∫ ( )

5.
Anwendungen des ersten und zweiten Hauptsatzes
5.1
Volumenänderungsarbeit und Druckänderungsarbeit
änderungen in geschlossenen und offenen Systemen
bei
Zustands-
In den vorangegangenen Kapiteln haben wir uns mit dem Handwerkszeug zur Berechnung von thermodynamischen Prozessen in geschlossenen und offenen Systemen befasst. Insbesondere haben wir den ersten und zweiten Hauptsatz der Thermodynamik in den Schreibweisen für geschlossene Systeme und für stationäre
Fließprozesse kennen gelernt.
Mit Hilfe der Energiebilanzgleichungen des ersten Hauptsatzes lassen sich die bei
einem Prozess relevanten energetischen Größen — z. B. die zu- oder abzuführende spezifische Wärme q12, die spezifische Volumenänderungsarbeit beim geschlossenen System oder die spezifische technische Arbeit beim stationären Fließprozess
— berechnen. Dies geht jedoch nur, wenn im Falle des geschlossenen Systems die
spezifische Volumenänderungsarbeit wV12 und im Falle des stationären Fließprozesses die spezifische Druckänderungsarbeit wP12 bekannt ist. Diese Prozessgrößen
müssen zuvor durch Lösung der vom Integrationsweg abhängigen Integrale
2
w V12
= − ∫ p( v )dv
(Gl. 5.1)
1
2
w P12
=
∫ v( p )dp
(Gl. 5.2)
1
berechnet werden. Dies ist wiederum nur möglich, wenn die Funktionen p(v) bzw.
v(p) explizit angegeben werden können. Abb. 5.1 zeigt die Integrale der Gln. 5.1 a, b
im p,v-Diagramm:
Abb. 5.1:
Volumenänderungsarbeit und Druckänderungsarbeit im
p,v-Diagramm
85
An einem p,v- oder T,s-Diagramm lässt sich nicht erkennen, ob die darin dargestellte
Zustandsänderung in einem geschlossenen System oder als stationärer Fließprozess
abläuft.
Da derselbe Zustandsverlauf — wie im p,v-Diagramm der Abb. 5.1 zu ersehen ist —
sowohl durch eine Funktionen p(v) als auch durch eine Funktion v(p) beschrieben
werden kann, besteht zwischen den beiden Integralen vdp und pdv der folgende Zusammenhang:
2
2
1
1
∫ v dp = − ∫ p dv + p2 v 2 − p1 v1
(Gl. 5.3)
Gl. 5.3 ist gültig für Prozesse in geschlossenen und offenen Systemen. Auf Folgendes sei in diesem Zusammenhang jedoch besonders hingewiesen:
Auch bei einem geschlossenen System kann rein formal das Integral vdp berechnet
werden. Es stellt aber nicht wie beim Fließprozess eine Druckänderungsarbeit dar.
Es ist eine reine Rechengröße (vgl. Cerbe, Hoffmann, 1994, S. 47). Dieser Sachverhalt lässt sich leicht an einem isochoren Prozess in einem geschlossenen System
klarmachen: Wenn in einem Behälter mit starren Systemgrenzen durch Wärmezufuhr
der Druck steigt, wird deswegen keine Druckänderungsarbeit verrichtet. Trotzdem
existiert für einen solchen Prozess das Integral vdp als Rechengröße.
Die für geschlossene Systeme besonders wichtige Volumenänderungsarbeit kommt
auch bei offenen Systemen vor. Im Falle eines Fließprozesses nimmt Gl. 5.3 die
Form von Gl. 3.50 an. Es gilt dann:
w P 12
=
w V 12
+
p2 v 2
−
p1 v1
(Gl. 3.50)
Bei Fließprozessen ist die Volumenänderungsarbeit von untergeordnetem Interesse,
weil sie lediglich ein Bestandteil der Druckänderungsarbeit ist. Die Druckänderungsarbeit stellt bei einem stationären Fließprozess die für die Energiebilanz maßgebliche
Arbeit dar. Das sieht man daran, dass bei einem Fließprozess einer inkompressiblen
Flüssigkeit bei Druckverminderung Druckänderungsarbeit abgegeben wird, jedoch
aufgrund der Inkompressibilität keine Volumenänderung und damit auch keine Volumenänderungsarbeit auftritt (vgl. Baehr, 1973, S.76).
86
5.2
Isochore Zustandsänderung
Bei einer isochoren Zustandsänderung bleibt unabhängig davon, ob der Prozess in
einem geschlossenen oder offenen System abläuft, das spezifische Volumen v und
damit die Dichte ρ des Fluids konstant.
Im p,v-Diagramm verläuft die Zustandsänderungslinie senkrecht. Den Verlauf im T,sDiagramm kann man nur dann angeben, wenn man die thermische Zustandsgleichung des Mediums kennt, das die Zustandsänderung durchmacht. Für ideale Gase
verläuft eine isochore Zustandsänderung im T,s-Diagramm als Exponentialfunktion.
Abb. 5.2:
Isochore Zustandsänderung (1) → (2) eines idealen Gases im p,vund im T,s-Diagramm (vgl. Langeheinecke et al., 1999, S.140)
Abb. 5.2 zeigt die isochore Zustandsänderung eines idealen Gases im p,v- und im
T,s-Diagramm. Im p,v-Diagramm stellt die Fläche zwischen der Isochoren und der
Ordinate das Integral vdp dar, das im Falle eines Fließprozesses mit der spezifischen
Druckänderungsarbeit wP12 identisch ist. Im T,s-Diagramm ist die Fläche zwischen
der Isochoren und der Abszisse die Summe aus übertragener spezifischer Wärme
und zugeführter spezifischer Dissipationsenergie, q12 + j12. Des Weiteren stellt sie die
Differenz der spezifischen inneren Energie u2 - u1 dar.
Geschlossenes System
Eine isochore Zustandsänderung in einem geschlossenen System liegt vor, wenn ein
Prozess in einem Behälter mit starren Wänden abläuft. Für das in dem Behälter eingeschlossene Medium gelten diesen Fall die folgenden Beziehungen:
Thermische Zustandsgleichung:
V = konst. bzw. v, ρ = konst.
(Gl. 5.4)
87
Spezifische Volumenänderungsarbeit:
2
w V 12 = − ∫ p dv = 0
(Gl. 5.5)
1
1. HS für geschlossene Systeme:
q12 + j12 = u2 − u1
(Gl. 5.6)
Bei einer isochoren Zustandsänderung nimmt durch Zufuhr von Wärme oder Dissipationsenergie die innere Energie, und damit die Temperatur zu.
Die Gln. 5.4 bis 5.6 sind allgemeingültig, d. h., sie sind an kein spezielles Stoffmodell
geknüpft. Möchte man jedoch die Differenz der spezifischen inneren Energie mit einer Temperaturdifferenz in Verbindung bringen, so muss das über die kalorische Zustandsgleichung des betreffenden Mediums geschehen. Der kalorischen Zustandsgleichung liegen jedoch spezielle Stoffmodelle wie das des idealen Gases oder der
idealen Flüssigkeit zugrunde, siehe Kap. 3.4.
Stationärer Fließprozess
Bei einem stationären Fließprozess ist bei isochorer Zustandsänderung der Volumenstrom in allen Strömungsquerschnitten des Kontrollraums konstant. Dies ist bei
stationären Fließprozessen nur bei idealen Flüssigkeiten der Fall. Hierfür gelten die
folgenden Beziehungen:
Thermische Zustandsgleichung:
•
V = konst.
v, ρ = konst.
bzw.
(Gl. 5.7)
Kalorische Zustandsgleichung für ideale Flüssigkeit (Gln. 3.70, 3.71):
h2 − h1
= u2 − u1 +
u2 − u1
mit
1
ρ
⋅ ( p 2 − p1 )
= c F ⋅ (T2 − T1 )
(Gl. 5.8)
(Gl. 5.9)
Spezifische Druckänderungsarbeit:
2
w P12 =
∫ v dp
1
=
1
ρ
⋅ ( p 2 − p1 )
(Gl. 5.10)
88
1. HS für stationäre Fließprozesse:
q12 + w t 12 = h2 − h1 +
(
)
(
1
2
2
⋅ c 2 − c1 + g ⋅ z 2 − z1
2
)
(Gl. 5.11)
Spezifische technische Arbeit:
w t 12 = j12 +
1
ρ
⋅ ( p 2 − p1 ) +
(
)
(
1
2
2
⋅ c 2 − c1 + g ⋅ z 2 − z1
2
)
(Gl. 5.12)
Gl. 5.12 ist identisch mit der aus der Strömungsmechanik bekannten erweiterten
Form der Gleichung von BERNOULLI.
5.3
Isobare Zustandsänderung
Bei einer isobaren Zustandsänderung bleibt unabhängig davon, ob der Prozess in
einem geschlossenen oder offenen System stattfindet, der Druck konstant. Im p,vDiagramm verläuft die Zustandsänderungslinie waagerecht. Den Verlauf im T,sDiagramm kann man nur dann angeben, wenn man die thermische Zustandsgleichung des Mediums kennt. Für ideale Gase verläuft eine isobare Zustandsänderung
im T,s-Diagramm als Exponentialfunktion.
Abb. 5.3:
Isobare Zustandsänderung (1) → (2) eines idealen Gases im p,vund im T,s-Diagramm (vgl. Langeheinecke et al., 1999, S. 137)
Abb. 5.3 zeigt die isobare Zustandsänderung eines idealen Gases im p,v- und im T,sDiagramm. Im p,v-Diagramm stellt die Fläche zwischen der Isobaren und der Abszisse die negative spezifische Volumenänderungsarbeit −wV12 dar. Im T,sDiagramm ist die Fläche zwischen der Isobaren und der Abszisse die Summe aus
übertragener spezifischer Wärme und zugeführter spezifischer Dissipationsenergie,
q12 + j12. Daneben stellt sie die Differenz der spezifischen Enthalpie h2 − h1 dar.
89
Geschlossenes System
In einem geschlossenen System kann eine isobare Zustandsänderung wie folgt verwirklicht werden, sieh Abb. 5.4: Ein Gas befindet sich in einem Zylinder und ist durch
einen frei verschiebaren Kolben von der Umgebung getrennt. Der Druck im Zylinder
steht zu jeder Zeit mit dem Umgebungsdruck im Gleichgewicht. Führt man dem Zylinder Wärme zu, so kann sich das Gas ungehindert ausdehen. Der Kolben verschiebt sich dabei so, dass der Druck im Zylinder stets mit dem Umgebungsdruck im
Gleichgewicht bleibt.
Abb. 5.4:
Isobare Zustandsänderung in einem
geschlossenen System
Für die isobare Zustandsänderung im geschlossenen System gelten die folgenden
Beziehungen:
Thermische Zustandsgleichung:
p = konst.
(Gl. 5.13)
Spezifische Volumenänderungsarbeit:
2
w V 12 = − ∫ p dv = − p ⋅ ( v 2 − v1 )
(Gl. 5.14)
1
1. HS für geschlossene Systeme:
q12 + j12 = u2 − u1 + p ⋅ ( v 2 − v1 ) = h2 − h1
