Endliche Körper I

WS 2008/09
Diskrete Strukturen
Prof. Dr. J. Esparza
Lehrstuhl für Grundlagen der
Softwarezuverlässigkeit und theoretische
Informatik
Fakultät für Informatik
Technische Universität München
http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809
Kapitel V – Algebraische Strukturen
• Algebraische Strukturen
– Grundlagen
– Gruppen
– Endliche Körper
• Zahlenkörper
• Polynomkörper
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Kapitel V – Algebra; Körper
• Definition:
Eine Algebra A  S,  ,  mit zwei zweistelligen
Operatoren  und  heißt Ring, falls
R1. S,  ist eine abelsche Gruppe
mit neutralem Element 0  S.
R2. S,  ist ein Monoid mit neutralem Element 1  S.
R3.
a  (b  c)  (a  b)  (a  c)
(b  c)  a  (b  a)  (c  a)
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a, b,c  S
a, b,c  S
Kapitel V – Algebra; Körper
• Definition:
Eine Algebra A  S ,  ,  mit zwei zweistelligen
Operatoren  und  heißt Körper, falls
K1.
S ,  ist ein abelscher Gruppe
mit neutralem Element 0  S.
K2.
S \  0  ,  ist eine abelsche Gruppe mit
neutralem Element 1  S.
K3. a  (b  c)  (a  b)  (a  c)
a,b,c  S
(Das Rechts-Distributivgesetz folgt aus den
übrigen Eigenschaften.)
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Kapitel V – Algebra; Körper
• Beispiele
(wobei im weiteren Verlauf häufig
und ⊙ durch ersetzt werden)
durch +
 , , : kommutativer (in Bezug auf ) Ring
 n , n , n
n   ,n  1: kommutativer Ring
 , , ,  , , : Körper
 2 , 2 ,2 : Körper
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• Beispiel:
Setzt man K = {0,1,a,b} und definiert eine
Addition und Multiplikation wie folgt:
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0
1
a
b
⊙
0
1
a
b
0
0
1
a
b
0
0
0
0
0
1
1
0
b
a
1
0
1
a
b
a
a
b
0
1
a
0
a
b
1
b
b
a
1
0
b
0
b
1
a
so bildet K,⊕,⊙ einen Körper.
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Kapitel V – Algebra; Körper
• Endliche Körper sind in der Kryptographie und in
der Computer-Algebra sehr nutzlich.
• Frage: wie findet man endliche Körper?
• Wir werden eine erste Antwort durch diesen Satz
geben:
Satz: Bezeichnet man mit +n und n die Addition
bzw. Multiplikation Modulo n, so gilt:
ℤn, +n, n ist ein Körper n ist Primzahl.
• Zur Vorbereitung brauchen wir einige
Grundeigenschaften des größten gemeinsamen
Teilers zweier Zahlen.
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• Größter gemeinsamer Teiler
Definition:
Seien a, b ℕ. Der größte gemeinsame Teiler
von a und b ist die größte natürliche Zahl, die
sowohl a als auch b teilt, d.h.
ggT(a, b) := max{k ℕ | k|a und k|b}
wobei k|m eine Abkürzung für „k teilt m“ ist.
Sind a1,…, an ℕ, n 3, dann definieren wir
ggT(a1,…, an) := ggT(ggT(a1,…, an-1), an).
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• Größter gemeinsamer Teiler
Satz: Seien x, y 2 N mit x · y :
1. Wenn y mod x = 0 dann ggT(x,y) = x
2. Wenn y mod x > 0 dann ggT(x,y) = ggT(x,y mod x)
Beweis:
1. Klar. Zu 2. : Es gilt y = (y mod x) + by/xc x. Daraus
folgt für alle z 2 N:
(z|x und z|y) gdw. (z|x und z|(y mod x)).
Damit haben (x,y) und (x, y mod x) dieselben
gemeinsamen Teiler, und so ggT(x, y) = ggT(x, y mod x).
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• Größter gemeinsamer Teiler
Der Satz führt zum Euklidischen Algorithmus zur
Berechnung vom ggT zweier Zahlen:
Procedure ggT (x, y ℕ mit x y)
if y mod x = 0 then return x
else return ggT(y mod x, x)
(Euklid von Alexandria, ca. 325–265 v. Chr.)
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• Größter gemeinsamer Teiler
Satz: Seien x, y 2 N. Es gibt a, b 2 Z mit
ggT(x,y) = a x + b y
Beweis: Durch Induktion über max{x,y}.
