WS 15/16 Mathematik 1 : Grundlagen Grundlagen (überwiegend vorausgesetzter Schulstoff ) � teilweise kompakte Wiederholung in Vorlesung/Übung � semesterbegleitende Aufarbeitung in den Tutorien Viele der unten genannten Begriffe sind in folgendem Sinne vorausgesetzt: Zwar werden die wichtigsten Begriffe spätestens an den Stellen, an denen sie erstmals eingesetzt werden, noch einmal besprochen, aber weniger unter rein mathematischen Gesichtspunkten, sondern eher in Hinblick auf Anwendungen. Wichtige Ergebnisse werden danach aber oft nicht detailliert hergeleitet, sondern nur in der benötigten Form notiert und anhand von Beispielen besprochen. Dies ist, wenn der entsprechende Stoffbereich völlig neu für Sie ist, unzureichend und könnte Sie überfordern (beispielsweise die elementare Integralrechnung an nur einem Vormittag). Sie müssen also entsprechend vorbereitet sein, d.h. Ihre Schulkenntnisse aktivieren und aufbereiten oder ggf. den entsprechenden Stoffbereich rechtzeitig nachholen. Deswegen werden schon jetzt auch einige Bereiche aufgeführt, die bei Mathematik 1 nur selten, wesentlich aber erst bei Mathematik 2 benötigt werden. Ein wichtiger Grund für diese Zusammenfassung ist auch, dass wir (nicht unbedingt einheitlich festgelegte) Schreibweisen und Definitionen wohlbekannter Dinge in einer einheitlichen Form sammeln wollen: Mengen, Aussagen Symbolik/Sprechweisen, Grundregeln Zahlenmengen N, N0 , Z, Q, R, Rn , Intervalle in R, Rn Rechenregeln Summenzeichen, Produktzeichen, Potenzregeln, Prozentrechnung Funktionen Relation/Abbildung, Definitions- und Wertebereich, Bild, Urbild Funktion, Umkehrfunktion, Monotone Funktionen Grundfunktionen Betrag, Rundungsmethoden, Polynome, Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten, Exponentialfunktion, Logarithmus [Eine elementare Differentiationsregel] Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 1 von 17 WS 15/16 Mathematik 1 : Grundlagen Aussage A Ein sprachliches Objekt, dem genau eine der beiden Eigenschaften wahr“ (= 1) oder falsch“ (= 0) zugeordnet werden kann: ” ” A �→ w(A) = Wahrheitswert von A Symbol ¬A A∧B A∨B Name Negation Konjunktion Disjunktion Sprechweise(n) Wahrheitswert (Festlegungen) nicht A w(¬A) = 1 − w(A) A und B w(A ∧ B) = min(w(A), w(B)) A oder B w(A ∨ B) = max(w(A), w(B)) � A ⇒ B Implikation A impliziert B w(A ⇒ B) = 1 falls w(A) ≤ w(B) 0 sonst � A ⇔ B Äquivalenz A äquivalent B w(A ⇔ B) = 1 falls w(A) = w(B) 0 sonst Weitere Zusammensetzungen von Aussagen mit Hilfe dieser Symbole ! vorsicht Aus einer falschen Aussage (Wahrheitswert 0) kann jede andere Aussage gefolgert werden, und eine wahre Aussage (Wahrheitswert 1) kann aus jeder anderen Aussage gefolgert werden. Kontradiktion eine Aussage, die immer falsch ist Tautologie eine Aussage, die immer wahr ist ▼ 1 Ist eine Implikation A ⇒ B wahr, so heißt A hinreichende Bedingung für B und B notwendige Bedingung für A Bestimmung des Wahrheitswertes einer zusammengesetzten Aussage, abhängig vom Wahrheitswert der an der Zusammensetzung beteiligten Teilaussagen: Wahrheitstafel z.B. für (A ∧ B) ∨ (¬C) A B C A ∧ B ¬C (A ∧ B) ∨ (¬C) 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 Für alle 8 Fälle der Wahrheitswerte von A, B, C wird entsprechend obiger Festlegungen der Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage (in der letzten Spalte) schrittweise bestimmt (z.B. Spalte 6 zeilenweise als Maximum der Werte der Spalten 4 und 5). Definitionssymbole := Linke Seite := Rechte Seite bzw. Linke Seite :⇔ Rechte Seite :⇔ Das Objekt auf der linken Seite ergibt sich aus“ der rechten Seite ” bzw. das Objekt links wird definiert durch“ die Angaben rechts ” Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 2 von 17 WS 15/16 Mathematik 1 : Grundlagen Menge Zusammenfassung bestimmter (realer oder gedachter) wohlunterschiedener Objekte (aus einem festen Bereich) zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen dann Elemente der Menge. x ∈ M x ist Element der Menge x �∈ M x ist nicht Element der Menge M Angabe einer Menge durch Aufzählen (nicht immer möglich) M := {3, iii, ③, drei, try}, ∅ := {} (Leere Menge), N := {1, 2, 3, ...