(Gl. 5.15)
Durch Zufuhr von Wärme bzw. Dissipationsenergie wird die Enthalpie und damit die
Temperatur erhöht. Die Gln. 5.13 bis 5.15 sind allgemeingültig, d. h., sie sind an kein
spezielles Stoffmodell geknüpft. Möchte man allerdings die Differenz von spezifischer
innerer Energie oder Enthalpie mit einer Temperaturdifferenz in Verbindung bringen,
so muss man hierfür auf die kalorische Zustandsgleichung des betreffenden Mediums zurückgreifen, der spezielle Stoffmodelle zugrunde liegen.
90
Stationärer Fließprozess
Stationäre Fließprozesse mit isobarer Zustandsänderung kommen in der Praxis näherungsweise in Rohrleitungen und Wärmeübertragern vor. Technische Arbeit geht
dabei nicht über die Systemgrenze; es gilt wt12 = 0. Änderungen von kinetischer und
potentieller Energie sind praktisch vernachlässigbar. Unter diesen Bedingungen ist
auch die spezifische Dissipationsenergie j12 = 0, und der stationäre Fließprozess mit
isobarer Zustandsänderung ist reversibel. Es gelten dann die folgenden Beziehungen:
Thermische Zustandsgleichung:
p = konst.
(Gl. 5.16)
Spezifische Druckänderungsarbeit:
2
w P12 =
∫ v dp
= 0
(Gl. 5.17)
1
1. HS für stationäre Fließprozesse:
q12 = h2 − h1
(Gl. 5.18)
91
5.4
Isotherme Zustandsänderung
Bei einer isothermen Zustandsänderung bleibt unabhängig davon, ob der Prozess in
einem geschlossenen oder offenen System stattfindet, die Temperatur konstant. Im
T,s-Diagramm verläuft die Zustandsänderungslinie waagerecht. Den Verlauf einer
isothermen Zustandsänderung im p,v-Diagramm kann man nur dann angeben, wenn
die thermische Zustandsgleichung des Mediums bekannt ist. Für ideale Gase sind
die Isothermen im p,v-Diagramm Hyperbeln.
Abb. 5.5:
Isotherme Zustandsänderung (1) → (2) eines idealen Gases im p,vund im T,s-Diagramm (vgl. Langeheinecke et al., 1999, S. 142)
Abb. 5.5 zeigt die isotherme Zustandsänderung eines idealen Gases im p,v- und im
T,s-Diagramm. Im p,v-Diagramm stellt die Fläche zwischen der Isothermen und der
Abszisse die negative spezifische Volumenänderungsarbeit −wV12 und die Fläche
zwischen der Isothermen und der Ordinate das Integral vdp bzw. die spezifische
Druckänderungsarbeit wP12 dar. Im T,s-Diagramm ist die Fläche zwischen der Isothermen und der Abszisse die Summe aus übertragener spezifischer Wärme und
zugeführter spezifischer Dissipationsenergie, q12 + j12.
Zur Berechnung der Volumenänderungs- und der Druckänderungsarbeit benötigen
wir den Verlauf der Zustandsänderungslinie im p,v-Diagramm. Aus diesem Grund
reicht als Zustandsgleichung eine Angabe wie T = konst. nicht mehr aus. Zur Beschreibung des Verlaufs der Isothermen im p,v-Diagramm müssen wir deshalb auf
ein geeignetes Stoffmodell zurückgreifen. Wir gehen im Folgenden von der thermischen Zustandsgleichung des idealen Gases aus:
92
Thermische Zustandsgleichung
p⋅v
=
R⋅T
führt mit konstanter Temperatur T zu
p⋅ v =
p1 ⋅ v1 ,
wobei die Variablen ohne Index für jeden Zustand auf der Zustandsänderungslinie
stehen. Durch Umstellung erhält man
p1 ⋅ v1
v
p( v ) =
und
p1 ⋅ v1
p
v( p) =
(Gl. 5.19 a, b)
sowie durch Einsetzen des Endzustandes (2):
p1 ⋅ v1
=
p2 ⋅ v 2
(Gl. 5.20)
Geschlossenes System
Eine isotherme Zustandsänderung in einem geschlossenen System kann man sich
als Kompressionsprozess in einem sehr gut gekühlten Zylinder vorstellen.
Setzt man Gl. 5.19 a in das Integral für die spezifische Volumenänderungsarbeit ein,
2
w V 12 = − ∫ p dv =
1
2
−∫
1
p1 ⋅ v1
dv = − p1 ⋅ v1
v
2
∫
1
dv
,
v
(Gl. 5.21)
und löst das Integral, so erhält man mit Hilfe von Gl. 5.20 die folgenden Berechnungsgleichungen für die spezifische Volumenänderungsarbeit bei isothermer Zustandsänderung:
w V 12 = p 2 ⋅ v 2 ln
w V 12
v1
v2
v
= R ⋅ T ln 1
v2
p2
p1
w V 12
= p 2 ⋅ v 2 ln
w V 12
p
= R ⋅ T ln 2
p1
(Gln. 5.22)
Da die innere Energie des idealen Gases nur von der Temperatur abhängt, siehe
Kap. 3.4, kann sich die innere Energie bei isothermer Zustandsänderung nicht ändern.
Damit stellt sich der erste Hauptsatz für geschlossene Systeme bei isothermer Zustandsänderung wie folgt dar:
q12 + w V 12 + j12
= u2 − u1
⇒
= − q12
w V 12 + j12
= 0
(Gl. 5.23)
93
Bei einem Kompressionsprozess, der mit einem idealen Gas in einem geschlossenen
System (Zylinder + Kolben) bei isothermer Zustandsänderung geführt wird, muss die
zugeführte Arbeit, bestehend aus Volumenänderungsarbeit und Dissipationsenergie,
in Form von Wärme wieder abgeführt werden, um die Temperatur des Gases konstant zu halten.
Bei einem Expansionsprozess, der mit einem idealen Gas in einem geschlossenen
System (Zylinder + Kolben) bei isothermer Zustandsänderung geführt wird, muss die
abgeführte Arbeit, bestehend aus der um die Dissipationsenergie geminderten Volumenänderungsarbeit des Systems, in Form von Wärme zugeführt werden, um die
Temperatur des Gases konstant zu halten.
Stationärer Fließprozess
Eine isotherme Zustandsänderung bei einem stationären Fließprozess kann man
sich als Kompressionsprozess in einem sehr gut gekühlten Turbokompressor vorstellen. Zur Berechnung der spezifischen Druckänderungsarbeit setzen wir Gl. 5.19 b in
das Integral vdp ein. In ähnlicher Weise wie bei der Volumenänderungsarbeit folgen
als Lösung des Integrals einige Berechnungsgleichungen für die spezifische Druckänderungsarbeit. Man erhält:
w P 12 = p 2 ⋅ v 2 ln
w P 12
v1
v2
v
= R ⋅ T ln 1
v2
p2
p1
w P 12
= p 2 ⋅ v 2 ln
w P 12
p
= R ⋅ T ln 2
p1
(Gln. 5.24)
Vergleicht man die Gln. 5.24 mit den Gln. 5.22, so stellt man fest, dass für isotherme
Zustandsänderungen wP12 = wV12 gilt.
Da die Enthalpie wie die innere Energie des idealen Gases nur von der Temperatur
abhängt, siehe Kap. 3.4, kann sich die Enthalpie bei isothermer Zustandsänderung
nicht ändern.
Damit stellt sich der erste Hauptsatz für stationäre Fließprozesse bei isothermer Zustandsänderung unter Vernachlässigung der äußeren Energien wie folgt dar:
q12 + w t 12
=
h2 − h1
= 0
⇒
w t 12
= − q12
mit
w t 12
=
w P 12 + j12
w P 12 + j12
=
− q12
(Gl.5.25)
folgt
(Gl. 5.26)
94
Damit gelten beim stationären Fließprozess ähnliche Aussagen wie beim geschlossenen System:
Bei einem Kompressionsprozess, der mit einem idealen Gas in einem offenen System (Turbokompressor) bei isothermer Zustandsänderung geführt wird, muss die zugeführte technische Arbeit, bestehend aus Druckänderungsarbeit und Dissipationsenergie, in Form von Wärme wieder abgeführt werden, um die Temperatur des Gases konstant zu halten.
Bei einem Expansionsprozess, der mit einem idealen Gas in einem offenen System
(Turbine) bei isothermer Zustandsänderung geführt wird, muss die abgeführte technische Arbeit, bestehend aus der um die Dissipationsenergie verminderten Druckänderungsarbeit, in Form von Wärme zugeführt werden, um die Temperatur des Gases
konstant zu halten.
Isotherme Zustandsänderungen sind in der Praxis nur schwer zu verwirklichen. Sie
bieten aber besondere Vorteile.
Beispiel (vgl. Langeheinecke et al., 1999, S. 142):
Eine Druckluftanlage soll stündlich 110 m³ Luft mit einem Absolutdruck von 16 bar
und mit Umgebungstemperatur liefern. Der Verdichter saugt die Luft mit 0,96 bar und
20 °C an. Es soll von einem dissipationsfreien Prozess ausgegangen werden. Äußere Energien sollen vernachlässigt werden. a) Welcher Volumenstrom ist anzusaugen? b) Welche Leistung muss dem Verdichter zugeführt werden? c) Wie groß ist der
zu übertragende Wärmestrom?
•
V 2 = 110 m 3 h = 0,0306 m 3 s
Daten: Druckluftstrom
Ansaugdruck
p1 = 0,96 bar = 0,96 ⋅ 10 5 J m 3
Enddruck
p 2 = 16 bar = 16 ⋅ 10 5 J m 3
Ansaugtemperatur
t1 = 20 ° C; T1 = 293 K
•
a) Ansaugvolumenstrom V 1
•
•
v2 =
v = V m
•
V1
p1 v1
p2
•
p V2
16 bar ⋅ 0,0306 m 3
m3
= 2
=
= 0,51
p1
0,96 bar
s
b) Zuzuführende Leistung P12
•
P12 = m ⋅ wP 12
mit
wP 12 = R ⋅ T ⋅ ln
p2
v
= p1 v1 ln 1
p1
v2
95
•
•
P12 = m ⋅ wP 12 = m ⋅ p1 v1 ⋅ ln
P12 = 0,96 ⋅ 10 5
•
p2
p
= p1 ⋅ V 1 ⋅ ln 2
p1
p1
16 bar
J
m3
⋅
0
,
51
⋅ ln
= 138 kW
3
s
0,96 bar
m
•
c) Übertragener Wärmestrom Q 12
•
Q 12 = − P12 = − 138
5.5
kJ
s
Isentrope Zustandsänderung
Wir verstehen unter einer isentropen Zustandsänderung eine reversible Zustandsänderung in einem adiabaten System. Unabhängig davon, ob sich der Vorgang in einem geschlossenen oder offenen System abspielt, bleibt bei einer isentropen Zustandsänderung die Entropie konstant, siehe Kap. 4.5. Im T,s-Diagramm verläuft die
Zustandsänderungslinie deshalb senkrecht. Bei einer isentropen Zustandsänderung
ändern sich Druck, Temperatur und spezifisches Volumen gleichzeitig. Unter der Bedingung dq = 0 (adiabat) und dj = 0 (reversibel) lässt sich aus dem ersten Hauptsatz
eine Differentialgleichung entwickeln, die den Verlauf der isentropen Zustandsänderung im p,v-Diagramm beschreibt:
κ
 v dp 
=
≡ −

