Abschätzung der Dichte von Summenmengen (Zweite Mitteilung).

MATHEMATISCHE
ZEITSCHRIFT
U N T E R
STÄNDIGER
M I T W I R K U N G
E. K A M K E
K.
TÜBINGEN
V O N
KNOPP
TÜBINGEN
R. N E V A N L I N N A
E. SCHMIDT
HELSINKI
BERLIN
F. K. SCHMIDT
HEIDELBERG
H E R A U S G E G E B E N
V O N
H . W I E L A N D T
TÜBINGEN
W I S S E N S C H A F T L I C H E R
W.BLASCHKE
H.KNESER
L. F E J E R
W.MAGNUS
B E I R A T
A.E.INGHAM
0. P E R R O N
W.SÜSS
B E R L I N . GÖTTINGEN . H E I D E L B E R G
S P R I N G E R - V E R L A G
1956
I n h a l t des 64. Bandes
Seite
B A U M A N N , V . , Eine nichtlineare I n t e g r o d i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g der Wärmeübertragung
bei Wärmeleitung u n d -Strahlung
353
B E H R E N S , E . - A . , Zur a d d i t i v e n Idealtheorie i n nichtassoziativen Ringen
169
' G A R L I T Z , L . , A r i t h m e t i c properties of elliptic functions
425
E B E L , I . , A n a l y t i s c h e B e s t i m m u n g der Darstellungsanzahlen natürlicher Zahlen
d u r c h spezielle ternäre quadratische F o r m e n m i t Kongruenzbedingungen . . . 2 1 7
E I C H L E R , M . , Der
körpers
Hilbertsche
Klassenkörper
eines imaginärquadratischen
Zahl-
G A I E R , D . , Über die Äquivalenz der j B
229
k
j-Verfahren
183
G A I E R , D . , Über die k o n f o r m e A b b i l d u n g veränderlicher Gebiete
385
G R O O T , J. D E , A System of Continuous, M u t u a l l y N o n - d i f f e r e n t i a b l e F u n c t i o n s .
.
.192
G U N D L A C H , K . - B . , Poincaresche u n d Eisensteinsche Reihen zur H i l b e r t s c h e n M o d u l gruppe
339
H E R R M A N N , O., Über den R a n g der Schar der Spitzenformen zu Hilbertschen M o d u l gruppen
457
H S I U N G , C H . - C H . , A theorem on surfaces w i t h a closed b o u n d a r y
41
H U P P E R T , B., Über die Auflösbarkeit faktorisierbarer G r u p p e n . I I I
138
J A C O B S , K . , Ergodentheorie u n d fastperiodische F u n k t i o n e n auf H a l b g r u p p c n . .
. 298
J U R K A T , W . , u n d A . P E Y E R I M H O F F , L o k a l i s a t i o n bei absoluter Cesäro-Summierbart
k e i t v o n Potenzreihen, u n d trigonometrischen Reihen. I I
151
K A R Z E L , H . , Über eine Anordnungsbeziehung am Dreieck
K A S C H , F., Abschätzung der D i c h t e v o n Summenmengen (Zweite M i t t e i l u n g )
131
. .
. 243
K R U L L , W . , Über geordnete G r u p p e n v o n reellen F u n k t i o n e n
K U N L E , H . , Über 7^-Figuren i n einem quadratischen K o m p l e x
10
270
L A M P R E C H T , E., Z e t a f u n k t i o n e n symmetrisch-erzeugbarer algebraischer F u n k t i o n e n körper mehrerer Veränderlicher
47
L A U G W I T Z , D . , Über einen Abbildungssatz v o n B. Sz.-Nagy
72
M C M J N N , T. J-, O n figures of e q u i l i b r i u m cf r o t a t i n g liquids
286
N E U M E R , W . , Z u r K o n s t r u k t i o n v o n Ordnungszahlen. V
435
P E R R O N , O., Über Potenzsummen
103
P U T N A M , C. R., A N o t e on Inverses of D i f f e r e n t i a l Operators
149
R I B E N B O I M , P., Sur une note de Xagata relative a i m probleme de K n i l l
R I N G E L , G., Teilungen der Ebene durch Geraden oder topologische Geraden . . . .
S I N G H , V . , Convergence Theorems for a Generalized Laplace I n t e g r a l
W E I E R , J., Über Zerlegung eindimensionaler Xullstellengebilde
W I L A N S K Y , A.,
und
K . ZELLER,
Abschnittsbeschränkte
starke L i m i t i e r b a r k e i t
15 59
779
1
'IIIS
Matrixtransformationen;
-2 5; 58
W^ITT, E . , D i e U n t e r r i n g e der freien Lieschen Ringe
11995
Z E L L E R , K . , Über den perfekten Teil v o n W i r k f e l d e r n
112 23
KASCH,
V.
M a t h . Zeitschr. B d . 64,
S. 243—257 (1956)
Abschätzung der Dichte von Summenmengen
(Zweite M i t t e i l u n g )
Von
FRIEDRICH
§1.
KASCH
Fragestellung
I n einer kürzlich erschienenen A r b e i t m i t d e m gleichen T i t e l [2] ) habe i c h
Abschätzungen der D i c h t e v o n Summenmengen, bei denen einer der S u m manden eine Basis endlicher O r d n u n g der natürlichen Zahlen ist, aufgestellt.
R i c h t u n g g e b e n d für diese Untersuchungen w a r eine V e r m u t u n g v o n P. E R D Ö S ,
die folgendes besagt: I s t 31 eine Menge natürlicher Zahlen der D i c h t e oc,
53 eine die 0 enthaltende Basis der natürlichen Zahlen der m i t t l e r e n O r d n u n g X u n d y die D i c h t e der Summenmenge E = 9t + 93, d a n n g i l t )
1
2
I n (I) habe i c h Verbesserungen der bisherigen Abschätzungen angegeben,
ohne jedoch diese V e r m u t u n g erreichen zu können.
Inzwischen bemerkte i c h , daß m a n die Schlußweise aus (I) so weit ausbauen k a n n , daß d a m i t (1.1) für hinreichend kleine oc n i c h t n u r erreicht,
sondern übertroffen w i r d . Genauer: Zu jedem X gibt es ein positives
Intervall
0 < a < a , ivo eine bessere Abschätzung
als (1.1) gilt. Eine entsprechende
Aussage besteht auch für die asymptotischen Dichten und die asymptotische
mittlere
Ordnung.
