Grundlagen (überwiegend Schulstoff)

WS 17/18
Mathematik: Grundlagen
Grundlagen (überwiegend Schulstoff)
B teilweise kompakte Wiederholung in Vorlesung/Übung
B semesterbegleitende Aufarbeitung in den Tutorien
Viele der unten genannten Begriffe sind in folgendem Sinne vorausgesetzt: Zwar werden die
wichtigsten Begriffe spätestens an den Stellen, an denen sie erstmals eingesetzt werden, noch
einmal besprochen, aber weniger unter rein mathematischen Gesichtspunkten, sondern eher
in Hinblick auf Anwendungen. Wichtige Ergebnisse werden danach aber oft nicht detailliert
hergeleitet, sondern nur in der benötigten Form notiert und anhand von Beispielen besprochen. Dies ist, wenn der entsprechende Stoffbereich völlig neu für Sie ist, unzureichend und
könnte Sie überfordern (beispielsweise die elementare Integralrechnung an nur einem Vormittag). Sie müssen also entsprechend vorbereitet sein, d.h. Ihre Schulkenntnisse aktivieren
und aufbereiten oder ggf. den entsprechenden Stoffbereich rechtzeitig nachholen.
Ein wichtiger Grund für diese Zusammenfassung ist auch, dass wir (nicht unbedingt einheitlich festgelegte) Schreibweisen und Definitionen wohlbekannter Dinge in einer einheitlichen
Form sammeln wollen:
Mengen und Aussagen
Symbolik/Sprechweisen, Grundregeln
Zahlenmengen
N, N0 , Z, Q, R, Rn , Intervalle in R, Rn
Rechenregeln
Summenzeichen, Potenzregeln, Prozentrechnung
Funktionen
Funktion, Definitions- und Wertebereich, Bild, Urbild, Umkehrfunktion, Monotone
Funktionen
Grundfunktionen:
Betrag, Rundungsmethoden, Polynome, Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten, Exponentialfunktion, Logarithmus
Mathematik für Ökonomen – Campus Duisburg
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Mathematik: Grundlagen
Aussage A Ein sprachliches Objekt, dem genau eine der beiden Eigenschaften „wahr“(= 1)
oder „falsch“ (= 0) zugeordnet werden kann: A
Symbol
¬A
A∧B
A∨B
Name
Negation
Konjunktion
Disjunktion
Sprechweise
nicht A
A und B
A oder B
A⇒B
Implikation
A impliziert B
A⇔B
Äquivalenz
A äquivalent B
Wahrheitswert (Festlegungen)
w(¬A) = 1 − w(A)
w(A ∧ B) = min(w(A), w(B))
w(A ∨ B) = max(w(A),
w(B))
1 falls (w(A) ≤ w(B))
w(A ⇒ B) =
0 sonst
1 falls w(A) = w(B)
w(A ⇔ B) =
0 sonst
Weitere Zusammensetzungen von Aussagen mit Hilfe dieser Symbole
VORSICHT
Aus einer falschen Aussage (Wahrheitswert 0) kann jede andere gefolgert werden, und eine
wahre Aussage (Wahrheitswert 1) kann aus jeder anderen Aussage gefolgert werden.
Kontradiktion
Tautologie
1
eine Aussage, die immer falsch ist
eine Aussage, die immer wahr ist
Ist eine Implikation A ⇒ B wahr, so heißt A hinreichende Bedingung für B und
B notwendige Bedingung für A
Bestimmung des Wahrheitswertes einer zusammengesetzten Aussage, abhängig vom Wahrheitswert der an der Zusammensetzung beteiligten Teilaussagen:
Wahrheitstafel z.B. für (A ∧ B) ∨ (¬C)
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
A∧B
0
0
0
0
0
0
1
1
¬C
1
0
1
0
1
0
1
0
(A ∧ B) ∨ (¬C)
1
0
1
0
1
0
1
1
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Mathematik: Grundlagen
Für alle 8 Fälle der Wahrheitswerte von A, B, C wird entsprechend obiger Festlegungen der
Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage (in der letzten Spalte) schrittweise bestimmt
(z.B. Spalte 6 zeilenweise als Maximum der Werte der Spalten 4) und 5).