} Angabe einer Menge durch Angabe der mengenbildenden Eigenschaft M := {x ∈ Grundmenge : Eigenschaft von x}, G := {2n : n ∈ N} ! vorsicht Die Objekte einer Menge sind verschieden. Nur durch Setzen ▼ von geschweiften Klammern um eine Aufzählung von Zahlen entsteht nicht notwendig eine Menge: {1, 2, 1} ist keine Menge, aber z.B. eine Liste“ oder eine indizierte Menge“ siehe � Informatik ” ” Vergleich von Mengen A, B A⊂B A ist Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist. (x ∈ A ⇒ x ∈ B) A ist echte Teilmenge von B, wenn A ⊂ B und es ein Element von B gibt, das nicht zu A gehört A=B B ⊂ A und A ⊂ B (x ∈ A ⇔ x ∈ B) Jedes Element von B ist auch Element von A und umgekehrt ▼ ! vorsicht Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge, aber sie ist nicht Element jeder Menge siehe � Mengensysteme Mengenoperationen A∪B A∩B A\B B Vereinigungsmenge von A und B A ∪ B := {x : x ∈ A oder x ∈ B} Schnittmenge von A und B A ∩ B := {x : x ∈ A und x ∈ B} Differenzmenge, besser: Komplement von B in A A \ B := {x : x ∈ A und x �∈ B} Komplement von B (in einer festen Grundmenge X) B := {x ∈ X : x �∈ B} = X \ B Distributivgesetze für Mengen A, B, C (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) und (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 3 von 17 WS 15/16 2 Mathematik 1 : Grundlagen De Morgansche Regeln A ∪ B = A ∩ B und A ∩ B = A ∪ B (M ) = M doppelte Verneinung Komplementbildung (und die morganschen Regeln) sind wichtige Hilfsmittel für sprachlichen Beschreibungen von Mengen: Ich tue . . . nicht: dieses oder jenes“ = nicht dieses und nicht jenes“ ” ” Ich tue . . . nicht: dieses und jenes“ = nicht dieses oder nicht jenes“ ” ” Zwei Mengen A, B heißen disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben: A ∩ B = ∅. Mehrere Mengen heißen paarweise disjunkt, wenn je zwei (alle möglichen Paare) dieser Mengen disjunkt sind. ☞ Graphische Technik für Übersichten Gliederung eines Projekts (Grundmenge) in Problemkreise (Teilmengen) und Zerlegung dieser Problemkreise in Segmente (= paarweise disjunkte Teilmengen) Fallunterscheidung/Segmentierung Vollständige Segmentierung: Kein Segment lässt sich weiter unterteilen. Bei einem Projekt X mit n Problemkreisen führt eine vollständige Segmentierung zur Zerlegung von X in max. 2n Segmente (einschl. Unproblematisches) Problemkreise A (links), B (rechts), C (unten) eines Projekts X 1 A∩B∩C 2 A ∩ B ∩ C = (B ∩ C) \ A 5 3 3 A ∩ B ∩ C = (A ∩ C) \ B 6 4 1 4 A ∩ B ∩ C = (A ∩ B) \ C 5 A ∩ B ∩ C = A \ (B ∪ C) = A ∩ B ∪ C 2 6 A ∩ B ∩ C = B \ (A ∪ C) = B ∩ A ∪ C 7 7 A ∩ B ∩ C = C \ (A ∪ B) = C ∩ A ∪ B 8 A∩B ∩C = A ∪ B ∪ C = X \(A∪B ∪C) X ist die Vereinigung der Segmente 1–8 � � Eine Zerlegung von X in 4 Segmente ist z.B. X = A ∪ 2 ∪ 6 ∪ 7 ∪ 8 8 � statt ∪ symbolisiert eine Vereinigung paarweise disjunkter Mengen Zerlegungen in disjunkte Teilmengen (= Segmente) mit zwei Mengen A, B A = (A ∩ B) � (A \ B) B = (A ∩ B) � (B \ A) A ∪ B = A � (B \ A) = (A \ B) � B = (A \ B) � (B \ A) � (A ∩ B) Sprachliche Segmentierung mit entweder . . . oder“ (�) statt oder“ (∪) ” ” Ich