Grundlagen (überwiegend vorausgesetzter Schulstoff)

Winter 07/08
Mathematik 1 : Grundlagen
Grundlagen (überwiegend vorausgesetzter Schulstoff )
. teilweise kompakte Wiederholung in Vorlesung/Übung
. semesterbegleitende Aufarbeitung in den Tutorien
Viele der unten genannten Begriffe sind in folgendem Sinne vorausgesetzt:
Zwar werden die wichtigsten Begriffe spätestens an den Stellen, an denen sie
erstmals eingesetzt werden, noch einmal besprochen, aber weniger unter rein
mathematischen Gesichtspunkten, sondern eher in Hinblick auf Anwendungen. Wichtige Ergebnisse werden danach aber oft nicht detailliert hergeleitet,
sondern nur in der benötigten Form notiert und anhand von Beispielen besprochen. Dies ist, wenn der entsprechende Stoffbereich völlig neu für Sie
ist, unzureichend und könnte Sie überfordern (beispielsweise die elementare
Integralrechnung an nur einem Vormittag). Sie müssen also entsprechend
vorbereitet sein, d.h. Ihre Schulkenntnisse aktivieren und aufbereiten oder
ggf. den entsprechenden Stoffbereich rechtzeitig nachholen. Deswegen werden
schon jetzt auch einige Bereiche aufgeführt, die bei Mathematik 1 nur selten,
wesentlich aber erst bei Mathematik 2 benötigt werden.
Ein wichtiger Grund für diese Zusammenfassung ist auch, dass wir (nicht unbedingt einheitlich festgelegte) Schreibweisen und Definitionen wohlbekannter
Dinge in einer einheitlichen Form sammeln wollen:
Mengen, Aussagen
Symbolik/Sprechweisen, Grundregeln
Zahlenmengen
N, N0 , Z, Q, R, Rn , Intervalle in R, Rn
Rechenregeln
Summenzeichen, Produktzeichen, Potenzregeln, Prozentrechnung
Funktionen
Relation/Abbildung, Definitions- und Wertebereich, Bild, Urbild
Funktion, Umkehrfunktion, Monotone Funktionen
Grundfunktionen
Betrag, Rundungsmethoden, Polynome, Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten, Exponentialfunktion, Logarithmus
[Eine elementare Differentiationsregel]
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Mathematik 1 : Grundlagen
Aussage A Ein sprachliches Objekt, dem genau eine der beiden Eigenschaften wahr“ (= 1) oder falsch“ (= 0) zugeordnet werden kann:
”
”
A 7→ w(A) = Wahrheitswert von A
Symbol
¬A
A∧B
A∨B
Name
Negation
Konjunktion
Disjunktion
Sprechweise(n) Wahrheitswert (Festlegungen)
nicht A
w(¬A) = 1 − w(A)
A und B
w(A ∧ B) = min(w(A), w(B))
A oder B
w(A ∨ B) = max(w(A), w(B))
n
A ⇒ B Implikation A impliziert B w(A ⇒ B) = 1 falls w(A) ≤ w(B)
0 sonst
n
A ⇔ B Äquivalenz A äquivalent B w(A ⇔ B) = 1 falls w(A) = w(B)
0 sonst
Weitere Zusammensetzungen von Aussagen mit Hilfe dieser Symbole
! vorsicht Aus einer falschen Aussage (Wahrheitswert 0) kann jede
andere Aussage gefolgert werden, und eine wahre Aussage (Wahrheitswert 1) kann aus jeder anderen Aussage gefolgert werden.
Kontradiktion eine Aussage, die immer falsch ist
Tautologie eine Aussage, die immer wahr ist
t
1
Ist eine Implikation A ⇒ B wahr, so heißt
A hinreichende Bedingung für B und B notwendige Bedingung für A
Bestimmung des Wahrheitswertes einer zusammengesetzten Aussage, abhängig vom Wahrheitswert der an der Zusammensetzung beteiligten Teilaussagen:
Wahrheitstafel z.B. für (A ∧ B) ∨ (¬C)
A B C A ∧ B ¬C (A ∧ B) ∨ (¬C)
0 0 0
0
1
1
0 0 1
0
0
0
0 1 0
0
1
1
0 1 1
0
0
0
1 0 0
0
1
1
1 0 1
0
0
0
1 1 0
1
1
1
1 1 1
1
0
1
Für alle 8 Fälle der Wahrheitswerte von A, B, C wird entsprechend obiger Festlegungen
der Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage (in der
letzten Spalte) schrittweise bestimmt (z.B. Spalte 6 zeilenweise als Maximum der Werte
der Spalten 4 und 5).
Definitionssymbole
:=
Linke Seite := Rechte Seite bzw. Linke Seite :⇔ Rechte Seite
:⇔
Das Objekt auf der linken Seite ergibt sich aus“ der rechten Seite
”
bzw. das Objekt links wird definiert durch“ die Angaben rechts
”
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Mathematik 1 : Grundlagen
Menge
Zusammenfassung bestimmter (realer oder gedachter) wohlunterschiedener Objekte (aus einem festen Bereich) zu einem Ganzen.