A
Der Beweis b e r u h t auf einer Verallgemeinerung der i n (I) aufgestellten
u n d als G r u n d f o r m e l n bezeichneten Abschätzungen. A u s diesen v e r a l l gemeinerten G r u n d f o r m e l n k a n n d a n n auf zwei verschiedenen Wegen das
genannte Ergebnis hergeleitet werden. Bei dieser H e r l e i t u n g können w i r uns
i m wesentlichen auf die ausführliche D a r s t e l l u n g i n (I) stützen. Es werden
hier die gleichen Voraussetzungen u n d Bezeichnungen wie i n (I) b e n u t z t .
Außerdem setzen w i r hier sogleich a > 0 u n d X>\ voraus, da sonst diese
t r i v i a l e n Fälle die F o r m u l i e r u n g erschweren.
Z u m Schluß deuten w i r an, wie unsere Überlegungen auf G i t t e r p u n k t mengen i m r-dimensionalen R a u m ausgedehnt werden können. Das ist
insofern v o n Interesse, als es bisher n i c h t gelungen ist, Dichteabschätzungen
für die Summenmenge v o n zwei beliebigen Mengen positiver D i c h t e i n dieser
R i c h t u n g zu v e r a l l g e m e i n e r n ) .
3
) Diese Arbeil: w i r d i m folgenden m i t (I) z i t i e r t .
) Siehe [6], S. 7 ; tatsächlich h a t P. E R D Ö S diese V e r m u t u n g für die O r d n u n g h an
Stelle v o n A ausgesprochen.
) I n dieser R i c h t u n g liegt i n der L i t e r a t u r lediglich eine A r b e i t v o n L . C H E O [ 7 ]
v o r ; d o r t w i r d eine Verallgemeinerung der ScHNiRELMANNSchen Ungleichung auf den
1
2
3
244
FRIEDRICH KASCH:
§ 2. D i e k o m p l e m e n t ä r e n Grundformeln
1. D i e Verallgemeinerung gegenüber (I) besteht v o r a l l e m darin, d a ß j e t z t
an Stelle der Mengen 21 u n d 21 i n der D e f i n i t i o n der F u n k t i o n e n D(m),
E(m)
u n d E(m) beliebige Mengen ^3, G m i t
« g 5 ß £ 0 £ G = « + 33
t r e t e n . Dies sei also i m folgenden der F a l l . Ferner seien n eine feste natürliche Z a h l u n d m eine natürliche Z a h l m i t 1 <;m<Ln.
Definitionen:
D (m)
sei gleich der A n z a h l der verschiedenen Paare (p, q) m i t
p 6
E(m)
und q — p
p^^(n),
E(m)
m\
sei gleich der A n z a h l der verschiedenen Paare (p, q) m i t
u n d q — p = m\
q^d(n)
sei gleich der A n z a h l der verschiedenen Paare (ft, q) m i t
p£?ß(n),
q££l(n)
u n d q —p = m.
Aus diesen D e f i n i t i o n e n erhält m a n u n m i t t e l b a r die
Folgerungen:
1. D (m) ist gleich der A n z a h l der Zahlen p £ *ß (w) m i t
2. D ( m ) ist gleich der A n z a h l der Zahlen q£Q(n)
+
(w);
mit q — m £ $ ( « ) ;
3. £ (m) ist gleich der A n z a h l der Zahlen ^ £ $ (w) m i t ^ + m £ £ l ( n ) ;
4. £ (w) ist gleich der A n z a h l der Zahlen q £ Q(w) m i t q~m£
Aus der 1. u n d 3. F o l g e r u n g ergibt sich offenbar die Gleichung D (m)
— P{n — m), also
(2.1)
Z> (ra) = P(n — m) —
Entsprechend erhält
Q {n) — Q (m), also
(2.2)
man
aus
der
D (m) =Q(n)-Q
2.
+
E(m).
u n d 4. Folgerung D (m)E
(m) -
^(w).
(m)—-
E(m).
Die weiteren Überlegungen zielen darauf ab, i n (2.1) u n d (2.2) D (vi) nach
oben u n d die rechten Seiten nach u n t e n abzuschätzen.
2. Es soll also zunächst D(m) nach oben abgeschätzt werden, wobei die
Basiseigenschaft v o n SS b e n u t z t w i r d .
H i l f s s a t z 1. I s t t eine natürliche Z a h l m i t \<Lt<m
(2.3)
D (m) <D{t)+D
(2.4)
D (b) ^C(n)~Q
(m - t ) + Q(n)(n) + P(n)
u n d b € 33, dann g i l t
P{n),
-A(n).
zweidimensionalen F a l l u n t e r der Voraussetzung vorgenommen, daß eine der beiden
betrachteten Mengen alle ganzzahligen P u n k t e einer der p o s i t i v e n Halbachsen e n t h ä l t ;
i n diesem Falle läßt sich die lineare Schlußweise anwenden. Darüber hinaus w i r d gezeigt,
daß eine genaue Verallgemeinerung des Satzes v o n H . B . M A N N auf die Ebene n i c h t
möglich ist.
245
Abschätzung der D i c h t e v o n Summenmengen. I I
B e w e i s . Z u m Beweis v o n (2.3) stützen w i r uns auf die 1. Folgerung.
Es sei p eine Z a h l , die i n D (m) gezählt w i r d , d . h . p + m = q £ £i(n). I s t bereits
p + t££l(n),
dann w i r d p i n D(t) gezählt. I s t jedoch p -{-1€ &(n), so u n t e r scheiden w i r zwei Fälle.
1. F a l l , p + t liegt bereits i n 5ß(w): ^ + t = p' £ 5ß(^). D a n n w i r d p' i n
£>(w — t) gezählt, denn es ist p -{-m — t=-p m
=q^£i(n).
Z u beachten ist
dabei, daß die so zugeordneten Zahlen p' für verschiedene p verschieden sind.
f
J
r
2. F a l l , p + t liegt [ i n £ } ( « ) , aber] n i c h t i n ?ß{n). D i e A n z a h l aller Zahlen
aus
die n i c h t i n 5ß(n) liegen, ist offenbar gleich Q(n) — P(n).
Damit
ist (2.3) vollständig bewiesen.
Z u m Beweis v o n (2.4) sei b £ 93 (n) u n d p + b=qC:Q
wieder zwei Fälle.
(n). W i r unterscheiden
1. F a l l , p liegt bereits i n %{n) :p = a. D a n n ist a + b = q ein E l e m e n t aus
fi(w), das n i c h t i n O(w) liegt, u n d die A n z a h l aller Elemente aus
die
n i c h t i n Q(w) liegen, ist gleich C(w) — Q(n).