Definitionssymbole
: = Linke Seite : = Rechte Seite bedeutet
das Objekt auf der linken Seite „ergibt sich aus“ der rechten Seite
: ⇔ bzw. Linke Seite : ⇔ Rechte Seite bedeutet
das Objekt links „wird definiert durch“ die Angaben rechts
Menge
x∈M
x 6∈ M
Zusammenfassung bestimmter (realer oder gedachter) wohl
unterschiedener Objekte (aus einem festen Bereich) zu einem
Ganzen. Diese Objekt heißen dann Elemente der Menge.
x ist Element der Menge
x ist nicht Element der Menge M
Angabe einer Menge durch Aufzählen (nicht immer möglich)
M := {3, III, 3, drei, try}, ∅ := {}(leereMenge), N := {1, 2, 3, . . .}
Angabe einer Menge durch Angabe der mengenbildenden Eigenschaft
M := { x ∈ Grundmenge: Eigenschaft von x}, G := {2n : n ∈ N}
VORSICHT
Die Objekte einer Menge sind verschieden. Nur durch setzen von geschweiften Klammern
um eine Aufzählung von Zahlen entsteht nicht notwendig eine Menge: {1, 2, 1} ist keine
Menge, aber z.B. eine „Liste“ oder eine „indizierte Menge“
siehe . Informatik
Vergleich von Mengen A, B
A⊂B
A ist Teilmenge von B, wenn jedes Element
von A auch Element von B ist.
(x ∈ A ⇒ x ∈ B)
A ist echte Teilmenge von B, wenn A ⊂ B und es ein Element
von B gibt, das nicht zu A gehört
A = B B ⊂ A und A ⊂ B
(x ∈ A ⇔ x ∈ B)
Jedes Element von B ist auch Element von A und umgekehrt
Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge!
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Mengenoperationen
A∪B
A∩B
A\B
B
Vereinigungsmenge von A und B
A ∪ B := {x : x ∈ A oder x ∈ B}
Schnittmenge von A und B
A ∩ B := {x : x ∈ A und x ∈ B}
Differenzmenge, besser: Komplement von B in A
A\B := {x : x ∈ A und x 6∈ B}
Komplement von B(in einer festen Grundmenge X)
B := {x ∈ X : x 6∈ B} = X \ B
Distributivgesetze für Mengen A, B, C
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) und (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
2 De Morgansche Regeln
A ∪ B = A ∩ B und A ∩ B = A ∪ B
(M ) = M
doppelte Verneinung.
Komplementbildung (und die de Morganschen Regeln) sind wichtige Hilfsmittel für sprachliche Beschreibungen von Mengen:
• Ich tue . . . „nicht: dieses oder jenes“ = „nicht dieses und nicht jenes“
• Ich tue . . . „nicht: dieses und jenes“ = „nicht dieses oder nicht jenes“
Zwei Mengen A, B heißen disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben:
A ∩ B = ∅. Mehrere Mengen heißen paarweise disjunkt, wenn je zwei (alle möglichen Paare)
dieser Menge disjunkt sind.
] statt ∪ symolisiert eine Vereinigung paarweise disjunkter Mengen Zerlegungen in disjunkte
Teilmengen (= Segmente) mit zwei Mengen A, B
A = (A ∩ B) ] (A \ B)
B = (A ∪ B) ] (B \ A)
A ∪ B = A ] (B \ A) = (A \ B) ] B = (A \ B) ] (B \ A) ] (A ∩ B)
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Mathematik: Grundlagen
Sprachliche Segmentierung mit „entweder ... oder“ (]) statt „oder“ (∪) Ich tue ... „dieses oder
jenes“ = „entweder dieses oder jenes oder beides“.
Oft interessieren bei Argumentationen mit Mengen weniger deren einzelne Elemente selbst,
sondern eher nur deren Anzahl:
Schreibweise #(A) := Elementeanzahl der Menge A
Das Wort Anzahl setzt voraus, dass die Menge auch „abgezählt“
werden kann:
Endliche Menge M :
Elemente zählbar mittels {1, 2, . . . , n}
für eine natürliche Zahl n; #(M ) := n.
Abzählbar unendliche Menge M :
Nicht endlich, aber Elemente zählbar
mittels {1, 2, 3, . . . }; #(M) := ∞.
Überabzählbare Menge M :
weder endliche, noch abzählbar unendliche
Menge; #(M ) nicht definiert.