Diese Objekte heißen dann Elemente der Menge.
x ∈ M x ist Element der Menge
x 6∈ M x ist nicht Element der Menge M
Angabe einer Menge durch Aufzählen (nicht immer möglich)
M := {3, iii, ®, drei, try}, ∅ := {} (Leere Menge), N := {1, 2, 3, ...}
Angabe einer Menge durch Angabe der mengenbildenden Eigenschaft
M := {x ∈ Grundmenge : Eigenschaft von x}, G := {2n : n ∈ N}
! vorsicht Die Objekte einer Menge sind verschieden. Nur durch Setzen
t
von geschweiften Klammern um eine Aufzählung von Zahlen entsteht
nicht notwendig eine Menge: {1, 2, 1} ist keine Menge, aber z.B. eine
Liste“ oder eine indizierte Menge“
siehe . Informatik
”
”
Vergleich von Mengen A, B
A⊂B
A ist Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch Element
von B ist.
(x ∈ A ⇒ x ∈ B)
A ist echte Teilmenge von B, wenn A ⊂ B und es ein Element von
B gibt, das nicht zu A gehört
A=B
B ⊂ A und A ⊂ B
(x ∈ A ⇔ x ∈ B)
Jedes Element von B ist auch Element von A und umgekehrt
t
!
vorsicht Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge, aber sie ist nicht
Element jeder Menge
siehe . Mengensysteme
Mengenoperationen
A∪B
Vereinigungsmenge von A und B
A ∪ B := {x : x ∈ A oder x ∈ B}
A∩B
Schnittmenge von A und B
A ∩ B := {x : x ∈ A und x ∈ B}
A\B
Differenzmenge, besser: Komplement von B in A
A \ B := {x : x ∈ A und x 6∈ B}
B
Komplement von B (in einer festen Grundmenge X)
B := {x ∈ X : x 6∈ B} = X \ B
Distributivgesetze für Mengen A, B, C
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) und (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
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Mathematik 1 : Grundlagen
De Morgansche Regeln
A ∪ B = A ∩ B und A ∩ B = A ∪ B
(M ) = M doppelte Verneinung
Komplementbildung (und die morganschen Regeln) sind wichtige Hilfsmittel
für sprachlichen Beschreibungen von Mengen:
Ich tue . . . nicht: dieses oder jenes“ = nicht dieses und nicht jenes“
”
”
Ich tue . . . nicht: dieses und jenes“ = nicht dieses oder nicht jenes“
”
”
Zwei Mengen A, B heißen disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente
haben: A ∩ B = ∅. Mehrere Mengen heißen paarweise disjunkt, wenn je
zwei (alle möglichen Paare) dieser Mengen disjunkt sind.
+
Graphische Technik für Übersichten
Gliederung eines Projekts (Grundmenge) in Problemkreise (Teilmengen) und Zerlegung dieser Problemkreise in Segmente (= paarweise
disjunkte Teilmengen)
Fallunterscheidung/Segmentierung
Vollständige Segmentierung: Kein Segment lässt sich weiter unterteilen.
Bei einem Projekt X mit n Problemkreisen führt eine vollständige Segmentierung zur Zerlegung von X in max. 2n Segmente (einschl. Unproblematisches)
Problemkreise A (links), B (rechts), C (unten) eines Projekts X
1 A∩B∩C
2 A ∩ B ∩ C = (B ∩ C) \ A
5
3
3 A ∩ B ∩ C = (A ∩ C) \ B
6
4
1
4 A ∩ B ∩ C = (A ∩ B) \ C
5 A ∩ B ∩ C = A \ (B ∪ C) = A ∩ B ∪ C
2
6 A ∩ B ∩ C = B \ (A ∪ C) = B ∩ A ∪ C
7
7 A ∩ B ∩ C = C \ (A ∪ B) = C ∩ A ∪ B
8 A∩B ∩C = A ∪ B ∪ C = X \(A∪B ∪C)
X ist die Vereinigung der Segmente 1–8
Eine Zerlegung von X in 4 Segmente ist z.B. X = A ∪ 2 ∪ 6 ∪ 7 ∪ 8
8
] statt ∪
symbolisiert eine Vereinigung paarweise disjunkter Mengen
Zerlegungen in disjunkte Teilmengen (= Segmente) mit zwei Mengen A, B
A = (A ∩ B) ] (A \ B)
B = (A ∩ B) ] (B \ A)
A ∪ B = A ] (B \ A) = (A \ B) ] B = (A \ B) ] (B \ A) ] (A ∩ B)
Sprachliche Segmentierung mit entweder . . . oder“ (]) statt oder“ (∪)
”
”
Ich tue . . . dieses oder jenes“ = entweder dieses oder jenes oder beides“
”
”
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Mathematik 1 : Grundlagen
Oft interessieren bei Argumentationen mit Mengen weniger deren einzelne
Elemente selbst, sondern eher nur deren Anzahl:
3
Die Elementeanzahl einer in Segmente (= paarweise disjunkte Teilmengen) zerlegten Menge ergibt sich aus der Summe der Elementeanzahlen dieser Segmente
Schreibweise #(A) := Elementeanzahl der Menge A
#(A) = #(A ∩ B) + #(A \ B),
#(B) = #(A ∩ B) + #(B \ A)
#(A) + #(B) = #(A ∩ B) + #(A \ B) + #(A ∩ B) + #(B \ A)
= #(A ∪ B) + #(A ∩ B)
. Statistik
Das Wort Anzahl setzt voraus, dass die Menge auch abgezählt“ werden kann:
”
Endliche Menge M : Elemente zählbar mittels {1, 2, . . . , n} für eine
natürliche Zahl n; #(M ) := n
Abzählbar unendliche Menge M : Nicht endlich, aber Elemente zählbar
mittels {1, 2, 3, . . .}; #(M ) := ∞
Überabzählbare Menge M : weder endliche, noch abzählbar unendliche
Menge; #(M ) nicht definiert
∞
Lemniskate, Symbol für das Unendliche, eine ideale Zahl“, die nicht
”
zu R gehört
∞ + ∞ := ∞, ∞ ± n := ∞ für n ∈ N, ∞ − ∞ nicht definiert
Achten Sie also beim Rechnen mit Elementeanzahlen darauf, dass Sie beim
Umformen von Gleichungen nur dann subtrahieren, wenn die entsprechende
∞ = #N = #{2n : n ∈ N} + #{2n − 1 : n ∈ N}
Menge endlich ist.
