Theoretische Physik IV – Quantenmechanik I Blatt 10, Abgabetermin

Prof. Dr. Maria-Roser Valentı́
Dr. Stephen Winter
Sommersemester 2017
Übungen zur Vorlesung:
Theoretische Physik IV – Quantenmechanik I
Blatt 10, Abgabetermin: 27.06.2017
Aufgabe 1: Tunneleffekt – Größenordnungen (12 Punkte)
Gegeben sei ein Teilchen mit Masse m in einer rechteckigen Potentialbarriere
0 x < 0, x > l
V (x) =
.
V0
0<x<l
(1)
mit V0 > 0. Die Tunnelwahrscheinlichkeit durch diese Barriere ist durch den TransmissionsKoeffizienten gegeben:
T = |S(E)|2 =
mit k 2 =
2mE
~2
(2kκ)2
(2kκ)2 + (k 2 + κ2 )2 sinh2 (κl)
und κ2 =
(2)
2m(V0 −E)
.
~2
a) Bestimmen Sie den Transmissions-Koeffizienten T für die folgenden Fälle und diskutieren
Sie die Ergebnisse:
i) Ein Elektron mit E = 9 eV, wobei die Parameter des Potentials l = 10−8 cm und
V0 = 10 eV sind. (1 Punkt)
ii) Ein Proton mit E = 9 MeV, l = 10−13 cm und V0 = 10 MeV. (1 Punkt)
iii) Ein Auto mit Masse m = 1000 Kg und Geschwindigkeit v = 100 Km/h, welches
versucht durch einen 100 m langen Hügel zu “tunneln”. Nehmen Sie an, dass
V0 − E = 1 erg (wobei E die Energie des Autos ist), d.h. das Auto kann mit nur
1 erg nicht die andere Seite des Hügels erreichen. Kommentieren Sie das Ergebnis.
Wie hoch ist der Hügel in Meter? (2 Punkte)
b) In welchem Grenzwert kann T genähert werden als (2 Punkte)
p
T = e−2lβ , β = 2m(V0 − E)/~ ?
(3)
c) Für eine allgemeine Barriere V (x) kann man folgenden Ausdruck verwenden:
Rb
p
T = e−2 a β(x)dx , β = 2m(V (x) − E)/~ , E = V (a) = V (b)
(4)
1
wobei V (x) ≥ E für a < x < b. Zeigen Sie, dass dieser allgemeinere Ausdruck
Gleichung (3) reproduziert, wenn das Potential aus Gleichung (1) verwendet wird.
(2 Punkte)
d) Gegeben sei das Potential V (x) = −kx2 + 1 für |x| < 1, sonst Null. Bestimmen Sie
den Transmissions-Koeffizienten T durch Anwendung von Gleichung (4) für eine allgemeine Masse m und Energie E = 0. Diskutieren Sie die Eigenschaften des gegebenen
Potentials als Funktion von k, sowie die Dimension von V (x). (4 Punkte)
Aufgabe 2: Heisenberg Hamiltonian (8 Punkte)
~1 und S
~2 , welche durch den Heisenberg Hamiltonian miteinanGegeben seien zwei Spins S
der wechselwirken:
J ~ˆ ~ˆ
J x x
y y
z z
·
Ŝ
+
Ŝ
Ĥ = − S
S
=
−
Ŝ
+
Ŝ
Ŝ
Ŝ
1
2
1 2
1 2
1 2
~
~
Der Hilbertraum dieses Hamiltonians beinhaltet vier Zustände. Eine Möglichkeit, diese
Zustände zu beschreiben, ist in Abängigkeit der individuellen Spins:
| ↑1 ↑2 i, | ↑1 ↓2 i, | ↓1 ↑2 i, und | ↓1 ↓2 i
~ˆ = S
~ˆ1 + S
~ˆ2 , wobei Ŝ 2 = (Ŝ x )2 + (Ŝ y )2 + (Ŝ z )2 für
Der Gesamtspin ist gegeben durch S
n
n
n
n
n = 1, 2.
a) Berechnen Sie den Kommutator [X̂, Ĥ] für X̂ = Ŝ1z , Ŝ2z , Ŝ12 , und Ŝ22 . (2 Punkte)
b) Berechnen Sie den Kommutator [X̂, Ĥ] für den Operator des Gesamtspins X̂ = Ŝ z =
~ˆ1 + S
~ˆ2 ) · (S
~ˆ1 + S
~ˆ2 ). Was für Schlussfolgerungen ziehen Sie in Bezug
Ŝ1z + Ŝ2z und Ŝ 2 = (S
auf die Eigenzustände von Ĥ? (2 Punkte)
c) Verwenden Sie nun die Zustände |s, mi, welche in Bezug auf den Gesamtspin formuliert
werden. Diese Zustände erfüllen Ŝ 2 |s, mi = ~2 s(s + 1)|s, mi und Ŝ z |s, mi = ~m|s, mi.
Berechnen Sie die Energie E(s, m) = hs, m|Ĥ|s, mi dieser Zustände, in Abhängigkeit
von s und m. Welche Werte können s und m annehmen? Berechnen Sie die Energie
für jede Möglichkeit. (2 Punkte)
d) Bestimmen Sie die Zustände |s, mi in Abhängigkeit der individuellen Spin-Zustände
| ↑1 ↑2 i, | ↑1 ↓2 i, | ↓1 ↑2 i, und | ↓1 ↓2 i. (2 Punkte)
Bonusaufgabe: Zustände mit verschwindendem Impuls (4 Bonuspunkte)
Gegeben sei ein freies Teilchen mit einer Wellenfunktion, welche die Schrödingergleichung
erfüllt:
~2 d2
−
ψ( x) = Eψ(x)
2m dx2
2
a) Schreiben Sie die allgeimen Lösungen ψ(x) auf, mit allgemeiner Energie E. Was erhalten Sie im Grenzwert E → 0? (1 Punkt)
b) Substituieren Sie E = 0 in der Schrödingergleichung. Lösen Sie die daraus hervorgehende Gleichung, indem Sie beide Seiten integrieren. Unter welchen Bedingungen
ist Ihr Ergebnis dasselbe wie in Aufgabenteil (a)? Wieso müssen diese Bedingungen
erfüllt werden? (Hinweis: Überlegen Sie, wie die Konstanten in ψ(x) von der Größe
des berücksichtigten Bereichs abhängen.) (3 Punkte)
3