Zusammenfassung Folgen 1 Defintion und Allgemeines

Zusammenfassung Folgen
Christian Huber
Diese Zusammenfassung ist ist ein Mix aus dem Skript von Herr Dr. Peer Kunstmann, der
allseits beliebten Wikipedia, diversen anderen Onlinequellen und letztendlich meiner Fantasie ...
es gibt also keine Garantie auf Richtigkeit vor allem nicht bei den Beispielen ;)
1 Dention und Allgemeines
Eine Folge ist eine Abbildung
(an )der
natürlichen Zahlen auf die reellen Zahlen, d.h. jeder natürlichen Zahl, wird
eine reelle Zahl zugeordnet. Es gibt auch komplexe Folgen, jedoch verhalten sich diese wie reelle Folgen, wenn man
deren Real- und Imaginärteil verwendet.
Da auf die natürlichen Zahlen abgebildet wird, beginnen Folgen in der Regel von
(a0 )
beginnen, dann gilt halt
(a1 ).
Sie können aber auch mit
n ∈ N0
1.1 Rekursive und explizite Angabe
Folgen können entweder explizit angegeben werden, d.h. man kann jedes Folgenglied direkt berechnen, wenn man
seine Zahl
n
kennt. z.B.
(an ) = n2 + 2
Oder man gibt die Folgenglieder rekursiv an, d.h. man kann ein Folgenglied nur dann berechnen, wenn man das
vorherige kennt. z.B.
(an+1 ) = 5 + (an ); a1 = 3
1.2 Teilfolgen
Teilfolgen sind, wie der Name schon sagt, ebenfalls Folgen, jedoch beinhalten sie nicht alle Folgeglieder der ursprünglichen Folge, sondern nur einen Teil davon. Dabei ist die Reihenfolge von Bedeutung. Anders als bei Umordnungen
von Reihen, bei denen die Folgenglieder in willkürlicher Reihenfolge aufsummiert werden, ist es hier nicht zulässig
(a1 ), (a3 ), (a2 )
als Teilfolge zu betrachten. Es muss nämlich gelten, dass die Funktion, die die Reihenfolge angibt,
streng monoton steigend sein muss.
1.2.1
Häufungswerte
Die Grenzwerte der Teilfolgen werden Häufungswerte der Ausgangsfolge genannt. Jede beschränkte Folge hat einen
Häufungswert, da jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge besitzt (Bolzano-Weierstraÿ).
1
1.3 Monotonie
Eine Folge heiÿt streng monoton steigend, wenn jedes Folgenglied echt gröÿer ist als das vorherige, d.h.
an+1 > an
Entsprechendes gilt für streng monoton fallende Folgen.
Wenn jedes Folgenglied nur gröÿer oder gleich als das vorherige ist, spricht man nur von Monotonie (also ohne
streng).
1.4 Beschränktheit
Eine Folge heiÿt beschränkt, wenn man eine obere und eine untere Schranke ndet. Irgendwie klar ;)
2 Konvergenz
2.1 Was ist Konvergenz?
Eine Reihe konvergiert, wenn unendlich viele Folgenglieder dem Grenzwert beliebig nahe kommen. Das heiÿt um
Umkehrschluss, dass es auf endlich viele Folgenglieder nicht ankommt. Die Aussagen beziehen sich also immer nur
auf fast alle Folgenglieder. Es gibt nun zwei Möglichkeiten die Konvergenz mathematisch zu beschreiben.
•
Entweder sagt man, dass ab einem bestimmten Folgenglied
liegen, d.h. dass für alle Folgenglieder
an mit n ≥ n0
an0 alle
Folgenglieder beliebig nahe am Grenzwert
die Dierenz zum Grenzwert kleiner als jedes
>0
wird.
∀ > 0∃n0 ∈ N∀n > n0 : |an − an0 | < •
Oder man sagt, dass sich unendlich viele Folgenglieder in der sogenannten Epsilonumgebung des Grenzwerts
benden müssen. Die Epsilonumgebung bezeichnet ein Intervall um den Grenzwert mit Radius
Wenn die Folge konvergiert, dann gibt es folglich einen Grenzwert, d.h. wir können schreiben
>0
limn→∞ = a,
wobei
a der Grenzwert der Folge ist.