Eine Menge von Mengen heißt auch Mengensystem
Wichtigste Beispiele:
Mengensysteme von Teilmengen einer festen Grundmenge X
{∅} ist Teilmenge jedes solchen Mengensystems und ∅ ist Element jedes
solchen Mengensystems
Jedes solche Mengensystem ist Teilmenge der Menge aller Teilmengen von
X, der Potenzmenge von X:= {N : N ist Teilmenge von X}
Potenzmenge von {a, b, c} = {{∅}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
n ∈ {0, 1, 2, 3, . . .}
Hat M insg. n Elemente, so hat die Potenzmenge von M insg. 2n Elemente
Mit Hilfe von Mengensystemen von Teilmengen einer festen Grundmenge lassen sich Zufallsereignisse beschreiben
. Wahrscheinlichkeitsrechnung
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Mathematik 1 : Grundlagen
Zahlenmengen
Natürliche Zahlen N = {1, 2, 3, ...}, N0 = N ∪ {0}
Ganze Zahlen Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Rationale Zahlen Q = {m/k : m ∈ Z, k ∈ N}
Reelle Zahlen R = Menge aller Grenzwerte von (allen) Folgen rationaler Zahlen
siehe . Folgen und Grenzwerte
Die Grenzwerteigenschaft bedeutet, dass jede reelle Zahl beliebig gut
— nach Vorgabe einer Genauigkeit (z.B. 10−2 ) — durch rationale
Zahlen, insbesondere
eine endliche
Dezimalzahl,
approximiert werden
√
√
√
kann, z.B. 2 ≈ 1.4142, 1/ 2 ≈ 0.7071, 3 ≈ 1.7321, e ≈ 2.71828,
e−1 ≈ 0.3678, ln 2 ≈ 0.69, ln 10 ≈ 2.3, π ≈ 3.1415 oder so: π ≈ 22
7.
+
Intervalle in R
R : a ≤ x ≤ b}
R : a ≤ x < b}
R : a < x ≤ b}
R : a < x < b}
] − ∞, a] := {x ∈ R : x ≤ a}
[a, +∞[ := {x ∈ R : a ≤ x}
] − ∞, ∞[ := R
[a, b]
[a, b[
]a, b]
]a, b[
:=
:=
:=
:=
{x
{x
{x
{x
∈
∈
∈
∈
[a, a] := {a}
reelle Zahlen a, b mit a < b
abgeschlossenes Intervall
links abgeschl., rechts offenes Interv.
links offenes, rechts abgeschl. Interv.
offenes Intervall
linker Halbstrahl
rechter Halbstrahl
Zahlengerade (Zahlenstrahl)
einpunktige Menge, kein Intervall
Bequeme, klare Schreibweise für eingeschränkte Zahlenmengen
Zahlenmenge Bedingung := {x ∈ Zahlenmenge : x erfüllt Bedingung}
R>0 = {x ∈ R : x > 0}, R<0 = {x ∈ R : x < 0}, entsprechend R≥0 , R≤0
! vorsicht beim Lesen der beliebten Symbole R und R in verschiet
denen Quellen: Es ist nicht einheitlich geregelt, ob dabei die Zahl 0
+
−
zugezählt wird oder nicht (aber wichtig bei Divisionen, Lösungsmengen)
Rn n-Tupel (x1 , . . . , xn ) von reellen Zahlen
n = Dimension des Tupels (n ∈ N)
(n-Vektoren)
Anordnung: i-te Stelle im Tupel heißt i-te Koordinate
R1 = R, d.h. (x) := x für x ∈ R
R2 = {(x1 , x2 ) : x1 , x2 ∈ R}
Paare (2-Tupel)
R3 = {(x1 , x2 , x3 ) : x1 , x2 , x3 ∈ R}
Tripel (3-Tupel)
Rn = {(x1 , . . . , xn ) : x1 , . . . , xn ∈ R}
n-Tupel
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eindimensional
zweidimensional
dreidimensional
n-dimensional
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Mathematik 1 : Grundlagen
Indizierte Objekte
z i mit i ∈ {m, . . . , n} und m, n ∈ Z (m ≤ n)
Zur Unterscheidung von Objekten in Aufzählungen und Formeln werden diese
Objekte indiziert (nummeriert).
i heißt Index (Nummer) und ist Element der i-Indexmenge {m, . . . , n}, die
n − m + 1 Elemente hat (= Anzahl Indizes i).