2. F a l l .
ist ein E l e m e n t aus
das n i c h t i n
liegt. D i e A n z a h l
aller derartigen Elemente ist gleich P(n) — A(n).
D a m i t ist (2.4) bewiesen.
Sei n u n m = b -\
hfy(m) (6* G 93) eine nach Voraussetzung existierende
D a r s t e l l u n g v o n m> so besteht auf G r u n d v o n (2.3) u n d (2.4) die U n g l e i c h u n g
1
D(m)^l{m){C(n)
= l{m){C(n)
-
Q(n) + P(n) -
-
A(n)}-{Q{n)
A(n)}
-
+ {l{m)
-
\}{Q{n)
-
P{n)}
P(n)}.
Daraus erhält m a n d u r c h S u m m a t i o n v o n 1 bis k<Ln
D e f i n i t i o n der m i t t l e r e n O r d n u n g X\
u n t e r B e a c h t u n g der
k
(2.5)
ZD(m)<Xk{C{n)
-
A(n)}
-
k{Q(n)
-
P(n)}.
m= l
3. Es sollen n u n die rechten Seiten v o n (2.1) u n d (2.2) nach u n t e n abgeschätzt werden. W i r setzen
(2.6)
r(k)
2
=
P(m) {Q(m
L
+ k + \) -
Q(m +
/*)}*),
w = l
n
(2.7)
A(n)
und
entsprechend
(2.8)
T{k)
=
=" i
p{m){Q{m
1
+ k + \)-Q(
m
+
k)},
ra = 1
(2.9)
Ä(n)=
Z
E(m).
m= l
) Eine Summe, bei der die untere Summationsgrenze größer als die obere ist, sei
gleich N u l l . (Dies ist hier für k = 11 — 1 u n d k = n der Fall.)
4
Mathematische Zeitschrift. Bd. 64
17
246
FRIEDRICH
H i l f s s a t z 2.
KASCH:
Es gelten die folgenden Beziehungen:
k
(2.10) J
E[m)
=A(n)-r(k)
z( * )
P{
m=l
(2.11) 2
M
E
=A(n)-
+ {Q(n)
]
\
<, (ÖW
r{k)
-
P(n)}
P(n) -
r{k);
/
z
+ {P(n)
- Q (n)}Q(n)
-
F(k].
B e w e i s . W i r beweisen zunächst die i n (2.10) u n d (2.11) links stehenden
Gleichungen. F ü r k = n — 1 u n d k = n s i n d diese offenbar erfüllt. F ü r k<n — 2
ist z u m Beweis der i n (2.10) auftretenden Gleichung offenbar
2
(2.12)
EM
=T(k)
2
=
m=k-j-l
+ k + 1) -
p{m){Q{m
1
Q{m +
k)}
m= l
nachzuweisen. N a c h D e f i n i t i o n v o n E(m) werden i n der l i n k s stehenden
Summe alle verschiedenen Paare (p, q) m i t p£ $ (n), q(z£l(n) u n d q — p ^>k + 1
gezählt. Die A n z a h l dieser Paare ist bei f e s t e m q offenbar gleich P(q — k — 1).
D u r c h S u m m a t i o n über alle q^£l(n) m i t # ; > £ + 2 (denn n u r solche q k o m m e n
wegen p > 0 i n Frage) erhält m a n
2
2
£(w)=
m=*+ l
<7€&(n)
<?^A + 2
Wegen
( 1 falls w G O
O(w) — Olm — 1) = <
. „
. _
*
[ 0 falls w (f O
v
7
v
v
;
folgt daraus
n
»
2
2
E(m)=
1)}
-
—
m —k + 2
w = /j-j-l
=" 2
? W
+ * + 1) -
Q{m + *)} = T(/e),
w o m i t (2.12) bewiesen ist. D i e gleiche Überlegung für die komplementären
Mengen liefert die i n (2.11) stehende Gleichung.
Z u m Beweis v o n (2.10) u n d (2.11) sind noch die Abschätzungen
(2.13)
A (») =
(2.14)
2(n)=Z
Z
E(m) < (
E(m)<( )
f ) + {Q(n)+ {P(n)
Qi n)
2
m—1
P
P(n)}
P(n),
-Q(n)}Q(n)
'
n
nachzuweisen. I n 2 E(m) werden alle verschiedenen Paare (p, q) m i t p 6
q(z£i{n)
u n d q — p>0
(p p') m i t p p'^ ^{n)
}
)
Es
i
bleibt
gezählt. Wegen S ß ^ ö werden dabei auch alle Paare
u n d p'—p>0
gezählt, u n d diese A n z a h l ist gleich
dann noch die A n z a h l
der Paare (p,q)
mit
p(z ${n),
s
Abschätzung der D i c h t e v o n Smnmenmengen. I I
247
qxzO.(n), aber q$ty(n)
u n d q — p>0
abzuschätzen. L ä ß t m a n die F o r d e r u n g
q — p > 0 fallen, so ist diese A n z a h l genau gleich {Q(n) — P(n)} P(n). D a m i t
ist (2.13) bewiesen. Z u m Beweis v o n (2.14) beachte m a n 0 ^ $ u n d schließe
sinngemäß.
4. Aus (2.1), (2.5) u n d (2.10) erhält m a n die folgende
1. G r u n d f o r m e l ) :
5
M -1
(n) —- A{n)}-k{Q(n)
Xk{C
-
P(n)}
>
£
P(m)
+
(2.15)
+
H
2
m
1
P (m) { Q (m + k + i)-Q
(m + k)}-
) - {Q
(
(n)-P(n)}P(n).
'
Entsprechend folgt aus (2.2), (2.6) u n d (2.11) die
2. G r u n d f o r m e l :
-
Xk{C{n)
^(n)} -
-
> kQ (») -
P(n)}
V £
{
m
)
+
(2.16)
2
P(«){g(ffl+*+l)-?(<« + * ) } - ( ' "
Ö
)
) -{P(«)-<?W}öW.
F ü r $ ß = 0 = 9l erhält m a n daraus die G r u n d f o r m e l n aus ( I ) . I m f o l genden sollen die G r u n d f o r m e l n i n den Spezialfällen $ = 2(, Ö = E u n d
^ = 0 = G ausgewertet werden.
s
S
§ 3 . A u s w e r t u n g der 1. Grundformel für
=
Ei, =
6.
1. Das Ziel dieses Paragraphen ist der Beweis der folgenden Abschätzungen:
Finiter Fall.