∞ Lemniskate, Symbol für das Unendliche, eine ideale „Zahl“, die nicht zu R
gehört
∞ + ∞ := ∞, ∞ ± n := ∞ für n ∈ N, ∞ − ∞ nicht definiert
Zahlenmengen
Natürliche
Ganze
Rationale
Reelle
Zahlen
Zahlen
Zahlen
Zahlen
N = {1, 2, 3, . . .}, N0 = N ∪ {0}
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Q = {m/k : m ∈ Z, k ∈ N}
R = Menge aller Grenzwerte von (allen) Folgen
rationaler Zahlen
siehe . Folgen und Grenzwerte
Die Grenzwerteigenschaft bedeutet, dass jede reelle Zahl beliebig gut – nach Vorgabe einer
Genauigkeit (z.B. 102 ) – durch rationale Zahlen, insbesondere eine endliche Dezimalzahl,
approximiert
werden√kann, z.B.
√
√
2 ≈ 1.4142, 1/ 2 ≈ 0.7071,
3 ≈ 1.7321, e ≈ 2.71828, e−1 ≈ 0.3678, ln 2 ≈
0.69, ln 10 ≈ 2.3, π ≈ 3.1415 oder so: π ≈ 22
7 .
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Mathematik: Grundlagen
Intervalle in R
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
[a, b[ := {x ∈ R : a ≤ x < b}
]a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b}
]a, b[ := {x ∈ R : a < x < b}
] − ∞, a] := {x ∈ R : x ≤ a}
[a, +∞[ := {x ∈ R : a ≤ x}
] − ∞, ∞[ := R
[a, a] := {a}
reelle Zahlen a, b mit a < b
abgeschlossenes Intervall
links abgeschl., rechts offenes Interv.
links offenes, rechts abgeschl. Interv.
offenes Intervall
linker Halbstrahl
rechter Halbstrahl
Zahlengerade (Zahlenstrahl)
einpunktige Menge, kein Intervall
Bequeme, klare Schreibweise für eingeschränkte Zahlenmengen
Zahlenmenge Bedingung := {x ∈ Zahlenmenge: x erfüllt Bedingung}
R>0 = {x ∈ R : x > 0}, R<0 = { x ∈ R : x < 0}, entsprechend R≥0 , R≤0
VORSICHT beim Lesen der beliebten Symbole R+ und R− in verschiedenen Quellen:
Es ist nicht einheitlich geregelt, ob dabei die Zahl 0 zugezählt wird oder nicht (aber wichtig
bei Division, Lösungsmengen)
Rn n-Tupel (x1 , . . . , xn )von reellen Zahlen
n =Dimension des Tupels (n ∈ N)
Anordnung: i-te Stelle im Tupel heißt i-te Koordinate
R1
R2
R3
Rn
=
=
=
=
R, d.h (x) := x für x ∈ R
{(x1 , x2 ) : x1 , x2 ∈ R}
{(x1 , x2 , x3 ) : x1 , x2 , x3 ∈ R}
{(x1 , . . . , xn ) : x1 , . . . , xn ∈ R}
(n-Vektoren)
eindimensional
Paare (2-Tupel) zweidimensional
Tripel(3-Tupel) dreidimensional
n-Tupel
n-dimensional
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Mathematik: Grundlagen
3 Indizierte Objekte
z
i
mit i ∈ {m, . . . , n} und m, n ∈ Z (m ≤ n)
Zur Unterscheidung von Objekten in Aufzählungen und Formeln werden diese Objekte indiziert (nummeriert).
i heißt Index (Nummer) und ist der i-Indexmenge {m, . . . , n}, die n − m + 1 Elemente
hat (= Anzahl Indizes i).
Vereinbarung. Alle nachfolgend indizierten Objekte sind – solange nichts anderes erwähnt –
Rechenausdrücke (Zahlen).
Indizierte (nummerierte) Rechenausdrücke z m . . . , z n (m, ≤ n ∈ Z)
Bei der Auswertung wird für i = m, . . . , n jedes Vorkommen des Index i im Objekt z
durch den laufenden Wert von i ersetzt z.B.
zi := i · ai + bj , d.h. i · ai + bj und z.B. zm = m · am + bj
i
i
i=m
Der Rahmen um die Objekte dient als optische Hilfe
4 Summenzeichen
n
X
zi = zm + . . . + zn
i=m
n
X
zi= z
m
(m, n ∈ Z, m ≤ n)
+ ... + z
n
i=m
Für i = m, . . . , n wird jedes Vorkommen des Index i im Ausdruck z
Wert von i ersetzt, z.B.
P1
i
i=−7 (2
1
X
i=−7
i
durch den laufenden
+ i)2 = (2−7 − 7)2 + (2−6 − 6)2 + . . . + (20 + 0)2 + (21 + 1)2
(2i + i)2 = (2−7 + (−7))2
i
Andere Schreibweisen
P
i=−7
i=m,...,n zi ,
+ . . . + (20 + 0)2
i=0
+ (21 + 1)2
i=1
P
i∈{m...,n} zi
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Die i-Indexmenge hat jeweils n−m+1 Elemente, d.h. die Summe hat n−m+1 Summanden.