Vereinbarung. Alle nachfolgend indizierten Objekte sind — solange nichts
anderes erwähnt — Rechenausdrücke (Zahlen).
+
Indizierte (nummerierte) Rechenausdrücke z m , . . . , z n (m ≤ n ∈ Z)
Bei der Auswertung wird für i = m, . . . , n jedes Vorkommen des Index
i im Objekt z i durch den laufenden Wert von i ersetzt, z.B.
zi := i · ai + bj , d.h. z i = i · ai + bj i und z.B. zm = m · am + bj i=m
Der Rahmen um die Objekte dient als optische Hilfe
5
n
P
Summenzeichen
zi = zm + . . . + zn
(m, n ∈ Z, m ≤ n)
zi = zm · . . . · zn
(m, n ∈ Z, m ≤ n)
i=m
6
n
Q
Produktzeichen
i=m
n
P
z i = z m + ... + z n
bzw.
n
Q
z i = z m · ... · z n
i=m
i=m
Für i = m, . . . , n wird jedes Vorkommen des Index i im Ausdruck z i durch
den laufenden Wert von i ersetzt, z.B.
P1
i
2
−7 − 7)2 + (2−6 − 6)2 + . . . + (20 + 0)2 + (21 + 1)2
i=−7 (2 + i) = (2
1
P
(2i + i)2 i = (2−7 + (−7))2 i=−7 +. . .+ (20 + 0)2 i=0 + (21 + 1)2 i=1
i=−7
Q3
i=1 (7 · i
3
Q
2)
= (7 · 12 ) · (7 · 22 ) · (7 · 32 )
7 · i2 i = 7 · 12 i=1 · 7 · 22 i=2 · 7 · 32 i=3
i=1
Andere Schreibweisen
P
zi ,
i=m,...,n
Q
i=m,...,n
zi ,
P
zi ,
i∈{m,...,n}
Q
zi
i∈{m,...,n}
Die i-Indexmenge hat jeweils n − m + 1 Elemente, d.h.
die Summe hat n − m + 1 Summanden, das Produkt n − m + 1 Faktoren.
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7
n
P
i=m
n
Q
i=m
Mathematik 1 : Grundlagen
(ai + bi ) = (
(ai · bi ) = (
n
P
ai ) + (
i=m
n
Q
n
P
n
P
bi ),
i=m
n
Q
ai )(
i=m
(c ai ) = c (
i=m
n
Q
bi ),
i=m
n
P
(c ai ) = cn−m+1 (
i=m
i=m
n
Q
ai )
ai )
i=m
Pn
i=m c = c · (n − m + 1) = c · (Anzahl Summanden)
Qn
n−m+1 = c (Anzahl Faktoren)
i=m c = c
Pn
Pn
Pn
Pn
2
2
2
i=m (ai ± bi ) = ( i=m ai ) ± 2 ( i=m ai bi ) + ( i=m bi )
8
n
P
Indexverschiebung
j=m
n
Q
zj =
zj =
j=m
n+k
P
zi−k =
i=m+k
n+k
Q
zi−k =
i=m+k
n−k
P
zi+k (k ∈ N)
i=m−k
n−k
Q
zi+k (k ∈ N)
i=m−k
Verschiebung des Index und Verschiebung der Grenzen gleichen sich aus:
j = i + v ∈ {m, . . . , n} ⇐⇒ i ∈ {m − v, . . . , n − v} für v ∈ Z
Pn
Pn−1 i+1 Pn+1 i−1
i = x1 + . . . + xn =
x
= i=2 x
(x ∈ R fix)
i=1
i=0 x
P2007
P7
a
=
a
+
.
.
.
+
a
=
(Basisjahr 2000)
1997
2007
i=1997 i
i=−3 a2000+i
Q2007
Q7
b
=
b
·
.
.
.
·
b
=
(Basisjahr 2000)
1997
2007
i=1997 i
i=−3 b2000+i
+
9
Indexverschiebung ist keine Umindizierung, die Indexmenge bleibt
gleich. Bei einer Umindizierung/Umbasierung werden dagegen die
Indizes geändert, z.B. von a1997 , . . . , a2007 zu a−3 , . . . , a7 (Basisjahr 0)
P
Summen von doppelt indizierten Ausdrücken
zi,j
i=m,...,n
j=k,...,l
P
Die unterhalb des
angegebene Indexmenge hat (n − m + 1) · (l − k + 1)
Elemente (= Anzahl Summanden). Die Addition erfasst jeden Index genau
einmal, in irgendeiner Reihenfolge und Zerlegung in Teilsummen, z.B.