(3.1)
Setzt m a n
cAa) = - . ± . 1 ^ ± ^ - ,
1
c (a, X) 3
c (a)
i
2
r-
,
dann gilt
0.2)
C
^>a(l+c (a,A).l--A)« .
Asymptotischer Fall.
tionen die U n g l e i c h u n g
(3.3)
3
)
Besteht m i t den d u r c h (3.1) gegebenen F u n k -
( A * - l ) ] / i * + a*|-|-(l + a * ) -
|/a*}>a*(l + a*)(l + c ( a * , A * ) ^ " - ) ,
3
d a n n gilt
(3-4)
y * I> a* ( l + c (a*, A*)
z
1
^ *
).
D i e Voraussetzung (3.3), die i m f i n i t e n F a l l f e h l t , stellt keine wesentliche
3
Einschränkung dar, denn z . B . für A * l > l2 ist sie bereits identisch i n <x*
5
6
) Man beachte F u ß n o t e 4 auf S. 245.
) I n (I) wurde diese Ungleichung m i t ^(oc) an Stelle v o n c (cc, X) hergeleitet.
z
17*
248
FRIEDRICH KASCH :
erfüllt, u n d z u jedem kleineren /* g i b t es eine positive Z a h l a * , so d a ß (}.3)
für alle a * < o c * r i c h t i g i s t .
Das Wesentliche an c (oc, X) ist die Tatsache, d a ß
3
(3.5)
limc (a,A)=
+
8
gilt.
Daraus u n d aus der vorhergehenden B e m e r k u n g f o l g t , d a ß es zu jedem
X bzw.
die
positive Zahlen a bzw. a** g i b t , so daß für alle a < a
A
A
bzw. oc*<ocJ*
ERDÖssche V e r m u t u n g (1.1) b z w . die entsprechend asymptotische U n -
gleichung übertroffen werden.
I n der A b b i l d u n g i n ( I ) ist c (oc, /) für A= $Falle k a n n OLX>gewählt
eingetragen.
1
3
I n diesem
werden.
2. A l s H i l f s m i t t e l z u m Beweis leiten w i r j e t z t einen Reduktionssatz her,
der auch an sich v o n Interesse i s t .
Reduktionssatz.
Zahlen.
und
Es
sei <p(a) eine
für 0 < [ o c < I l
monoton
von oc, und es sei 93 eine die 0 enthaltende Menge
Funktion
Gilt dann für alle Mengen
alle natürlichen
Zahlen
nichtnegativer
ganzer Zahlen
M i n —— =
n mit
i = l,...,n
die
i
wachsende
nichtnegativer
ganzer
21 mit 1 £ 2f,
Ungleichung
n
(A + B) (n) > <p(<x) n,
wobei (A + B) (n) die Anzahlfunktion
der Summenmenge
21 + 93 und a die
Dichte von 21 seien, dann gilt diese Ungleichung
für alle natürlichen
Zahlen n ).
1
B e w e i s . I n d u k t i o n nach n. F ü r n = i g i l t die B e h a u p t u n g nach V o r aussetzung; sie sei bis n — \ bewiesen. Sei 21 eine beliebige Menge m i t I G 2 t ,
A (i)
A (n)
d a n n können w i r M i n — ) ' <
i
*=l , . . . , n
nach Voraussetzung g i l t .
V ~ annehmen,
d a die B e h a u p t u n g
sonst
n
W i r d das M i n i m u m für i = m angenommen, so i s t
0
A im )
folglich m <n.
Ferner können w i r ohne Einschränkung
= o c annehmen,
o
da dies sonst d u r c h Auffüllen der Menge 2( v o n der Z a h l n + 1 ab erreicht
werden k a n n ; dies ändert nichts a n (^4 + B) (n), u n d die D i c h t e v o n 2( w i r d
dabei höchstens vergrößert. Insbesondere g i l t d a n n a > 0 . W i r betrachten
j e t z t die Menge 2( = { a — m } m i t # £ 2 1 , a>m .
F ü r diese g i l t
A (r)
= A(r + m ) — A(m ) !> (r + m ) a — m cc = ra,
(r = 1 , 2, . . . ) ,
also o c ; > o c > 0 , w e n n a die D i c h t e v o n 2( bezeichne. F ü r r = l folgt 1 G 2 ( .
N a c h I n d u k t i o n s v o r a u s s e t z u n g h a t m a n daher
(A + B) (n - m ) > 90 (a ) (n - m ) > <p(ct) (n - m ).
0
0
m
0
0
0
0
0
0
0
Q
0
0
0
0
0
0
0
0
0
) D e r Satz g i l t auch, w e n n m a n n i c h t l £ 2 l u n d n u r (A - f B) (n) I> q>(<x)n fordert. —
Der Beweisgedanke für diesen Satz f i n d e t sich i n anderer F o r m bereits bei D . R A I K O V [ J ]
(beim Beweis des Analogon z u m oc — ß-Theorem), wo Dichtesätze für Mengen reeller Zahlen
bewiesen werden. — Es sei darauf hingewiesen, daß sich die Basisabschätzungen i n [5],
bei denen der Beweis v o n E R D Ö S - L A N D A U [4] i n die mengentheoretische
Sprechweise
übertragen w i r d , d u r c h Übertragung unserer Überlegungen i n analoger Weise verschärfen
lassen.
7
Zusatz
bei der Korrektur:
Wie
Reduktionssatz auch b e k a n n t .
m i r H e r r E . W I R S I N G m i t t e i l t e , w a r i h m vorstehender
Abschätzung der D i c h t e v o n Summen mengen. I I
249
L i e g t eine natürliche Z a h l r<Ln — m i n 9t + 93, so liegt r + w
zwar i m I n t e r v a l l m < r
m <L n; also g i l t
0
0
J
0
r
0
^ + ®»
u n c
^
0
+ B) (n -
(A
m
0
m ) <(A
+ B) (n) -
ö
(A + B)
(m ).
0
Die beiden letzten Ungleichungen zusammen liefern die B e h a u p t u n g .
W i r weisen darauf h i n , daß auf G r u n d dieses Satzes die Beweise der A b schätzungen i n (I) i m f i n i t e n F a l l vereinfacht werden können, da d a d u r c h
die M i n i m a l b e t r a c h t u n g [ ( I ) , S. 377] b e i m Beweis v o n (1.1.8) u n d die U n t e r suchung des K o e f f i z i e n t e n v o n A(n) [ ( I ) , S. 383] b e i m Beweis v o n (1.1.9)
überflüssig werden.