5
n
X
i=m
n
X
(ai + bi ) = (
(c ai ) = c(
i=m
n
X
ai ) + (
i=m
n
X
n
X
bi )
i=m
ai )
i=m
Pn
c = c · (n − mP+ 1) = c · (Anzahl
Summanden)
Pn
P
Pi=m
n
2
2 ) ± 2( n
2 =( n
a
(a
±
b
)
i
i
i=m ai bi ) + ( i=m bi )
i=m i
i=m
6 Indexverschiebung
Pn
j=m
zj =
Pn+k
i=m+k
zi−k =
Pn−k
i=m−k
zi+k
(k ∈ N)
Verschiebung des Index und Verschiebung der Grenzen gleichen sich aus:
j = i + v ∈ {m, . . . , n} ⇐⇒ i ∈ {m − v, . . . , n − v} für v ∈ Z
Pn
i=1 x
P2007
i
= x1 + . . . + xn =
i=1997 ai
Pn−1
i=0
xi+1 =
= a1997 + . . . + a2007 =
P7
Pn+1
i=2
xi−1
i=−3 a2000+i
(x ∈ R fix )
(Basisjahr 2000)
Indexverschiebung ist keine Umindizierung, die Indexmenge bleibt gleich. Bei einer Umindizierung/Umbasierung werden dagegen die Indizes geändert, z.B. von a1997 , . . . , a2007
zu a−3 , . . . , a7 Basisjahr 0
Bei Programmen/theoretischen
Überlegungen ist es bequem, auch die
P
P Summe über eine leere
Indexmenge (z.B. 0i=1 (. . .)) zuzulassen. Dazu wird festgesetzt: ∅ . . . = 0, egal welche
Ausdrücke/Zahlen (...) auftreten.
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7 Potenzen
am mit ganzzahligen Exponenten
a, b ∈ R6=0 und n, m ∈ Z
a0 = 1, an+m = an · am , (a · b)n = an · bn , an·m = (an )m
n-te Wurzeln/allgemeinere Exponenten: siehe . Grundfunktionen
26 = 20 26 = 21 25 = 22 24 = 23 23 = (23 )2 = (22 )3 , 1 = 60 = (63 )0 = (60 )3
8 Binomische Formeln
(a2 ± 2ab + b2 ) = (a ± b)2
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Anwendung zur Umrechnung von Differenzen
a−b=
Für n ∈ N ist
√
n+1 −
√
1 =
√
a2 − b2
a+b
für a + b 6= 0
1 √
n+1 + n
9 Fakultät, Binomialkoeffizient
0! = 1,
n
=
k
=
n! = 1 · ... · n für n ∈ N
n!
(n−k)!·k!
für 0 ≤ k ≤ n
Bsp. 10! = 3628800
„n über k“
Anzahl Möglichkeiten, k von n Objekten auszuwählen
Allgemeine binomische Formel
(a + b)n =
n X
n
k=0
insbesondere ist (für a = b = 1) :
k
ak bn−k
2n =
für a, b ∈ R und
n∈N
n
k=0 k
Pn
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10 Prozentrechnung
W
G
Prozentualer Anteil
i = % =Prozentsatz,
=
p
100
= p% = i
p =Prozentzahl (Prozentpunkte)
Prozentwert W = G · i, Grundwert G = W/i
Bsp.: G = Nettowert, W = Steuerwert (Steuern), i = Steuersatz
VORSICHT mit Bezeichnungen bei der Prozentrechnung:
Es ist auch üblich, für den Prozentsatz selbst das Symbol p zu verwenden (z.B. p = 5% =
0.05), die hierbei zugehörige Prozentzahl 100 · p erhält dann meist kein eigenes Symbol.
Prozentuale Veränderung
G1 −G0
G0
=
p
100
= p% = i
Neuer Wert G1 = G0 · (1 + i), Grundwert G0 = G1 /(1 + i)
i = p% =Prozentuale (oder relative) Veränderung von G0 zu G1
(Die prozentuale Veränderung eines Grundwerts G0 ist der prozentuale Anteil der absoluten
Veränderung W = G1 − G0 am Grundwert G0 ).