P
Einfache Doppelsumme
i=m,...,n
j=k,...,l
zi,j =
n
P
(
l
P
i=m j=k
zi,j ) =
l
P
(
n
P
zi,j )
j=k i=m
Tabelle mit n Zeilen und l Spalten, ai,j = Zahl in Zeile i und Spalte j
P
P
i-te Zeilensumme: lj=1 ai,j , j-te Spaltensumme: ni=1 ai,j
P
P
P
P
P
Gesamtsumme:
ai,j = ni=1 ( lj=1 ai,j ) = lj=1 ( ni=1 ai,j )
i=1,...,n
j=1,...,l
[13. 11. 07] hh — mathematik für ökonomen — campus duisburg
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Mathematik 1 : Grundlagen
Bei Programmen/theoretischen Überlegungen ist es bequem, auch die SumP
me über P
eine leere Indexmenge (z.B. 0i=1 (...)) zuzulassen. Dazu wird festgesetzt:
... = 0, egal welche Ausdrücke/Zahlen (...) auftreten. Deshalb:
∅
! vorsicht beim Einsatz von Tabellenkalkulationsprogrammen:
t
Für Summen erhalten Sie immer ein Ergebnis. Eine Summe = 0 kann
aber auch dadurch entstanden sein, dass nichts addiert wurde (leere
Bezugszellen bei der Tabellenkalkulation/leere Indexmenge).
10
Potenzen am mit ganzzahligen Exponenten
a, b ∈ R6=0 und n, m ∈ Z
a0 = 1, an+m = an · am , (a · b)n = an · bn , an·m = (an )m
n-te Wurzeln/allgemeinere Exponenten : siehe . Grundfunktionen
26 = 20 26 = 21 25 = 22 24 = 23 23 = (23 )2 = (22 )3 , 1 = 60 = (63 )0 = (60 )3
Pn
Qn
Q
Q
Q
Qn
j
6 = ( n z 2 )3 = ( n z 3 )2 = ( n z )6
j,
j=1
z
b
=
b
j=1 j
j=1
j=1 j
j=1 j
j=1 j
11
Binomische Formeln
(a2 ± 2ab + b2 ) = (a ± b)2
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Anwendung zur Umrechnung von Differenzen
a2 − b2
für a + b 6= 0
a−b=
a+b
√
√
1
Für n ∈ N ist
n+1− n= √
√
n+1+ n
12
Fakultät, Binomialkoeffizient
Q
0! = 1, n! = n
Bsp. 10! = 3 628 800
i=1 i für n ∈ N
n
n!
=
für 0 ≤ k ≤ n
n über k“
”
k
(n − k)! · k!
= Anzahl Möglichkeiten, k von n Objekten auszuwählen
Allgemeine binomische Formel
n
P
n k n−k
n
(a + b) =
a b
k
k=0
insbesondere ist (für a = b = 1):
für a, b ∈ R und n ∈ N
P
n
2n = n
k=0 k
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Mathematik 1 : Grundlagen
Prozentrechnung
W
G
Prozentualer Anteil
=
p
100
= p% = i
i = p% = Prozentsatz, p = Prozentzahl (Prozentpunkte)
Prozentwert W = G · i , Grundwert G = W/i
Bsp.: G = Nettowert, W = Steuerwert (Steuern), i = Steuersatz
! vorsicht mit Bezeichnungen bei der Prozentrechnung: Es ist auch
üblich, für den Prozentsatz selbst das Symbol p zu verwenden (z.B.
p = 5% = 0.05), die hierbei zugehörige Prozentzahl 100 · p erhält dann
meist kein eigenes Symbol.
t
Prozentuale Veränderung
G1 −G0
G0
=
p
100
= p% = i
Neuer Wert G1 = G0 · (1 + i) , Grundwert G0 = G1 /(1 + i)
i = p% = Prozentuale (oder relative) Veränderung von G0 zu G1
(Die prozentuale Veränderung eines Grundwerts G0 ist der prozentuale
Anteil der absoluten Veränderung W = G1 − G0 am Grundwert G0 )
+
Änderung von G0 um i = p%: Multiplikation von G0 mit (1 + i)
Zunahme von G0 um 10%: i = +10% = 0.1 und G1 = G0 · (1 + 0.1)
Abnahme von G0 um 10%: i = −10% = −0.1 und G1 = G0 · (1 − 0.1)
Parlamentswahl:
pj = Stimmenanteil (Prozentzahl) der Partei X bei Wahl Nr. j
pj+1 − pj = Absolute Veränderung der Prozentpunkte (Stimmenanteile) von Partei X gegenüber der vorhergehenden Wahl
pj+1 −pj
pj
=
pj+1
pj
− 1 = Relative (oder: prozentuale) Veränderung der
Prozentpunkte gegenüber der vorhergehenden Wahl
35.2% − 32.0% = 3.2%
35.2%−32.0%
32.0%
(Absolute) Steigerung um 3.2 Prozentpunkte
= 10% (Prozentuale) Steigerung der Prozentzahlen um 10%
Bruttowert = Nettowert · (1 + Aufschlag)
Aufschlag = p% = i
Aufschlag
Im Bruttowert enthaltener Aufschlagwert = Bruttowert · 1 +
Aufschlag
i = Anteil des Aufschlagwerts G · i am Bruttowert G = G · (1 + i)
0
1
0
1+i
Mwsteuersatz
1+Mwsteuersatz
= Prozentualer Anteil der Mwsteuer am Bruttopreis
=
0.19
19
(=
1.19
119 )
≈ 16% beim Mehrwertsteuersatz 19%