 p dv  s = konst .
dh
du
(Gl. 5.27)
Die durch Gl. 5.27 definierte Größe κ wird als Isentropenexponent bezeichnet.
Isentropengleichungen für ideale Gase
Die Integration der Differentialgleichung 5.27 führt auf die folgenden Beziehungen
zwischen dem Druck p und dem spezifischen Volumen v bei einer isentropen Zustandsänderung:
1
κ
 p κ
v1
=  2
v2
 p1 
v 
p2
=  1 ;
p1
 v2 
(Gl. 5.28 a, b)
bzw.
κ
p1 ⋅ v1
=
p ⋅ vκ
=
p2 ⋅ v 2
κ
(Gl.5.29)
In Gl. 5.29 stehen die Variablen ohne Index für alle Zustände auf der Zustandsänderungslinie.
96
Ein Zusammenhang mit der Temperatur kann hergestellt werden, wenn der Verlauf
der Isothermen im p,v-Diagramm bekannt ist, d. h. ein Stoffmodell zugrunde liegt. Wir
verwenden die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases und formulieren sie
für den Anfangs- und den Endzustand:
p1 ⋅ v1
= R
T1
und
p2 ⋅ v 2
= R
T2
(Gl. 5.30 a, b)
Wir verknüpfen beide Gleichungen über die Gaskonstante und erhalten:
p2
T v
= 2⋅ 1
p1
T1 v 2
bzw.
v1
T p
= 1⋅ 2
v2
T2 p1
(Gl. 5.31 a, b)
Setzt man nun zunächst Gl. 5.31 a und dann Gl. 5.31 b in Gl. 5.28 ein, so erhält man
Beziehungen zwischen der Temperatur T und dem Druck p sowie zwischen der
Temperatur T und dem spezifischen Volumen v bei einer isentropen Zustandsänderung:
v 
T2
=  1
T1
 v2 
1
κ −1
p 
T2
=  2
T1
 p1 
;
κ −1
κ
 T  κ −1
v1
=  2
v2
 T1 
(Gl. 5.32 a, b)
κ
;
 T  κ −1
p2
=  2
p1
 T1 
(Gl. 5.33 a, b)
Die Gln. 5.28, 5.32 und 5.33 werden als Isentropengleichungen bezeichnet.
Abb. 5.6:
Isentrope Zustandsänderung (1) → (2) eines idealen Gases im p,vund im T,s-Diagramm (vgl. Langeheinecke et al., 1999, S. 146)
Abb. 5.6 zeigt die isentrope Zustandsänderung eines idealen Gases im p,v- und im
T,s-Diagramm. Im p,v-Diagramm ist die Isentrope eine Parabel. Für einen gegebenen Zustandspunkt, z. B. Punkt (1) im p,v-Diagramm der Abb. 5.6, verläuft sie steiler
als die entsprechende Isotherme. Die Fläche zwischen der Isentropen und der
v97
Achse stellt die negative spezifische Volumenänderungsarbeit −wV12 und die Fläche
zwischen der Isentropen und der p-Achse das Integral vdp bzw. die spezifische
Druckänderungsarbeit wP12 dar. Im T,s-Diagramm existiert wegen q12 + j12 = 0 keine
Fläche zwischen der Zustandsänderungslinie und der Abszisse.
Für ideale Gase ist laut Gl. 3.54 und 3.55 du = cV⋅dT und dh = cP⋅dT. Setzt man
dies in Gl. 5.27 ein, so folgt daraus der Isentropenexponent für ideale Gase:
κ
dh
du
=
=
cP
cV
(Gl.5.34)
Er ist identisch mit dem Verhältnis von isobarer und isochorer Wärmekapazität und
damit eine Stoffgröße. Da stets cP > cV gilt, ist κ > 1.
Geschlossenes System
Eine isentrope Zustandsänderung in einem geschlossenen System kann man sich
als verlustfreien Kompressionsprozess in einem sehr gut isolierten, d. h. adiabaten
Zylinder vorstellen.
Zur Berechnung der Volumenänderungsarbeit geht man ähnlich vor, wie bei der isothermen Zustandsänderung: Gl. 5.29 wird nach p(v) umgestellt und in das Integral
der spezifischen Volumenänderungsarbeit eingesetzt. Schließlich erhält man, auch
unter Zuhilfenahme der thermischen Zustandsgleichung des idealen Gases und der
Isentropengleichungen 5.28, 5.32 und 5.33 diverse Berechnungsgleichungen für die
spezifische Volumenänderungsarbeit bei isentroper Zustandsänderung eines idealen
Gases mit konstanter spezifischer Wärmekapazität:
wV 12
κ −1