3. Z u m Beweis v o n (3.2) gehen w i r v o n der 1 . G r u n d f o r m e l (2.15) aus, i n
der w i r .p = 91 u n d D = £ setzen :
s
,
n—k—l
n-1
2
(X-\)k{C{n)-A{n)}^>
2
A{m)+
m—n—k
+ k + 1 ) - C(m +/*)}
A{m){C{m
-
m=l
~-( f )-{C(n)-A(n)}A(n).
A ]
Wegen
aus ().6)
gilt C(m + k + i) -C(m
folgt:
(X-i)k{C{n)-A(n)}^>
+ k) ^A(m
% A(m) +
m—n—k
£
+ k + 1) —A(m + k), so daß
A(m){A(m
+k+\)
l
- A(m +k)}
-
m=l
-lff)-{C{n)-A{n)}A[n).
Bis auf den Summanden — {C(n) — A(n)}A(n)
s t i m m t die rechte Seite dieser
U n g l e i c h u n g m i t der rechten Seite v o n (1.3-1) überein; links steht j e t z t jedoch
der F a k t o r X — 1 an Stelle v o n X i n ( I . 3 . I ) . W i r machen j e t z t die Voraussetzung
— 2 u n d können d a n n die auf (1.3-1) folgende Schlußweise u n t e r
gewissen Einschränkungen für den vorliegenden F a l l übernehmen. E i n e r
erneuten R e c h t f e r t i g u n g bedürfen die d o r t i m Anschluß an (1-3-5) gemachten
Voraussetzungen.
Zunächst k a n n auch j e t z t a < l ^ angenommen werden, da sonst bereits
Cj(a) besser als c (a, X) ist. Ferner k a n n
angenommen werden, wie j e t z t
gezeigt werden soll. I s t C(n)=n,
so f o l g t (3.2) u n m i t t e l b a r aus der T a t sache, daß
a ( l + < (a, X) ~ ) < a + |/a(l - a ) < 1
3
1
3
a
g i l t . Dies ist wegen 1 G 2( u n d 1 6 93 für n = i u n d n = 2 der F a l l , sowie für
ra = 3, wenn 9 i ( 3 ) = ( = { l } ist. Sei n u n 91(3) = { 1 } ; d a n n ist a ^ £ . F ü r A < f
müssen die Zahlen 1 u n d 2 i n 93 e n t h a l t e n sein, so daß auch j e t z t C(3) = 3
f o l g t . Sei also A ^ > f ; d a n n g i l t
s
C(3)
^
2
^afl
^
+
,
T
1 .
,
4- (1 - \)
^ ) > a ( l
Es darf also j e t z t n ] > 4 vorausgesetzt werden.
+
c (a,A) -).
3
1
250
FRIEDRICH KASCH
Ferner k a n n auch j e t z t qn ^ 1 angenommen w e r d e n . I s t gn = ] / a ( l +]/oc)
< 1 , so h a t m a n wegen w I> 4 die Schranke oc < TT .
^
C(n)
2
2J/a
>
Es
1
n
ist dann zunächst
.
k a n n die U n g l e i c h u n g
bewiesen werden, so ist m a n f e r t i g .
(3-8)
1
2
l
p
a
Diese ist r i c h t i g , falls
> N J a
i l)
g i l t , denn es ist
l/a(j/ä + 1) = a + 1 / ° ^ a + ; (
D i e U n g l e i c h u n g (3.8)
^ a ( l + c,(a, A) * .
U
a
).
g i l t aber wegen a < r f .
W i r können n u n ebenso wie i m Anschluß an (1.3-5) weiterschließen u n d
erhalten i n Analogie z u (1-3.7)
X-1)
{
{(i - «) Q + a} - -£L > ((A - 1) {(1 - a) Q + « } + « { 1 - (1 - a) <>})
-
C
_ 1±«.
+ Ü ^ i L
Setzt m a n d a r i n p =
^
(X -
(2 -
e
e
) - (1 + « ) { C ( « ) -
A(n)
}
V
.
*,._ ein, so f o l g t
1 -f- |/a
1
ö
i) ]/a - ^ L > ((A AJp)
X
1) 1/a + a { \ (1 + a) (l-a )a
2
h
(1 + oc) £ > ) X
C
Vä(l~J^(2-a-Vä)
(1 - a ) " ~
*
2
" n "
]/a} -
¥
4 (n)
A u f G r u n d des Reduktionssatzes können w i r d a r i n
u n d d a n n e r g i b t sich u n m i t t e l b a r (3.2).
~A_L d u r c h oc ersetzen
I m asymptotischen F a l l erhält m a n d u r c h eine entsprechende Überlegung
eine F o r m e l , die aus
(3.9)
hervorgeht, wenn m a n d a r i n
überall oc d u r c h
a'==a — s, X d u r c h X =X-\-jti
ersetzt u n d ein Restglied K/n
auf der rechten
f
Seite a d d i e r t .
I n dieser F o r m e l darf ---A- ~ d u r c h a' ersetzt werden, w e n n
der K o e f f i z i e n t v o n
,
11
11
n i c h t n e g a t i v ist.
I s t dieser K o e f f i z i e n t jedoch
negativ, so sichert Voraussetzung (3.3) unsere B e h a u p t u n g ; dabei hat m a n
zu berücksichtigen, daß e u n d fi so k l e i n gewählt w e r d e n k ö n n e n , daß auch
für die gestrichenen Größen auf der l i n k e n Seite v o n (3.3) diese U n g l e i c h u n g
r i c h t i g b l e i b t . D u r c h Grenzübergang folgt schließlich
(3-4).
Es soll darauf hingewiesen werden, daß c (a, X) [ b z w . c (oc*, A * ) ] n i c h t der
3
3
beste F a k t o r ist, den m a n auf diesem Wege herleiten k a n n . E i n e Verbesserung
läßt sich erreichen, i n d e m m a n Q n i c h t n u r i n A b h ä n g i g k e i t v o n oc, sondern
251
Abschätzung der D i c h t e von Summenmengen. I I
auch noch v o n X ( u n d e v e n t u e l l y) wählt. Das führt jedoch zu sehr unübersichtlichen F o r m e l n ; der so z u gewinnende F a k t o r h a t außerdem auch n u r
wieder die Eigenschaft, für a - > 0 gegen
— z u streben.
W i r wollen daher
n i c h t weiter auf diese Möglichkeit eingehen.
§ 4 . A u s w e r t u n g der Grundformeln für *ß = Et ==ß.
