Mathematische Erfrischungen I Folgen und Reihen

Signalverarbeitung und Musikalische Akustik - MuWi UHH WS 06/07
Mathematische Erfrischungen I
Folgen und Reihen
Klaus Frieler
Universität Hamburg
Folgen und Reihen
• Eine mathematische Folge ist eine Folge von Zahlen, deren Glieder
durch Bildungsgesetze bestimmt sind.
• Man schreibt
(an)1≤n≤N
für endliche Folgen der Länge N. Jede endliche Folge kann auch als
Vektor aufgefasst werden. Unendliche Folgen haben unendliche Länge.
Formal sind sie eine Abbildung der natürlichen Zahlen in eine beliebige
Menge X (z.B. reelle Zahlen)
a:N → X
n 7→ a(n) = an
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Folgen und Reihen
• Beispiel: Die ersten 10 Primzahlen
a = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 31}
• Beispiel: Die natürlichen Quadratzahlen
an = n 2
• In der DSP sind digitale Signale in diesem Sinne endliche Folgen (oder
Vektoren). Z.B. eine Sekunde Sound gesamplet mit 16 bit und 44,1 kHz
x : [0, 44099] → [−32768, 32767]
n 7→ x(n)
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Folgen und Reihen
• Man sagt, unendliche Folgen konvergieren, wenn die Werte mit wachsenden Folgennummer gegen einen einzigen Punkt streben, dem Grenzwert. Man schreibt dann
lim a = a
n→∞ n
• Man sagt, sie divergieren bestimmt, wenn sie gegen ±∞ streben.
• Beispiel: an = n2. Dieser Grenzwert existiert nicht, da die Folgenglieder
immer größer werden.
1 . Es gilt:
• Beispiel: an = n
lim a = 0
n→∞ n
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Folgen und Reihen
Rechenregeln für konvergente Folgen. Sei also
lim a = a, lim bn = b.
n→∞ n
n→∞
Dann gilt
lim a ± bn = lim an ± lim bn = a ± b
n→∞ n
n→∞
n→∞
lim a b = lim an lim bn = ab
n→∞ n n
n→∞
n→∞
limn→∞ an
a
an
=
=
(b 6= 0)
lim
n→∞ bn
limn→∞ bn
b
Sei f eine stetige Funktion, dann gilt:
lim f (an) = f (a)
n→∞
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Folgen und Reihen
• Allgegenwärtig sind Summen, auch Reihen genannt, in der DSP.
a1 + a2 + · · · + aN :=
N
X
an
n=1
• Summen sind naturgemäß additiv, d.h.
N
X
n=1
N
X
an ±
bn =
n=1
N
X
(an ± bn)
n=1
• Konstante Faktoren kann man ausklammern, d.h.
N
X
n=1
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can = c
N
X
an
n=1
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Folgen und Reihen
• Der Name des Summationsindex spielt keine Rolle, d.h.
N
X
an =
n=1
N
X
am
m=1
• Ebenfalls möglich sind Reindizierungen:
N
X
n=1
an =
−1
X
n=−N
a−n =
N
X
n=1
aN −n−1 =
NX
+k
n=1+k
an−k =
NX
−k
an+k
n=1−k
• Die Konvention lautet, dass die untere Grenze kleiner als die obere
Grenze sein muss, ansonsten ist die Summe 0, sowie dass die Summationindizes um jeweils 1 erhöht werden.
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Folgen und Reihen
• Summen können auch aufgespalten werden. Z.B.
2N
X
an =
n=1
2N
X
N/2
X
an =
n=1
• Beispiel FFT (mit WN = e
Xk =
n=0
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kn =
xn W N
− 2πi
N
2N
X
an +
n=1
n=1
NX
−1
N
X
a2n +
an
n=N +1
N/2
X
a2n−1
n=1
, N = 2k ):
N/2−1
X
n=0
2kn + W
x2nWN
N
N/2−1
X
2kn
x2n+1WN
n=0
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Folgen und Reihen
• Mehrfachsummen sind auch sehr geläufig. Man kann sie vertauschen,
wenn sie unabhängig sind, z.B:
N
X
M
X
M
X
bnm =
n=1 m=1
N
X
bnm
m=1 n=1
oder
N
X
M
X
n=1 m=1
an b m =
N
X
an (
n=1
M
X
bm ) = (
m=1
N
X
n=1
an)(
M
X
bm )
m=1
• Aber:
N
X
M
X
bnm
n=1 m=n+1
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Folgen und Reihen
• Beispiel: Polynome vom Grad N einer reellen oder komplexen Variablen
x sind folgende durch Summen definierte Funktionen:
P (x) =
N
X
a n xn
n=0
• Summe von Potenzen einer Zahl q
N
X
1 − q N +1
k
1
2
N
q = 1 + q + q + ··· + q =
1−q
k=0
Beweis:
(1 − q)
N
X
k=0
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qk =
N
X
k=0
qk −
N
X
q k+1 =
N
X
(q k − q k+1)
k=0
k=0
= 1 − q + (q − q 2) + (q 2 − q 3) + · · · = 1 − q N +1
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•
Folgen und Reihen
• Summen können auch unendlich sein, z.B.
∞
X
1
n=1 n
,
∞
X
(−1)n
n=1 2n + 1
∞
X
,
ei2πn
n=−∞
wenn sie defniert sind, im Sinne von konvergenten Teilsummen, denn:
• Jede Summe kann als Folge von Teilsummen aufgefasst werden, d.h.
mit
sn =
N
X
ak
k=1
gilt
∞
X
n=1
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an = lim sn = lim
n→∞
n→∞
N
X
an
n=1
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Folgen und Reihen
• Beispiel: Die sehr wichtige geometrische Reihe. Sei |q| < 1 (reell oder
komplex) und k > 1. Dann gilt
∞
X
k=0
qk =
1
1−q
• Beispiel: Fourierreihe. Für eine periodische Funktion f mit Periode T
gilt
∞
X
2π
2π
a0
+
an sin( nt) + bn cos( nt)
f (t) =
2
T
T
n=1
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