tue . . . dieses oder jenes“ = entweder dieses oder jenes oder beides“ ” ” Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 4 von 17 WS 15/16 Mathematik 1 : Grundlagen Oft interessieren bei Argumentationen mit Mengen weniger deren einzelne Elemente selbst, sondern eher nur deren Anzahl: 3 Die Elementeanzahl einer in Segmente (= paarweise disjunkte Teilmengen) zerlegten Menge ergibt sich aus der Summe der Elementeanzahlen dieser Segmente Schreibweise #(A) := Elementeanzahl der Menge A #(A) = #(A ∩ B) + #(A \ B), #(B) = #(A ∩ B) + #(B \ A) #(A) + #(B) = #(A ∩ B) + #(A \ B) + #(A ∩ B) + #(B \ A) = #(A ∪ B) + #(A ∩ B) � Statistik Das Wort Anzahl setzt voraus, dass die Menge auch abgezählt“ werden kann: ” Endliche Menge M : Elemente zählbar mittels {1, 2, . . . , n} für eine natürliche Zahl n; #(M ) := n Abzählbar unendliche Menge M : Nicht endlich, aber Elemente zählbar mittels {1, 2, 3, . . .}; #(M ) := ∞ Überabzählbare Menge M : weder endliche, noch abzählbar unendliche Menge; #(M ) nicht definiert ∞ Lemniskate, Symbol für das Unendliche, eine ideale Zahl“, die nicht ” zu R gehört ∞ + ∞ := ∞, ∞ ± n := ∞ für n ∈ N, ∞ − ∞ nicht definiert Achten Sie also beim Rechnen mit Elementeanzahlen darauf, dass Sie beim Umformen von Gleichungen nur dann subtrahieren, wenn die entsprechende ∞ = #N = #{2n : n ∈ N} + #{2n − 1 : n ∈ N} Menge endlich ist. Eine Menge von Mengen heißt auch Mengensystem Wichtigste Beispiele: Mengensysteme von Teilmengen einer festen Grundmenge X {∅} ist Teilmenge jedes solchen Mengensystems und ∅ ist Element jedes solchen Mengensystems Jedes solche Mengensystem ist Teilmenge der Menge aller Teilmengen von X, der Potenzmenge von X:= {N : N ist Teilmenge von X} Potenzmenge von {a, b, c} = {{∅}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} n ∈ {0, 1, 2, 3, . . .} Hat M insg. n Elemente, so hat die Potenzmenge von M insg. 2n Elemente Mit Hilfe von Mengensystemen von Teilmengen einer festen Grundmenge lassen sich Zufallsereignisse beschreiben � Wahrscheinlichkeitsrechnung Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 5 von 17 WS 15/16 Mathematik 1 : Grundlagen Zahlenmengen Natürliche Zahlen N = {1, 2, 3, ...}, N0 = N ∪ {0} Ganze Zahlen Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} Rationale Zahlen Q = {m/k : m ∈ Z, k ∈ N} Reelle Zahlen R = Menge aller Grenzwerte von (allen) Folgen rationaler Zahlen siehe � Folgen und Grenzwerte Die Grenzwerteigenschaft bedeutet, dass jede reelle Zahl beliebig gut — nach Vorgabe einer Genauigkeit (z.B. 10−2 ) — durch rationale Zahlen, insbesondere eine endliche Dezimalzahl, approximiert werden √ √ √ kann, z.B. 2 ≈ 1.4142, 1/ 2 ≈ 0.7071, 3 ≈ 1.7321, e ≈ 2.71828, e−1 ≈ 0.3678, ln 2 ≈ 0.69, ln 10 ≈ 2.3, π ≈ 3.1415 oder so: π ≈ 22 7. ☞ Intervalle in R reelle Zahlen a, b mit a < b R : a ≤ x ≤ b} R : a ≤ x < b} R : a < x ≤ b} R : a < x < b} ] − ∞, a] := {x ∈ R : x ≤ a} [a, +∞[ := {x ∈ R : a ≤ x} ] − ∞, ∞[ := R [a, b] [a, b[ ]a, b] ]a, b[ := := := := {x {x {x {x ∈ ∈ ∈ ∈ [a, a] := {a} abgeschlossenes Intervall links abgeschl., rechts offenes Interv. links offenes, rechts abgeschl. Interv. offenes Intervall linker Halbstrahl rechter Halbstrahl Zahlengerade (Zahlenstrahl) einpunktige Menge, kein Intervall Bequeme, klare Schreibweise für eingeschränkte Zahlenmengen Zahlenmenge Bedingung := {x ∈ Zahlenmenge : x erfüllt Bedingung} R>0 = {x ∈ R : x > 0}, R<0 = {x ∈ R : x < 0}, entsprechend R≥0 , R≤0 ! vorsicht beim Lesen der beliebten Symbole R und R in verschie▼ denen Quellen: Es ist nicht einheitlich geregelt, ob dabei die Zahl 0 + − zugezählt wird oder nicht (aber wichtig