m
P
Komplexe Zahlen: Division
1. zz = |z|2
2.
am+i
m
P
n
m
m P
n
P
P
P
(
ak bj ) =
(
ak bj )
bj ) =
j=1
k=1
n
P
Fundamentalsatz der Algebra
z
w
:=
zw
ww
=
ac+bd
c2 +d2
+ i cbc−ad
2 +d2
i=0
k=m
4. (
Sei a ∈ [−1, 1] , k ∈ Z. Die Gleichungen sin(x) = a bzw. cos(x) = a
haben die Lösungen x = arcsin(a) + 2πk, x = π − arcsin(a) + 2πk
bzw. x = ± arccos(a) + 2πk
Jedes Polynom hat mindestens eine komplexe Nullstelle.
n
P
i=m
ak =
n
P
ak + d
k=m
k=m
3.
n
P
(cak + dbk ) = c
Sinusgleichungen
1.20
Summe, geometrische Summe
1.
1.19
k=1 j=1
j=1 k=1
1.23
Polardarstellung: Multiplikation
z, w ∈ C, n ∈ N, z = r(cos Φ + i sin Φ)
1. |zw| = |z||w|
n(n+1)
2
2. arg(zw) = arg(z) + arg(w)
(
qk
=
1−q n+1
1−q
q 6= 1
n+1
q=1
n
P
q k = q k=0
k
=q
n(n+1)
2
(,,geometrische Summe”)
3. zw = |z||w|(cos(arg(z) + arg(w)) + i sin(arg(z) + arg(w))
4. |z n | = |z|n
5. arg(z n ) = n arg(z)
6.
1
z
=
1
(cos(−Φ)
r
+ i sin(−Φ))
9
1.24
Injektiv, surjektiv, bijektiv
2.7
Sei X, Y 6= ∅, f : X → Y .
1. Wenn f bijektiv, dann |X| = |Y |.
2. Wenn |X| = |Y |, dann f inj. ⇔ f bij. ⇔ f surj.
1.25
Eindeutigkeit der Darstellung einer Zahl
Jedes n ∈ N0 hat genau eine Darstellung zur Basis b.
2.8
Lösungen von homogenen LGS
A ∈ Rm×n , betrachte homogenes LGS Ax = 0
1. Die allgemeine Lösung des LGS enthält genau n − Rang(A)
freie Variablen.
1.26
R ist nicht abzählbar
1.27
Fundamentalsatz der Arithmetik
Jede natürliche Zahl > 1 lässt sich eindeutig in ihre Primfaktoren
zerlegen.
1.28
Rang
Rang(A) ≤ Anzahl der Zeilen von A = m
Rang(A) = Anzahl d. Zeilen mit Pivot = Anzahl d. Spalten mit
Pivot ≤ n
⇒ Rang ≤ min(m, n).
Es gibt unendlich viele Primzahlen
2. Das LGS hat genau dann x = 0 als einzige Lösung, wenn
Rang(A) = n.
2.9
Lösungen von inhomogenen LGS
A ∈ Rm×n , b ∈ Rm , b 6= 0, betrachte inhomogenes LGS Ax = b.
1. Ax = b lösbar ⇔ Rang(A) = Rang(A|b)
2 Matrizen und lineare Gleichungssysteme
2.1
Addition, Skalar-Multiplikation
1. A + B = B + A
2. Wenn Ax = b lösbar, dann existiert spezielle Lösung y von
Ax = b, so dass die allgemeine Lösung x von Ax = b geschrieben werden kann als x = y + z, wobei z die allgemeine
Lösung von Ax = 0 ist.
3. Wenn Ax = b lösbar, dann hat die allgemeine Lösung n −
Rang(A) freie Variablen.
2. (A + B) + C = A + (B + C)
3. A + 0 = A
Insbesondere: Ax
Rang(A) = n.
4. A + (−A) = 0
=
b eindeutig lösbar ⇔
Rang(A|b)
=
5. (λµ)A = λ(µA)
2.10
6. 1 · A = A
Rechenregeln: Transponierte Matrizen
7. (λ + µ)A = λA + µA
1. ∀ A, B ∈ Rm×n : (A + B)T = AT + B T
8. λ(A + B) = λA + λB
2. ∀ A ∈ Rm×n , α ∈ R : (αA)T = αAT
3. ∀ A ∈ Rm×n : (AT )T = A
2.2
Einheitsmatrix In , neutrales Element
∀A∈
2.3
Rm×n
: AIn = A und Im A = A
Rn×r , D
1. ∀ A, B ∈
∈
(A + B)C = AC + BC
D(A + B) = DA + DB
∈
Rl×m
2. ∀ A ∈ Rm×n , B ∈ Rn×r , α ∈ R
α(AB) = (αA)B = A(αB)
3. ∀ A ∈ Rm×n , B ∈ n×r , C ∈ Rr×l
A(BC) = (AB)C
2.4
Anzahl der Lösungen eines LGS
Sei Ax = b ein LGS. Dann gibt es genau drei Möglichkeiten:
1. |L| = 0
2. |L| = 1
3. |L| = ∞
2.5
5. ∀ a, b ∈ Rm×1 : aT b = bT a.