R ⋅ T1  p 2  κ
− 1
=
⋅  


κ − 1  p1 


(Gl. 5.35)
wV 12
κ −1

R ⋅ T1  v1 
− 1
=
⋅  
κ − 1  v 2 


(Gl. 5.36)
wV 12 =
R
⋅ (T − T1 ) = c V ⋅ (T2 − T1 )
κ −1 2
(Gl. 5.37)
Welche dieser Gleichungen zur Berechnung herangezogen wird, hängt davon ab,
welche Größen in der Aufgabenstellung gegeben sind.
Der erste Hauptsatz für geschlossene Systeme reduziert sich wegen q12 = 0 und
j12 = 0 für die isentrope Zustandsänderung auf die Beziehung:
wV 12
=
u2 − u1
(Gl. 5.38)
98
Stationärer Fließprozess
Ein Beispiel für eine isentrope Zustandsänderung bei einem stationären Fließprozess
ist ein verlustfreier Kompressionsprozess, der in einem sehr gut isolierten, d. h. adiabaten Turbokompressor stattfindet.
Für die spezifische Druckänderungsarbeit bei einer isentropen Zustandsänderung
eines idealen Gases mit konstanter spezifischer Wärmekapazität lassen sich die folgenden Berechnungsgleichungen finden:
wP 12
κ −1


κ


p
κ
2

− 1
=
⋅ R ⋅ T1 ⋅  


κ −1
p 
 1

(Gl. 5.39)
w P 12
 v  κ − 1

− 1
=
⋅ R ⋅ T1 ⋅  1 
κ −1
 v 2 

(Gl. 5.40)
wP 12 =
κ
κ
⋅ R ⋅ (T2 − T1 ) = cP ⋅(T2 − T1 )
κ −1
(Gl. 5.41)
Vergleicht man die Gln. 5.39 bis 5.41 mit den Gln. 5.35 bis 5.37, so stellt man fest,
dass für isentrope Zustandsänderungen wP12 = κ ⋅ wV12 gilt.
Der erste Hauptsatz für stationäre Fließprozesse und die Gleichung für die spezifische technische Arbeit reduzieren sich und unter Vernachlässigung von äußeren
Energien bei isentroper Zustandsänderung auf:
wt 12 = h2 − h1
(Gl. 5.42)
und
wt 12 = wP 12
(Gl. 5.43)
99
5.6
Polytrope Zustandsänderung
Wenn man die bisher behandelten speziellen Zustandsänderungen des idealen Gases zusammen in ein p,v-Diagramm und ein T,s-Diagramm einträgt, siehe Abb. 5.7,
so zeigt sich, dass sich diese Zustandsänderungslinien als zu einem Kurvenbüschel
gehörend ansehen lassen.
Abb. 5.7:
Spezielle Zustandsänderungen idealer Gase im p,v- und im T,sDiagramm (Langeheinecke et al., 1999, S. 148)
Die speziellen Zustandsänderungen können als Spezialfälle eines allgemeinen Gesetzes aufgefasst werden:
p ⋅ vn
=
konst .
mit
−∞ ≤ n ≤ +∞
(Gl. 5.44)
Gl. 5.44 wird als Polytropengleichung und die durch sie beschriebenen Kurven als
Polytropen bezeichnet. Der in Gl. 5.44 enthaltene Exponent n heißt Polytropenexponent. Es bedeuten:
n
n
n
n
=
=
=
=
0
1
κ
∞
p
T
s
v
=
=
=
=
konst.
konst.
konst.
konst.
isobare Zustandsänderung
isotherme Zustandsänderung
isentrope Zustandsänderung
isochore Zustandsänderung
Eine polytrope Zustandsänderung mit beliebigem Polytropenexponenten n kann
praktisch zu jedem denkbaren Ort, d. h. Zustand im p,v-Diagramm und im T,sDiagramm führen. Der technisch wichtige Bereich polytroper Zustandsänderungen
liegt jedoch zwischen 1 ≤ n ≤ κ, d. h. zwischen der isothermen und der isentropen
Zustandsänderung. Es bedeutet n = 1 eine ideal gute Wärmeübertragung und n = κ
eine ideal gute Isolierung. Beides ist in technischen Anlagen nur näherungsweise zu
verwirklichen, weil weder eine exakte Temperaturkonstanz noch eine völlige Wärmeisolierung möglich sind.
100
Formal ist die Polytropengleichung, Gl. 5.44 — wenn man n mit κ identifiziert —
wie die Isentropengleichung, Gl. 5.29, aufgebaut. Die Bedeutung der beiden Exponenten ist dabei aber völlig verschieden:
Die Größe κ ist durch die thermodynamischen Eigenschaften des Fluids, beim idealen Gas durch die Wärmekapazitäten cP und cV, als Zahlenwert festgelegt.
Durch den Polytropenexponenten n versucht man eine aufgrund eines technischen
Prozesses vorliegende Zustandsänderung auf einfache Weise mathematisch zu approximieren und damit berechenbar zu machen.
Polytrope Zustandsänderungen unterliegen zunächst keinen Beschränkungen. Für
sie gilt im Allgemeinen, dass q12 und j12 nicht null sind. Im Speziellen können Zustandsänderungen jedoch auch durch adiabate Polytropen oder dissipationsfreie Polytropen beschrieben werden.
Polytropengleichungen für ideale Gase
Analog zu den Gleichungen der isentropen Zustandsänderung lassen sich mit Hilfe
der thermischen Zustandsgleichung des idealen Gases verschiedene Darstellungen
der Polytropengleichung angeben:
n
p 
v1
=  2
v2
 p1 
v 
p2
=  1 ;
p1
 v2 
v 
T2
=  1
T1
 v2 
p 
T2
=  2
T1
 p1 
1
n
(Gl. 5.45 a, b)
1
n −1
;
n −1
n
 T  n −1
v1
=  2
v2
 T1 
(Gl. 5.46 a, b)
n
;
 T  n −1
p2
=  2
p1
 T1 
(Gl. 5.47 a, b)
Manchmal muss der Polytropenexponent aus gegebenen Zustandsgrößen bestimmt
werden. Das ist z. B. der Fall, wenn ein neuer Verdichter entwickelt und gebaut wurde. Für diese Maschine kennt der Hersteller den Polytropenexponenten zunächst
nicht. Auf dem Prüfstand werden deshalb z. B. Eintrittsdruck und -temperatur sowie
Austrittsdruck und -temperatur gemessen. Aufgrund dieser Daten lässt sich der Polytropenexponent mit Hilfe von Gl. 5.47 berechnen. Stellt man diese Gleichung nach
n um, so folgt:
ln
n =
p1
p2
p
T
ln 1 − ln 1
p2
T2
(Gl. 5.48)
101
Geschlossene Systeme
Für die bei Prozessen in geschlossenen Systemen wichtige spezifische Volumenänderungsarbeit erhält man bei polytroper Zustandsänderung idealer Gase:
wV 12
n −1