1. W i e
u n d (2.16)
$=:0 = S
wie i n (I)
schon e r w ä h n t , erhält m a n die G r u n d f o r m e l n i n (I) aus (2.15)
für $ = 0 = 91. W i r betrachten hier die aus (2.15) u n d (2.16) für
folgenden Abschätzungen, bei denen auf der rechten Seite s t a t t A
j e t z t überall C s t e h t :
n-k-1
n-1
£
Xk{C(n)-A(n)}^>
C(m) +
2
C(m) { C ( m + k + 1)
-
(4.1)
-C(*
*
(4.2)
Xk{C(n)-A(n)}^kC{n)~-
+ * ) } - (
c
W ) ;
n-k-l
£
2,C(m)+
m= l
C(m){C(m
+
k+i)-
»»=1
Während i n (I) aus den G r u n d f o r m e l n die Abschätzungen
CM
_
n
>
.
a
+
/ \ oc (1 — cc)
C
iM
C{n)
n
J
.
>
.
+
a
x
C l
( 1
~
a
)
a ( l — a)
X
hergeleitet w o r d e n w a r e n , erhält m a n j e t z t aus (4.1) u n d (4.2) die folgenden
Abschätzungen, die a u c h a n sich v o n Interesse s i n d :
(4.3)
<•>' > « - i
(4.4)
< > > >,
<-,(>>) ' ' • r ' \
( ,
i , (l-y) '
J
;
;
,
1
; ''
.
;
Entsprechend erhält m a n i m asymptotischen F a l l :
(4.5)
y* ^ a * +
(4.6)
y*>%* '• r, (1 - -/*)
C l
(y*)
USl^L,
" *' ) .
r
8
Bei der A n d e u t u n g des Beweises der entsprechenden F o r m e l i n ( I ) (Beweis v o n c*,
S. 3 8 4 ) , habe i c h irrtümlich geschrieben, daß die S C H N I R E L M A N N S C I I C Ungleichung auch
i m asymptotischen Falle gelte. Das ist b e k a n n t l i c h i m allgemeinen n i c h t der F a l l u n d
w i r d auch gar n i c h t b e n u t z t . Tatsächlich gebraucht w i r d sie i n ( I ) n u r für a* > \ u n d
ß* 1> f | (also X* < f f ) » da die B e h a u p t u n g sonst u n m i t t e l b a r aus der zu (1.4.10)
analogen asymptotischen F o r m e l f o l g t . Aber bereits für a* > i und ß* ^> -g- ergibt sich
ihre Gültigkeit aus d e m D i c h t e s a t z v o n M . K N E S E R [3] (oder auch aus schwächeren A b schätzungen). — Bei dieser Gelegenheit sei noch auf zwei D r u c k f e h l e r i n ( I ) hingewiesen;
auf S. 3 7 0 , 7- Zeile v . u . m u ß es , , H . R O H R B A C H [8]" (statt [10]) u n d auf S. 3 7 6 , 3- Zeile
v . u. „A. S T Ö H R [ 2 7 ] " ( s t a t t [13]) l a u t e n .
252
FRIEDRICH KASCH :
D i e Beweise können — abgesehen v o n einer V e r e i n f a c h u n g — fast u n m i t t e l bar aus (I) (§§ 3, 4) übernommen w e r d e n ; m a n h a t d o r t auf der rechten Seite
der Abschätzungen n u r überall A(n),aL, ... d u r c h die entsprechenden Größen
C(n),y, ... zu ersetzen. M a n m u ß sich l e d i g l i c h k l a r m a c h e n , d a ß die d o r t
für A(n),aL, ... gemachten Voraussetzungen a u c h für C(n),y,
... gelten. Das
soll j e t z t erfolgen.
W i r betrachten zunächst den f i n i t e n F a l l .
W e g e n a < 1 u n d 1 £ 53 g i l t
Cin)
stets—A~-->a; (4-3) u n d (4.4) sind also für y = i erfüllt, so d a ß analog zur
Voraussetzung über a i n (I) j e t z t 0 < y < l vorausgesetzt w e r d e n k a n n .
Darüber hinaus k a n n j e t z t noch die zusätzliche V o r a u s s e t z u n g gemacht
Cin)
werden, daß y für einen endlichen W e r t n v o n ~ - — a n g e n o m m e n w i r d .
Ist
Cln)
n
dies nämlich n i c h t der F a l l , d a n n g i l t offenbar y = y* u n d —^->y
(» = 1 , 2 , . . . ) ;
die f i n i t e n Abschätzungen (4-3) u n d (4.4) folgen d a n n wegen oc*;>a u n d
aus den asymptotischen Abschätzungen (4.5) u n d (4.6).
Die Ungleichungen (4.1) u n d (4.2) w e r d e n n u n für eine Z a h l n m i t — i ~ ~ = y
analog zur Schlußweise i n ( I , § § 3 , 4) a b g e s c h ä t z t , w o b e i allerdings j e t z t keine
M i n i m u m b e t r a c h t u n g e n n o t w e n d i g s i n d , die, w i e i m Anschluß an den R e d u k tionssatz schon erwähnt, auch i n (I) wegfallen können.
Entsprechend schließt m a n auch i m a s y m p t o t i s c h e n F a l l . So w i r d z . B .
die auf ( I . 3 . H ) folgende M i n i m u m b e t r a c h t u n g j e t z t d u r c h die folgende Ü b e r legung ersetzt. N a c h D e f i n i t i o n v o n y * g i b t es eine u n e n d l i c h e Folge v o n
Cin)
natürlichen Zahlen n m i t — ^ — > y * , die d a n n z u vorgegebenem
hinreichend großes n
y' = y * genügen.
£< -~~
C
<y*
+ £ =
e >0
für
y"
I n der ( I . 3 . I I ) entsprechenden U n g l e i c h u n g
U'{
+ y'd
e
-
'
)}
e
C
(
_ 1±L
(4 ?)
M
> z / { 1
-
(i -
("'. + . . ( W ) /
c 2
2
/) }
-
e
- )+K
e{2
1
e
u n d bei d e m folgenden Grenzübergang n - > 0 0 seien n u r solche Z a h l e n n berücksichtigt. Aus (4.7) folgt d a n n
X'{
-
+
Q
)}
e
(/' -
«') > { 1 -
(1 -
/ ) }y'*
-
Q
1
•/
y"*
Setzt m a n o = — — ein, so erhält m a n
^
1 -f }ly
y
-
^
woraus (4-5) f o l g t .