2.11
Matrixmultiplikation
Rm×n , C
4. ∀ A ∈ Rm×n , B ∈ Rn×r : (AB)T = B T AT
Äquivalent Umformungen
Ein äquivalentes LGS erhält man durch die folgenden elementaren
Umformungen:
1. Vertauschen zweier Gleichungen
2. Multiplikation einer Gleichung mit α ∈ R, α 6= 0
Inverse einer Matrix
1. Wenn BA = In , dann auch AB = In und umgekehrt.
2. Die Inverse A−1 von A ist eindeutig bestimmt.
2.12
Invertierbarkeit einer Matrix
A ∈ Rn×n ist genau dann invertierbar, wenn A den vollen Rang
hat (Rang(A) = n).
2.13
Rechenregeln: Invertierbare Matrizen
1. Wenn A ∈ Rn×n invertierbar, so auch A−1 , und (A−1 )−1 =
A
2. Wenn A, B ∈ Rn×n beide invertierbar, so auch AB, und
(AB)−1 = B −1 A−1
3. Wenn A ∈ Rn×n invertierbar, so auch AT , und (AT )−1 =
(A−1 )T
Bemerkung: A, B invertierbar ; A + B invertierbar
2.14
Berechnen einer Determinanten
1. ∀ j ∈ [n] : det(A) =
2. ∀ i ∈ [n] : det(A) =
Wenn Ax = b homogen, dann x = 0 Lösung des LGS
n
P
(−1)i+j · aij · det(Aij )
j=1
2.15
Homogenität, triviale Lösung
(−1)i+j · aij · det(Aij )
i=1
3. Addition des Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen
Gleichung
2.6
n
P
Determinante der Einheitsmatrix
1. det(In ) = 1
2. det(αIn ) = αn
10
2.16
3 Vektorräume
Sarrus-Regel
Sei A =
a b c
d e f
g h i
.
3.1
Gruppen
1. Wenn x0 inverses Element zu x ist, dann gilt auch x ∗ x0 = e
2. ∀ x ∈ G : x ∗ e = x
det(A) = aei + bf g + cdh − gec − hf a − idb
3. Es gibt genau ein neutrales Element in G.
2.17
Rechenregeln: Determinanten
4. Zu jedem x ∈ G gibt es genau ein inverses Element x0 ∈ G
1. Gemeinsamer Faktor in einer Zeile:
−z1 −
−z1 −
det −α·zi − = α · det −zi −
−zn −
3.2
−zn −
Beispiele für Gruppen
1. (Z, +) ist abelsche Gruppe, 0 ist neutrales Element, −n ist
Inverses zu n ∈ Z
2. Summenzerlegung einer Zeile:
−z1 −
−z1 −
−z1 −
det −a+b− = det −a− + det −b−
2. (N0 , +) ist keine Gruppe
3. det(αA) = αn det(A)
4. (Q, +) und (R, +) sind abelsche Gruppen
−zn −
−zn −
2.19
−zn −
Determinante einer oberen Dreiecksmatrix
Wenn A = (aij ) ∈ Rn×n obere Dreiecksmatrix ist, dann ist
n
Q
det(A) =
aii
i=1
2.20
3. (Z, ·) ist keine Gruppe
5. (Q, ·) und (R, ·) sind keine Gruppen, weil 0 kein inverses Element hat.
6. (Q \ {0}, ·) und (R \ {0}, ·) sind abelsche Gruppen, 1 ist neutrales Element, x−1 oder x1 ist Inverses zu x ∈ Q.
3.4
Körper
(K, +, ·) Körper
Umformen einer Determinante
e aus A durch Vertauschen von zwei Zeilen ensteht,
1. Wenn A
e = −det(A).
dann det(A)
1. ∀ x ∈ K : 0 · x = x · 0 = 0
e aus A durch Multiplikation einer Zeile mit dem
2. Wenn A
e = αdet(A).
Faktor α entsteht, dann det(A)
3. Wenn x, y ∈ K, dann x · (−y) = (−x) · y = −(x · y).
2. Wenn x · y = 0 für x, y ∈ K, dann x = 0 oder y = 0.
e aus A durch Addition einer Zeile zu einer anderen
3. Wenn A
e = det(A).
entsteht, dann det(A)
Insbesondere: (−x) · (−y) = −((−x) · y) = −(−x · y) = xy
4. Wenn A zwei gleiche Zeilen hat, dann det(A) = 0.
3.5
Beispiele für Körper
1. (Q, +, ·) und (R, +, ·) und (C, +, ·) sind Körper.