R ⋅ T1  p 2  n
− 1
=
⋅  

n − 1  p1 


(Gl. 5.49)
wV 12
n −1

R ⋅ T1  v1 
− 1
=
⋅  
n − 1  v 2 


(Gl. 5.50)
wV 12 =
R
⋅ (T2 − T1 )
n −1
(Gl. 5.51)
Für die polytrope Zustandsänderung gilt der erste Hauptsatz für geschlossene Systeme in seiner allgemeinen Form:
q12 + w12
=
u2 − u1
mit
=
wV 12 + j12
w12
(Gl. 5.52)
Stationäre Fließprozesse
Für die bei stationären Fließprozessen wichtige spezifische Druckänderungsarbeit
erhält man bei polytroper Zustandsänderung idealer Gase::
w P 12
n −1


n


p
n
2

− 1
=
⋅ R ⋅ T1 ⋅  
 p1 

n −1


(Gl. 5.53)
w P 12
 v  n − 1

n
− 1
=
⋅ R ⋅ T1 ⋅  1 
n −1
 v 2 

(Gl. 5.54)
wP 12 =
n
⋅ R ⋅ (T2 − T1 )
n −1
(Gl. 5.55)
Vergleicht man die Gln. 5.53 bis 5.55 mit den Gln. 5.49 bis 5.51, so stellt man fest,
dass für polytrope Zustandsänderungen wP12 = n ⋅ wV12 gilt.
Für die polytrope Zustandsänderung gilt der erste Hauptsatz für stationäre Fließprozesse in seiner allgemeinen Form:
102
(
)
(
)
1
2
2
⋅ c 2 − c1 + g ⋅ z 2 − z1
2
1
2
2
= j12 + w P 12 + ⋅ c 2 − c1 + g ⋅ z 2 − z1
2
q12 + w t 12 = h2 − h1 +
(
mit
w t 12
5.7
Kreisprozesse
)
(
)
(Gl. 5.56)
Die bisher behandelten Zustandsänderungen wurden mit dem Fluid jeweils einmal
durchgeführt, wobei sich sein Zustand von (1) nach (2) änderte. Aus einer bestimmten Arbeitsmittelmenge kann dabei nur einmalig ein gewisser Betrag an Arbeit gewonnen werden. Das gilt sowohl für offene, als auch für geschlossene Systeme.
Viele Maschinen arbeiten periodisch, d. h. ein bestimmter Prozess wird immer wieder
durchlaufen, wobei z. B. laufend Arbeit abgegeben werden kann. Um eine derartige
Wiederholung zu erreichen, ist es erforderlich, den Ausgangszustand des Arbeitsmediums wiederherzustellen, d. h. den Anfangsdruck, die Anfangstemperatur usw.. Eine
solche Folge von Prozessen, durch die schließlich der Anfangszustand wieder erreicht wird, nennt man Kreisprozess. Im p,v-Diagramm und im T,s-Diagramm ist er
durch einen geschlossenen Linienzug darstellbar, Abb. 5.8.
Abb. 5.8:
Kreisprozess im p,v-Diagramm und im T,s-Diagramm
Wir definieren: Ein Kreisprozess ist eine Folge von Zustandsänderungen, durch die
der Ausgangszustand wieder hergestellt wird.
Ein Prozess, der eine von (1) nach (2) abgelaufene Zustandsänderung auf demselben Weg von (2) nach (1) wieder rückgängig macht, wird dabei mindestens dieselbe
Arbeit zugeführt werden müssen, wie zuvor auf dem Weg von (1) nach (2) abgeführt wurde.
Bei der technischen Realisierung eines Kreisprozesses läuft häufig ein Arbeitsmittel
als stationär strömendes Fluid um. Ein Beispiel dafür ist die in Abb. 5.9 skizzierte
Dampfkraftanlage, bei der Wasserdampf als Arbeitsmittel im Dampferzeuger konti103
nuierlich Wärme aufnimmt und in der Turbine bei starker Enthalpieabnahme mechanische Arbeit abgibt. Im Kondensator wird dem Fluid Wärme entzogen, und die Speisepumpe pumpt das Kondensat wieder in den Dampferzeuger.
Abb. 5.9:
Dampfkraftanlage als Beispiel eines Kreisprozesses
Bei diesem Prozess durchströmt das stationär umlaufende Fluid die hintereinander
geschalteten offenen Systeme Dampferzeuger, Turbine, Kondensator und Speisepumpe.
Wir betrachten einen Teilprozess des gesamten Kreisprozesses, z. B. die Turbine
aus Abb. 5.9. Die Zustände am Ein- und Austritt sollen durch die Indizes i und i + 1
gekennzeichnet sein. Für das stationär umlaufende Fluid lässt sich für diesen Teilbereich der erste Hauptsatz in gewohnter Weise, z. B. in spezifischen Größen angeben:
q i , i +1 + w t i , i +1 = h i + 1 − h i +
(
)
(
1
2
2
⋅ c i +1 − c i + g ⋅ z i +1 − z i
2
)
(Gl. 5.57)
Die Endgrößen des einen Teilprozesses sind die Anfangsgrößen des nächsten Teilprozesses. Summiert man über alle Teilprozesse und beachtet, dass der Endzustand
des Fluids nach dem Durchlauf mit dem Ausgangszustand übereinstimmen muss, so
verschwindet die rechte Seite von Gl. 5.57 und wir erhalten:
∑q
i , i +1
+
∑w
t i , i +1
= 0
(Gl. 5.58)
Handelt es sich um differentiell kleine Zustandsänderungen, aus denen der Gesamtprozess zusammengesetzt ist, so tritt an die Stelle der Summation eine Integration
(Kreisintegral)
104
∫ dq
+
∫ dw
t
= 0
(Gl. 5.59)
Definition der spezifischen Kreisprozessarbeit:
Als spezifische Kreisprozessarbeit wKP wollen wir die Summe der technischen Arbeiten der Teilprozesse bzw. das Kreisintegral über dwt definieren:
w KP ≡
∑w
t i , i +1
=
∫ dw
t
(Gl. 5.60)
Erster Hauptsatz für Kreisprozesse:
Den ersten Hauptsatz für Kreisprozesse erhalten wir dann in der Schreibweise
− w KP =
∑q
i , i +1
=
∫ dq
(Gl. 5.61)
Die negative Kreisprozessarbeit ist gleich der algebraischen Summe aller vom Arbeitsfluid aufgenommenen und abgegebenen spezifischen Wärmen.
Die gesamte bei einem Kreisprozess ausgetauschte spezifische Wärme lässt sich in
einen Anteil qzu, der alle zugeführten Teilwärmen enthält, und einen Anteil qab, der
alle vom Fluid abgegebenen Teilwärmen enthält, aufspalten:
∑q
i , i +1
= q zu + q ab
(Gl. 5.62)
Die Energiebilanz für den Kreisprozess nimmt dann die Form an:
− w KP = q zu + q ab
1. HS für Kreisprozesse
(Gl. 5.63)
Die spezifische Kreisprozessarbeit −wKP ist gleich der Summe aus der dem Arbeitsmittel zugeführten und der von ihm abgegebenen spezifischen Wärmen.
Es ist zu beachten, dass sich hinter den abgegebenen spezifischen Wärmen negative Zahlenwerte verbergen.
Wenn die Summe aus zu- und abgeführter Wärme qzu + qab > 0 ist, dann gibt der
Kreisprozess Arbeit ab. Dies ist in Wärmekraftanlagen der Fall, wo kontinuierlich
Wärme in Arbeit umgewandelt wird. Abb. 5.9 zeigt solch eine Anlage. Die Energieumwandlung in einer Wärmekraftanlage lässt sich in einem Energieflussdiagramm — einem sog. SANKEY-Diagramm — veranschaulichen, siehe Abb. 5.10.
105
Abb. 5.10:
SANKEY-Diagramm des Kreisprozesses einer Wärmekraftanlage
Die Güte der Energieumwandlung wird durch den thermischen Wirkungsgrad angeben.
η th =
abgeführte Kreisprozessarbeit
energetischer Nutzen
=
zugeführte Wä rme
energetischem Aufwand
η th =
w KP
q zu
=
q zu − q ab
q zu
= 1 −
q ab
q zu
(Gl. 5.64)
Die Größe ηth ist ein Umwandlungsfaktor für Wärme in Arbeit. Er ist immer wesentlich
kleiner als eins.
Wenn die Summe aus zu- und abgeführter Wärme qzu + qab < 0 ist, dann nimmt der
Kreisprozess Arbeit auf. Derartige Verhältnisse liegen in Kälteanlagen und Wärmepumpen vor. Aus Abb. 5.11 ist der prinzipiell ähnliche Aufbau wie bei einer Dampfkraftanlage erkennbar.
106
Abb. 5.11:
Kälteanlage / Wärmepumpe als Beispiel eines Kreisprozesses
Hier muss insgesamt Arbeit aufgewendet werden, um Wärme entgegen dem natürlichen Temperaturgefälle auf ein höheres Temperaturniveau zu transportieren. Die
Güte des Transportes wird durch die Leistungsziffer ε angegeben. Obwohl Kälteanlagen und Wärmepumpen technisch identisch sind, ist die Leistungsziffer bei Kälteanlagen etwas anders definiert als bei Wärmepumpen:
εK =
q zu
q zu
=
> 0
w KP
q ab − q zu
εW =
q ab
w KP
=
q ab
q ab − q zu
> 1
(Gl. 5.65)
(Gl. 5.66)
Der Unterschied der Leistungsziffern von Kälteanlage und Wärmepumpe ist in dem
unterschiedlichen energetischen Nutzen begründet:
Bei einer Kälteanlage arbeitet der Kreisprozess zwischen dem zu kühlenden Raum
und der Umgebung, Abb. 5.12 a. Aus dem zu kühlenden Raum wird Wärme auf das
Temperaturniveau der Umgebung gefördert. Der energetische Nutzen ist hierbei die
Wärme, die dem Kreisprozess aus dem zu kühlenden Raum zugeführt wird.
Bei einer Wärmepumpe arbeitet der Kreisprozess zwischen der Umgebung und einem zu beheizenden Raum, Abb. 5.12 b. Aus der Umgebung wird Wärme auf das
höhere Temperaturniveau des zu beheizenden Raumes gefördert. Der energetische
Nutzen ist in diesem Fall die vom Kreisprozess an den Raum abgegebene Wärme.
107
Abb. 5.12:
SANKEY-Diagramme der Kreisprozesse einer Kälteanlage
und einer Wärmepumpe
Bei der bisherigen Behandlung wurde der Kreisprozess als aus einer Folge von stationären Fließprozessen bestehend angenommen. Man kann sich leicht vorstellen,
dass die gleichen Überlegungen auch für ein geschlossenes System gelten, über
dessen Grenzen in einem Zyklus nacheinander Energie in Form von Wärme und Arbeit wechseln, so wie es beispielsweise bei Kolbenmotoren der Fall ist.
Rechtsläufige und linksläufige Kreisprozesse:
Hinsichtlich des Umlaufsinns im p,v- und T,s-Diagramm unterscheidet man zwischen
rechtsläufigen und linksläufigen Kreisprozessen. Bei einem rechtsläufigen
Kreisprozess ist die spezifische Kreisprozessarbeit wKP < 0, d. h. das System gibt
Arbeit ab. Bei einem linksläufigen Kreisprozess ist wKP > 0, d. h. das System nimmt
Arbeit auf. In Wärmekraftanlagen laufen Rechtsprozesse ab. In Kälteanlagen und
Wärmepumpen durchläuft das Arbeitsmedium einen Linksprozess.
Dissipationsfreier Kreisprozess:
Bei verlustfreien Kreisprozessen lässt sich die technische Arbeit jedes differentiellen
Teilschritts unter Vernachlässigung äußerer Energien als
108
dw t = dw P = v ⋅ dp
(Gl. 5.67)
darstellen. Für die Kreisprozessarbeit folgt damit nach der Definition von Gl. 5.60:
w KP =
∫ dw
t
=
∫ v dp
(Gl. 5.67)
Das bedeutet: Bei einem verlustfreien Kreisprozess eines stationär umlaufenden
Fluids ist im p,v-Diagramm die von der Zustandsänderungslinie eingeschlossene
Fläche mit dem Betrag der spezifischen Kreisprozessarbeit identisch.
In ähnlicher Weise lässt sich mit Hilfe der Beziehungen des zweiten Hauptsatzes
zeigen: Bei einem verlustfreien Kreisprozess ist im T,s-Diagramm die von der Zustandsänderungslinie eingeschlossene Fläche mit dem Betrag der spezifischen
Kreisprozessarbeit identisch.
Abb. 5.13:
Darstellung der spezifischen Kreisprozessarbeit
im p,v- und T,s-Diagramm
Die bislang getroffenen Aussagen gelten für alle Kreisprozesse gleichermaßen.
Möchte man nun z. B. wissen, wie groß der thermische Wirkungsgrad eines
rechtsdrehenden Kreisprozesses ist, so hängt die Beantwortung dieser Frage von
der konkreten Realisierung des Kreisprozesses ab. Es gibt einige technische Lösungen für Rechtsprozesse, die alle dasselbe Ziel haben, Wärme in Arbeit umzuwandeln, dies aber mit unterschiedlicher Effizienz tun. So ist bei gleicher abgeführter
Kreisprozessarbeit der thermische Wirkungsgrad eines Dieselprozesses höher als
109
der eines Ottoprozesses, was sich beim Dieselmotor durch einen niedrigeren Treibstoffverbrauch bemerkbar macht.
Im Folgenden sei der CARNOT-Prozess als Beispiel für einen rechtslaufenden
Kreisprozess vorgestellt. Dieser historisch älteste Kreisprozess wurde 1824 von dem
Franzosen CARNOT vorgeschlagen. Als Rechtsprozess ist er ein Arbeitsprozess für
Wärmekraftanlagen, der aus den folgenden dissipationsfreien Teilprozessen besteht:
Abb. 5.14:
(1)
(2)
(3)
(4)
→
→
→
→
(2)
(3)
(4)
(1)
Darstellung des CARNOT-Prozesses im p,v- und T,sDiagramm sowie Verfahrensschema zu seiner Durchführung
isentrope Kompression
isotherme Expansion mit Wärmezufuhr
isentrope Expansion
isotherme Kompression mit Wärmeabfuhr
Abb. 5.14 zeigt die Darstellung des Prozesses im p,v- und im T,s-Diagramm und das
Schaltschema der Wärmekraftanlage. Bei der Expansion in der Turbine wird dem
System Wärme bei konstanter Temperatur zugeführt. Bei der isothermen Kompression im Verdichter wird Wärme bei konstanter Temperatur abgeführt. Für die einzelnen
110
Teilprozesse des stationär und verlustfrei umlaufenden Fluids können unter der Voraussetzung eines idealen Gases mit konstanter spezifischer Wärmekapazität (z. B.
Helium) die spezifische technische Arbeit und die übertragene spezifische Wärme
angegeben werden (äußere Energien sind vernachlässigt):
(1) → (2): isentrope Kompression
w t 12 =
κ
κ −1
q12 = 0
R (T2 − T1 )
(2) → (3): isotherme Expansion T2 = T3
w t 23 = − q 23 = R ⋅ T2 ⋅ ln
(3) → (4): isentrope Expansion
w t 34 =
κ
κ −1
q34 = 0
R (T4 − T3 ) =
(4) → (1): isotherme Kompression
w t 41 = − q 41 = R ⋅ T4 ⋅ ln
Es gilt
p3
p2
κ
κ −1
R (T1 − T2 ) = − w t 12
T4 = T1
p1
p
= R ⋅ T4 ⋅ ln 2
p4
p3
p1
p
= 2 , weil für ideale Gase die Isobaren im
p4
p3
T,s-Diagramm horizontal parallel verlaufen.
Die spezifische Kreisprozessarbeit des CARNOT-Prozesses lässt sich sowohl aus
der Summe der spezifischen technischen Arbeiten als auch aus der negativen Summe der spezifischen Teilwärmen q berechnen:
wKP = w t 12 + w t 23 + w t 34 + w t 41 = R ⋅ (T2 − T4 ) ln
p3
p2
= R ⋅ (T2 − T4 ) ln
p3
p2
wKP = − q 23 − q 41
Der thermische Wirkungsgrad des rechtslaufenden CARNOT-Prozesses lautet damit:
η th,C =
wKP
q zu
η th,C = 1 −
=
T4
T2
− R (T2 − T4 ) ln p3 p 2
− R T2 ln p3 p 2
bzw.
(Gl. 5.68)
Der thermische Wirkungsgrad des CARNOT-Prozesses ist unabhängig von den Eigenschaften des Arbeitsmittels. Er hängt nur von den Temperaturen T2 (Temperatur
der Wärmezufuhr) und T4 (Temperatur der Wärmeabfuhr) ab, zwischen denen er ver111
läuft. Für eine Temperatur der Wärmeabfuhr von T4 = 0 K wird er gleich eins, d. h.
die gesamte zugeführte Wärme würde in Arbeit verwandelt werden. Im Allgemeinen