Änderung von G0 um i = p%: Multiplikation von G0 mit (1 + i)
Zunahme von G0 um 10% : i = +10% = 0.1
und G1 = G0 · (1 + 0.1)
Abnahme von G0 um 10% : i = −10% = −0.1 und G1 = G0 · (1 − 0.1)
Bruttowert = Nettowert · (1+ Aufschlag)
Im Bruttowert enthaltener Aufschlagwert = Bruttowert ·
i
1+i
Aufschlag = p% = i
Aufschlag
1+Aufschlag
= Anteil des Aufschlagwertes G0 · i am Bruttowert G1 = G0 · (1 + i)
Mwsteuersatz
1+Mwsteuersatz
=
=
Prozentualer Anteil der Mwsteuer am Bruttopreis
0.19
19
1.19 (= 119 ) ≈ 16% beim Mehrwertsteuersatz 19%
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11 Funktionen
Eine Funktion f ist eine Zuordnung von Elementen einer Menge D(f ) auf
jeweils genau ein Element aus einer Menge Y
f : D(f ) → Y : x 7→ y = f (x)
D(f ) heißt Definitionsbereich von f
Y heißt Wertevorrat von f
W(f ) := {f (x) : x ∈ D(f )} heißt Wertebereich von f
In den meisten ökonomischen Anwendungen haben wir D(f ) ⊂ Rn und W (f ) ⊂ R.
12 Umkehrbare Funktionen und ihre Umkehrfunktion
Eine Funktion f : D(f ) → W (f ) heißt umkehrbar,
y ∈ W (f ) Wert f (x) von genau einem x ∈ D(f ) ist.
falls
jedes
Zu einer umkehrbaren Funktion f : D(f ) → W (f ) kann eine neue Funktion
gebildet werden
f −1 : W (f ) → D(f ) : y = f (x) 7→ x = f −1 (y).
Sie heißt Umkehrfunktion, Symbol: f −1 . Es gilt
f −1 (f (x)) = x und f (f −1 (y)) = y
Eine Umkehrfunktion ist wieder umkehrbar, bei erneuter Umkehrung entsteht die ursprüngliche umkehrbare Funktion: (f −1 )−1 = f
„Bestimmung“ der Umkehrfuktion
Methode 1
(nicht immer möglich)
Eindeutiges Auflösen der Funktionsvorschrift y = f (x) nach x
Methode 2 (wenn Methode 1 versagt)
Z.B. mit Hilfe eines Kriteriums (s.u.) weist man/frau nach, das die Funktion umkehrbar
(eindeutig) ist und kann dann mit f −1 „rechnen“, Wertebestimmung meist iterativ mit Hilfe
der Gleichung f (f −1 (x)) = x (methodisches Probieren). Wichtige solcher Umkehrfunktiop
√
nen bekommen einen eigenen Namen/ein eigenes Symbol, z.B. ist x (mit D( ) = R≥0 ),
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Mathematik: Grundlagen
definiert als Umkehrfunktion der Funktion f (x) := x2 (mit D(f ) = R≥0 ).
13
Jede umkehrbare Funktion erfüllt für alle x, y ∈ D(f ) :
x = y ⇔ f (x) = f (y)
14 Monotone Funktionen f
:I→R
I ⊂ R ein Intervall
f monoton wachsend in I :⇔
für alle x, y ∈ I gilt: x < y ⇒ f (x) ≤ f (y)
äquivalent
f monoton fallend in I :⇔
für alle x, y ∈ I gilt:
x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y)
äquivalent:
x < y ⇒ f (x) ≥ f (y)
x ≤ y ⇒ f (x) ≥ f (y)
f streng monoton wachsend in I :⇔
für alle x, y ∈ I gilt: x < y ⇒ f (x) < f (y)
äquivalent:
äquivalent:
x < y ⇔ f (x) < f (y)
(MF 1)
x ≤ y ⇔ f (x) ≤ f (y)
(MF 2)
x < y ⇔ f (x) > f (y)
(MF 3)
f streng monoton fallend in I :⇔
für alle x, y ∈ I gilt: x < y ⇒ f (x) > f (y)
äquivalent:
äquivalent:
x ≤ y ⇔ f (x) ≥ f (y)
(MF 4)
Gleichungen (MF 1)-(MF 4) sind nützlich zur Umformung von Ungleichungen.
15 Monotoniekriterium
Eine streng monoton wachsende bzw. fallende Funktion f ist umkehrbar.
Ist z.B. D(f ) = [a, b] ein Intervall und f strikt monoton ...