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14
Mathematik 1 : Grundlagen
Abbildung/Relation von X in Y
Zuordnung von gewissen Elementen einer Menge X zu gewissen Elementen einer Menge Y
Häufiger Fall: X = Y
Schreibweise (1) Wenn die Zuordnungsvorschrift explizit angebbar ist:
X→Y
Mengen und Zuordnungsrichtung
x 7→ f (x) Zuordnungsvorschrift
Bsp. f : R → R : x 7→ f (x) = |x − 1|
. Funktionen
Schreibweise (2) Angabe der Menge der Paare der einander zugeordneten
Werte mit Angabe der paarbildenen Eigenschaft (Zuordnungsvorschrift)
F := {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y und (... Eigenschaften)}
Bsp. F := {(x, y) : x, y ∈ R und x2 + y 2 = 1}
. Implizite Funktionen
Schreibweise (3) x R y :⇔ (... Eigenschaften), wobei x ∈ X, y ∈ Y
Als R wird dabei oft auch ein Symbol gewählt, das an die
definierenden Eigenschaften und oder die Richtung der Zuordnung erinnern soll (z.B. v oder , wenn es um einen
Vergleich geht)
. Präferenzrelationen
Definitionsbereich {x ∈ X : x wird einem y ∈ Y zugeordnet}
Wertebereich {y ∈ Y : y ist einem x ∈ X zugeordnet}
Bild von x0 ∈ X:
Bild (x0 ) = {y ∈ Y : y ist x0 zugeordnet}
Urbild von y0 ∈ Y :
Urb (y0 ) = {x ∈ X : x ist y0 zugeordnet}
mehrdeutige Abbildung Wenigstens einem x ∈ X werden zwei oder mehr
verschiedene y ∈ Y zugeordnet
eindeutige Abbildung Jedem x ∈ Definitionsbereich wird genau ein y ∈ Y
zugeordnet
eineindeutige Abbildung Jedem x ∈ Definitionsbereich wird genau ein y ∈ Y
zugeordnet und zu jedem y ∈ Wertebereich gibt es
genau ein x ∈ Definitionsbereich
Umkehrabbildung Die Umkehrung einer eineindeutigen Abbildung:
Neue Zuordnung: Umkehrung der alten Zuordnung
Neuer Definitionsbereich: alter Wertebereich
Neuer Wertebereich: alter Definitionsbereich
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Winter 07/08
15
Funktion
Mathematik 1 : Grundlagen
Eine eindeutige Abbildung von einer Menge X in R,
d.h. jedem x des Definitionsbereiches einer Funktion
wird genau eine Zahl zugeordnet
Oft auch: X = R
f : X → R : x 7→ y = f (x)
D(f ) := Definitionsbereich von f mit D(f ) ⊂ X
W (f ) := Wertebereich von f mit W (f ) ⊂ R
Graphisch:
Eine in (x, y)-Koordinaten gezeichnete Kurve“ stellt keine
”
Funktion dar, wenn die Senkrechte durch auch nur ein x die Kurve zweimal
oder öfter schneidet. Sie stellt keine umkehrbare Funktion dar, wenn die
Waagerechte durch auch nur ein y die Kurve zweimal oder öfter schneidet.
16
Umkehrfunktion einer eineindeutigen Funktion von R in R
f : D(f ) → W (f ) : x 7→ y = f (x)
Zuordnung eineindeutig,
dann ist f umkehrbar.
Die Umkehrabbildung heißt Umkehrfunktion, Symbol: f −1
f −1 : W (f ) → D(f ) : y = f (x) 7→ x = f −1 (y)
Es gilt
f −1 (f (x)) = x und f (f −1 (y)) = y
Eine Umkehrfunktion ist wieder umkehrbar, bei erneuter Umkehrung
entsteht die ursprüngliche eineindeutige Funktion: (f −1 )−1 = f
!
t
vorsicht Auch bei Umkehrfunktionen f −1 wird oft die Variable nicht
mit y, sondern wieder mit x bezeichnet und der Wert dann mit f −1 (x).
Dies darf dann nicht mit dem Kehrwert der Zahl f (x) 6= 0 verwechselt
werden: f (x)−1 = 1/f (x).
Bestimmung“ der Umkehrfunktion
”
Methode 1 (nicht immer möglich)
Eindeutiges Auflösen der Funktionsvorschrift y = f (x) nach x
Methode 2 (wenn Methode 1 versagt)
Z.B. mit Hilfe eines Kriteriums (s.u.) weist man/frau nach, dass die Funktion umkehrbar (eineindeutig) ist und kann dann mit f −1 rechnen“, Wer”
tebestimmung meist iterativ mit Hilfe der Gleichung f (f −1 (x)) = x (methodisches Probieren). Wichtige solcher Umkehrfunktionen
√ bekommen einen
√
eigenen Namen/ein eigenes Symbol, z.B. ist x (mit D( ) = R≥0 ), definiert als Umkehrfunktion der Funktion f (x) := x2 (mit D(f ) = R≥0 ).