ist die Temperatur T4 jedoch mit der Umgebungstemperatur identisch, so dass schon
deswegen der thermische Wirkungsgrad deutlich kleiner als eins wird. Um einen guten Wirkungsgrad zu erzielen, muss die Wärme dem Prozess bei möglichst hoher
Temperatur T2 zugeführt werden.
Der CARNOT-Prozess ist der Kreisprozess, der den höchstmöglichen thermischen
Wirkungsgrad liefert. Seiner technischen Realisierung stehen allerdings verschiedene verfahrenstechnische Hindernisse im Wege. Er hat damit lediglich akademischen
Wert. Der auch als CARNOT-Faktor bezeichnete thermische Wirkungsgrad des
CARNOT-Prozesses wird als Maßstab für die Wirkungsgrade von technisch realisierbaren Kreisprozessen verwendet. Er stellt die Wirkungsgradgrenze dar, die von
einem wirklichen Prozess aufgrund der Beschränkungen, die durch den zweiten
Hauptsatz der Thermodynamik vorgegeben sind, bestenfalls erreicht werden kann.
Geht man z. B. von der höchsten und niedrigsten Temperatur im Kreisprozess eines
Dampfkraftwerkes aus, tmax = 600 °C (873 K) und tmin = 30 °C (303 K), so hätte ein
zwischen diesen Temperaturen geführter CARNOT-Prozess einen thermischen Wirkungsgrad von
η th, C = 1 −
303 K
= 0, 653 ,
873 K
d. h., maximal 65,3 % der zugeführten Brennstoffenergie, die in der Feuerung eines
realen Kraftwerkes freigesetzt und an den Wasser-/Dampf-Kreisprozess übertragen
wird, kann in Kreisprozessarbeit und damit in elektrischen Strom umgewandelt werden. Der tatsächliche thermische Wirkungsgrad eines Dampfkraftwerkes, das zwischen den angegeben Grenztemperaturen arbeitet, liegt mit etwa 48 % deutlich
niedriger.
Es ist für rechtsläufige Kreisprozesse charakteristisch, dass für ihre Durchführung
nicht nur eine Wärmequelle mit möglichst hohem Temperaturniveau vorhanden sein
muss, sondern ebenso eine Wärmesenke mit möglichst niedriger Temperatur, um
Kreisprozessarbeit zu gewinnen. Die Wärmesenke, d. h. die Wärmeabfuhr an die
Umgebung (Abwärme), ist für den Prozess zwingend erforderlich, da das Kreisprozessfluid ohne sie seinen Ausgangszustand nicht wieder erreichen kann. Es kann
somit nicht gelingen die einem Kreisprozess zugeführte Wärme vollständig in Kreisprozessarbeit umzuwandeln. Im Gegensatz dazu ist es durchaus möglich, mechanische Energie über einen Reibungsvorgang vollständig in Wärme umzuwandeln.
Es scheint offenbar ein grundsätzlicher Unterschied zwischen der Wandlung von Arbeit in Wärme und deren Umkehrung, der Wandlung von Wärme in Arbeit, zu bestehen.
Kontrollfragen
112
5.1
Eine Gasflasche mit offenem Ventil erwärmt sich in der Sonne. Welche Systemeigenschaft und welche Zustandsänderung ist für dieses System zutreffend?
5.2
Bei welcher reversiblen Zustandsänderung ist die spezifische technische Arbeit gleich der spezifischen Volumenänderungsarbeit?
5.3
Ein ideales Gas soll in einem stationären Fließprozess verlustfrei verdichtet
werden. Ist es hinsichtlich der aufzuwendenden technischen Arbeit günstiger,
den Verdichtungsprozess isotherm oder isentrop zu führen? Benutzen Sie für
Ihre Überlegungen ein p,v-Diagramm.
5.4
Eine Turbine gibt über ihre Welle technische Arbeit und über ihr Gehäuse
Wärme ab. Bei der Expansion des Arbeitsmittels sinken Druck und Temperatur. Durch welche Zustandsänderung kann dieser Prozess beschrieben werden? Wie heißt die maßgebliche Größe?
5.5
Was versteht man unter einem Kreisprozess? Welche grundlegenden thermodynamischen Aufgaben können mit Hilfe von Kreisprozessen bewältigt werden?
5.6
Welchen Stellenwert hat der CARNOT-Prozess als Wärmekraftprozess für die
Praxis und für die vergleichende Betrachtung?
113
Übungsaufgaben
5.1
In einem geschlossenen System sollen m = 5 kg Luft ausgehend von
t1 = 20 °C, p1 = 1 bar auf p2 = 6 bar verdichtet werden, und zwar:
a) isotherm
b) isentrop
c) polytrop mit n = 1,2
In allen Fällen soll die Zustandsänderung dissipationsfrei erfolgen. Die Luft soll
sich wie ein ideales Gas mit R = 287 J/(kg K) und cP = 1006 J/(kg K) verhalten.
Gesucht sind: wV12, T2, q12.
5.2
Ein Turboverdichter verdichtet Luft [ideales Gas, R = 287 J/(kg K), cP = 1004
J/(kg K) = konst.] von einem Zustand p1 = 2 bar, T1 = 293 K auf einen Druck
von p2 = 5 bar. Die Zustandsänderung sei polytrop, der Polytropenexponent ist
n = 1,2. Der Massenstrom der Luft beträgt 0,1 kg/s, die Durchmesser von Ansaugleitung und Druckleitung sind d1 = 100 mm bzw. d2 = 70 mm. Ein- und
Austrittsstutzen befinden sich auf gleicher Höhe.
a) Es sind die thermischen Zustandsgrößen sowie die Ein- und Austrittsgeschwindigkeiten zu berechnen.
b) Wie groß ist die zuzuführende spezifische technische Arbeit wt12, wenn
5 % davon dissipiert werden?
c) Wie groß ist die ausgetauschte spezifische Wärme q12?
114
•
5.3
Ein Luftstrom von V 1 = 10 m³/h wird von einer Kaltluftanlage zur Raumkühlung
aus einem zu kühlenden Raum angesaugt. Der Zustand der Luft in dem Raum
ist p1 = 1 bar, T1 = 278 K. Die Luft wird in aufeinander folgenden stationären
Fließprozessen den nachstehenden Zustandsänderungen unterworfen (linkslaufender JOULEProzess):
(1)
(2)
(3)
(4)
Isentrope Verdichtung im Turbokompressor auf p2 = 2 bar.
Isobare Abkühlung in einem Wärmeübertrager auf T3 = 310 K.
Isentrope Expansion in einer Turbine auf p4 = 1 bar.
Isobare Wärmezufuhr im zu kühlenden Raum auf T1 = 278 K.
Die Luft kann in dem betrachteten Zustandsbereich als ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten behandelt werden.
R = 287 J / (kg K)
cP = 1004 J / (kg K)
κ = 1,4
Luftfeuchtigkeit, Dissipation und äußere Energien sind in allen Teilprozessen
zu vernachlässigen.
a) Zeichnen Sie das Verfahrensschema der Kaltluftanlage
b) Stellen Sie den Kreisprozess im p,v- und im T,s-Diagramm dar.
c) Wie groß ist die höchste und niedrigste Temperatur?
d) Wie groß sind die zu- und abgeführten Wärmeströme?
e) Welche Leistung benötigt der Verdichter?
f)
Welche Leistung gibt die Turbine ab?
g) Berechnen Sie die Kreisprozessleistung PKP.
h) Welche Leistungsziffer εK hat die Kälteanlage?
115
Lösungshinweise zu den Aufgaben des 5. Kapitels
Aufgabe 5.1
a)
isotherme Zustandsänderung
wV 12 = p1 ⋅ v1 ln
wV 12 = 287
p2
p
= R ⋅ T1 ln 2
p1
p1
6 bar
J
kJ
⋅ 293,15 K ln
= 150,75
kg K
1 bar
kg
T2 = T1 = 293,15 K ;
t 2 = 20 ° C
1. HS für geschlossene Systeme:
q12 + wV 12 = u2 − u1 = 0
(wegen T1 = T2)
q12 = − wV 12 = − 150,75 kJ
b)
isentrope Zustandsänderung
wV 12
mit
R ⋅ T1
=
κ −1
κ =
287
wV 12 =
κ −1