Analog für Spalten statt Zeilen.
2.21
A∈
2. (Z, +, ·) ist kein Körper, da i.A. keine Inversen bzgl. ” · ”
existieren.
Kriterien für eindeutige Lösbarkeit eines LGS
Rn×n .
Die folgenden drei Aussagen sind äquivalent:
3.6
Rechenregeln: Vektorraum
K-VR (V, +, ·)
1. A ist invertierbar
2. A hat vollen Rang
1. ∀ v ∈ V : 0 · v = 0v
3. det(A) 6= 0.
2. ∀ v ∈ V : (−1) · v = −v
Wenn einer der drei Aussagen erfüllt ist, dann hat das LGS Ax = b
für jedes b ∈ Rn eine eindeutige Lösung.
3.8
Rechenregeln: Untervektorraum
1. 0v ∈ U
2.22
2. x ∈ U ⇒ −x ∈ U
Rechenregeln: Determinanten
1. det(AB) = det(A)det(B)
(aber: det(A + B) 6= det(A) + det(B))
3.11
2. det(AT ) = det(A)
3. Wenn A invertierbar, dann
det(A)det(A−1 ) = det(AA−1 ) = det(In ) = 1
1
⇒ det(A−1 ) = det(A)
4. Wenn B invertierbar, dann
det(B −1 AB) = det(B −1 )det(A)det(B) = det(A)
Sei k ∈ N, k ≥ 2, V ein K-VR, v1 , . . . , vk ∈ V . Dann
v1 , . . . , vk lin. abh. ⇔ ∃i ∈ [k] und ∃β1 , . . . , βi−1 , βi+1 , . . . , βk ∈ k
mit
vr = β1 v1 + . . . + βi−1 vi−1 + βi+1 vi+1 + . . . + βk vk
3.12
Beispiel
1 1 3
1
1 3
1 , 2 , 5
lin. abh. denn 1 + 2 2 = 5
2
2.24
Lineare Abhängigkeit
0
2
2
0
2
Cramer’sche Regel
Sei A ∈ Rn×n invertierbar, A =
| |
|
s1 s2 ... sn
| |
|
für die eindeutige Lösung x =
... ...
x1
xi
3.13
, b ∈ Rn . Dann gilt
!
von Ax = b :
xn
∀ i ∈ [n] : xi =
1
det
det(A)
|
|
|
|
|
s1 ... si−1 b si+1 ... sn
|
|
|
|
|
Lineare Abhängigkeit, Nullvektor, Teilfamilie
1. Jede (endliche) Familie von Vektoren, die den Nullvektor
enthält ist linear abhängig.
2. Jede endliche Familie von Vektoren, die eine linear
abhängigen Teilfamilie enthält, ist linear abhängig.
3. Jede Teilfamilie einer (endlichen) linear unabhängigen Familie, ist linear unabhängig.
11
Lineare Abhängigkeit
3.27
1. w ∈ lin(v1 , . . . , vk ) ⇔ lin(v1 , . . . , vk ) = lin(v1 , . . . , vk , w)
2. v1 , . . . , vk
lin.
unabh.
⇔
∀i
∈
lin(v1 , . . . , vi−1 , vi+1 , . . . , vk ) 6= lin(v1 , . . . , vk )
:
Linearkombination
Wenn v1 , . . . , vk Basis von K-VR V, dann existiert zu jedem w ∈
V genau ein n-Tupel (α1 , . . . , αn ) ∈ K n mit w = α1 v1 + . . . +
αn vn .
K-VR mit zwei Basen ⇒ gleiche Anzahl Vektoren
Sei V =
6 {0} K-VR mit zwei Basen v1 , . . . , vn und w1 , . . . , wm .
Dann n = m.
Existenz n-elementiger Körper Fn
Es gibt genau dann einen Körper mit genau n Elementen, wenn
n = pk , wobei p Primzahl und k ∈ N . Dieser Körper ist dann (bis
auf Namen der Elemente) eindeutig und wird mit Fn bezeichnet.
4 Länge, Winkel, Skalarprodukte
• oder
es
gibt
Vektoren
w1 , . . . , wl ,
v1 , . . . , vk , w1 , . . . , wl Basis von V ist.
so
dass
Für jede symmetrische und positiv definite Matrix A ∈ Rn×n
(spd-Matrix) gilt:
Die Abbildung (x, y) 7→ hx, yi mit hx, yi := xT Ay ist ein Skalarprodukt auf Rn .
4.6
Positive Definitheit
a11
Sei A =
a11 ... a1k an1
.