2.2 Wie kann ich Konvergenz nachweisen?
Der Nachweis der Konvergenz mit obigem Kriterium ist meist mühseelig. Deshalb gibt es einfachere Möglichkeiten.
1. Man formt den Term so um, dass er aus Summen von Folgen besteht, deren Grenzwerte bekannt sind. (Gilt
an → a und bn → b, dann ist an + bn → a + b)
1
Bsp: an = 2 +
n → 2, weil bn = 2 → 2 und cn =
1
n
→0
2. Eine Folge, die monoton ist und beschränkt, konvergiert und zwar gegen Supremum beziehungsweise Inmum
der Folge.
2
3. Findet man zwei Folgen, die die zu untersuchende Folge einschlieÿen und diese beiden Folgen konvergieren
gegen den gleichen Wert, dann konvergiert die eingeschlossene Folge ebenfalls gegen diesen Wert. Das kann
man unter Umständen mit Teilfolgen realisieren.
1+(−1)n
lässt sich in die Teilfolge
n
0, also konvergiert auch an gegen 0.
z.B.
an =
a2n−1 = 0
und
a2n = 2/2n =
1
n . Beide Folgen konvergieren gegen
4. Generell gilt, dass eine Folge dann konvergiert, wenn alle Teilfolgen, gegen den gleichen Wert konvergieren,
d.h. wenn es nur einen Häufungswert gibt. Existieren mehrere, so divergiert die Folge.
2.2.1
Bekannte Grenzwerte
1
n
an =
→0
bn =
√
n
an → a
cn =
√
n
a→1
dn = (1 + n1 )n → e
und es gilt
√
n
n→1
2.3 Limes Superior und Limes Inferior
Spezielle Grenwerte sind der Limes Superior und der Limes Inferior. Sie bezeichnen die Grenzwerte, gegen die das
Supremum und das Inmum einer Folge konvergiert. Dabei ist der Limes Superior stets der gröÿten Häufungswert,
der Limes Inferior ist stets der kleinste. Sie treten nur bei beschränkten Folgen auf. Ist die Folge unbeschränkt setzt
man
lim supn→∞ = ∞.
Entsprechendes gilt für den Limes Inferior. Konvergieren beide gegen den gleichen Wert, so
konvergiert die Folge gegen diesen Wert.
3 Cauchyfolgen
Für jede konvergente Folge gilt:
∀ > 0∃n0 ∈ N∀n, m ≥ n0 :| an − am |< Eine solche Folge heiÿt Cauchyfolge und ist beschränkt, sowie konvergent in
3.0.1
R
und
C.
Wozu bitte das denn?
Bei der Denition einer Cauchyfolge taucht kein Grenzwert auf, d.h. er interessiert nicht. Eine Folge in
√
2
√
konvergiert, aber nur aus rationalen Zahlen besteht ist in
Q
nicht konvergent (weil
2
nicht in
Q
Q
die gegen
liegt). Sie ist
jedoch sehr wohl eine Cauchyfolge. Das heiÿt, dass die umgekehrte Implikation, jede Cauchyfolge ist konvergent im
Allgemeinen nicht stimmt.
4 Zu Mengen ...
Eine Menge heiÿt endlich, wenn nur endlich viele Elemente drin sind ;), das heiÿt wenn es eine bijektive Abbildung
endlich vieler natürlicher Zahlen auf die Elemente der Menge gibt. Das heiÿt, jeder Zahl ist ein bestimmtes Element
und jedem Element eine eindeutige Zahl zugeordnet.
Kann man keine solche Abbildung nden ist die Menge unendlich, weil halt unendlich viele Elemente drin sind.
3
Eine solche Menge kann trotzdem abzählbar sein, wenn es eine surjektive Abbildung der natürlichen Zahlen auf die
Elemente der Menge gibt, dass heiÿt wenn alle Elemente der Menge getroen werden. Man könnte auch sagen, dass
man eine Folge nden kann, die alle Elemente der Menge enthält (weil eine Folge eine Abbildung der natürlichen
Zahlen ist. Falls auch das nicht der Fall ist, dann ist die Menge überabzählbar.
