Algebra für Wirtschaftsschulen

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Rolf Männel, Markus Heisterkamp
Algebra für Wirtschaftsschulen
35. Auflage
Bestellnummer 03216S
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und alle weiteren Angaben) sind i. d. R. fiktiv, d. h., sie stehen in keinem Zusammenhang mit
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Bildungsverlag EINS GmbH
Ettore-Bugatti-Straße 6⫺14, 51149 Köln
ISBN 978-3-441-03216-8
© Copyright 2016: Bildungsverlag EINS GmbH, Köln
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Vorwort
Vorwort
Der vorliegende Band „Algebra für Wirtschaftsschulen“ ist so konzipiert, dass er die aktuellen Lehrpläne aller Bundesländer für die Berufsfachschulen der Fachrichtung Wirtschaft
und Verwaltung abdeckt.
Hierzu wurde ⫺ mathematisch gesprochen ⫺ die Vereinigungsmenge aus den inhaltlichen
Rahmenvorgaben der Kultusministerkonferenz für den mittleren Schulabschluss und den
Inhalten der Bildungspläne für die kaufmännischen Berufsfachschulen der einzelnen Bundesländer gebildet. Themengebiete der Vorauflage, die nicht mehr Gegenstand des Unterrichtsstoffs sind, wurden gestrichen (z. B. Aussagenlogik). Andere Kapitel wurden den Bildungsplänen entsprechend neu aufgenommen (Kapitel 11, Zufall und Wahrscheinlichkeit)
bzw. überarbeitet (z. B. Kapitel 6, Lineare Gleichungssysteme), gestrafft (z. B. Kapitel 4,
Lineare Gleichungen und Ungleichungen) und ergänzt (z. B. Kapitel 7, Potenzen und Wurzeln).
Dem kaufmännischen Rechnen ⫺ profilbildend im Fachbereich Wirtschaft und Verwaltung, jedoch in vielen Lehrplänen nur ein Randthema ⫺ wird ein eigenes Kapitel gewidmet. Hier werden zusammenhängend die Gebiete des kaufmännischen Rechnens dargestellt. Zusätzlich enthalten viele andere Kapitel Anwendungsaufgaben aus dem
kaufmännischen Rechnen. Über Querverweise in den Aufgabenteilen sind die verwandten
Themen leicht zu finden.
Die bewährte Struktur der Kapitel aus Beispielen, Merksätzen und Aufgaben wurde beibehalten; die redaktionelle Überarbeitung des Bandes sorgt für ein ansprechendes und
freundliches Erscheinungsbild.
Der methodische Weg des Lehrbuches ist durch kleine Lerneinheiten mit jeweils anschließenden Aufgaben zum Einüben und Vertiefen des Stoffes gekennzeichnet. Die Aufgaben
eines Abschnitts sind nach steigendem Schwierigkeitsgrad angeordnet. Großer Wert ist
auf ausführliche und anschauliche Darstellung der zahlreichen Beispiele mit Lösungen
gelegt, um den Schülern die Möglichkeit zur selbstständigen Erarbeitung und Wiederholung des Stoffes zu geben.
Die Verfasser bitten alle Kollegen und Schüler, das Buch zu prüfen und durch Kritik zur
weiteren Verbesserung beizutragen.
3
4
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Mathematische Zeichen und Abkürzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Zahlenmengen und Anordnung der Zahlen auf der
Zahlengeraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.1
Die Menge n der natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.2
Die Menge z der ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.3
Die Menge q der rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2
Das Rechnen in der Menge z der ganzen Zahlen . . . . .
21
2.1
Variablen, Terme, Grundbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2
Der Betrag einer Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.3
2.3.1
2.3.2
2.3.3
Die
Die
Die
Die
2.4
2.4.1
2.4.2
2.4.3
2.4.4
2.4.5
Die Multiplikation und Division ganzer Zahlen
Die Multiplikation. Erster Potenzsatz . . . . . . .
Die Division. Zweiter Potenzsatz . . . . . . . . . . .
Die Multiplikation von Summen . . . . . . . . . . .
Binomische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zerlegen von Summen in Faktoren . . . . . . . . .
3
1
Addition und Subtraktion ganzer Zahlen . . . . . . . . . . .
Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Addition und Subtraktion von Summen und Differenzen
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23
23
25
26
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29
29
33
37
39
41
Das Rechnen in der Menge q der rationalen Zahlen:
Bruchrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.1
Elemente der Menge q der rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.2
Erweitern und Kürzen von Brüchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.3
Vergleichen von Brüchen; gleichnamige und ungleichnamige Brüche . . .
50
3.4
3.4.1
3.4.2
Die Addition und Subtraktion von Brüchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche . . . . . . . . . . . . . .
Die Addition und Subtraktion ungleichnamiger Brüche . . . . . . . . . . . .
52
52
54
3.5
3.5.1
3.5.2
Die Multiplikation und Division von Brüchen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
56
59
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Inhaltsverzeichnis
4
Lineare Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . . .
62
4.1
Gleichungen und Ungleichungen als Aussagen und Aussageformen . . . .
62
4.2
Äquivalenzumformungen von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.3
4.3.1
4.3.2
4.3.3
...............
...............
...............
71
71
73
4.3.4
4.3.5
4.3.6
4.3.7
4.3.8
Anwendungsaufgaben aus verschiedenen Gebieten
Zahlenrätsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Merkwürdiges und Scherzhaftes; Denkaufgaben . .
Dreisatzaufgaben mit quotientengleichen und
produktgleichen Zahlenpaaren . . . . . . . . . . . . . .
Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verteilungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mischungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammengesetzte Prozentrechnung . . . . . . . . . .
Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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75
80
82
85
88
90
4.4
4.4.1
4.4.2
4.4.3
Varianten linearer Gleichungen . . . . .
Gleichungen mit Formvariablen . . . .
Bruchgleichungen . . . . . . . . . . . . . .
Bruchgleichungen mit Formvariablen .
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92
92
95
99
4.5
4.5.1
4.5.2
4.5.3
Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Äquivalenzumformung von Ungleichungen
Bruchungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Textaufgaben zu Ungleichungen . . . . . . . .
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102
102
105
107
5
Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
5.1
Das rechtwinklige Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
5.2
Die Funktion x 哫 mx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
5.3
Die Funktion x 哫 mx ⫹ b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
5.4
Berechnung von linearen Funktionsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
5.5
Schnittpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
5.6
Anwendungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
6
Lineare Gleichungssysteme (LGS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
6.1
Grafisches Lösen von Linearen Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . .
131
6.2
Lösbarkeit von Linearen Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
6.3
6.3.1
6.3.2
6.3.3
6.3.4
Rechnerische Lösung von Linearen Gleichungssystemen
Gleichsetzungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einsetzungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Additionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vertiefungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
137
140
141
142
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5
6
Inhaltsverzeichnis
6.4
6.4.1
6.4.2
6.4.3
6.4.4
6.4.5
6.4.6
6.4.7
Textaufgaben . . . . .
Zahlenrätsel . . . . . .
Altersrätsel . . . . . . .
Mischungsrechnung .
Verteilungsrechnung
Prozentrechnung . . .
Zinsrechnung . . . . .
Entfernungsaufgaben
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146
146
150
151
153
155
157
159
7
Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
7.1
7.1.1
7.1.2
7.1.3
7.1.4
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Begriff der Potenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechenregeln für Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potenzen mit dem Exponenten 0 und negativen Exponenten .
Exponentialdarstellung von Zahlen durch den Taschenrechner
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161
161
163
168
171
7.2
7.2.1
7.2.2
7.2.3
7.2.4
7.2.5
Die Quadratwurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einführung der Quadratwurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Irrationale Zahlen und die Menge r der reellen Zahlen . . . . . .
Berechnung von Quadratwurzeln mithilfe des Taschenrechners .