... wachsend, dann ist W (f ) = D(f −1 ) = [f (a), f (b)]
... fallend, dann ist W (f ) = D(f −1 ) = [f (b), f (a)]
In beiden Fällen ist W (f −1 ) = D(f ) = [a, b]
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Mathematik: Grundlagen
16 Grundfunktionen I
Betrag
|x| :=



x
falls
−x falls
x≥0
x<0
und x ∈ R
Aufrunden
dxe :=
aufrunden von x zur nächsten ganzen Zahl,
x∈R
Abrunden
bxc :=
abrunden von x zur nächsten ganzen Zahl,
x∈R
Runden
[x] :=
runden von x zur nächsten ganzen Zahl,
x∈R
(Übliche Festlegung des Grenzfalls der Mitte
x = k+(k+1)
zwischen zwei ganzen Zahlen:
2
Aufrunden (auf k + 1))
Polynom vom Grad n ∈ N mit Koeffizienten a0 , ..., an ; an 6= 0
f (x) :=
n
X
ai xi ,
D(f ) = R
i=0
f (x) = a0
f (x) = a0 + a1 · x, a1 6= 0
f (x) = a0 + a1 · x + a2 · x2 , a2 6= 0
f (x) = a0 + a1 · x + a2 + ·x2 + a3 · x3 , a3 6= 0
konstante Funktion
Gerade (affine lineare Funktion)
quadratische Funktion
kubische Funktion
Ein Polynom n-ten Grades hat höchstens n verschiedene Nullstellen
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k-te Wurzel
WS 11/12
23
f : R≥0 → R≥0 : x �→ x1/k
f : R → R : x �→ x1/k
WS 17/18
Grundfunktionen II
17 Grundfunktionen II
Mathematik:
Mathematik
Grundlagen
x1/k ist eine Bezeichnung
fürGrundlagen
die1 :Umkehrfu
f : R≥0 → R≥0 : x �→ xk (k gerade), f : R
2
Bsp.
x2x1/k
k-te Wurzel
f
:
R
→
R
:
x
→
�
k− te Wurzel f≥0
:R
→ R ≥0
x 7→ x1/k mit k ∈ N gerade
1.5
≥0
mit k ∈ N gerade
≥0
1/k
N ungerade
f : Rf :→
R →R
R ::xx
7→�→
x1/kx
mit k ∈ N ungerade
1 mit k ∈ 1/2
x
1/k ist eine Bezeichnung für die Umkehrfunktion der Potenzfunktion
0.5
x1/k xist
eine Bezeichnung für die Umkehrfunktion
der Potenzfunktion
f : R≥0 → R≥0 : x 7→ xk (k kgerade), f : R → R : x 7→ xk (k ungerade)
k (k ungerade)
Mathematik
:RGrundlagen
f1:-1
→ R : 0.5
x �→1 x1.5
f : R≥0 → R≥0 : x �→ x (k gerade),
-2 -1.5
-0.5
2
dfunktionen IIBsp.
zel
Grundfunktionen II
x2
x4
2
1.5
f : R≥0 → R≥0 : x �→ x1/k
1
f : R → R : x �→ x1/k 0.5
2
1.5
mit k ∈ N gerade
1.5
1
x1/2
-2 -
2
mit k ∈ N ungerade
0.5
1
1/3
x1/4
x
3
0.5
x
eine Bezeichnung für
die
Umkehrfunktion
der
Potenzfunktion
-1.5
-1
1 1.5 2
-2
-0.5
0.5
-2 -1.5 -1 -0.5
0.5 1 1.5 2
→ R≥0 : x �→ xk (k gerade),
f2: R → R : x �→ xk (k-2ungerade)
-1.5 -1 -0.5
0.5 1 1.5 2
4
x
2
1.5
Potenzfunktionen
xr mit-0.5
rationalen Expone
2
x2
3
x
1.5
1
f (x) = xm/k -1mit k ∈ N, m ∈
1.5
1/4
x
x1/3
1
0.5
1/3 -1.5
1/2
Zusammengesetzte
x �→ x1/k �→ (x
xFunktion
x
1
0.5
ist hierbei
definiert
als Kehrwert
der entspr
-2 -1.5 -1 -0.5
0.5 1 1.5
2
-2
3
0.5
x
2
Bsp. 2
2 -1.5 -1 -0.5
0.5 1 1.5 2
2
-1.5rationalen
-1 -0.5 1.5
0.5 x11/21.5 2 r = m/k
x1
1.5
Potenzfunktionen
xr-2mit
Exponenten
x4
1.5
f (x) = xm/k 3 mit -0.5
k∈N
D(f ) =1R>0
1 , m ∈ Z,
x
1
-1 1/k
1/k )m ; eine negative Potenz
1/4
Zusammengesetzte
Funktion
x
→
�
x
→
�
(x
0.5
0.5
x
0.5 ist hierbei definiert als Kehrwert
1/3
x -1.5der entsprechenden positiven Potenz.