bei Divisionen, Lösungsmengen) Rn n-Tupel (x1 , . . . , xn ) von reellen Zahlen (n-Vektoren) n = Dimension des Tupels (n ∈ N) Anordnung: i-te Stelle im Tupel heißt i-te Koordinate R1 = R, d.h. (x) := x für x ∈ R Paare (2-Tupel) R2 = {(x1 , x2 ) : x1 , x2 ∈ R} R3 = {(x1 , x2 , x3 ) : x1 , x2 , x3 ∈ R} Tripel (3-Tupel) n-Tupel Rn = {(x1 , . . . , xn ) : x1 , . . . , xn ∈ R} Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg eindimensional zweidimensional dreidimensional n-dimensional 6 von 17 WS 15/16 4 Mathematik 1 : Grundlagen Indizierte Objekte z i mit i ∈ {m, . . . , n} und m, n ∈ Z (m ≤ n) Zur Unterscheidung von Objekten in Aufzählungen und Formeln werden diese Objekte indiziert (nummeriert). i heißt Index (Nummer) und ist Element der i-Indexmenge {m, . . . , n}, die n − m + 1 Elemente hat (= Anzahl Indizes i). Vereinbarung. Alle nachfolgend indizierten Objekte sind — solange nichts anderes erwähnt — Rechenausdrücke (Zahlen). ☞ Indizierte (nummerierte) Rechenausdrücke z m , . . . , z n (m ≤ n ∈ Z) Bei der Auswertung wird für i = m, . . . , n jedes Vorkommen des Index i im Objekt z i durch den laufenden Wert von i ersetzt, z.B. zi := i · ai + bj , d.h. z i = i · ai + bj i und z.B. zm = m · am + bj i=m Der Rahmen um die Objekte dient als optische Hilfe 5 n � Summenzeichen zi = zm + . . . + zn (m, n ∈ Z, m ≤ n) zi = zm · . . . · zn (m, n ∈ Z, m ≤ n) i=m 6 n � Produktzeichen i=m n � z i = z m + ... + z n bzw. i=m n � i=m z i = z m · ... · z n Für i = m, . . . , n wird jedes Vorkommen des Index i im Ausdruck z i durch den laufenden Wert von i ersetzt, z.B. �1 i 2 −7 − 7)2 + (2−6 − 6)2 + . . . + (20 + 0)2 + (21 + 1)2 i=−7 (2 + i) = (2 1 � (2i + i)2 i = (2−7 + (−7))2 i=−7 +. . .+ (20 + 0)2 i=0 + (21 + 1)2 i=1 �3 i=−7 2 i=1 (7 · i ) 3 � 7 · i2 i=1 = (7 · 12 ) · (7 · 22 ) · (7 · 32 ) i = 7 · 12 i=1 · 7 · 22 i=2 · 7 · 32 i=3 Andere Schreibweisen � zi , i=m,...,n � i=m,...,n zi , � zi , i∈{m,...,n} � zi i∈{m,...,n} Die i-Indexmenge hat jeweils n − m + 1 Elemente, d.h. die Summe hat n − m + 1 Summanden, das Produkt n − m + 1 Faktoren. Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 7 von 17 WS 15/16 7 n � i=m n � i=m �n Mathematik 1 : Grundlagen (ai + bi ) = ( (ai · bi ) = ( n � ai ) + ( i=m n � n � n � bi ), i=m n � ai )( i=m (c ai ) = c ( i=m n � bi ), i=m i=m n � (c ai ) = cn−m+1 ( i=m 8 Indexverschiebung j=m n � zj = zj = j=m n+k � zi−k = i=m+k n+k � ai ) ai ) i=m i=m c = c · (n − m + 1) = c · (Anzahl Summanden) �n n−m+1 = c (Anzahl Faktoren) i=m c = c �n �n �n �n 2 2 2 i=m (ai ± bi ) = ( i=m ai ) ± 2 ( i=m ai bi ) + ( i=m bi ) n � n � zi−k = i=m+k n−k � i=m−k n−k � i=m−k zi+k (k ∈ N) zi+k (k ∈ N) Verschiebung des Index und Verschiebung der Grenzen gleichen sich aus: j = i + v ∈ {m, . . . , n} ⇐⇒ i ∈ {m − v, . . . , n − v} für v ∈ Z �n−1 i+1 �n+1 i−1 �n i = x 1 + . . . + xn = x = i=2 x (x ∈ R fix) i=1 i=0 x �7 �2007 a = a + . . . + a = (Basisjahr 2000) 1997 2007 i=1997 i i=−3 a2000+i �2007 �7 b = b · . . . · b = (Basisjahr 2000) 1997 2007 i=1997 i i=−3 b2000+i ☞ 9 Indexverschiebung ist keine Umindizierung, die Indexmenge bleibt gleich. Bei einer Umindizierung/Umbasierung werden dagegen die Indizes geändert, z.B. von a1997 , . . . , a2007 zu a−3 , . . . , a7 (Basisjahr 0) � Summen von doppelt indizierten Ausdrücken zi,j i=m,...,n j=k,...,l � Die unterhalb des angegebene Indexmenge hat (n − m + 1) · (l − k + 1) Elemente (= Anzahl Summanden). Die Addition erfasst jeden Index genau einmal, in irgendeiner Reihenfolge und Zerlegung in Teilsummen, z.B. Einfache Doppelsumme � i=m,...,n j=k,...,l zi,j = n � ( l � zi,j ) = i=m j=k l � ( n � zi,j ) j=k i=m Tabelle mit n Zeilen und l Spalten, ai,j = Zahl in Zeile i und Spalte j � � i-te Zeilensumme: lj=1 ai,j , j-te Spaltensumme: ni=1 ai,j � � � � � Gesamtsumme: ai,j = ni=1 ( lj=1 ai,j ) = lj=1 ( ni=1 ai,j ) i=1,...,n j=1,...,l Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 8 von 17 WS 15/16 Mathematik 1 : Grundlagen Bei Programmen/theoretischen Überlegungen ist es bequem, auch die Sum� me über � eine leere Indexmenge (z.B. 0i=1 (...)) zuzulassen. Dazu wird fest... = 0, egal welche Ausdrücke/Zahlen (...) auftreten. Deshalb: gesetzt: ∅ ! vorsicht beim Einsatz von Tabellenkalkulationsprogrammen: ▼ Für Summen erhalten Sie immer ein Ergebnis. Eine Summe = 0 kann aber auch dadurch entstanden sein, dass nichts addiert wurde (leere Bezugszellen bei der Tabellenkalkulation/leere Indexmenge). 10 Potenzen am mit ganzzahligen Exponenten a, b ∈ R�=0 und n, m ∈ Z a0 = 1, an+m = an · am , (a · b)n = an · bn , an·m = (an )m n-te Wurzeln/allgemeinere Exponenten : siehe � Grundfunktionen 26 = 20 26 = 21 25 = 22 24 = 23 23 = (23 )2 = (22 )3 , 1 = 60 = (63 )0 = (60 )3 � �n � �n � � � �n j, 6 = ( n z 2 )3 = ( n z 3 )2 = ( n z )6 j=1 j = b z b j=1 j=1 j j=1 j j=1 j j=1 j 11 Binomische Formeln (a2 ± 2ab + b2 ) = (a ± b)2 (a + b)(a − b) = a2 − b2 Anwendung zur Umrechnung von Differenzen a2 − b2 a−b= für a + b �= 0 a+b √ √ 1 n+1− n= √ Für n ∈ N ist √ n+1+ n 12 Fakultät, Binomialkoeffizient � 0! = 1, n! = n Bsp. 10! = 3 628 800 i=1 i für n ∈ N � � n n! = für 0 ≤ k ≤ n n über k“ ” k (n − k)! · k! = Anzahl Möglichkeiten, k von n Objekten auszuwählen Allgemeine binomische Formel n � � � n k n−k n (a + b) = a b k k=0 insbesondere ist (für a = b = 1): für a, b ∈ R und n ∈ N �n � � 2n = n k=0 k Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 9 von 17 WS 15/16 13 Mathematik 1 : Grundlagen Prozentrechnung W G Prozentualer Anteil = p 100 = p% = i i = p% = Prozentsatz, p = Prozentzahl (Prozentpunkte) Prozentwert W = G · i , Grundwert G = W/i Bsp.: G = Nettowert, W = Steuerwert (Steuern), i = Steuersatz ! vorsicht mit Bezeichnungen bei der Prozentrechnung: Es ist auch üblich, für den Prozentsatz selbst das Symbol p zu verwenden (z.B. p = 5% = 0.05), die hierbei zugehörige Prozentzahl 100 · p erhält dann meist kein eigenes Symbol. ▼ Prozentuale Veränderung G1 −G0 G0 = p 100 = p% = i Neuer Wert G1 = G0 · (1 + i) , Grundwert G0 = G1 /(1 + i) i = p% = Prozentuale (oder relative) Veränderung von G0 zu G1 ☞ (Die prozentuale Veränderung eines Grundwerts G0 ist der prozentuale Anteil der absoluten Veränderung W = G1 − G0 am Grundwert G0 ) Änderung von G0 um i = p%: Multiplikation von G0 mit (1 + i) Zunahme von G0 um 10%: i = +10% = 0.1 und G1 = G0 · (1 + 0.1) Abnahme von G0 um 10%: i = −10% = −0.1 und G1 = G0 · (1 − 0.1) Parlamentswahl: pj = Stimmenanteil (Prozentzahl) der Partei X bei Wahl Nr. j pj+1 − pj = Absolute Veränderung der Prozentpunkte (Stimmenanteile) von Partei X gegenüber der vorhergehenden Wahl pj+1 −pj pj = pj+1 pj − 1 = Relative (oder: prozentuale) Veränderung der Prozentpunkte gegenüber der vorhergehenden Wahl 35.2% − 32.0% = 3.2% 35.2%−32.0% 32.0% (Absolute) Steigerung um 3.2 Prozentpunkte = 10% (Prozentuale) Steigerung der Prozentzahlen um 10% Bruttowert = Nettowert · (1 + Aufschlag) Aufschlag = p% = i Aufschlag Im Bruttowert enthaltener Aufschlagwert = Bruttowert · 1 + Aufschlag i = Anteil des Aufschlagwerts G · i am Bruttowert G = G · (1 + i) 0 1 0 1+i Mwsteuersatz 1+Mwsteuersatz = Prozentualer Anteil der Mwsteuer am Bruttopreis = 0.19 19 (= 1.19 119 ) ≈ 16% beim Mehrwertsteuersatz 19% Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 