Basis: max{x,y}=1.
Dann x=1=y und ggT(x,y) = 1 = 1 x + 0 y.
Schritt: max{x,y} > 1.
O.b.d.A. sei x · y. Wir betrachten zwei Fälle.
Fall 1. y mod x = 0. Dann ggT(x,y) = x = 1 x + 0 y.
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• Größter gemeinsamer Teiler
Fall 2. y mod x > 0. In diesem Fall gelten x < y und
ggT(x, y) = ggT(y mod x, x). Wir haben
max{y mod x, x} = x < y · max{x,y}
und so (Induktionsannahme) gibt es a´, b´ 2 Z mit
ggT(x,y) = ggT(y mod x, x) = a´ (y mod x) + b´ x
Mit y mod x = y - by/xc x erhalten wir
ggT(x,y) = a´ (y -by/xc x) + b´ x
= (b´-by/xc a´) x + a´ y.
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• Größter gemeinsamer Teiler
Der Beweis des Satzes führt zu einem Algorithmus für
die Berechnung der Zahlen a und b, dem Erweiteten
Euklidischen Algorithmus:
Procedure ErwggT(Zahlen x,y ℕ mit x y)
if y mod x = 0 then return (1, 0)
else
(a´, b´) Ã ErwggT(y mod x, x);
(a , b) Ã (b´-by/xc a´ , a´);
return (a, b)
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• Größter gemeinsamer Teiler
Beispiel mit x= 45, y = 63.
ggT(45,63)
=
ggT(18,45)
=
ggT( 9,18)
=
9
9 = (1 – b63/45c· (-2)) · 45 + (-2) · 63
= 3 · 45 + (-2) · 63
9 = (0 – b45/18c· 1) · 18 + 1 · 45
= -2 · 18 + 1 · 45
9 = 1 · 9 + 0 · 18
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• Eigenschaften von Körpern
Satz: In jedem Körper K gilt für alle a K :
a 0=0 a=0
Beweis:
Es sei a ein beliebiges Element aus K. Dann folgt
aus den Axiomen:
0 + (a 0) = a 0 = a (0 + 0) = (a 0) + (a 0).
Die Kürzungsregel ergibt 0 = a 0 □
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• Eigenschaften von Körpern
Satz: In jedem Körper K gilt für alle a,b 2 K:
a b = 0 a = 0 oder b = 0.
(Körper sind nullteilerfremd)
Beweis:
Seien a,b mit a b = 0. Falls a 0, so existiert ein
multiplikatives Inverses a−1 von a. Unter Verwendung
des Satzes auf der letzten Seite folgt damit: b = 1 b =
a−1 a b = a−1 0 = 0.
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• Eigenschaften von Körpern
Satz: ℤn, +n, n ist ein Körper , n ist Primzahl.
Beweis:
()): Wir beweisen die Kontraposition. Sei n 2 N eine
zusammengesetzte Zahl (also keine Primzahl). Dann
gibt es Zahlen a,b, mit 1 < a · b < n und a b = n.
Insbesondere gilt a 0 b.
Aus a b = n folgt a n b = 0. Damit gilt
a 0 b und a n b = 0. Aus dem Satz auf der vorigen
Seite folgt, dass ℤn, +n, n kein Körper ist.
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• Eigenschaften von Körpern
Satz: ℤn, +n, n ist ein Körper , n ist Primzahl.
Beweis:
((): Sei n 2 N beliebig. ℤn, +n ist eine abelsche
Gruppe. Darüber hinaus ist n assoziativ und
kommutativ mit neutralem Element 1. Die
Distributivgesetze gelten.
Wir zeigen: Wenn n eine Primzahl ist, dann hat jedes
Element von ℤn ein inverses Element.
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• Eigenschaften von Körpern
Beweis (Forts.):
Sei n Primzahl. Zu zeigen ist : für jedes x ℤn gibt es
ein y ℤn mit (x n y) 1.
Sei x ℤn beliebig. Mit n Primzahl gilt ggT(x,n) = 1.
Es existieren also Zahlen a, b 2 Z mit a · x + b · n = 1
(Erweiterter Euklidischer Algorithmus).
Damit gilt (a n x) +n (b n n) ´ 1.
Aus (b n n) ´ 0 folgt (a n x) ´ 1.
Wähle y := a.
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