...
Basis
Definition eines Skalarproduktes auf Rn
...
Sei V ein K-VR mit dim(V ) = n ≥ 1. Dann:
1. Je n linear unabhängige Vektoren von V bilden eine Basis.
2. Jedes
Erzeugendensystem
mit
n
Vektoren
lin(v1 , . . . , vn ) = V ) ist eine Basis von V.
... a1n
...
• entweder v1 , . . . , vk sind Basis von V
4.4
.
Basisergänzungssatz
Sei V 6= {0} K-VR, der eine endliche Basis besitzt, und seien
v1 , . . . , vk linear unabhängig. Dann gilt:
3.20
3.29
..
3.18
Restklassen-Körper, Modulo-Multiplikation
n ist Primzahl ⇔ (Zn , +n , ·n ) ist Körper mit x·n y := x·y mod n.
Lineare Abhängigkeit
Wenn v1 , . . . , vn Basis des K-VR V, dann muss jede Familie
w1 , . . . , wm mit m > n linear abhängig sein.
3.17
3.28
... ann
∈
Rn×n symmetrisch. Hk
:=
...
3.16
Sei A ∈ Rn×n
A invertierbar
⇔ Rang(A) = n
⇔ det(A) 6= 0
⇔ Kern(A) = {0}
⇔ Spalten von A sind linear unabhängig
⇔ Zeilen von A sind linear unabhängig
⇔ dim(SA ) = dim(ZA ) = n
.
3.15
[k]
Invertierbarkeit, Dimension, Lin. Unabhängigkeit
..
3.14
ak1 ... akk
(d.h.
Dann gilt: A positiv definit ⇔ ∀ i = 1, . . . , n : det Hi > 0
3. Je n+1 Vektoren aus V sind linear abhängig.
4.7
3.22
Dimension von Zeilen- und Spaltenräumen
Sei A ∈
dim(ZA )
3.23
Rm×n .
Dann Rang(A) =
Rang(AT )
= dim(SA ) =
Rechenregeln: Zeilen- und Spaltenräume
Sei A ∈ Rm×n , Q ∈ Rn×n invertierbar, P ∈ Rm×m invertierbar.
Dann
1. SAQ = SA
Induzierte Norm des Skalarproduktes
Sei V ein R-VR und h. , . i ein beliebiges
p Skalarprodukt. Dann ist
die durch k . . . k : V → R und kxk := hx, xi definierte Abbildung
eine Norm auf V, genannt die ”durch h. , . i induzierte Norm”.
4.8
Cauchy-Schwarz-Ungleichung
Sei V ein R-VR mit Skalarprodukt h. , . i, und p
sei k . . . k die durch
h. , . i induzierte Norm, also ∀ x ∈ V : kxk := hx, xi. Dann
∀ x, y ∈ V : | hx, yi | ≤ kxkkyk
2. ZP A = ZA
4.10
Äquivalenz bei elementaren Operationen
Standard ONB, Lineare Unabhängigkeit
0
...
3.24
0
n
n

1. ei := 
 10  ∈ R . e1 , . . . , en bildet ONB des R bzgl. des
...
1. Der Zeilenraum ZA einer Matrix A ändert sich bei elementaren Zeilenoperationen NICHT.
0
2. Der Spaltenraum SA einer Matrix A ändert sich bei elementaren Spaltenoperation NICHT.
3.25
Rangungleichung
Seien A ∈ Rm×n , B ∈ Rn×r .
Rang(AB) ≤ Rang(A)
Rang(AB) ≤ Rang(B)
3.26
Dimensionsformel
Rang(A) + dim(Kern(A)) = n
Standardskalarproduktes.
2. Wenn v1 , . . . , vk orthogonal, dann sind diese linear unabhängig.
4.11
Orthogonale Zerlegungen
Sei V ein R-VR mit Skalarprodukt h. , . i, v1 , . . . , vk ONB von V,
und x ∈ V . Dann gilt für die Darstellung x = α1 v1 + . . . + αk vk
von x, dass
∀ i ∈ [k] : αi = hx, vi i.
12
4.12
Orthogonaler Raum
5.8
Sei V ein R-VR mit Skalarprodukt h. , . i und U ⊂ V ein UVR von
V.
f :
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
U ⊥ := {v ∈ V, ∀ u ∈ U : hv, ui = 0}
heißt ”der zu U orthogonale Raum”. Es gilt:
1. U ⊥ ist UVR
Lösungsmenge Ax = b, Kern, Rang, Inv.barkeit
Rn
→ Rn ; f : x 7→ Ax
Ax = 0 hat nur triviale Lösung x = 0
Kern(f ) = {0}
f ist bijektiv
Ax = b hat eindeutige Lösung x ∀ b ∈ Rn
Rang(A) = n (vgl. 3.27)
A invertierbar
det(A) 6= 0
2. U ∩ U ⊥ = {0}
5.10
3. dim U ⊥ + dim U = dim V
Eigenschaften einer Basis
f : X → Y linear, B = {b1 , . . . , bn } Basis von X
Orthogonale Projektion
v1 , . . . , vk ist ONB von U ⇒ xU = hx, v1 i v1 + . . . + hx, vk i vk
hv1 ,vk i ... hvk ,vk i
4.14
γk
...