10 von 17 WS 15/16 14 Mathematik 1 : Grundlagen Abbildung/Relation von X in Y Zuordnung von gewissen Elementen einer Menge X zu gewissen Elementen einer Menge Y Häufiger Fall: X = Y Schreibweise (1) Wenn die Zuordnungsvorschrift explizit angebbar ist: X→Y Mengen und Zuordnungsrichtung x �→ f (x) Zuordnungsvorschrift Bsp. f : R → R : x �→ f (x) = |x − 1| � Funktionen Schreibweise (2) Angabe der Menge der Paare der einander zugeordneten Werte mit Angabe der paarbildenen Eigenschaft (Zuordnungsvorschrift) F := {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y und (... Eigenschaften)} Bsp. F := {(x, y) : x, y ∈ R und x2 + y 2 = 1} � Implizite Funktionen Schreibweise (3) x R y :⇔ (... Eigenschaften), wobei x ∈ X, y ∈ Y Als R wird dabei oft auch ein Symbol gewählt, das an die definierenden Eigenschaften und oder die Richtung der Zuordnung erinnern soll (z.B. � oder �, wenn es um einen Vergleich geht) � Präferenzrelationen Definitionsbereich {x ∈ X : x wird einem y ∈ Y zugeordnet} Wertebereich {y ∈ Y : y ist einem x ∈ X zugeordnet} Bild von x0 ∈ X: Urbild von y0 ∈ Y : Bild (x0 ) = {y ∈ Y : y ist x0 zugeordnet} Urb (y0 ) = {x ∈ X : x ist y0 zugeordnet} mehrdeutige Abbildung Wenigstens einem x ∈ X werden zwei oder mehr verschiedene y ∈ Y zugeordnet eindeutige Abbildung Jedem x ∈ Definitionsbereich wird genau ein y ∈ Y zugeordnet eineindeutige Abbildung Jedem x ∈ Definitionsbereich wird genau ein y ∈ Y zugeordnet und zu jedem y ∈ Wertebereich gibt es genau ein x ∈ Definitionsbereich Umkehrabbildung Die Umkehrung einer eineindeutigen Abbildung: Neue Zuordnung: Umkehrung der alten Zuordnung Neuer Definitionsbereich: alter Wertebereich Neuer Wertebereich: alter Definitionsbereich Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 11 von 17 WS 15/16 15 Funktion Mathematik 1 : Grundlagen Eine eindeutige Abbildung von einer Menge X in R, d.h. jedem x des Definitionsbereiches einer Funktion wird genau eine Zahl zugeordnet Oft auch: X = R f : X → R : x �→ y = f (x) D(f ) := Definitionsbereich von f mit D(f ) ⊂ X W (f ) := Wertebereich von f mit W (f ) ⊂ R Graphisch: Eine in (x, y)-Koordinaten gezeichnete Kurve“ stellt keine ” Funktion dar, wenn die Senkrechte durch auch nur ein x die Kurve zweimal oder öfter schneidet. Sie stellt keine umkehrbare Funktion dar, wenn die Waagerechte durch auch nur ein y die Kurve zweimal oder öfter schneidet. 16 Umkehrfunktion einer eineindeutigen Funktion von R in R f : D(f ) → W (f ) : x �→ y = f (x) Zuordnung eineindeutig, dann ist f umkehrbar. Die Umkehrabbildung heißt Umkehrfunktion, Symbol: f −1 f −1 : W (f ) → D(f ) : y = f (x) �→ x = f −1 (y) Es gilt f −1 (f (x)) = x und f (f −1 (y)) = y Eine Umkehrfunktion ist wieder umkehrbar, bei erneuter Umkehrung entsteht die ursprüngliche eineindeutige Funktion: (f −1 )−1 = f ! ▼ vorsicht Auch bei Umkehrfunktionen f −1 wird oft die Variable nicht mit y, sondern wieder mit x bezeichnet und der Wert dann mit f −1 (x). Dies darf dann nicht mit dem Kehrwert der Zahl f (x) �= 0 verwechselt werden: f (x)−1 = 1/f (x). Bestimmung“ der Umkehrfunktion ” Methode 1 (nicht immer möglich) Eindeutiges Auflösen der Funktionsvorschrift y = f (x) nach x Methode 2 (wenn Methode 1 versagt) Z.B. mit Hilfe eines Kriteriums (s.u.) weist man/frau nach, dass die Funktion umkehrbar (eineindeutig) ist und kann dann mit f −1 rechnen“, Wer” tebestimmung meist iterativ mit Hilfe der Gleichung f (f −1 (x)) = x (methodisches Probieren). Wichtige solcher Umkehrfunktionen √ bekommen einen √ eigenen Namen/ein eigenes Symbol, z.B. ist x (mit D( ) = R≥0 ), definiert als Umkehrfunktion der Funktion f (x) := x2 (mit D(f ) = R≥0 ). 