Rechnen mit Quadratwurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anwendung beim Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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172
174
177
178
181
7.3
7.3.1
7.3.2
7.3.3
Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten
Der allgemeine Wurzelbegriff . . . . . . . . . . . . . . .
Rechnen mit Potenzen mit rationalen Exponenten
Rechnen mit Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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183
183
185
186
7.4
Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
190
7.5
7.5.1
7.5.2
7.5.3
7.5.4
Logarithmen . . . . . . . .
Einführung . . . . . . . . .
Die Logarithmensätze .
Logarithmen . . . . . . . .
Exponentialgleichungen
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192
192
194
197
199
7.6
7.6.1
7.6.2
7.6.3
Anwendungen der Potenzrechnung
Zinseszinsrechnung . . . . . . . . . . .
Wachstumsprozesse . . . . . . . . . . .
Umrechnen von Einheiten . . . . . .
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200
200
206
209
8
Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212
8.1
Die Funktion f: x 哫 x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212
8.2
Die Funktion f: x 哫 ax2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213
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Inhaltsverzeichnis
8.3
Die Funktion f: x 哫 ax2 ⫹ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
216
8.4
Die Funktion f: x 哫 (x ⫺ d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
217
8.5
Die Scheitelpunktform f: x 哫 a (x ⫺ d) ⫹ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219
2
2
8.6
Die allgemeine Form der Parabel y ⫽ a ⋅ x ⫹ b ⋅ x ⫹ c . . . . . . . . . . .
221
8.7
Grafische Bestimmung der Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
225
9
Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
228
9.1
Rechnerische Lösung der reinquadratischen Gleichung
ax2 ⫹ c ⫽ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
228
9.2
Lösen von quadratischen Gleichungen durch Faktorisieren . . . . . . . . .
230
9.3
9.3.1
9.3.2
9.3.3
9.3.4
9.3.5
Rechnerische Lösung der gemischtquadratischen Gleichung
ax2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Allgemeine Form und Normalform einer quadratischen Gleichung
Lösung durch quadratische Ergänzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lösung mithilfe von Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz von Vieta: Zerlegen in Linearfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . .
Vermischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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231
231
232
234
236
238
9.4
9.4.1
9.4.2
9.4.3
9.4.4
Textaufgaben aus verschiedenen Gebieten
Zahlenrätsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben aus der Geometrie . . . . . . . . . .
Verteilungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . .
Prozent- und Zinsrechnung . . . . . . . . . .
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239
239
241
242
244
9.5
9.5.1
9.5.2
9.5.3
Beziehungen zwischen quadratischen Funktionen und quadratischen
Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grafisches Lösen von quadratischen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . .
Berechnung der Nullstellen von quadratischen Funktionen . . . . . . .
Berechnung der Schnittpunkte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
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246
246
247
248
10
Beschreibende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
250
10.1
Aufgaben und Grundbegriffe der beschreibenden Statistik . . . . . . . . . .
250
10.2
10.2.1
10.2.2
Erfassen des Zahlenmaterials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strichlisten und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Absolute und relative Häufigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252
252
254
10.3
10.3.1
10.3.2
Grafische Darstellung von Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kurvendiagramm und Säulendiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kreisdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
257
257
260
10.4
10.4.1
10.4.2
Statistische Kenngrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lagemaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Streuungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
262
262
265
2
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7
8
Inhaltsverzeichnis
11
Zufall und Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
271
11.1
Zufallsexperimente und Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
271
11.2
Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
274
11.3
Mehrstufige Zufallsexperimente: Baumdiagramme und Pfadregeln . . . .
277
12
Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
284
12.1
12.1.1
12.1.2
12.1.3
Geometrische Grundbegriffe
Geraden und Strecken . . . .
Winkel . . . . . . . . . . . . . . .
Winkelsumme im Dreieck . .
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284
284
285
287
12.2
12.2.1
12.2.2
12.2.3
12.2.4
Flächeninhalte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechteck und Quadrat . . . . . . . . . . . . . . .
Dreieck, Parallelogramm, Trapez, Drachen .
Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vermischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . .
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287
288
289
292
296
12.3
12.3.1
12.3.2
12.3.3
Rechtwinklige Dreiecke und Trigonometrie
Der Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . .
Sinus und Kosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tangens und Kotangens . . . . . . . . . . . . . .
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299
299
302
305
12.4
12.4.1
12.4.2
12.4.3
12.4.4
12.4.5
12.4.6
Volumina und Oberflächen von Körpern . . .
Darstellung von Körpern durch Schrägbilder
Quader und Würfel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Senkrechte Prismen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Senkrechte Kreiszylinder . . . . . . . . . . . . . .
Pyramiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vermischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . .
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307
307
309
312
314
316
319
12.5
Strahlensätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
321
13
Kaufmännisches Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
325
13.1
13.1.1
13.1.2
13.1.3
Dreisatzrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einfacher Dreisatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammengesetzter Dreisatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unterbrochener Dreisatz; Dreisatz mit Zeitabschnitten
.
.
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325
325
330
333
13.2
Durchschnittsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
335
13.3
Verteilungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
339
13.4
13.4.1
13.4.2
Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnung des Prozentwertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnung des Grundwertes und des Prozentsatzes . . . . . . . . . . . . . .
345
346
349
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Inhaltsverzeichnis
13.4.3
Prozentrechnung vom vermehrten und verminderten Grundwert . . . . .
353
13.5
13.5.1
13.5.2
13.5.3
13.5.4
Warenhandelskalkulation . . . . . . . . .
Vorwärtskalkulation . . . . . . . . . . . .
Rückwärtskalkulation . . . . . . . . . . .
Differenzkalkulation . . . . . . . . . . . .
Vermischte Aufgaben zur Kalkulation
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356
358
360
363
366
13.6
13.6.1
13.6.2
13.6.3
Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnung der Zinsen mit der allgemeinen Zinsformel . .
Berechnung von Kapital, Zinsfuß und Zeit . . . . . . . . . . .
Zinsrechnung vom vermehrten und verminderten Kapital
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368
368
372
376
Bildquellenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
379
Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
380
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9
10
Mathematische Zeichen und Abkürzungen
Mathematische Zeichen und Abkürzungen
Schreibweise bei Mengen1
A ⫽ {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Aufzählende Form einer endlichen Menge: Menge wird
aus den Elementen 0, 1, 2, 3, 4, 5 gebildet.
A ⫽ {x ⱍ x ⬍ 6}n
Beschreibende Form einer endlichen Menge: A ist die
Menge aller x, für die gilt: x ist eine natürliche Zahl und
ist kleiner als 6.
2僆A
2 ist Element von A. 2 gehört zur Menge A.
7僆A
7 ist kein Element von A. 7 gehört nicht zur Menge A.
0/
Leere Menge, sie enthält kein Element.
Zeichen für besondere Zahlenmengen1
n ⫽ {0, 1, 2, 3, …}
Menge der natürlichen Zahlen
z ⫽ {…, ⫺2, ⫺1, 0, 1, 2, …} Menge der ganzen Zahlen
q
Menge der rationalen Zahlen
r
Menge der reellen Zahlen
n*, z*, q*, r*
Mengen n, z, q, r ohne die Null
z⫹, q⫹, r⫹
Positive Zahlen der Mengen z, q, r einschließlich der
Null
z*
Positive Zahlen der Mengen z, q, r
⫹, q*
⫹, r*
⫹
z*
Negative Zahlen der Mengen z, q, r
⫺, q*
⫺, r*
⫺
G
Grundbereich
L
Lösungsmenge
D
Definitionsbereich
W
Wertebereich
Relationen zwischen Größen
a ⫽ b a gleich b
a ⫽ b a nicht gleich b
a ⬍ b a kleiner als b
a ⬎ b a größer als b
a ⬉ b a kleiner als b oder gleich b
a ⭌ b a größer als b oder gleich b
a 艐 b a ungefähr gleich b
Relationen zwischen Mengen1
A⫽B
A gleich B. Menge A und Menge B haben die gleichen
Elemente.