0.5 1 1.5 2
0.5 1 1.
2
2
2
2 -1.5 -1 -0.5 Bsp.
0.5 1 1.5
2
-2
3
3
x1
x1/2
x3/2
1.5
1.5
1.5
x−1
2.5
2.5
x−1/2
nktionen xr mit rationalen
Exponenten
r
=
m/k
1
1
1
m/k
2
f (x) = x
mit k ∈ N, m ∈ Z, D(f ) 2= R>0
0.5
0.5
0.5
m ;Ökonomen
Mathematik
– Campus Duisburg
x1/k �→
(x1/k )für
eine1.5
negative
Potenz
mengesetzte Funktion x �→
0.5 1 1.5 2
0.5 1 1.5 2
bei definiert als Kehrwert
der entsprechenden positiven
Potenz.
1
3
2
5
x1/2
2.51.5
2
3
2
x1x−1/2
2
0.5
2.51.5
2
3
−1
x
x3/2
0.5
2.5
1
1.5
2
2
14 von 19
1.5
0.5 1 1.5
1
0.5
2
x−3/2
0.5
1
1.
0.5
1.5
-2 -1.5 -1 -0.51
x4
1.5
0.5
0.5 1 1.5
x1/22
1
-2 -1.5 -1 -0.5
0.5
-0.5
0.52
1.5
-2 -1.5 -1 -0.5
21
x417/18
WS
0.5
1.5
3
x1/3 x
0.5
1
x3
0.5 1 1.5 2
1.5
x3
2
-2 -1.5 -1 -0.5 -1 0.5 1 1.5 2
Mathematik: Grundlagen
1/3-0.5
-1.5
x1/4
x
x3
xr mit
rationalen
Exponeten r = m/k-1
-1.5 -1 -0.51
1 1.5
-2Potenzfunktionen
0.5
-2
1/42
x
0.5 f (x) = xm/k mit k ∈ N, m ∈ Z, D(f
) =-1.5
R>0
x1/3
Potenzfunktionen
xr mit
Exponenten r =-2m/k
1 1.5 2
-2 -1.5 -1 -0.5
0.5 rationalen
1/k )m , eine negative Potenz ist hierbei definiert
Zusammengesetzte
Funktionmit
x 7→ x1/k
f (x) = xm/k
k 7→
∈(xN
, m ∈ Z, D(f ) = R>0
als Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz.
1/k �→ (x1/k )m
Potenzfunktionen
xr Funktion
mit rationalen
r;=
m/k
Zusammengesetzte
x �→ xExponenten
eine
negative Potenz
Beispiel
ist hierbeif (x)
definiert
als Kehrwert
= xm/k
mit k ∈der
N,entsprechenden
m ∈ Z, D(fpositiven
) = R>0Potenz.
2
Bsp. 2
Zusammengesetzte
Funktion x �→
x1/k �→ (x1/k )m ; eine2 negative Potenz
x1 entsprechenden1.5
x1/2
x3/2 Potenz.
1.5 definiert
1.5 der
ist hierbei
als Kehrwert
positiven
21
21
Bsp. 21
x1
x1/2
x3/2
1.5
1.5
1.5
0.5
0.5
0.5
1
0.5
1
1.5
2
0.53
2.5
1
0.5
1
1.5
0.53
0.5
−1/2
1x 1.5
2
32
2.5
1
2
x−1/2
0.5
−1
1x 1.5
2
2.5
x−1
2.5
1.5
21
1.5
0.5
1.5
0.5
1.5
0.5
0.5
1
1.5
2
1
0.5
1
1.5
0.5
1
1.5
2
0.5
1
1.5
1
2
Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg
0.5
0.5
1x 1.5
2
−3/2
2
x−3/2
2.5
1.5
21
0.5
1.5
32
21
1
1
0.53
32
2.5
1.5
0.5
0.5
1
0.5
2
Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg
Mathematik für Ökonomen – Campus Duisburg
1.5
2
15 von 17
0.5
1
1.5
2
15 von 17
15 von 19
WS 17/18
Mathematik: Grundlagen
18 Grundfunktionen III
Exponentialfunktion ex
andere Schreibweise: exp(x)
Wichtige Funktion zum (theoretischen) Rechnen bei der Analyse von Änderungen und grenzwertigem Verhalten eines Modells
. stetige Verzinsung, Wachstumsfunktionen, statistische Schätzung
Für jedes x ∈ R definiert als Grenzwert eines Polynomtyps:
Definition
x
e := lim
n→∞
annähernd
ex ≈
n
X
xi
i=0
n
X
xi
i=0
Definitionsbereich R und Wertebereich R>0
i!
i!