κ


p
 2 
− 1
 p1 



cP
cP
=
=
cV
cP − R
J
⋅ 293,15 K
kg K
0,4
1006
J
kg K
J
(1006 − 287)
kg K
= 1,4
0, 4


1, 4


6
bar
kJ

− 1 = 140,61

 1 bar 
kg


q12 = 0 , da isentrop = adiabat + reversibel
p 
T2 = T1 ⋅  2 
 p1 
κ −1
κ
 6 bar 
= 293,15 K ⋅ 

 1 bar 
0, 4
1, 4
= 489,12 K
t 2 = 215,97 ° C
116
c)
polytrope Zustandsänderung
p 
T2 = T1 ⋅  2 
 p1 
n−1
n
0, 2
 6 bar  1, 2
= 395,17 K
= 293,15 K ⋅ 

 1 bar 
t 2 = 122,02 ° C
wV 12 =
R
(T2 − T1 ) =
n −1
wV 12 = 146,40
J
kg K
(395,17 − 293,15) K
0,2
287
kJ
kg
q12 + wV 12 = u2 − u1
q12 = cV ⋅ (T2 − T1 ) − wV 12
q12 = 719
kJ
kJ
J
(395,17 − 293,15) K − 146,4 = − 73,05
kg K
kg
kg
Aufgabe 5.2
a)
Zustand (1): ideales Gas → Thermische Zustandsgleichung
J
R T1
kg K
m3
v1 =
=
= 0,4205
J
p1
kg
2 ⋅ 10 5 3
m
287
p1 v1 = R T1
→
•
m = ρ 1 c1 A1 =
•
4 m ⋅ v1
c1 =
b)
d1 ⋅ π
2
c1 ⋅ A1
v1
0,1
=
d1 ⋅ π
4
2
mit
kg
m3
⋅ 0,4205
s
kg
2
2
0,1 m ⋅ π
A1 =
= 5,35
m
s
Zustand (2): polytrope Zustandsänderung (1) → (2)
1
p1 v1 = p 2 v 2
n
n
 p n
v 2 = v1  1 
 p2 
→
1
m 3  2 bar  1, 2
m3
= 0,1960
v 2 = 0, 4205


kg  1 bar 
kg
117
thermische Zustandsgleichung:
p 2 v 2 = R T2
5 ⋅ 10 5
T2 =
p2 v 2
R
T2 =
→
J
m3
⋅
0
,
196
kg
m3
= 341,5 K
J
287
kg K
•
m = ρ 2 c 2 A2 =
c 2 ⋅ A2
v2
d2 ⋅ π
4
2
A2 =
mit
kg
m3
0,1 ⋅ 0,196
4 m ⋅ v2
s
kg
=
c2 =
2
2
2
0,07 m ⋅ π
d2 ⋅π
•
b)
= 5,09
m
s
spezifische technische Arbeit (ohne potentielle Energien)
wt 12 = j12 + wP 12 +
mit
(
1 2
2
c 2 − c1
2
)
j12 = 0,05 ⋅ wt 12
für polytrope Zustandsänderung ist:
c)
wP12 =
n
J
⋅ R ⋅ (T2 − T1 ) = 83259
n −1
kg
wt 12 =
1 
1
J
2
2 
w
c
c
,
+
−
=
87639
62
P
12
2
1

0,95 
2
kg

(
spezifische Wärme →
q12 + wt 12 = h2 − h1 +
q12 = h2 − h1 +
(
)
1. HS für stat. Fließprozesse
(
1 2
2
c 2 − c1
2
)
)
1
2
2
c 2 − c1 − wt 12
2
kalorische Zustandsgleichung für ideales Gas mit cP = konst.
h2 − h1 = c P ⋅ (T2 − T1 ) = 48718,25
J
kg
q12 = ( 48718,25 − 11,6 − 87639,62)
J
kJ
⋅ 10 −3
kg
J
q12 = − 38,933
kJ
kg
d. h., die Wärme wird vom Verdichter abgeführt.
118
Aufgabe 5.3
a)
Verfahrensschema der Kaltluftanlage
3
2
isobare Abkühlung
isentrope
Entspannung
isentrope
Verdichtung
1
b)
zu kühlender
Raum
4
p,v- und T,s-Diagramm
T
p
3
2
2
3
4
1
4
1
s
v
c)
Höchste und niedrigste Temperatur
Aus T,s-Diagramm ist zu ersehen: T2 = Tmax und T4 = Tmin
Mit Isentropengleichung für ideale Gase folgt
für Verdichtung:
p 
T2 = T1 ⋅  2 
 p1 
für Entspannung:
p 
T4 = T3 ⋅  4 
 p3 
κ −1
κ
κ −1
κ
= 338,89 K
= 254,3 K
119
d)
Zu- bzw. abgeführte Wärmeströme
1. HS für stat. Fließprozesse (2) → (3): isobare Abkühlung
q 23 = h3 − h2 = c P (T3 − T2 ) = − 29005,56
J
kg
•
V 1 ⋅ p1
1
kg
m = V1 ⋅
=
= 0,00348
v1
R ⋅ T1
s
•
•
•
•
Q 23 = m ⋅ q23 = − 100,94 W
abgeführter Wärmestrom
1. HS für stat. Fließprozesse (4) → (1): isobare Wärmezufuhr
q 41 = h1 − h4 = c P (T1 − T4 ) = 23794,8
•
•
Q 41 = m ⋅ q 41 = 82,81 W
e)
J
kg
zugeführter Wärmestrom
Leistung des Verdichters
1. HS für stat. Fließprozesse (1) → (2):
•
•
P12 = m ⋅ ( h2 − h1 ) = m ⋅ c P (T2 − T1 ) = 212,74 W
f)
Leistung der Turbine
1. HS für stat. Fließprozesse (3) → (4):
•
•
P34 = m ⋅ ( h4 − h3 ) = m ⋅ c P (T4 − T3 ) = − 194,61 W
g)
Kreisprozessleistung
PKP = P12 + P34 = 212,74 W − 194,61 W = 18,13 W
h)
Leistungsziffer
•
εK =
Q zu
PKP
J
s = 4,57
=
J
18,13
s
82,81
120