...
...
...
Ohne ONB von U : Entweder ONB erzeugen oder LGS lösen:
hv ,v i ... hv ,v i hx,v i k
γ1
1 1
1
P
k 1
mit xU =
=
γi vi
hx,vk i
i=1
Abstand, Orthogonale Projektion
Sei V ein R-VR mit Skalarprodukt h. , . i , k . . . k entsprechende
Norm, U UVR, x ∈ V, xu ∈ U orthogonale Projektion von x auf
U. Dann:
∀ y ∈ U : kx − xu k ≤ kx − yk
4.15
Rechenregeln: Orthogonale Matrizen
A ∈ Rn×n orthogonal. Dann ∀ x, y ∈ Rn :
1. Dann ist f eindeutig durch f (b1 ), . . . , f (bn ) bestimmt.
2. Bild(f ) = lin(f (b1 ), . . . , f (bn ))
3. {f (b1 ), . . . , f (bn )} Basis von Y ⇔ f bijektiv
5.11
Anwendung der Abbildungsmatrix
Wenn f : X → Y, b1 , . . . , bn Basis von X, c1 , . . . , cn Basis von Y,
Af Abbildungsmatrix
v = λ1 b1 + . . . + λn bn , f (v) = µ1 c1 + . . . + µm cm dann
µ1 λ1
Af
=
...
Die orthogonale Projektion xU des Vektors x in den VR U existiert
immer und ist eindeutig. Es gilt: x = xU + x⊥
U
...
4.13
µm
λn
5.12
Invertierbarkeit der Transformationsmatrix
B ist immer invertierbar und es gilt
TB
0
B )−1 = T B
(TB
0
B
0
1. A−1 = AT
2. hAx, Ayi = hx, yi
5.13
3. kAxk = kxk
Wenn X
Rn :=
|
|
B := b1 ... bn
|
| !
4. ](Ax, Ay) = ](x, y)
Es gilt: |λ| = 1 ∀ Eigenwerte λ ∈ C
4.16
Rechenregeln: Kreuzprodukt
Basiswechsel mit Transformationsmatrix (Matrix)
|
|
b01 ... b0n
|
|
B 0 :=
(Spalten =
b alte Basisvektoren)
(Spalten =
b neue Basisvektoren
B
dann B 0 = B · TB
0
Siehe auch Def. 5.5.
1. a ⊥ (a × b) und b ⊥ (a × b)
2. Fläche= ka × bk = kakkbk sin ϕ
5.14
3. a × a = 0
4. a × b = −b × a
Sei v = λ1 b1 + . . . + λn bn , und v = λ01 b01 + . . . + λ0n b0n
!
0
5. a × b = 0 ⇔ a und b linear abhängig
Dann
5.2
Bild(f ) ⊂ Y , Kern(f ) ⊂ X
Seien X,Y K-VR und f : X → Y linear.
Dann ist Bild(f ) UVR von Y und Kern(f ) UVR von X.
5.5
f injektiv ⇔ Kern(f ) = {0}
f linear und injektiv ⇔ Kern(f ) = {0}
5.6
Dimensionsformel Bild, Kern
f linear ⇔ dim(Bild(f )) + dim(Kern(f )) = dim(X)
5.7
f : X → X ⇔ f bijektiv
f : X → X linear, dim(X) endlich ⇔ f bijektiv
5.15
B ·
= TB
0
λ1
...
...
λ1
λn
6. ka × bk2 + ha, bi2 = kak2 kbk2
5 Lineare Abbildungen
Basiswechsel mit Transformationsmatrix (λ)
λ0n
Abbildungsmatrix bezüglich neuer Basen
Sei f : X → Y , B alte Basis von X, B 0 neue Basis von X, C alte
Basis von Y , C 0 neue Basis von Y . Dann:
0
C A TB
A0f = TC
f B0
5.18
Induzierte Matrixnorm
Sei k . . . kV Norm auf Rn und k . . . k die dadurch induzierte Norm
auf Rn×n .
1. k . . . k ist mit k . . . kV verträglich.
2. k . . . k ist submultiplikativ.