17 ☞ Jede umkehrbare Funktion erfüllt für alle x, y ∈ D(f ) : x = y ⇔ f (x) = f (y) Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 12 von 17 WS 15/16 Mathematik 1 : Grundlagen Monotone Funktionen f : R → R I ⊂ D(f ) ein Intervall f monoton wachsend in I :⇔ für alle x, y ∈ I gilt: x < y ⇒ f (x) ≤ f (y) äquivalent: x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y) f monoton fallend in I :⇔ für alle x, y ∈ I gilt: x < y ⇒ f (x) ≥ f (y) äquivalent: x ≤ y ⇒ f (x) ≥ f (y) f streng monoton wachsend in I :⇔ für alle x, y ∈ I gilt: x < y ⇒ f (x) < f (y) äquivalent: x < y ⇔ f (x) < f (y) (MF 1) äquivalent: x ≤ y ⇔ f (x) ≤ f (y) (MF 2) f streng monoton fallend in I :⇔ für alle x, y ∈ I gilt: x < y ⇒ f (x) > f (y) äquivalent: x < y ⇔ f (x) > f (y) (MF 3) äquivalent: x ≤ y ⇔ f (x) ≥ f (y) (MF 4) Statt einem Teilintervall I kann für die Definitionen auch D(f ) selbst gewählt werden. Beachte: D(f ) ist nicht notwendig ein Intervall. Gleichungen (MF 1)–(MF 4) sind nützlich zur Umformung von Ungleichungen 18 19 Monotoniekriterium Eine streng monoton wachsende bzw. fallende Funktion f ist umkehrbar (über ihrem Monotoniebereich). Ist z.B. D(f ) = [a, b] ein Intervall und f strikt monoton ... ... wachsend, dann ist W (f ) = D(f −1 ) = [f (a), f (b)] ... fallend, dann ist W (f ) = D(f −1 ) = [f (b), f (a)] In beiden Fällen ist W (f −1 ) = D(f ) = [a, b] 20 Grundfunktionen I � x falls x ≥ 0 Betrag |x| := und x ∈ R −x falls x < 0 Aufrunden �x� := aufrunden von x zur nächsten ganzen Zahl, x ∈ R Abrunden �x� := abrunden von x zur nächsten ganzen Zahl, x ∈ R Runden [x] := runden von x zur nächsten ganzen Zahl, x ∈ R (übliche Festlegung des Grenzfalls der Mitte x = k+(k+1) 2 zwischen zwei ganzen Zahlen: Aufrunden (auf k + 1)) Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 13 von 17 WS 15/16 Mathematik 1 : Grundlagen Polynom vom Grad n ∈ N mit Koeffizienten a0 , . . . , an ; an �= 0 � i D(f ) = R f (x) := n i=0 ai x , f (x) = a0 konstante Funktion Gerade (affin lineare Funktion) f (x) = a0 + a1 · x, a1 �= 0 quadratische Funktion f (x) = a0 + a1 · x + a2 · x2 , a2 �= 0 kubische Funktion f (x) = a0 + a1 · x + a2 · x2 + a3 · x3 , a3 �= 0 Ein Polynom n-ten Grades hat höchstens n verschiedene Nullstellen Bedeutung der Polynome. Jede stetige Funktion kann — nach Vorgabe einer Genauigkeit, die Auswirkungen auf die Größe von n hat — beliebig gut durch ein Polynom n-ten Grades, also einen einfachen“ Funktionstyp, ” approximiert werden. Bsp. 1 4 + x + 32 x2 − x3 − 12 x3 1 4 2 2 2 1.5 1.5 1.5 1 1 1 0.5 0.5 0.5 0.5 21 3 2 2x 1 Das Polynom 1.5 2 0.5 1 1.5 1 + x + x2 + . . . + xm + 2x − 2x2 + 34 x3 2 0.5 1 1.5 2 (m ∈ N) Grundlage vieler Formeln der elementaren Zinsrechnung: � m+1 m x −1 � i für x �= 1 2 m x−1 (m ∈ N) x = 1 + x + x + ... + x = i=0 m+1 für x = 1 Dies ist ein (einfaches) Beispiel einer sogenannten endlichen Summenformel Bsp. a) 1 + 2 + . . . + 2n−1 = 2n − 1 (x = 2, m = n − 1) b) 1 + 22 1 2 + . . . + ( 12 )n = 1−(1/2)n+1 1/2 = 2 − (1/2)n (x = 21 , m = n) Zwei Umformungsmethoden zur Anwendung einer Summenformel n−k � i �n−k i+k �n i k =x · x (Ausklammern) (1) i=k x = i=0 x i=0 (2) �n i=k ai = n � i=0 ai − k−1 � ai (Erweiterung der Untergrenze) i=0 Methode (1) klappt nur mit der Formel zu 21 (oben) Methode (2) ist universell anwendbar, bei jeder endlichen Summenformel Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 14 von 17 WS 15/16 23 Mathematik 1 : Grundlagen Grundfunktionen II k-te Wurzel f : R≥0 → R≥0 : x �→ x1/k mit k ∈ N gerade f : R → R : x �→ x1/k mit k ∈ N ungerade x1/k ist eine