17
+
Jede umkehrbare Funktion erfüllt
für alle x, y ∈ D(f ) : x = y ⇔ f (x) = f (y)
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Mathematik 1 : Grundlagen
18
Monotone Funktionen f : R → R
I ⊂ D(f ) ein Intervall
f monoton wachsend in I :⇔
für alle x, y ∈ I gilt: x < y ⇒ f (x) ≤ f (y)
äquivalent: x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y)
f monoton fallend in I :⇔
für alle x, y ∈ I gilt: x < y ⇒ f (x) ≥ f (y)
äquivalent: x ≤ y ⇒ f (x) ≥ f (y)
f streng monoton wachsend in I :⇔
für alle x, y ∈ I gilt: x < y ⇒ f (x) < f (y)
äquivalent: x < y ⇔ f (x) < f (y) (MF 1)
äquivalent: x ≤ y ⇔ f (x) ≤ f (y) (MF 2)
f streng monoton fallend in I :⇔
für alle x, y ∈ I gilt: x < y ⇒ f (x) > f (y)
äquivalent: x < y ⇔ f (x) > f (y) (MF 3)
äquivalent: x ≤ y ⇔ f (x) ≥ f (y) (MF 4)
Statt einem Teilintervall I kann für die Definitionen auch D(f ) selbst gewählt
werden. Beachte: D(f ) ist nicht notwendig ein Intervall.
Gleichungen (MF 1)–(MF 4) sind nützlich zur Umformung von Ungleichungen
19
Monotoniekriterium
Eine streng monoton wachsende bzw. fallende Funktion f ist umkehrbar
(über ihrem Monotoniebereich).
Ist z.B. D(f ) = [a, b] ein Intervall und f strikt monoton ...
... wachsend, dann ist W (f ) = D(f −1 ) = [f (a), f (b)]
... fallend, dann ist W (f ) = D(f −1 ) = [f (b), f (a)]
In beiden Fällen ist W (f −1 ) = D(f ) = [a, b]
20
Grundfunktionen I
x falls x ≥ 0
Betrag |x| :=
und x ∈ R
−x falls x < 0
Aufrunden dxe := aufrunden von x zur nächsten ganzen Zahl, x ∈ R
Abrunden bxc := abrunden von x zur nächsten ganzen Zahl, x ∈ R
Runden [x] := runden von x zur nächsten ganzen Zahl, x ∈ R
(übliche Festlegung des Grenzfalls der Mitte x = k+(k+1)
2
zwischen zwei ganzen Zahlen: Aufrunden
(auf k + 1))
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Mathematik 1 : Grundlagen
Polynom vom Grad n ∈ N mit Koeffizienten a0 , . . . , an ; an 6= 0
P
i
f (x) := n
D(f ) = R
i=0 ai x ,
f (x) = a0
konstante Funktion
f (x) = a0 + a1 · x, a1 6= 0
Gerade (affin lineare Funktion)
f (x) = a0 + a1 · x + a2 · x2 , a2 6= 0
quadratische Funktion
f (x) = a0 + a1 · x + a2 · x2 + a3 · x3 , a3 6= 0
kubische Funktion
Ein Polynom n-ten Grades hat höchstens n verschiedene Nullstellen
Bedeutung der Polynome.
Jede stetige Funktion kann — nach Vorgabe
einer Genauigkeit, die Auswirkungen auf die Größe von n hat — beliebig
gut durch ein Polynom n-ten Grades, also einen einfachen“ Funktionstyp,
”
approximiert werden.
Bsp.
1
4
+ x + 32 x2 − x3
− 21 x3
1
4
2
2
2
1.5
1.5
1.5
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0.5
21
3 2
2x
1
Das Polynom
1.5
2
0.5
1
1.5
+ 2x − 2x2 + 34 x3
2
1 + x + x2 + . . . + x m
0.5
1
1.5
2
(m ∈ N)
Grundlage vieler Formeln der elementaren Zinsrechnung:
( m+1
m
x
−1
P i
für x 6= 1
2
m
x−1
x = 1 + x + x + ... + x =
(m ∈ N)
i=0
m+1
für x = 1
Dies ist ein (einfaches) Beispiel einer sogenannten endlichen Summenformel
Bsp. a) 1 + 2 + . . . + 2n−1 = 2n − 1
(x = 2, m = n − 1)
b) 1 +
22
1
2
+ . . . + ( 12 )n
=
1−(1/2)n+1
1/2
= 2 − (1/2)n
(x = 21 , m = n)
Zwei Umformungsmethoden zur Anwendung einer Summenformel
n−k
P i
Pn
Pn−k i+k
i
k
x
(1)
=x ·
(Ausklammern)
i=k x =
i=0 x
i=0
(2)
Pn
i=k
ai =
n
P
i=0
ai −
k−1
P
ai (Erweiterung der Untergrenze)
i=0
Methode (1) klappt nur mit der Formel zu 21 (oben)
Methode (2) ist universell anwendbar, bei jeder endlichen Summenformel
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Mathematik 1 : Grundlagen
Grundfunktionen II
k-te Wurzel f : R≥0 → R≥0 : x 7→ x1/k
mit k ∈ N gerade
f : R → R : x 7→ x1/k
mit k ∈ N ungerade
x1/k ist eine Bezeichnung für die Umkehrfunktion der Potenzfunktion
f : R≥0 → R≥0 : x 7→ xk (k gerade), f : R → R : x 7→ xk (k ungerade)
Bsp.