A⬃B
A ist gleichmächtig mit B. Sind A und B endliche Mengen, so haben A und B die gleiche Anzahl von Elementen.
A債B
A ist Teilmenge von B.
AⲴB
A ist echte Teilmenge von B.
1
nach DIN 5473
Mathematische Zeichen und Abkürzungen
Verknüpfungen von Mengen1
A傼B
Vereinigungsmenge von A und B. A vereinigt mit B.
A傽B
Durchschnittsmenge von A und B. A geschnitten mit B.
AaB
Differenzmenge von A und B. A ohne B.
⫺A
Komplement von A.
A⫻B
Produkt der Mengen A und B
ⱍAⱍ
Mächtigkeit von A (Anzahl der Elemente von A)
Logische Zeichen
a∧b
a und b (Konjunktion)
a∨b
a oder b (Disjunktion)
a⇒b
aus a folgt b (Implikation)
a⇔b
a äquivalent zu b, a gleichwertig zu b (Äquivalenz)
Zeichen aus der Statistik
H
absolute Häufigkeit
h
relative Häufigkeit
xMed
Median, Zentralwert
xMod
Modus, häufigster Wert
xaM
einfaches arithmetisches Mittel
xgM
gewogenes arithmetisches Mittel
s
absolutes lineares Streuungsmaß
s⬘
relatives lineares Streuungsmaß (Streuungskoeffizient)
S
Standardabweichung (quadratisches Streuungsmaß)
W
Spannweite (Variationsbreite)
V
Variationskoeffizient
Weitere Zeichen
f : x 哫 f (x) Funktion x Pfeil f von x.
(x; y)
Geordnetes Paar
ⱍaⱍ
Betrag von a. ⱍ a ⱍ ist die positive der beiden reellen Zahlen a und ⫺a.
Z
entspricht; Beispiel: 10,00 c Z 1 cm
Sonstige Abkürzungen
KG
Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
AG
Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz)
DG
Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
NE
Neutrales Element
IE
Inverses Element
1
nach DIN 5473
11
3.1 Elemente der Menge q der rationalen Zahlen
3
Das Rechnen in der Menge q der rationalen
Zahlen: Bruchrechnen
3.1
Elemente der Menge q der rationalen Zahlen
Beim Rechnen mit Zahlen aus der Menge z hatten wir festgestellt, dass die Division zweier Zahlen aus z nicht immer ausführbar ist. Wir sagten, die Menge z ist bezüglich der Division
nicht abgeschlossen. So ist zum Beispiel in der Divisionsaufgabe
1
2 : 3 ⫽ x die Zahl x kein Element der Menge z. Zur Lösung
3
dieser und ähnlicher Aufgaben führt man die Bruchzahlen ein. In
früheren Schuljahren haben wir die Bruchzahlen durch Teilung
einer Einheit in gleich große Teile eingeführt. Teilen wir zum Beispiel eine Pizza in drei
1
gleich große Teile, so ist ein Teilstück der dritte Teil der Pizza oder Pizza, zwei Teilstücke
3
2
sind Pizza.
3
Jetzt wollen wir die Bruchzahlen mithilfe der
Gleichung x ⋅ b ⫽ a einführen. Die Gleichung
x ⋅ 3 ⫽ 6 hat als Lösungsmenge den Quotienten
6 : 3. Die Gleichung x ⋅ 3 ⫽ 2 hat als Lösungsmenge
2
den Quotienten 2 : 3. Für 2 : 3 schreibt man und
3
bezeichnet diesen Term als Bruchzahl. Setzt man
2
die Bruchzahl für x in die Gleichung x ⋅ 3 ⫽ 2 ein,
3
2
so soll ⋅ 3 ⫽ 2 eine wahre Aussage sein.
3
a
(wir lesen:
Wir setzen allgemein fest: Die Gleichung x ⋅ b ⫽ a hat die Lösung
b
„a durch b“).
a
Es gilt: ⋅ b ⫽ a; a, b 僆 z und b ⫽ 0
b
Definition
a:b⫽
a
a
; der Quotient a : b ist die Bruchzahl (a, b 僆 z; b ⫽ 0)
b
b
Die Bruchzahl
a
ist eine ganze Zahl, wenn a ein Vielfaches von b ist.
b
Die Menge z der ganzen Zahlen und die Menge der Bruchzahlen bilden die unendliche
Menge q der rationalen Zahlen; z Ⲵ
ⱍ q.
45
46
3 Das Rechnen in der Menge q der rationalen Zahlen: Bruchrechnen
a
bezeichnet man auch als Bruch; a ist der Zähler, b der Nenner. Der Nenner gibt an, in
b
wie viel gleiche Teile eine Einheit zerlegt wurde. Der Zähler gibt die Anzahl der gleich
großen Teile an. Da z Ⲵ
q ist, gelten für das Vorzeichen der Bruchzahl
ⱍ
a
die Vorzeichenregeln der Division ganzer Zahlen:
b
a ⫺a
a ⫹a
a ⫺a
a
⫹a
⫽⫹ ;
⫽⫹ ;
⫽⫺ ;
⫽ ⫺ mit a 僆 n; b 僆 n*
⫹b
b ⫺b
b ⫺b
b ⫹b
b
a
a
Statt ⫹ schreibt man kurz .
b
b
Beispiel
1 1 1 1
, , , , … mit dem Zähler 1 heißen Stammbrüche.
2 3 4 5
⫺8
6
⫽ 3;
⫽ ⫺2
2. Der Zähler ist ein Vielfaches des Nenners:
2
4
6 ⫺8 12
,
usw. können als ganze Zahlen dargestellt werden. Man beDie Brüche ,
2 4 ⫺3
zeichnet sie deshalb als Scheinbrüche. Umgekehrt kann jede ganze Zahl auf viele Arten
als Bruch geschrieben werden:
9
⫺15
16
⫺20
3⫽ ⫽
; ⫺4 ⫽
⫽
3
⫺5
⫺4
5
a
5
⫽ 5 : 1 ⫽ 5;
⫽ a mit a 僆 z
3. Der Nenner ist 1:
1
1
Ist der Nenner 1, so liegt ein Scheinbruch vor.
1. Die Brüche
0
0
⫽ 0 : 4 ⫽ 0;
⫽ 0 mit a 僆 z und a ⫽ 0
4
a
a
5. Der Nenner ist 0:
ist nicht definiert, da man durch 0 nicht dividieren kann
0
(vgl. S. 35).
a
4
⫽ 4 : 4 ⫽ 1;
⫽ 1 mit a 僆 z und a ⫽ 0
6. Der Zähler ist gleich dem Nenner:
4
a
4. Der Zähler ist 0:
7. Der Zähler ist größer als der Nenner:
8
3
⫽8:3⫽2
2
3
Ist der Zähler größer als der Nenner, so bezeichnet man den Bruch als unechten Bruch.
2
2
2
Die Zahl 2 heißt gemischte Zahl, da 2 eine Abkürzung für 2 ⫹ ist.
3
3
3
3.1 Elemente der Menge q der rationalen Zahlen
Aufgaben
1 Schreiben Sie als Bruchzahlen mit a ⫽ 0.
a 3:7
b (⫺4) : 5
c (⫺2) : (⫺3)
f 5:a
g (⫺7) : a
h (⫺3) : (⫺a)
d 5 : (⫺6)
i 8 : (⫺a)
e (⫺7) : 9
k (⫺a) : a
2 Schreiben Sie als gemischte Zahlen.
a 9:4
b (⫺12) : 5
c (⫺11) : (⫺3) d 17 : (⫺6)
a
3 Bringen Sie auf die Form .
b
4
3
5
5
1
a 25
b ⫺3 4
c 17
d ⫺2 8
e 36
e (⫺13) : 8
4
f ⫺2 9
4 Geben Sie als ganze Zahlen an.
9
a 3
⫺8
2
b
c
⫺12
⫺4
15
d ⫺3
e
⫺18
9
f
16
⫺4
5 Vergleichen Sie.
a
9
⫺6 15
;
;⫺
2 ⫺5
3
0
0
8 ⫺1
0
5
c ⫺ 8 ; 1 ; ⫺5
b 3 ; ⫺7 ; 1
6 Drücken Sie die Zahlen 3, ⫺3, 4, ⫺4 auf je zwei Arten als Scheinbrüche aus.
7 a Wie viel natürliche Zahlen liegen zwischen 5 und 20?