(1 + ] / r )
2
X
lXfy>
7
8
^
n '
+
253
Abschätzung der D i c h t e v o n Summenmengen. I I
2. A u s (4-3) u n d (4.5) können wieder Abschätzungen v o n y b z w . y* durch
Ausdrücke i n oc b z w . a* hergeleitet werden. Es seien
Ci (*) =
\*\ ?
•
x)
>•(*) =
'
o{x)
, JV--(1
= x[\+Cy(x)
2x)c (x)}*-4x(\
4
4
0
4 V
u v
• x)4(x)
n
2. Cn \X)
c (x) = c (x, X) = c (X)
'
'
X — c0{x)
4V
j ^ J - f ) ,
1
X
'
{1
—
c (*) =
0
C l
- U - ( l
(a{%))
2x)c (x)}].
0
—r- .
Ix
—
v(x)}
Wegen l i m a(x) = 0 g i l t l i m c (x) = 1 ; daraus f o l g t l i m v (x) = 0 sowie
0
(4.8)
limc (*)=4
r
A
T
.
M i t diesen F u n k t i o n e n gelten die folgenden U n g l e i c h u n g e n :
(4.9)
y > a ( l + c
(4.10)
4
( a , A ) l ^ ) ,
y * > a* ( l + c (oc*, A*) 1 ^ ? 4
Es ist k l a r , d a ß die U n g l e i c h u n g e n (4-9) u n d (4.10) r i c h t i g bleiben, w e n n
m a n v(<x) b z w . v(<x*) d u r c h größere Zahlen ersetzt. Z u m Beispiel gelten die
Ungleichungen
aus denen bereits (4.8) f o l g t .
D i e Beweise v o n (4-9) u n d (4.10) sollen n i c h t i m einzelnen ausgeführt
werden. W i r b e s c h r ä n k e n uns auf folgenden H i n w e i s : Z u m Beweis v o n (4.9)
gehe m a n v o n (4-3) i n der F o r m
(4.11)
y(i-ci(y)
1
"
y
) ^
a
aus, w o b e i die l i n k e Seite eine m o n o t o n wachsende F u n k t i o n v o n y i s t ; n i m m t
m a n a n , daß (4-9) falsch sei, so k a n n m a n i n (4.11) y d u r c h oc^l + c
4
—p—^
ersetzen, was d u r c h einige R e c h n u n g z u m W i d e r s p r u c h führt.
§ 5 . A b s c h ä t z u n g der A n z a h l f u n k t i o n einer
v o n Gitterpunkten.
Summenmenge
Es liegt die Frage nahe, ob m a n m i t den Methoden der a d d i t i v e n Zahlentheorie auch a d d i t i v e Eigenschaften v o n G i t t e r p u n k t m e n g e n i n einem endlichdimensionalen R a u m untersuchen k a n n . I m folgenden soll gezeigt werden,
daß diese Frage für das i n dieser A r b e i t behandelte P r o b l e m z u bejahen ist.
W i r w o l l e n uns d a r a u f b e s c h r ä n k e n , die ERDÖs-LANDAUsche U n g l e i c h u n g
y l > a ( l + - —y—] i n diesem Sinne z u verallgemeinern.
1
254
FRIEDRICH KASCH:
U n t e r «einem G i t t e r p u n k t des r-dimensionalen R a u m s verstehen w i r einen
P u n k t m i t ganzrationalen K o o r d i n a t e n , den w i r i n der F o r m
n = (n
...,n )
lt
(n
r
t
ganz)
schreiben.
Es sei 9$ die Menge der G i t t e r p u n k t e m i t n i c h t n e g a t i v e n
K o o r d i n a t e n u n d 91 die Menge aller v o m N u l l p u n k t verschiedenen G i t t e r p u n k t e aus 93. D i e G i t t e r p u n k t e aus 9? wollen w i r als natürliche
Gitterpunkte
bezeichnen.
Es seien 2t, 93, ß , . . . U n t e r m e n g e n v o n 93. U n t e r 2t (n), n=(n
..., n ) £ 8*
verstehen w i r die Menge aller a = (a
a ) £ 2t m i t a <^n (i = 1, . . . , r).
Die Anzahlfunktion
A(n) ( m i t n(:9?) der Menge 2t sei die A n z a h l der n a t ü r lichen G i t t e r p u n k t e aus 2t (n). I n Analogie zur D e f i n i t i o n i m linearen F a l l w i r d
lt
1>
als (finite) Dichte v o n 2t bezeichnet ).
p u n k t n : A(n)
><xN(n).
r
{
r
{
D a n n g i l t für jeden natürlichen G i t t e r -
9
W i r setzen i m folgenden 2t<^ 9? u n d 0 < a < l
daß die E i n h e i t s p u n k t e , d . h . die P u n k t e
( 1 , 0 , . . . , 0), ( 0 , 1 , 0 , . . . , 0 ) ,
voraus.
Aus 0 < a
folgt,
(0, . . . , 0 , 1 )
i n 2t enthalten sind, u n d aus a < 1 f o l g t , daß 2t n i c h t alle natürlichen G i t t e r p u n k t e enthält.
Sei 2f die Komplementärmenge v o n 2t i n 9? m i t der A n z a h l f u n k t i o n Ä(n),
d a n n h a t m a n offenbar Ä(n) =N(n) —A(n),
u n d es g i l t Ä(n) <£(1 — <x)N(n).
U n t e r der Summenmenge ( I = 2t + 93 m i t der D i c h t e y u n d der A n z a h l f u n k t i o n C(rt) ist die Menge aller i n der Gestalt
a + 6 = (a +
b
x
l
t
a
r
+
b)
r
darstellbaren G i t t e r p u n k t e m i t et € 2t, b £ 93 zu verstehen. W i r setzen voraus,
daß der N u l l p u n k t u n d die E i n h e i t s p u n k t e i n 93 enthalten s i n d ; d a n n ist
offenbar 2(^G, u n d jeder natürliche G i t t e r p u n k t m läßt sich i n der F o r m
m
_
b
l
+
. . .
6
+
/(w)
( .
6
e g 5
)
darstellen. Sei l(m) die kleinste natürliche Z a h l , für die eine solche D a r stellung möglich ist. Es werde
(5-2)
fin
J
Y
V
l(m)
in e 9* (n)
als mittlere Ordnung v o n 93 bezeichnet. I s t X endlich, d a n n w i r d 93 eine Basis
endlicher Ordnung der natürlichen G i t t e r p u n k t e genannt. Dies sei i m f o l genden für 93 der F a l l .
) Diese D e f i n i t i o n der D i c h t e w i r d i m 2-dimensionalen F a l l bereits v o n L . C H E O [ / ]
benutzt.