2
x2
2
1.5
1.5
1
x1/2
x1/3
1
0.5
x3
0.5
-2 -1.5 -1 -0.5
0.5 1 1.5 2
2
x4
-2 -1.5 -1 -0.5
1.5
x1/4
0.5
-2 -1.5 -1 -0.5
1
1.5
2
-0.5
x3
1
0.5
-1
x1/3 -1.5
0.5 1 1.5 2
-2
Potenzfunktionen xr mit rationalen Exponenten r = m/k
f (x) = xm/k mit k ∈ N, m ∈ Z, D(f ) = R>0
Zusammengesetzte Funktion x 7→ x1/k 7→ (x1/k )m ; eine negative Potenz
ist hierbei definiert als Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz.
2
2
Bsp. 2
x1
x1/2
x3/2
1.5
1.5
1.5
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0.5
1
1.5
2
3
0.5
1
1.5
2
3
x−1/2
2.5
0.5
x−1
2.5
2
1.5
1.5
1.5
1
1
1
0.5
0.5
0.5
1.5
2
2
0.5
1
1.5
[13. 11. 07] hh — mathematik für ökonomen — campus duisburg
x−3/2
2.5
2
1
1.5
3
2
0.5
1
2
0.5
1
1.5
2
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24
Mathematik 1 : Grundlagen
Grundfunktionen III
Exponentialfunktion ex
andere Schreibweise: exp(x)
Wichtige Funktion zum (theoretischen) Rechnen bei der Analyse von
Änderungen und grenzwertigem Verhalten eines Modells
. stetige Verzinsung, Wachstumsfunktionen, statistische Schätzung
Definition Für jedes x ∈ R definiert als Grenzwert eines Polynomtyps:
n
i
P
x
x
e := lim
Definitionsbereich R und Wertebereich R>0
i!
n→∞ i=0
annähernd:
ex
n
i
P
x
≈
, für große“ n ∈ N, x ∈ R
i!
”
i=0
Diese Näherung wird von Rechnern verwendet und ist schon für relativ
kleine n gut brauchbar. Andere Grenzwertdarstellungen für ex sind
eher nur von mathematischem Interesse, z.B. ex = limn→∞ (1 + nx )n .
Pn
n+1 n
Eulersche Zahl
e = lim
1/(i!)
=
lim
(
) ≈ 2.71828
i=0
n
n→∞
n→∞
4
4
ex
3.5
3
3
2.5
2.5
2
2
x
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
-2 -1.5 -1 -0.5
0.5
1
1.5
2
-2 -1.5 -1 -0.5
-0.5
-1
2x
3.5
x
0.5
1
1.5
2
-0.5
ln(x)
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5
-2.5
-3
-3
-3.5
-3.5
-4
-4
[13. 11. 07] hh — mathematik für ökonomen — campus duisburg
log2 (x)
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Mathematik 1 : Grundlagen
Natürlicher Logarithmus ln = Umkehrfunktion von ex
ln(ex ) = x = eln x
Definitionsbereich R>0 und Wertebereich R
+
Rechenregeln
ln(c) + ln(d) = ln(c · d)
für c, d > 0
ln(ct ) = t · ln(c)
insbesondere
für c > 0, t ∈ R
ln(1) = 0; ln(e) = 1; ln( dc ) = − ln( dc ) für c, d > 0
Bsp. a) Für x, y, z > 0 ist ln(x1/7 ·y −2/3 ·z 2/5 ) =
1
7
ln(x)− 23 ln(y)+ 25 ln(z)
b) 1.05 x = 2 ⇔ ln(1.05x ) = ln 2 ⇔ x · ln 1.05 = ln 2 ⇔ x =
ln 2
ln 1.05
Allgemeine Exponentialfunktion zur Basis b > 0
bx := ex ln b
Definitionsbereich R und Wertebereich R>0
Bsp. a) 2x = ex ln 2 , 21/10 = e(1/10) ln 2 ≈ 1.07177
b) 2n = Anzahl Möglichkeiten bei n Bit, 232 = 4 294 967 296
Logarithmus zur Basis b = Umkehrfunktion von bx
Definitionsbereich R>0 und Wertebereich R
b > 0, b 6= 1
logb (bx ) = x = blogb x
Bsp. a) dlog2 (n)e = benötigte Bitzahl für n Möglichkeiten (n ∈ N)
6
b) log2 (106 ) = 6 lnln10
2 ≈ 19.9316, also d19.93e = 20 Bit für 10 Mögl.
Umrechnen auf die Basis b > 0, b 6= 1
25
logb (x) =
ln(x)
ln(b)
Allgemeine Potenzregeln
Für a, b > 0 und s, t ∈ R ist a0 = 1 und
as·t = (as )t
Faktorisierung des Exponenten
bs+t = bs · bt , insbesondere es+t = es · et
gleiche Basis
√
√
√
(a · b)t = at · bt , insbes.
a·b= a· b
gleicher Exponent
! vorsicht (vor beliebten Stressfehlern)
t
Im Allgemeinen ist ln(a + b) 6= ln(a) + ln(b)
und
√
a + b 6=
√
a+
√
b
Differentiation und deren einige Anwendungen ist ein Thema von Mathematik 2.
Bei Mathematik 1 (Thema 3) verwenden wir — um andere aufwendige Rechnungen zu vermeiden — vorweg die wohlbekannte elementare Differentiationsregel:
Für fixes r ∈ Q, r > 0, hat die Funktion
die Ableitung
f (x) = xr
(x > 0)
f 0 (x) = r · xr−1 (x > 0)
[13. 11. 07] hh — mathematik für ökonomen — campus duisburg
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