1
1
b Wie viel Stammbrüche liegen zwischen 5 und 20 ?
1
c Ordnen Sie jedem Stammbruch eine natürliche Zahl zu (z. B. ↔ 3).
3
Wie viel Stammbrüche gibt es insgesamt?
d Nennen Sie den größten Stammbruch. Warum gibt es keinen kleinsten?
8 Bestimmen Sie auf der Zahlengeraden mit der Einheitsstrecke 6 cm die Bildpunkte der
1
3
2
3
3
3
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
Bruchzahlen ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± .1
9 Setzen Sie die Zeichen ⬍ oder ⬎ (vgl. die Bildpunkte der Aufgabe 8).
2
3
3
4
b ⫺ 5 und ⫺ 5 ;
2
1
f ⫺ 5 und ⫺ 3
a 5 und 5 ;
2
e 5 und 3
1
1
1
c ⫺ 5 und 0;
3
d 5 und 0
2
g ⫺ 5 und ⫺ 3
4
2
h 5 und 3
10 Welche der Aussagen sind wahr, welche sind falsch? (vgl. die Bildpunkte der Aufgabe 8)
2
3
a ⫺3 ⬎ ⫺5
1
e 3 ⬍0
1
±
4
3
b ⫺5 ⬍ ⫺5
f
2
3
1
1
1
bedeutet ⫹ oder ⫺
3
3
3
⬎
3
5
3
2
5
c 3⬎5
3
d 5⬍1
2
g ⫺5 ⬍ ⫺3
4
h ⫺ 5 ⬎ ⫺1
47
48
3 Das Rechnen in der Menge q der rationalen Zahlen: Bruchrechnen
3.2
Erweitern und Kürzen von Brüchen
Teilt man eine Kreisfläche in 6 Teile anstatt in
3 Teile, so ist die Fläche von einem Drittel so
groß wie die von zwei Sechsteln:
2 2
1
⫽ .
3
6 6
ent-
1
, wenn man Zähler und Nenner
3
1
2
verdoppelt. entsteht aus , wenn man Zäh3
6
steht aus
1
3
1
6
1
6
1 = 2
3
6
erweitern
ler und Nenner durch 2 dividiert.
Einen Bruch erweitern heißt, Zähler und Nenner mit
derselben Zahl aus z* oder mit einem ganzzahligen
Term multiplizieren.
kürzen
Einen Bruch kürzen heißt, Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl aus z* oder durch
einen ganzzahligen Term dividieren. Kürzungszahl kann jeder gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner sein.
Beispiel
Die Variablen seien Elemente aus z, die Nenner seien nicht gleich null.
ax a ⫹ b
(a ⫹ b) z
az ⫹ bz
⫺2 ⫺6 a
⫽
; ⫽
;
⫽
⫽
Erweitern:
5
15 b
bx a ⫺ b
(a ⫺ b) z
az ⫺ bz
4 4 ax
a ay ⫺ by
y (a ⫺ b)
12
⫽⫺ ;
⫽
;
⫽
⫽y
Kürzen:
⫺
15
5 12 bx
3b
a⫺b
(a ⫺ b)
Ist der Zähler oder Nenner eine algebraische Summe, so muss sie vor dem Kürzen in
Faktoren zerlegt werden.
Satz
Man erweitert einen Bruch, indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl aus
z* oder mit einem Term multipliziert.
Man kürzt einen Bruch, indem man Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl aus z*
oder durch einen Term dividiert.
Durch das Erweitern oder Kürzen wird der Wert des Bruches nicht geändert.
a
a⋅c
a⋅c
a
Erweitern: ⫽
; kürzen:
⫽ mit a, b, c 僆 z; b, c ⫽ 0
b
b⋅c
b⋅c
b
3.2 Erweitern und Kürzen von Brüchen
Aufgaben
Die Variablen seien Elemente aus z, die Nenner seien nicht gleich null.
1 Erweitern Sie.
e
5
mit 4
⫺6
f
2 Kürzen Sie. a
⫺4
mit 5
7
4
h ⫺ mit 2
9
3
2
mit 3
mit (⫺2)
b
4
5
6
1
mit (⫺5) g
mit (⫺3)
7
⫺2
a
8
12
b
3 Erweitern Sie mit 3 a.
⫺6
8
c
15
⫺25
d ⫺
16
32
c
e
24
56
d
i
⫺35
49
f
g
⫺3
mit (⫺6)
8
2
⫺ mit (⫺1)
3
36
⫺84
2 4 a 3 ab ⫺5 x 2 a ⫹ b 2 x ⫺ 3 y
;
;
;
;
;
3 5 b 7 xy
6 y2
a ⫺ b 2x ⫹ 3y
3 4 a 5 a2 a ⫺ b x ⫹ 2 y
5
; ⫺ ;
;
;
;
7
8 9 b ⫺6 a ⫹ b x ⫺ 2 y
4 Erweitern Sie mit (⫺1).
5 Erweitern Sie mit (a ⫹ b).
3 5 a ⫺2 ab a ⫹ b 3 x ⫹ 4 y
4
; ⫺ ;
;
;
;
5
7 8 b 3 xy a ⫺ b 4 x ⫹ 3 y
6 Bringen Sie auf den Nenner 60.
1 3 2 5 3 7 14 11
; ; ; ;
;
;
;
3 4 5 6 10 12 15 20
7 Schreiben Sie 1 als Bruch mit dem Nenner 4; ⫺7; 2 a; ⫺3 b; a2; a ⫹ b; (x ⫺ y)2.
8 Bringen Sie
auf den Nenner.
a
b
2x
3y
a
b⫹1
x ⫺y
x
b2
6 y2
2b ⫹ 2
x (x ⫺ y)
9 Kürzen Sie.
a
18 a
24 b
10 Kürzen Sie.
a
4 (a ⫺ b)
5 (a ⫺ b)
b
⫺15 a2
45 ab
b
c
16 ab
⫺40 a2
12 (a ⫹ b)
18 (a ⫹ b)
c
a⫺b
a⫹b
2 (x ⫹ y)
x ⫺ y)
a2 ⫹ 2 ab ⫹ b2 3 (x ⫺ y)2
d ⫺
28 xy2
35 x 2y
22 (x ⫺ y)2
55 (x ⫺ y)
11 Zerlegen Sie in Faktoren und kürzen Sie.
5a ⫹ 5b
7a ⫺ 7b
4x ⫺ 8y
a
b
c
6a ⫹ 6b
7a ⫹ 7b
5 x ⫺ 10 y
a2 ⫺ ab
a2 ⫺ 2 ab ⫹ b2
6x ⫹ 6y
e
f
g
2
2
a ⫺b
a2 ⫺ b2
9 x 2 ⫺ 9 y2
e
d
⫺27 x 3
⫺63 x 2
9 (x ⫹ y)
21 (x ⫹ y)2
x 2 ⫹ xy
x ⫹ xy
ax ⫺ ay
h
ax 2 ⫺ ay2
d
49
50
3 Das Rechnen in der Menge q der rationalen Zahlen: Bruchrechnen
3.3
Vergleichen von Brüchen; gleichnamige und
ungleichnamige Brüche
Bisher haben wir Brüche verglichen, indem wir sie auf der Zahlengeraden darstellen (vgl.