Bsp: Die Menge
M = {x |
x ist gerade} ist abzählbar. Weil die Funktion
f : N → M, n 7→ 2n
alle Elemente der
Menge trit.
5 Funktionenfolgen: Punktweise und gleichmäÿige Konvergenz
Eine Funktionenfolge ist eine Abbildung der natürlichen Zahlen auf Funktionen, d.h. jeder natürlichen Zahl wird
eine Funktion zugeordnet.
Bsp:fn (x)
= xn .
5.1 Punktweise Konvergenz
Man hat nun also zu jedem n eine Funktion. Man kann die Sache allerdings auch anders sehen. Man hat zu jedem
x ∈ D eine Folge. Graphisch entspricht diese Folge allen Funktionswerten auf einer parallelen zur y-Achse. Man kann
nun für diese Folgen wieder die Konvergenz denieren. Man sagt eine Funktionenfolge sei punktweise konvergent,
wenn für jeden x-Wert die Folgenglieder gegen einen bestimmten Wert konvergieren.
∀x ∈ D∀ > 0∃n0 ∈ N∀n ≥ n0 :| fn (x) − f (x) |< Dabei ist
f (x)
die Grenzfunktion, gegen die die Funktionenfolge konvergiert. Die Beispielfunktionenfolge von oben
ist punktweise konvergent auf dem Intervall
[0, 1].
Die Grenzfunktion hat folgende Form
(
f (x) =
Die Folge der Funktionswerte an der Stelle
x=1
1|x=1
0 | sonst
ist natürlich immer 1, deshalb ist auch die Grenzfunktion 1. Für
jeden anderen x-Wert zwischen 0 und 1 konvergiert die Folge gegen 0. Die Grenzfunktion ist jedoch nicht stetig.
Für stetige Grenzfunktionen benötigt man die gleichmäÿige Konvergenz.
5.2 Gleichmäÿge Konvergenz
Hier ndet man stetige Grenzfunktionen (natürlich nur, wenn die Funktionen der Funktionenfolge auch stetig sind).
Bei der punktweisen Konvergenz kann das
n0
für jeden x-Wert verschieden sein. Bei der gleichmäÿigen Konvergenz
ist das nicht der Fall. Hier lautet die Bedingung:
∀ > 0∃n0 ∈ N∀n ≥ n0 ∀x ∈ D :| fn (x) − f (x) |< Man kann sich gleichmäÿige Konvergenz folgendermaÿen vorstellen. Man legt einen Epsilonschlauch um die Grenzfunktion. Nun müssen ab einem bestimmten
n0
alle Funktionen
schlauchs liegen.
4
fn
mit
n ≥ n0
komplett innerhalb des Epsilon-
1
n ist gleichmäÿig konvergent. Die Grenzfunktion ist f (x) = x.
Die Grenzfunktion einer gleichmäÿig konvergenten Funktionenfolge ist stetig, wenn die fn stetig sind.
Bsp: Die Funktionenfolge
fn (x) = x +
Potenzreihen konvergieren auf dem abgeschlossenen Intervall mit Radius R um den Entwicklungspunkt gleichmäÿig.
5.3 Sätze zur gleichmäÿigen Konvergenz
•
Kann man den Abstand jeder Funktion einer Funktionenfolge zur Grenzfunktion nach oben durch eine Nullfolge abschätzen, so konvergiert die Folge gleichmäÿig, d.h.
•
cn → 0
und
| fn (x) − f (x) |≤ cn
für alle n.
Sind die Funktionen einer gleichmäÿig konvergierenden Funktionenfolge beschränkt, so ist auch die Grenzfunktion beschränkt.
•
Sind die Funktionen stetig, so ist auch die Grenzfunktion stetig.
Zusammenfassung Reihen
Christian Huber
Diese Zusammenfassung ist ist ein Mix aus dem Skript von Herr Dr. Peer Kunstmann, der allseits beliebten Wikipedia, diversen anderen Onlinequellen und letztendlich meiner Fantasie ... es gibt also keine Garantie auf Richtigkeit
vor allem nicht bei den Beispielen ;)
6 Denition und Allgemeines
Addiert man die Folgenglieder einer Folge bis zu einem Folgenglied an auf, so erhält man eine neue Folge sN =
a1 + a2 + a3 P
+ ... + aN . Eine solche Folge nennt man Folge der Partialsummen.