Bezeichnung für die Umkehrfunktion der Potenzfunktion f : R≥0 → R≥0 : x �→ xk (k gerade), f : R → R : x �→ xk (k ungerade) Bsp. x2 2 2 1.5 1.5 1 x1/2 x1/3 1 0.5 x3 0.5 -2 -1.5 -1 -0.5 x4 0.5 1 1.5 2 2 -2 -1.5 -1 -0.5 1.5 x1/4 0.5 -2 -1.5 -1 -0.5 1 1.5 2 -0.5 x3 1 0.5 -1 x1/3 -1.5 0.5 1 1.5 2 -2 Potenzfunktionen xr mit rationalen Exponenten r = m/k f (x) = xm/k mit k ∈ N, m ∈ Z, D(f ) = R>0 Zusammengesetzte Funktion x �→ x1/k �→ (x1/k )m ; eine negative Potenz ist hierbei definiert als Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz. 2 2 Bsp. 2 x1 x1/2 x3/2 1.5 1.5 1.5 1 1 1 0.5 0.5 0.5 0.5 1 1.5 2 3 0.5 1 1.5 2 3 x−1/2 2.5 0.5 x−1 2.5 2 1.5 1.5 1.5 1 1 1 0.5 0.5 0.5 1.5 2 2 0.5 1 1.5 x−3/2 2.5 2 1 1.5 3 2 0.5 1 2 Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 0.5 1 1.5 2 15 von 17 WS 15/16 24 Mathematik 1 : Grundlagen Grundfunktionen III Exponentialfunktion ex andere Schreibweise: exp(x) Wichtige Funktion zum (theoretischen) Rechnen bei der Analyse von Änderungen und grenzwertigem Verhalten eines Modells � stetige Verzinsung, Wachstumsfunktionen, statistische Schätzung Definition Für jedes x ∈ R definiert als Grenzwert eines Polynomtyps: n i � x x e := lim Definitionsbereich R und Wertebereich R>0 i! n→∞ i=0 annähernd: ex n i � x ≈ , für große“ n ∈ N, x ∈ R i! ” i=0 Diese Näherung wird von Rechnern verwendet und ist schon für relativ kleine n gut brauchbar. Andere Grenzwertdarstellungen für ex sind eher nur von mathematischem Interesse, z.B. ex = limn→∞ (1 + nx )n . �n n+1 n 1/(i!) = lim ( ) ≈ 2.71828 Eulersche Zahl e = lim i=0 n n→∞ n→∞ 4 4 ex 3.5 3 3 2.5 2.5 2 2 x 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 -0.5 -1 2x 3.5 2 -2 -1.5 -1 -0.5 x 0.5 1 1.5 2 -0.5 ln(x) -1 -1.5 -1.5 -2 -2 -2.5 -2.5 -3 -3 -3.5 -3.5 -4 -4 Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg log2 (x) 16 von 17 WS 15/16 Mathematik 1 : Grundlagen Natürlicher Logarithmus ln = Umkehrfunktion von ex ln(ex ) = x = eln x Definitionsbereich R>0 und Wertebereich R ☞ Rechenregeln insbesondere ln(c) + ln(d) = ln(c · d) für c, d > 0 ln(ct ) = t · ln(c) für c > 0, t ∈ R ln(1) = 0; ln(e) = 1; ln( dc ) = − ln( dc ) für c, d > 0 Bsp. a) Für x, y, z > 0 ist ln(x1/7 ·y −2/3 ·z 2/5 ) = 1 7 ln(x)− 23 ln(y)+ 25 ln(z) b) 1.05 x = 2 ⇔ ln(1.05x ) = ln 2 ⇔ x · ln 1.05 = ln 2 ⇔ x = ln 2 ln 1.05 Allgemeine Exponentialfunktion zur Basis b > 0 bx := ex ln b Definitionsbereich R und Wertebereich R>0 Bsp. a) 2x = ex ln 2 , 21/10 = e(1/10) ln 2 ≈ 1.07177 b) 2n = Anzahl Möglichkeiten bei n Bit, 232 = 4 294 967 296 Logarithmus zur Basis b = Umkehrfunktion von bx Definitionsbereich R>0 und Wertebereich R b > 0, b �= 1 logb (bx ) = x = blogb x Bsp. a) �log2 (n)� = benötigte Bitzahl für n Möglichkeiten (n ∈ N) 6 b) log2 (106 ) = 6 lnln10 2 ≈ 19.9316, also �19.93� = 20 Bit für 10 Mögl. Umrechnen auf die Basis b > 0, b �= 1 25 logb (x) = ln(x) ln(b) Allgemeine Potenzregeln Für a, b > 0 und s, t ∈ R ist a0 = 1 und as·t = (as )t Faktorisierung des Exponenten bs+t = bs · bt , insbesondere es+t = es · et gleiche Basis √ √ √ (a · b)t = at · bt , insbes. a·b= a· b gleicher Exponent ! vorsicht (vor beliebten Stressfehlern) ▼ Im Allgemeinen ist ln(a + b) �= ln(a) + ln(b) und √ a + b �= √ a+ √ b Differentiation und deren einige Anwendungen ist ein Thema von Mathematik 2. Bei Mathematik 1 (Thema 3) verwenden wir — um andere aufwendige Rechnungen zu vermeiden — vorweg die wohlbekannte elementare Differentiationsregel: Für fixes r ∈ Q, r > 0, hat die Funktion die Ableitung f (x) = xr (x > 0) f � (x) = r · xr−1 (x > 0) Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 17 von 17