S. 17). Dabei legten wir fest, dass der Bildpunkt der größeren Bruchzahl rechts vom Bildpunkt der kleineren liegt. Jetzt wollen wir Brüche vergleichen, ohne sie auf der Zahlengeraden darzustellen.
Beispiele mit Lösungen
Aufgaben
Ordnen Sie die Brüche der Größe nach.
1.
3 1 6 4 5 2
, , , , ,
7 7 7 7 7 7
4
1
6
2
5
3
2. ⫺ , ⫺ , ⫺ , ⫺ , ⫺ , ⫺
7
7
7
7
7
7
Lösungen
2
3
4
5
6
6
5
4
3
2
1
1
1. ⬍ ⬍ ⬍ ⬍ ⬍ oder ⬎ ⬎ ⬎ ⬎ ⬎
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
2. Statt ⫺
⫺6
6
können wir
schreiben:
7
7
⫺2 ⫺1
⫺1 ⫺2
⫺3 ⫺4 ⫺5 ⫺6
⫺6 ⫺5 ⫺4 ⫺3
⬍
⬍
⬍
⬍
⬍
oder
⬎
⬎
⬎
⬎
⬎
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
Brüche mit gleichen Nennern heißen gleichnamig.
Satz
Ist der Nenner eine natürliche Zahl, so gilt: Gleichnamige Brüche sind umso größer,
je größer ihre Zähler sind.
Brüche mit verschiedenen Nennern heißen ungleichnamig. Um ungleichnamige Brüche mit
verschiedenen Zählern vergleichen zu können, machen wir sie gleichnamig. Dazu suchen wir
den Hauptnenner (HN). Er ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der einzelnen Nenner, d. h. die kleinste Zahl, in der alle Nenner als Teiler enthalten sind.
Beispiele mit Lösungen
Aufgaben
7 8 11
,
,
auf den Hauptnenner (machen Sie „gleichnamig“)
12 15 20
und ordnen Sie der Größe nach.
5
3 2
,
auf den Hauptnenner (x, y 僆 n*).
2. Bringen Sie die Brüche ,
x xy y (x ⫹ y)
1. Bringen Sie die Brüche
3.3 Vergleichen von Brüchen; gleichnamige und ungleichnamige Brüche
Lösungen
1.
Nenner
12
15
20
HN 60
Primfaktoren
2⋅2⋅3
3⋅5
2⋅2⋅5
22 ⋅ 3 ⋅ 5
erweitern mit
5
4
3
Wir zerlegen die einzelnen Nenner in ihre Primfaktoren (vgl. S. 36) und unterstreichen
alle gleichen Primfaktoren bei demjenigen Nenner, bei dem sie am häufigsten vorkommen. Das Produkt der unterstrichenen Primfaktoren ist der Hauptnenner. Teilen wir
den Hauptnenner nacheinander durch jeden Nenner, so erhalten wir die jeweilige Erweiterungszahl.
35
7
⫽
;
12
60
8
32
⫽
;
15
60
11
33
⫽
;
20
60
11
7
8
⬍
⬍
15
20
12
Ergebnis:
Bei einfachen Zahlen finden wir den Hauptnenner schneller durch Probieren. So brau1
1
chen wir z. B.
und
nicht in Primfaktoren zu zerlegen, um den Hauptnenner
6
24 zu finden. 8
2.
Nenner
x
xy
y (x ⴙ y)
HN xy(x ⴙ y)
xy (x ⫹ y)
Primfaktoren
x
x ⋅y
y ⋅ (x ⫹ y)
erweitern mit
y (x ⫹ y)
(x ⫹ y)
x
3 y (x ⫹ y) 2
2 (x ⫹ y)
5
5x
3
⫽
;
⫽
;
⫽
x
xy (x ⫹ y) xy
xy (x ⫹ y) y (x ⫹ y)
xy (x ⫹ y)
Merke
Um ungleichnamige Brüche vergleichen zu können, machen wir sie gleichnamig. Wir bringen sie auf einen gemeinsamen Nenner, den Hauptnenner (HN).
Aufgaben
Die Variablen seien Elemente aus z, die Nenner seien nicht gleich null.
1 Ordnen Sie die Brüche der Größe nach.
2 7 1 5 4 8
4
1
5
9
2
10
b ⫺ 11 , ⫺ 11 , ⫺ 11 , ⫺ 11 , ⫺ 11 , ⫺ 11
a 9, 9, 9, 9, 9, 9
2 Bringen Sie die Brüche auf den Hauptnenner und ordnen Sie der Größe nach.
4
9
17
a 5 , 10 , 20
11 7 17
d 12 , 8 , 20
4
7
11
b 9 , 18 , 24
5 4 7
e 6, 5, 9
11 5 19
c 16 , 9 , 36
f
7 15 23
,
,
12 28 42
51
52
3 Das Rechnen in der Menge q der rationalen Zahlen: Bruchrechnen
3 Welche der Aussagen sind wahr, welche sind falsch?
5
5
6
a 6⬎7
11
7
b 8 ⬍ 11
3
5
f ⫺ 7 ⬍ ⫺ 13
9
7
c 14 ⬎ 9
4
5
2
7
53
d 11 ⫽ 66
5
g ⫺ 9 ⬍ ⫺ 11 h ⫺ 5 ⬎ ⫺ 12 i
⫺
5
14
49
e 13 ⫽ 91
⫽⫺
30
84
4
28
k ⫺ 15 ⫽ ⫺ 105
Bringen Sie in den Aufgaben 4 bis 9 die Brüche auf den Hauptnenner.
a a2 ab
a b ab
4 a 3, 4, 8
5 a
b 6 , 9 , 12
5 a 3 b ab
,
,
8 4 6
2 5
3
6 a x, y
5
5a
3a
2x
9 a 3a , a ⫹ b
c
3 a 2 b 4 (a ⫹ b)
,
,
4 3
5
2
c 5x , 4y
(a ⫹ b) 4 b
b (x ⫺ y) , y
x ⫺ y 3y
3
ab
3b
d 2 x , 4 x2
a
2b
ab
a
b
c x ⫹ y, 3x
b a ⫺ b, b
4
d 7 xy , y
2 a 3 a2
b x 2 , xy
8 a (x ⫹ y) , x
(a ⫹ b) b b2
, ,
3
5 20
c 6 x2 , 3 x
a2 b2
7 a xy , x
4x
4
b 4x , 5y
b
a
2 a2 3 ab 5 b2
,
,
5
10
6
b
c
a
d y (x ⫺ y) , x (x ⫺ y)
x ⫹y
c a ⫹ b, a ⫺ b
x
d x ⫺ y, x ⫹ y
3.4
Die Addition und Subtraktion von Brüchen
3.4.1
Die Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche
Beispiele mit Lösungen
Aufgaben
Stellen Sie durch Kreisbilder dar. 1.
Lösungen
1.
2
5
1
2
⫹
5
5
2.
4
3
⫺
5
5
4
5
–
2.
+
1
5
=
3
5
3
5
=
1
5
Satz
Gleichnamige Brüche werden addiert oder subtrahiert, indem man ihre Zähler addiert
bzw. subtrahiert und den Nenner beibehält.
a⫹b
b
a⫺b
a b
a
⫹ ⫽
⫺ ⫽
mit a, b, c 僆 z; c ⫽ 0
c
c
c
c
c
c
3.4 Die Addition und Subtraktion von Brüchen
Beispiele mit Lösungen
Aufgaben
a, b, x, y 僆 z; x ⫽ 0, y ⫽ 0
a
a⫺b
a ⫺ 2b
1.
⫹
⫺
x
x
x
2.