9
Abschätzung der D i c h t e von Summenmengen.
255
II
U n t e r dieser Voraussetzung g i l t
(5.3)
y;>a(l + -
i
1
— 2R
1
a
?
dies ist für r = i die anfangs erwähnte U n g l e i c h u n g v o n E R D Ö S - L A N D A U .
W i r können auf G r u n d dieser U n g l e i c h u n g sagen, daß 93 eine wesentliche
K o m p o n e n t e für alle Mengen m i t einer D i c h t e kleiner als 2 ~
darstellt.
H
1
Z u m Beweis w i r d analog zu den Überlegungen aus § 2 geschlossen, wobei
w i r sogleich die Voraussetzung ^ r = 0 = 2I machen. Sei n ein fester natürlicher G i t t e r p u n k t u n d m € 9 t ( n ) . D a n n sei
die A n z a h l der verschiedenen Paare (et, ö) m i t
D(m)
a £ % (n), ä G ii (n) u n d ä
s
a = m;
—
sei die A n z a h l der verschiedenen Paare (a', o) m i t
E(m)
a', a € 9 t ( n ) u n d a ' — a = m .
D a m i t g i l t offenbar
D(m) + £ ( m ) = i 4 ( n - m ) .
Sei n u n t £ 9 ? ( t r t ) , d a n n besteht analog z u m linearen F a l l die Beziehung
D(m)<:D(t) + Z ) ( m - t ) ;
der Beweis erfolgt wie d o r t .
Ebenfalls ist auch j e t z t
(6G®(n)).
D{b)£C(n)-A{n)
Wegen (5.2) erhält m a n folglich
Z
D(m)<ÄN(n){C(n)-A(n)}.
m 6 9f (n)
Andererseits g i l t
(V4)
2£(n.)^(^
m€9Un)
n
)
).
~
wobei es sich j e t z t i m allgemeinen n i c h t wie i m linearen F a l l u m
Gleichung handelt.
Aus den bisherigen Angaben erhält m a n :
AN(n){C(n) -
A(n)}
>
£
A(n-m)
iur 91(u)
;
(5-5)
-
£
E(m)
>
ms 91 (Ii)
also
( 5
-
6 )
1
A(u) ^
A
V(n) " 2 ^ ( n )
NVifTl—
2J
m € 9?
(ii)
m
)j.
eine
FRIEDRICH
256
D a die F u n k t i o n f ^ A —
KASCH:
mit
u n d A^>1 ihren m i n i m a l e n W e r t für
£ = oc a n n i m m t , folgt aus dieser Ungleichung
m G 9t (n)
U m (5-3) z u erhalten, haben w i r j e t z t N(ri) u n d 2
N ( n — m ) zu berechnen.
in e 91 (n)
Offenbar ist
A (n) =
I7K+1)"1>
7
i= i
also g i l t
2
Z N(m) = 2
N(n -m)=
m€9t(n)
me9t(n)
III 4= n
••• 2
»«, = 0 , . . . , ^
m =0, . . . , n
r
//
•
U
(
2
K + 1) - 1} - N(n) =
ifl
J
U= 1
r
"' • ^ - 2
~
1=1
/7 («, +
1) + \
r=i
Daraus folgt
r
v
f
+
2
( -
A r
n
m
>= i
m<=91(n)
r
i7
~
+ >
+ )
1
-
2
-2-
*= i
77 '
(w
+
4
)
+ ä
t= i
Z u m Beweis v o n (5-3) ist j e t z t wegen (5.7) n u r noch nachzuweisen, daß dieser
Ausdruck größer oder gleich— N (n) i s t , u n d das ist offenbar der F a l l , w e n n
A u s d r u c k größer oder gleich —
2
r
r
die folgende Ungleichung g i l t :
(5-8)
V YI ( « » • + ) ( « • • + ) ^ - F 77 ( » • • + ) +(1
i= l
t=l
1
2
2
1
2
-
I j 77
+) •
1
i=1
Dabei k a n n » - > 0 ( ? ' = ! , .
vorausgesetzt werden, da für « - = 0 die *-tc
K o m p o n e n t e keinen B e i t r a g liefert. F ü r r=\ ist (5.8) offenbar erfüllt:
t
t
\
+ 1) + \ (n + 1).
(n + A)(n + 2)=±(n
2
Der Beweis erfolgt n u n durch I n d u k t i o n nach r m i t d e m I n d u k t i o n s b e g i n n
r = 2. F ü r r = 2 h a t m a n wegen n ;> 1, n I> 1 :
2
x
4 ( + l ) K + 2 ) (n +1)(n +2)>
%
8
a
> | K + l ) (n + l ) +
2
2
2
- | ) K + 1) ( » + 1).
a
Die B e h a u p t u n g sei n u n für r r i c h t i g , dann folgt
r+ l
+i
IJ
i
k + ) («<+ ) = i
1
2
1= 1
r
77
(%+1)
(%+2)
( ' V i i -I- 1) ( ' V M + )
2
\»'=1
r+1
H-l
t=l
*= 1
Abschätzung der D i c h t e v o n Summen mengen. I I
257
Wegen
U
\ 2
ist
-
)
+
2 /
2
2
r
2
> (- _
3
"
Ä
\2
2
I
3
>
2 / 2
r
3
=
"'
:
_
2
(r = 2 3 .. )
2
2
r + l
(5-8) auch für r + 1 erfüllt. D a m i t ist (5-3) vollständig bewiesen.
Literatur.
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58, 6 1 9 — 6 2 4 (1951). — [2] K A S C H , F . : Abschätzung der D i c h t e v o n Summenmengen.
M a t h . Z. 62, 368 — 387 (1955)- — [3] K N E S E R , M . : Abschätzung der asymptotischen D i c h t e
von Summenmengen. M a t h . Z. 58, 459 — 4 8 4 (1953). — [4] L A N D A U , E . : Über einige
neuere F o r t s c h r i t t e der a d d i t i v e n Zahlentheorie. Cambridge Tracts N o . 35. Cambridge
1937- — [5] R A I K O V , D . : On the a d d i t i o n of point-sets i n the sense of Schnirelmann
(Russisch m i t englischem Auszug). M a t . Sbornik 5 ( = 47), 4 2 5 — 4 4 0 (1939)- — [6] S E L HERG, S.: A survey of some recent results i n a d d i t i v e n u m b e r t h e o r y . M a t . Tidsskr.
A 1949,
1—15.
Göttingen, Mathematisches Institut der
(Eingegangen
am 13. Juni
Universität
1955)