3. kAk =
sup
x∈Rn ,kxkV =1
4. kIn kV = 1
kAxkV
13
5.19
Induzierte Maximums- und 1-Norm
1. Die Maximumsnorm k . . . k∞ auf Rn induziert auf Rn×n die
n
P
,,maximale Zeilensumme”: kAk∞ := max
|aij |
i∈[n] j=1
induziert auf Rn×n die ,,maxin
P
male Spaltensumme”: kAk1 := max
|aij |
2. Die 1-Norm k . . . k1 auf
Rn
j∈[n] i=1
6 Eigenwerte und Matrixfaktorisierung
6.1
Eigenwerte, Charakteristisches Polynom
λ ∈ C ist Eigenwert von A ∈ Cn×n ⇔ λ ist Nullstelle des charakteristischen Polynoms
χA (t) := det(A − t · In )
6.3
Determinante, Invertierbarkeit
Seien λ1 , ...λr die Eigenwerte der Matrix A mit den algebraischen
Vielfachheiten K1 , ...Kr .
K2
Kr
1
a) det(A) = λK
1 · λ2 · ... · λr
b) A invertierbar ⇔ alle Eigenwerte von A sind 6= 0
6.5
Algebraische und geometrische Vielfachheiten
K n×n
a) Jedes A ∈
hat n (nicht notwendiger Weise verschiedene) Eigenwerte in C, d.h. die algebraischen Vielfachheiten
addieren sich zu n.
b) Algebraische und geometrische Vielfachheiten müssen nicht
übereinstimmen, aber es gilt immer
|{geometrische Vielfachheiten}|
≤
|{algebraische Vielfachheiten}|
6.7
Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren
Sei A ∈ K n×n mit Eigenvektoren v1 , ...vr zu den paarweise verschiedenen Eigenwerten λ1 , ...λr . Dann ist die Familie v1 , ...vr linear unabhängig.
Symmetrie ⇒ ONB aus Eigenvektoren
6.14
Wenn A ∈ Rn×n symmetrisch ist, dann existiert eine ONB des
Rn aus Eigenvektoren von A und alle Eigenwerte sind reell (aber
nicht notwendiger Weise verschieden). Insb nach 6.10 ist A diagonalisierbar.
6.15
Ähnlichkeit,
vektoren
Diagonale Abbildungsmatrix Af ⇒ f (vi ) = λi vi
b) Zwei ähnliche Matrizen haben die gleichen Eigenwerte (evtl.
aber verschiedene Eigenvektoren)
c) Wenn A und B die gleichen Eigenwerte haben und die entsprechenden Vielfachheiten (algebraisch und geometrisch)
übereinstimmen, dann sind A und B ähnlich.
6.16
Symmetrie, positive Definitheit, Eigenwerte
Sei A ∈ Rn×n symmetrisch. Dann ist A positiv definit ⇔ Alle
Eigenwerte von A sind positiv.
6.17
Obere Schranke für Eigenwerte
Sei λ Eigenwert von A ∈ Rn×n . Dann ist |λ| ≤ ||A||, wenn ||.|| die
durch die Vektornorm ||.||V induzierte Norm ist.
Insb. gilt:
n
P
|λ| ≤ ||A||∞ = max
|aij | ,,max. Zeilensumme”
1≤i≤n j=1
n
P
|λ| ≤ ||A||1 = max
1≤j≤n i=1
6.18
|aij | ,,max. Spaltensumme”
Euklidische Norm (Symmetrische Matrix)
Sei A ∈ Rn×n symmetrisch, ||.|| die durch ||.||2 induzierte Norm
auf Rn×n .
||A||2 = max{|λ| : λ ist Eigenwert von A}
Euklidische Norm (Asymmetrische Matrix)
√
kAk2 = µmax , wenn µmax der betragsmäßig größte Eigenwert
T
von A A ist.
c) Wenn A n paarweise verschiedene Eigenwerte besitzt, dann
ist A diagonalisierbar.
Anm: Umkehrung von 6.10c gilt nicht!
A = In ist wegen In−1 In In = In = D diagonalisierbar, hat aber
wegen v = In v = λv nur λ = 1 als Eigenwert mit algebraischer
Vielfachheit n.
R = QT AQ , so dass R rechte obere Dreiecksmatrix ist.
T
Falls ∃λi ∈
/ R, dann existiert Q ∈ Cn×n mit R = Q AQ ∈ Cn×n .
Q heißt dann unitär (nicht orthogonal).
6.24
A∈
Diagonalisierbarkeit, Eigenwerte
Rn×n

Σ=
t)K2 ...(λ
0
δn
0 ... 0
.
..
...

 falls m ≥ n.
0 ... 0
δ1 ≥ δ2 ≥ . . . ≥ δk ≥ 0 für k = min(m, n) und A = U ΣV T
Eigenschaften der Singulärwertzerlegung
1. ∀ i ∈ [k] : Avi = δi ui , AT ui = δi vi
ist genau dann diagonalisierbar wenn
t)K1 (λ
...