7a
b
3a ⫺ 5b
⫺
⫺
4y
4y
4y
Lösungen
a⫺b
a ⫺ 2 b a ⫹ a ⫺ b ⫺ (a ⫺ 2 b) a ⫹ a ⫺ b ⫺ a ⫹ 2 b a ⫹ b
a
⫹
⫺
⫽
⫽
⫽
1.
x
x
x
x
x
x
b
3a ⫺ 5b
7 a ⫺ b ⫺ (3 a ⫺ 5 b) 7 a ⫺ b ⫺ 3 a ⫹ 5 b 4 a ⫹ 4 b
7a
⫺
⫺
⫽
⫽
⫽
2.
4y
4y
4y
4y
4y
4y
4 (a ⫹ b) a ⫹ b
⫽
⫽
4y
y
Merke
Besteht der Zähler aus einer Summe, so müssen bei der Subtraktion Klammern gesetzt
werden:
a⫹b
a ⫺ (a ⫹ b)
a⫺a⫺b
⫺b
b
a
⫺
⫽
⫽
⫽
⫽ ⫺ mit a, b, x 僆 z; x ⫽ 0
x
x
x
x
x
x
Die Addition gleichnamiger Brüche führen wir auf die Addition der Zähler zurück. Es
gelten deshalb das Kommutativ- und Assoziativgesetz der Addition (vgl. S. 24) auch für
gleichnamige Brüche.
KG:
b
a⫹d
b⫹a
b
a
a
⫹ ⫽
⫽
⫽ ⫹ mit a, b, c, d 僆 z; d ⫽ 0
d
d
d
d
d
d
AG:
冢d ⫹ d冣 ⫹ d ⫽
NE:
IE:
a
b
c
(a ⫹ b) ⫹ c
a ⫹ (b ⫹ c)
a
c
b
⫽
⫽ ⫹
⫹
d
d
d
d
d
冢
冣
a
a
0
a⫹0
a
⫹0⫽ ⫹ ⫽
⫽ mit a, b 僆 z; b ⫽ 0
b
b
b
b
b
Die Null ist das neutrale Element der Addition.
⫺a
a ⫹ (⫺a)
a⫺a 0
a
a
a
⫹ ⫺ ⫽ ⫹
⫽
⫽
⫽ ⫽ 0 mit a, b 僆 z, b ⫽ 0
b
b
b
b
b
b
b
Zu jedem Element aus q gibt es bezüglich der Addition das inverse Element.
冢 冣
53
54
3 Das Rechnen in der Menge q der rationalen Zahlen: Bruchrechnen
Aufgaben
a, b, x, y 僆 z; x ⫽ 0, y ⫽ 0
1 a
5
4
2
⫹ ⫺
9
9
9
b
7
8
3
⫺
⫹
11
11
11
c
2
11
4
⫹
⫺
15
15
15
2 a
4a 5a 3a
⫹
⫺
x
x
x
b
7b
2b
3b
⫺
⫹
y
y
y
c
2a
4a
5a
⫹
⫺
3x
3x
3x
3 a
2b
3a
5a
⫹
⫺
2x
2x
2x
b
3b 2a
a
⫺
⫹
3y
3y
3y
c
8a
3 ab
5 ab
⫺
⫹
4 xy
4 xy
4 xy
4 a
2a ⫹ b
a ⫹ b 6a ⫺ 5b
⫹
⫺
5x
5x
5x
b
9a ⫺ 7b 4a ⫹ 3b 3a ⫺ 4b
⫺
⫺
2y
2y
2y
5 a
2 a2 2 ab a2 ⫺ b2
⫺
⫺
xy
xy
xy
b
5 a2
2 a2 ⫺ 3 b2
6 ab
⫹
⫺
3y
3y
3y
3.4.2
Die Addition und Subtraktion ungleichnamiger Brüche
Beispiele mit Lösungen
Aufgaben
Stellen Sie durch Kreisbilder dar. 1.
1
1
⫹
2
3
Lösungen
1.
1
2
2.
2
1
⫺
3
2
2
3
–
2.
+
1
3
=
3+2=5
6 6 6
1
2
=
4–3=1
6 6 6
Merke
Ungleichnamige Brüche müssen vor dem Addieren oder Subtrahieren gleichnamig gemacht
werden, indem man sie durch Erweitern auf den Hauptnenner bringt.
b
ay
bx
ay ⫹ bx
a
⫹ ⫽
⫹
⫽
mit a, b, x, y 僆 z; x ⫽ 0, y ⫽ 0
x
y
xy
xy
xy
Da die Division durch 0 nicht möglich ist, stellten wir bisher allgemein die Bedingung, der
Nenner sei ungleich 0. Von jetzt ab wollen wir bei Brüchen mit Variablen im Nenner feststellen, welche Bedingungen gelten müssen, damit die Nenner nicht den Wert 0 annehmen.
3.4 Die Addition und Subtraktion von Brüchen
Beispiel mit Lösung
Aufgabe
Berechnen Sie die Summe und stellen Sie fest, welche Bedingungen gelten müssen, damit
die Nenner der Summanden nicht den Wert 0 annehmen.
b
a
3a
⫹
⫺
4x
5y
2x
Lösung
Für die Nenner 4 x und 2 x gilt x ⫽ 0, für den Nenner 5 y gilt y ⫽ 0.
Nenner
4x
5y
2x
erweitern mit
5y
4x
10 y
HN 20 xy
5 ay ⫹ 4 bx
3 a ⋅ 5 y ⫹ b ⋅ 4 x ⫺ a ⋅ 10 y 15 ay ⫹ 4 bx ⫺ 10 ay
⫽
⫽
20 xy
20 xy
20 xy
Da sich ungleichnamige Brüche in gleichnamige verwandeln lassen, gelten das Kommutativ- und Assoziativgesetz der Addition für alle rationalen Zahlen.
Aufgaben
G⫽q
Berechnen Sie die Summe und stellen Sie fest, welche Bedingungen gelten müssen, damit
die Nenner der Summanden nicht den Wert 0 annehmen.
1
2
1
⫹ ⫺
6
4
3
3a
5a
⫺
2 a
3x
4x
1 a
3
5
2
⫺ ⫹
9
4
12
b
2b
⫺
b
5y
2y
b
4
3
2
⫹
⫺
5
15
4
2a
a
⫺
c
x
3x
c
3
5
7
⫺ ⫺
9
8
12
5b
3b
⫺
d
4y
6y
d
1
x
b
1
⫹1
y
c
a
⫺a
x
d b⫺
4 a
1
1
⫺
x
y
b
b
a
⫹
x
y
c
y
x
⫺
y
x
d
5 a
b
a
2a
⫺ ⫹
x
y
3x
b
a
a
a
⫹ 2⫺ 3
x
x
x
c
x
y
⫹ ⫺2
x
y
6 a
1
1
⫺
x ⫹1
x ⫺1
b
x
x
⫹
x ⫹y
x ⫺y
c
x ⫺y x ⫹y
⫺
x ⫹y
x ⫺y
7 a
a⫺b
b
⫹
x
x ⫹y
b
x
⫺1
x ⫺y
c
b
a⫹b
⫺
x ⫹y
y
8 a
x 2 ⫹ y2
⫹ (x ⫹ y)
x ⫺y
b
x2 ⫹ 1
⫺ (x ⫺ 1)
x ⫹1
c
x
x ⫹y
⫹ ⫹1
x ⫺y
y
3 a 1⫺
1
y
a
a
⫺
x
y
55
3 Das Rechnen in der Menge q der rationalen Zahlen: Bruchrechnen
Zerlegen Sie in den Aufgaben 9 und 10 die Nenner in Faktoren.
2 xy
y
x
⫹ 2
2 ⫺
x ⫹y
x ⫺y
x ⫺y
b
x ⫺3
36
x ⫹3
⫺
⫺ 2
x ⫺3
x ⫹3
x ⫺9
10 a
7a ⫺ 4
5a ⫺ 6
11 a ⫺ 3
⫺
⫹
3x ⫹ 3
2x ⫹ 2
6x ⫹ 6
b
5b ⫺ 3
3b ⫺ 1
6b ⫹ 2
⫹
⫺
4y ⫺ 8
2y ⫺ 4
y⫺2
3.5
Die Multiplikation und Division von Brüchen
3.5.1
Die Multiplikation
9 a
Beispiele mit Lösungen
Aufgaben
Stellen Sie durch Zeichnungen dar. 1.
