¨Ubungen zur Vorlesung Spieltheoretische Methoden in der Logik

Aufgabenblatt 1
Sommersemester 2009
Markus Lohrey
Übungen zur Vorlesung Spieltheoretische Methoden in der Logik
1. Seien (A, ≤A ) und (B, ≤B ) zwei lineare Ordungen mit A ∩ B = ∅. Die
Summe
(A, ≤A ) + (B, ≤B )
ist die lineare Ordnung (A ∪ B, ≤) mit ≤ = ≤A ∪ ≤B ∪(A × B).
Zeigen Sie, dass die Summe (A, ≤A ) + (B, ≤B ) eine Wohlordnung ist,
falls (A, ≤A ) und (B, ≤B ) Wohlordnungen sind. Auf diese Weise lässt
sich die Summe ξ + χ von zwei Ordinalzahlen ξ und χ definieren.
2. Seien (A, ≤A ) und (B, ≤B ) wieder zwei lineare Ordungen. Das Produkt
(A, ≤A ) · (B, ≤B )
ist die lineare Ordnung (A × B, ≤), wobei (a1 , b1 ) ≤ (a2 , b2 ) genau
dann, wenn (i) b1 <B b2 oder (ii) b1 = b2 und a1 ≤A a2 .
Zeigen Sie, dass das Produkt (A, ≤A ) · (B, ≤B ) eine Wohlordnung ist,
falls (A, ≤A ) und (B, ≤B ) Wohlordnungen sind. Auf diese Weise lässt
sich das Produkt ξ · χ von zwei Ordinalzahlen ξ und χ definieren.
3. Wie üblich sei ω der Wohlordnungstyp der natürlichen Ordnung auf
N und n (für n ∈ N) das Ordinal bestehend aus n Elementen. Zeigen
Sie, dass ω ⊏ ω · n für n > 1 und n · ω = ω für n ≥ 1 gilt.
4. Ein N-Baum ist eine Teilmenge T ⊆ N∗ (also eine Menge von Wörtern
über dem unendlichen Alphabet N), welche unter der Präfixrelation
abgeschlossen ist: Wenn uv ∈ T dann auch u ∈ T . Intuitiv kann man
sich T als den Baum (T, E) mit der Kantenrelation E = {(w, wi) |
w, wi ∈ T, i ∈ N} vorstellen. Ein Blatt in T ist ein u ∈ T mit der
Eigenschaft ∀v : uv ∈ T → v = ε.
Sei T ein N-Baum ohne unendliche Pfade. Wir ordnen jedem Knoten
u ∈ T induktiv über die Länge von u ein Ordinal ξuT wie folgt zu:
(
0
falls u ein Blatt in T ist
T
ξu =
T
sup{ξui + 1 | i ∈ N, ui ∈ T } sonst
Dabei ist sup(A) für eine Menge von Ordinalen das kleinste Ordinal
χ mit ξ ⊑ χ für alle ξ ∈ A. Da Ordinale wohlgeordnet sind, existiert
sup(A) für jede Menge von Ordinalen. Geben Sie einen N-Baum T an,
so dass ξεT = ω · 2. D.h. die Wurzel von T wird mit ω · 2 beschriftet.
5. Zeigen Sie, dass ein Ordinal χ genau dann abzählbar (d.h. endlich oder
abzählbar unendlich) ist, falls ein N-Baum T ohne unendliche Pfade
mit ξεT = χ existiert.