Sei A ∈ Rm×n . Dann existieren orthogonale Matrizen U ∈
n×n und diagonale Matrix Σ ∈ Rm×n mit
Rm×m
,V ∈ R
δ1
0 0 ... 0
falls m ≤ n.
Σ=
0 ... 0
 δ01 δm
0 
6.25
6.13
Singulärwertzerlegung
.
b) A diagonalisierbar ⇔ ∃ Basis v1 , ...vn von Rn , die nur aus
Eigenvektoren besteht.
(λi − t)Ki mit paarw. versch. λi ∈ R
Dann existiert eine orthogonale Matrix Q ∈ Rn×n mit
..
Diagonaliserbarkeit, Eigenwerte, Eigenvektoren
a) Wenn A diagonalisierbar ist mit T −1 AT = D, dann muss
D die Eigenwerte von A enthalten und die Spalten von T
bilden eine Basis des Rn mit den Eigenvektoren.
r
Q
i=1
.
6.10
A ∈ Rn×n und χA (t) =
..
Wenn A ∈ Rn×n Abbildungsmatrix einer diagonalisierbaren Abbildung, dann ist die Transformationsmatrix T ∈ Rn×n und Diagonalmatrix D ∈ Rn×n mit T −1 AT = D.
Schur-Zerlegung
.
Abbildungs-, Diagonal- und Transformationsmatrix
6.20
..
6.9
λn
...
0
...
..
.
f : V → V diagonalisierbar,
mit
Basis B = {v1 , ...vn } und Abbilλ1
0
dungsmatrix D =
⇒ f (vi ) = λi vi ∀ i ∈ [n]
Eigenwerte/-
a) Eine diagonalisierbare Matrix ist zu einer Diagonalmatrix
ähnlich.
6.19
6.8
Diagonalisierbarkeit,
t)Kr
2. AT = V ΣT U T hat die gleichen Singulärwerte wie A.
a) χA (t) = (λ1 −
r −
2−
mit paarweise verschiedenenen Eigenwerten λi ∈ R ∀ i ∈ [r]
3. δ12 , . . . , δk2 sind EW der Matrix AT A ∈ Rn×n mit EV
v1 , . . . , vk .
b) dim(Vλi ) = Ki ∀ i ∈ [r]
4. AT A = V DV T und D = ΣT Σ
14
7 Folgen und Reihen
7.15
7.2
n→∞
Konvergenz von Teilfolgen
lim an = a ⇔ Alle Teilfolgen von (an ) konvergieren gegen a
Eindeutigkeit des Grenzwertes
Sei (an ) eine konvergente Folge. Dann ist der Grenzwert eindeutig
bestimmt.
7.16
7.3
Zwei Teilfolgen einer Folge (an ) konvergieren gegen verschiedene
Grenzwerte ⇒ (an ) ist divergent.
Beschränkte Folge, Grenzwert
Divergenz, Teilfolgen
lim an = a ⇒ (an ) beschränkt
n→∞
7.17
7.4
Beschränktheit, konvergente Teilfolge (BolzanoWeierstraß)
Beschränktheit, Konvergenz
a) Beschränktheit ; Konvergenz, Bsp. an = (−1)n
b)
Jede beschränkte Folge hat (mindestens) eine konvergente Teilfolge.
lim an = ±∞ ⇒ (an ) nicht beschränkt
n→∞
c) an nicht beschränkt ; lim an = ±∞
7.18
n→∞
7.5
∞
P
Grenzwert: Rechenregeln
Geometrische Reihe
q k = lim
n→∞
k=0
1−q n+1
1−q
=
1
1−q
für |q| < 1
Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N mit a = lim an und b = lim bn
n→∞
n→∞
7.19
a)
b)
c)
d)
e)
7.6
lim (an + bn ) = a + b
∞
P
n→∞
lim (an · bn ) = a · b
lim an
n→∞ bn
lim
√
n→∞
=
a
b
an =
1
k
k=1
n→∞
Harmonische Reihe
=∞
für b 6= 0
√
7.20
Rechenregeln: Reihen
Seien
∞
P
a für an ≥ 0 ∀ n ∈ N
lim |an | = |a|
k=1
n→∞
Grenzwert: Ungleichungen
∞
P
a)
∞
P
ak = a und
bk = b
k=1
(ak ± bk ) = a ± b
k=1
∃N ∈ N so dass an
an
Gilt nicht:
an
an
≤ bn ∀ n > N ⇒ a ≤ b
≥ bn
a≥b
∞
P
b)
(λ · ak ) = λ · a ∀ λ ∈ R
k=1
< bn
> bn
a<b
a>b
Anm: Vorsicht mit
∞
P
(ak · bk )
k=1
7.8
Sandwich-Theorem
Seien lim an = lim bn = d, Folge (cn )n∈N mit ∃N ∈ N : ∀ n >
N :
n→∞
ak ≤ cn
≤
n→∞
bn . Dann
existiert lim cn = d.
cn wird durch an von unten und
n→∞
von bn
von oben eingesperrt.