2
⋅4
9
2.
2 1
⋅
3 2
Lösungen
2.
1
1
1
2
1.
1
2
56
2 4=2·4=8
9
9
9·
2
3
1
3
2·1=2·1=2=1
3 2 3·2 6 3
Satz
Ein Bruch und eine ganze Zahl werden miteinander multipliziert, indem man den
Zähler mit der ganzen Zahl multipliziert und den Nenner beibehält:
ac
a
⋅c⫽
mit a, b, c 僆 z; b ⫽ 0
b
b
Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner
mit Nenner multipliziert:
a c
a⋅c
ac
⋅ ⫽
⫽
mit a, b, c, d 僆 z; b ⫽ 0, d ⫽ 0
b d
b⋅d
bd
3.5 Die Multiplikation und Division von Brüchen
Die Kehrzahl eines Bruches entsteht durch Vertauschen von Zähler und Nenner: Die Kehr5
1
1
2
zahl von ist , die Kehrzahl von ist 3, die Kehrzahl von 4 ist , die Kehrzahl von 1
5
2
3
4
ist 1, die Zahl 0 hat keine Kehrzahl.
Definition
Die Kehrzahl von
b
a
ist mit a, b 僆 z; a ⫽ 0, b ⫽ 0.
b
a
Satz
Das Produkt einer Zahl und ihrer Kehrzahl ist 1:
a b
⋅ ⫽1
b a
Die Rechengesetze der Multiplikation (vgl. S. 30) gelten für alle rationalen Zahlen.
KG:
a c
ac
ca
c a
⋅ ⫽
⫽
⫽ ⋅ mit a, b, c, d, e, f 僆 z; b ⫽ 0, d ⫽ 0, f ⫽ 0
b d
bd
db
d b
AG:
冢 b ⋅ d 冣 ⋅ f ⫽ bd ⋅ f ⫽ (bd) f ⫽ b (d f ) ⫽ b ⋅ 冢 d ⋅ f 冣
DG:
冢b ⫹ d冣 ⋅ f ⫽
NE:
a⋅1
a
a
⋅1⫽
⫽
b
b
b
IE:
a
a
c
ac
e
c
e
e
(ac) e
a (ce)
a
c
e
ad ⫹ bc e
(ad ⫹ bc) ⋅ e
ade ⫹ bce
ade
bce
⋅ ⫽
⫽
⫽
⫹
bd
f
bd f
bd f
bd f
bd f
ce
a e
c e
ae
⫹
⫽ ⋅ ⫹ ⋅
⫽
bf
df
b f
d f
Die Zahl 1 ist das neutrale Element der Multiplikation.
a b
Zu jedem Element aus q* ist die Kehrzahl das
⋅ ⫽1
inverse Element bezüglich der Multiplikation.
b a
a
⋅ 0 ⫽ 0 Die Multiplikation mit 0 ergibt 0.
b
Beispiele mit Lösungen
Aufgaben
Berechnen Sie den Wert des Produktes und stellen Sie fest, welche Bedingungen gelten
müssen, damit die Nenner der einzelnen Faktoren und der Nenner des Produktes nicht
den Wert 0 annehmen.
3 a2
16 (a ⫹ b)
a
a⫺3
1.
⋅
2. 2
⋅
4 (a ⫹ b)
21 a
a ⫺9
3a
57
58
3 Das Rechnen in der Menge q der rationalen Zahlen: Bruchrechnen
Lösungen
1. Für den Nenner 4 (a ⫹ b) gilt a ⫽ ⫺b, für den Nenner 21 a gilt a ⫽ 0.
3 a2
16 (a ⫹ b)
4a
⋅
⫽
4 (a ⫹ b)
21 a
7
2. Für den Nenner a2 ⫺ 9 gilt a ⫽ 3 und a ⫽ ⫺3, für den Nenner 3 a gilt a ⫽ 0.
a⫺3
1
a
⋅
⫽
(a ⫹ 3) (a ⫺ 3)
3a
3 (a ⫹ 3)
Aufgaben
Berechnen Sie den Wert des Produktes und stellen Sie fest, welche Bedingungen gelten
müssen, damit die Nenner der einzelnen Faktoren und der Nenner des Produktes nicht
den Wert 0 annehmen. G ⫽ q
1 Bilde die Kehrzahl zu
a 1
x ⫹y
1
2 1
, , 6, , , x,
,
,x ⫹y
3 5
x x
x ⫺y x ⫹y
⫺5
⫺5
⫺3
2 a
14 10
5
⋅ (⫺3) b
⋅
24
15 21
c
冢 7 冣 ⋅ 15
d
冢 9 冣 ⋅ 冢 10 冣
e
12
11
⋅ ⫺
16
33
3 a
b
⋅x
x
b
a
⋅a
y
c
a b
⋅
x y
d
a b
⋅
b x
e
a (⫺b)
⋅
b
c
4 a
3a 8
⋅
4b 9a
b
8
5 xy
⋅
6
15 y
c
6 a 14 b2
⋅
7 b 15 a2
d
4 ax 25 bx
⋅
5b
32 a
e
3 a2 b 8 x 2 y2
⋅
8 xy
ab
5 a
冢x 冣
b
冢y冣
c
冢
d
冢⫺ 5 b 冣
e
冢⫺ y 冣
6 a
20 (x ⫺ y)
3x
⋅
5 (x ⫺ y)
21 y
b
15 (a ⫹ b)
7 a2
⋅
9 (a ⫹ b)
28 a
c
3 (x ⫹ y)
4 xy
⋅
(x ⫹ y)
16 x 2
7 a
冢a ⫹ b冣 ⋅
b
冢5 x ⋅ 5 y冣 ⋅
c
冢x ⫺ y冣 ⋅
8 a
5 (x ⫹ y) 18 (x ⫺ y)2
⋅
6 (x ⫺ y) 25 (x ⫹ y)2
b
x ⫹1
x
⋅
x2 ⫺ 1
x
c
y⫹5
2y
⋅
y2 ⫺ 25
5y
9 a
冢2 ⫹ 3冣
d
冢 2 ⫹ 3 冣冢 2 ⫺ 3 冣
10 a
冢a ⫹ a 冣
d
冢 b ⫹ a 冣冢 b ⫺ a 冣
3
1
a
2
1
b
1
2
2
⫺2
3
2 ab
3
b
冢3 ⫺ 5冣
b
冢x ⫺ y冣
a
1
b
1
2
2
⫺3 a
4
14
冣
2
2
3
4a
5 xy
12
c
冢3
c
冢x ⫹ a 冣
2x
a
⫺
x
3y
4
2
冣
2
2
a
x
a
冢
2x
冣
3
2
b
xy
z
2y
b
2y
x
a
b
3.5 Die Multiplikation und Division von Brüchen
3.5.2
Die Division
Beispiele mit Lösungen
Aufgaben
Füllen Sie mit nebenstehenden Gefäßen 2 Liter Milch nach den Angaben
um.
1
1. Wie oft lässt sich das
Liter2
Gefäß füllen?
2l
1
2l
1
4l
2
3l
1
Liter-Gefäß füllen?
4
2
3. Wievielmal lässt sich das Liter-Gefäß füllen?
3
Leiten Sie aus den Aussagen die Rechenregel für die Division durch einen Bruch ab.