, für „große“ n ∈ N, x ∈ R
Diese Näherung wird von Rechnern verwendet und ist schon für relativ kleine n gut brauchbar. Andere Grenzwertdarstellungen für ex sind eher nur von mathematischem Interesse,
z.B. ex = limn→∞ (1 + nx )n .
Eulersche Zahl
e := e1 = lim
n→∞
n
X
i=0
1/(i!) = lim (
n→∞
n+1
n
)n ≈ 2.71828
. Thema 4
Mathematik für Ökonomen – Campus Duisburg
16 von 19
annähernd:
e ≈
i=0
, für große“ n ∈ N, x ∈ R
”
i!
Diese Näherung wird von Rechnern verwendet und ist schon für relativ
kleine n gut brauchbar. Andere Grenzwertdarstellungen für ex sind
eher nur von mathematischem Interesse, z.B. ex = limn→∞ (1 + nx )n .
�n
WS 17/18
Mathematik:
n+1 n Grundlagen
1/(i!)
=
lim
(
) ≈ 2.71828
Eulersche Zahl
e = lim
i=0
n
n→∞
n→∞
4
4
ex
3.5
3
3
2.5
2.5
2
2
x
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
-2 -1.5 -1 -0.5
0.5
1
1.5
-0.5
-1
2x
3.5
2
-2 -1.5 -1 -0.5
x
0.5
1
1.5
2
-0.5
ln(x)
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5
-2.5
-3
-3
-3.5
-3.5
-4
-4
Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg
Mathematik für Ökonomen – Campus Duisburg
log2 (x)
16 von 17
17 von 19
WS 17/18
Mathematik: Grundlagen
Natürlicher Logarithmus ln = Umkehrfunktion von ex
Definitionsbereich R>0 und Wertebereich R
Rechenregeln
ln(ex ) = x = eln x
ln(c) + ln(d) = ln(c · d)
für c, d > 0
ln(ct ) = t · ln(c)
insbesondere
Bsp.
a)
b)
ln(1) = 0; ln(e) = 1; ln( dc ) = − ln( dc )
Für x, y, z > 0 ist ln(x1/7 · y −2/3 · z 2/5 ) =
1
7
für c > 0, t ∈ R
für c, d > 0
ln(x) − 32 ln(y) + 25 ln(z)
1.05x = 2 ⇔ ln(1.05x ) = ln 2 ⇔ x · ln 1.05 = ln 2 ⇔ x =
ln 2
ln 1.05
Allgemeine Exponentialfunktion zur Basis b > 0
Definitionsbereich R und Wertebereich R>0
bx := ex ln b
Bsp.
a)
b)
2x = ex ln 2 , 21/10 = e(1/10) ln 2 ≈ 1.07177
2n = Anzahl Möglichkeiten bei n Bit, 232 = 4294967296
Logarithmus zur Basis b =Umkehrfunktion von bx
b > 0, b 6= 1
Definitionsbereich R>0 und Wertebereich R
Bsp.
a)
b)
dlog2 (n)e = benötigte Bitzahl für n Möglichkeiten
log2
(106 )
=
6 lnln10
2
logb (bx ) = x = elogb x
(n ∈ N)
≈ 19.9316, also d19.93e = 20 Bit für 106 Möglichkeiten
Umrechnen auf die Basis b > 0, b 6= 1
Mathematik für Ökonomen – Campus Duisburg
logb (x) =
ln(x)
ln(b)
18 von 19
WS 17/18
Mathematik: Grundlagen
19 Allgemeine Potenzregeln
Für a, b > 0 und s, t ∈ R ist a0 = 1 und
as·t = (as )t
Faktorisierung des Exponenten
bs+t = bs · bt , insbesondere es+t = es · et
(a · b)t = at · bt , insbesondere
√
a·b=
VORSICHT (vor beliebten Stressfehlern)
√
Im Allgemeinen ist ln(a + b) 6= ln(a) + ln(b) und
√
gleiche Basis
a·
√
a + b 6=
b
√
gleicher Exponent
a+
√
b
Mathematik für Ökonomen – Campus Duisburg
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