7.21
Konvergenz-Kriterium für Reihen (Cauchy)
Betrachte
∞
P
ak , sn :=
k=1
n
P
ak .
k=1
∞
P
7.9
Beschränktheit, Monotonie, Konvergenz
(an ) beschränkt und monoton steigend/fallend ⇒ (an ) konvergent
7.10
Fixpunktgleichung, Rekursion
a) Wenn (an )n∈N rekursiv durch an+1 = f (an ) definiert und
Grenzwert lim an existiert, dann muss der Grenzwert die
ak konvergiert
k=1
(sn )n∈N konvergiert
⇔
⇔ ∀ ε > 0 : ∃Nε ∈ N : ∀ n > m > Nε : |sn − sm | < ε
n
P
⇔ ∀ ε > 0 : ∃Nε ∈ N : ∀ n > m > Nε : |
ak | < ε
k=m+1
7.22
Reihen-Konvergenz, Nullfolge
Wenn
∞
P
n→∞
Fixpunktgleichung a = f (a) erfüllen
b) Nicht jede Lösung der Fixpunktgleichung a = f (a) ist Grenzwert, evtl. existiert gar kein Grenzwert. Bspw. negative
Lösungen für nur positiv definierte Folgen.
7.11
Bernoulli-Ungleichung
∀ x ∈ R mit x ≥ −1 und ∀ n ∈ N0 gilt
(1 + x)n ≥ 1 + nx
7.13
lim
n→∞
Euler’sche Folge, Exponentialfunktion
1+
x n
n
=: ex = exp(x) mit e ≈ 2, 72
k=1
ak konvergent, dann ist (ak )k∈N eine Nullfolge.
7.23
Absolute Konvergenz, Konvergenz
Wenn
∞
P
ak absolut konvergent, dann ist
ak auch konvergent.
k=1
k=1
7.24
∞
P
Alternierende Reihe (−1)k ak (Leibniz-Kriterium)
Sei (ak )k∈N mit ak ≥ 0 ∀ k ∈ N oder ak ≤ 0 ∀ k ∈ N eine monoton
∞
P
fallende Nullfolge. Dann konvergiert die Reihe
(−1)k · ak
k=1
Es gilt: exp(x + y) = exp(x) · exp(y)
7.25
7.14
Konvergenz-Kriterium für Folgen (Cauchy)
Eine Folge (an ) ist genau dann konvergent, wenn
∀ ε > 0 : ∃Nε : ∀ n, m > Nε : |am − an | < ε
d.h. die Abstände werden (für große Indizes) beliebig klein.
Beschränktheit, Absolute Konvergenz
Wenn die Folge der Partialsummen der Absolutbeträge (sn )n∈N
n
∞
P
P
mit sn :=
|ak | beschränkt ist, dann ist die Reihe
ak absolut
k=1
konvergent.
k=1
15
7.26
Majoranten-Kriterium
Seien (an )n∈N und (bn )n∈N Folgen
mit ∃N ∈ N : |an | ≤ bn ∀ n > N
∞
P
a)
bn konvergent ⇒
n=1
∞
P
b)
∞
P
k=1
∞
P
k=1
|an | divergent ⇒
∞
P
bn divergent
n=1
Zeta-Reihe 1/kr
1
kr
divergiert
1
kr
konvergiert für r > 1
7.29
an absolut konvergent
n=1
n=1
7.27
∞
P
für r ≤ 1
Quotientenkriterium
a) Wenn ∃N ∈ N und 0 < q < 1 mit
ak+1 a ≤q<1∀k>N
k
∞
P
dann ist
ak absolut konvergent
k=1
b) Wenn ∃N ∈ N und
ak+1 a ≥1∀k>N
k
∞
P
dann ist
ak divergent
k=1
7.30
Quotientenkriterium für k → ∞
Reihe
∞
P
k=1
a
ak . Wenn ρ := lim k+1
existiert und
a
k
k→∞
a) ρ < 1 ⇒
∞
P
ak konvergiert absolut
k=1
b) ρ > 1 ⇒
∞
P
ak divergiert
k=1
7.31
Wurzelkriterium
Reihe
∞
P
ak . Wenn µ := lim
k→∞
k=1
a) µ < 1 ⇒
∞
P
∞
P
k=1
|ak | existiert und
ak konvergiert absolut
k=1
b) µ > 1 ⇒
p
k
ak divergiert