2. Wie oft lässt sich das
Lösungen
1
1. Das Liter-Gefäß lässt sich 4-mal füllen. Wir schreiben dafür:
2
1
1
2 Liter : Liter ⫽ 4
Probe: 4 ⋅ Liter ⫽ 2 Liter
2
2
1
1
2. Das Liter-Gefäß lässt sich 8-mal füllen: 2 Liter : Liter ⫽ 8, da 8 ⋅
4
4
2
2
3. Das Liter-Gefäß lässt sich 3-mal füllen: 2 Liter : Liter ⫽ 3, da 3 ⋅
3
3
1
Liter ⫽ 2 Liter
4
2
Liter ⫽ 2 Liter
3
Aus diesen Aussagen leiten wir das Rechenverfahren für die Division durch einen Bruch
ab:
1
2
1
4
2
3
1. 2 : ⫽ 2 ⋅ ⫽ 4
2. 2 : ⫽ 2 ⋅ ⫽ 8
3. 2 : ⫽ 2 ⋅ ⫽ 3
2
1
4
1
3
2
1
1
Füllen Sie den Inhalt des Liter-Gefäßes in das Liter-Gefäß um und veranschaulichen
4
2
1 2
1
1 1
Sie dadurch, dass : ⫽ ⋅ ⫽ ergibt.
4 2
4 1
2
Satz
Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seiner Kehrzahl multipliziert:
a d
a c
: ⫽ ⋅ mit a, b, c, d 僆 z; b ⫽ 0, d ⫽ 0, c ⫽ 0
b d
b c
Die Aufgabe 12 :
die Aufgabe
1
können wir als Aufgabe des Enthaltenseins auffassen. Dagegen hat
4
1 2
: als Aufgabe des Enthaltenseins keinen Sinn. Als Ergebnis der Division
2 3
59
60
3 Das Rechnen in der Menge q der rationalen Zahlen: Bruchrechnen
2
1
1 2
: nehmen wir die Zahl x, die die Gleichung x ⋅ ⫽ erfüllt. Dies ist die Zahl
2 3
3
2
3 2
1
3
, denn ⋅ ⫽ .
4
4 3
2
Beispiele mit Lösungen
Aufgaben
Berechnen Sie den Quotienten und stellen Sie fest, welche Bedingungen gelten müssen,
damit der Nenner des Dividenden, der Nenner und Zähler des Divisors und der Nenner
des Quotienten nicht den Wert 0 annehmen.
y
x
⫺
2
y
x
x ⫺9 x ⫹3
1. 2
:
2.
y ⫺ 16 y ⫺ 4
1
1
⫺
y
x
Lösungen
1. Für den Nenner des Dividenden y2 ⫺ 16 gilt: y ⫽ 4 und y ⫽ ⫺4
Für den Nenner des Divisors y ⫺ 4 gilt: y ⫽ 4
Für den Zähler des Divisors x ⫹ 3 gilt: x ⫽ ⫺3
Der Zähler des Divisors wird zum Nenner, wenn wir mit dem Kehrwert des Divisors
multiplizieren.
y⫺3
x 2 ⫺ 9 x ⫹ 3 (x ⫹ 3) (x ⫺ 3) (y ⫺ 4)
:
⫽
⋅
⫽
y2 ⫺ 16 y ⫺ 4
(y ⫹ 4) (y ⫺ 4) (x ⫹ 3)
y⫹4
2.
y
x
⫺
y
x
1
1
⫺
y
x
ist ein „Doppelbruch“. Der längere Bruchstrich heißt „Hauptbruchstrich“.
Der Doppelbruch bedeutet
冢 y ⫺ x 冣 : 冢 y ⫺ x 冣.
x
y
1
1
Für die Nenner y und x gilt y ⫽ 0 und x ⫽ 0.
y
1
xy
x 2 ⫺ y2 x ⫺ y (x ⫹ y) (x ⫺ y)
x
1
⫺
⫺
:
⫽
⋅
⫽x ⫹y
:
⫽
y
y
y
x
xy
xy
xy
(x ⫺ y)
1
x ⫺y
1
. Bei der MultiplikaWir machen den Divisor ⫺ gleichnamig und erhalten
y
x
xy
tion mit dem Kehrwert des Divisors wird der Zähler x ⫺ y zum Nenner. Es muss also
auch gelten x ⫽ y, damit der Nenner des Doppelbruchs nicht 0 wird.
冢
冣冢
冣
Eine andere Art, einen Doppelbruch auszurechnen, besteht darin, ihn mit dem Hauptnenner der Teilbrüche zu erweitern:
y
x
x
y
⫺
xy
⫺
y
x
y
x
(x ⫹ y) (x ⫺ y)
x 2 ⫺ y2
⫽
⫽
⫽x ⫹y
⫽
x
⫺
y
x ⫺y
1
1
1
1
⫺
⫺
xy
y
x
y
x
冢
冣
冢
冣
3.5 Die Multiplikation und Division von Brüchen
Aufgaben
Berechnen Sie den Quotienten und stellen Sie fest, welche Bedingungen gelten müssen,
damit der Nenner des Dividenden, der Nenner und Zähler des Divisors und der Nenner
des Quotienten nicht den Wert 0 annehmen. G ⫽ q
1 Multiplizieren Sie die Zahlen mit ihrer Kehrzahl.
a 1
a⫹x
1
3 1
, , 4, , , b,
,
,a⫺x
4 3
b a
a⫺x a⫹x
2 a
6
:(⫺9)
7
b
冢⫺ 11 冣 :(⫺12)
c
15
25
: ⫺
16
32
3 a
a
:a
x
b
1
:b
x
c
a b
:
y y
4 a 6a :
3a
4b
8
b 8xy :
5 a
4a 8a
:
5 b 15
6 a
a⫹b
: a(a ⫹ b)
a
7 a 2(a ⫹ b) :
b
2x
5y
a⫹b
2a
c
冣
4a
b
c 12 a2 :
3xy 9x
:
8a 16b
b
冢
d
冢⫺ 7冣: 冢⫺ 28冣
e
冢⫺ 11 冣 : 22
d
1 1
:
a b
e
a a
:
x 2x
27
d 10xy :
5x 2
y
15
4b
a
7 a2 x 14ax
:
9by 27b2 y
e
x2 ⫹ x
: (x ⫹ 1)
x⫺1
c
a⫹3
a
6
e 2ab :
5a2 15 a
12ab2 21 b
:
:
2 d
7b 28 b
13x 2 y 26x
x2 ⫺ 1
: (x ⫹ 1)
x⫹2
b (a2 ⫺ 9) :
6
c (x 2 ⫺ y2) :
x ⫺y
x⫹y
8 a
8 ay
4ax
:
a⫺x a⫺x
b
x ⫹y x ⫺y
:
x ⫺y x ⫹y
c
(a ⫹ b)2 a ⫹ b
:
(a ⫺ b)2 a ⫺ b
9 a
a2 ⫺ 16 a ⫹ 4
:
b2 ⫺ 25 b ⫺ 5
b
3x 2 ⫺ 3y2 6x ⫺ 6 y
:
2 x ⫹ 2y 4x 2 ⫺ 4y2
c
2 a2 ⫹ 4a ⫹ 2 a2 ⫹ 2 a ⫹ 1
: 2
4a2 ⫺ 16
a ⫺ 4a ⫹ 4
10 a
11 a
12 a
冢x ⫺ a 冣 : x
a
x
3a
8b
15
16 b
a
x⫹1
a
x ⫺1
a
b
b
6p
7q
15r
14q
b
冢a ⫺ y 冣 : y
x
c
a
8x
15y
18z
25 x
x ⫹y
x ⫺y
(x ⫹ y)2
x 2 ⫺ y2
冢 a ⫺ b 冣 : ab
1
1
c
3a2
5b2
d
9a
10b
c
1
1
⫺
x
y
1
1
⫹
x
y
1
e
冢4 x ⫹ 4 y冣 : 4xy
1
3
d
4pq
7r
8q2
21 r2
d
f
y
x
⫺
y
x
1
1
⫹
y x
9
5x 3
9yz
20 x
27 y2
61
Bildquellenverzeichnis
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