∞
Die Summe
n=1 an nennt man Reihe. Konvergiert sie, so nennt man dies den Reihenwert. Im Normalfall geht
eine Reihe bei n = 1 los, das muss jedoch nicht so sein.
Im Folgenden sei stets n ∈ N ; x ∈ R ; z ∈ C
6.1 Konvergenz
Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn die Folge der Partialsummen konvergiert. Es ist jedoch im Allgemeinen
sehr mühsam die Konvergenz einer Reihe zu überprüfen, indem man die Konvergenz der Partialsummen überprüft.
Dazu gibt es die Konvergenzkriterien.
6.2 Absolute Konvergenz
Eine Reihe konvergiert absolut, wenn die Reihe über die Absolutbeträge konvergiert.
Absolute Konvergenz im-
pliziert sofort Konvergenz, jedoch nicht anders herum. Zum Abschätzen von Reihen über Absolutbeträge hilft die
Dreiecksungleichung für unendlich viele Elemente
∞
X
|an | ≥ |
n=1
∞
X
n=1
5
an |
6.3 Wichtige Reihen
P∞
1
n=1 n
Die Harmonische Reihe ist divergent, obwohl sie eine Nullfolge ist und nicht divergent aussieht
•
Die Harmonische Reihe:
•
P∞
•
Die geometrische Reihe:
1
n=1 n2
→
π2
6 war nicht in der Vorlesung dran
•
Die Exponentialreihe:
•
Die Sinusreihe:
•
Die Cosiunsreihe:
P∞
n
P∞
z
n=0 n!
P∞
n=0 (−1)
n
P∞
·
n=0 (−1)
1
1−x , wenn
xn →
n=0
→ ez
z 2n+1
(2n+1)!
→ sin(z)
z 2n
(2n)!
→ cos(z)
n
·
| x |< 1
7 Konvergenzkriterien
7.1 Allgemeines
Mithilfe von Konvergenzkriterien können Reihen auf Konvergenz und teilweise auch absolute Konvergenz überprüft
werden. Wichtigstes Kriterium zum Ausschluss von Konvergenz ist dabei, dass die Folge
(an )
über die die Summe
gebildet wird stets eine Nullfolge sein muss. Ansonsten würde ja immer mehr dazuaddiert werden und die Reihe
kann niemals konvergieren. Jedoch konvergiert nicht jede Nullfolge, siehe die Harmonische Reihe.
7.2 Leibnizkriterium für alternierende Reihen
P∞
n
n=1 (−1) · an , d.h. das Vorzeichen wechselt. Ist jetzt
monoton fallende Nullfolge, so sagt das Kriterium, dass sie konvergiert.
P∞
1
n 1
z.B. die alternierende harmonische Reihe
n=1 (−1) · n konvergiert, obwohl n nicht konvergiert.
Eine alternierende Reihe ist eine Reihe der Form
an
eine
7.3 Das Wurzelkriterium
Man untersucht nur die Folge
an
hinter dem Summenzeichen.
Hier wird die n-te Wurzel des Betrags des n-ten
Folgenglieds untersucht. Dies deniert eine neue Folge deren Limes Superior Auskunft über die Reihe gibt gibt.
lim sup
n→∞
p
n


> 1 : Die Reihe divergiert
|an | = < 1 : Die Reihe konvergiert absolut


= 1 : Keine Aussage möglich
Oft reicht es auch einfach den Limes zu betrachten, da dieser im Falle der Konvergenz der Wurzelfolge mit dem
Limes Superior übereinstimmt.
Das Wurzelkriterium eignet sich besonders gut, wenn die zu untersuchende Folge eine n-te Potenz darstellt, da sich
in diesem Fall die Wurzel rauskürzt.
6
7.4 Das Quotientenkriterium
Hier wird der Betrag des Quotienten zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder untersucht. Wieder ist der Limes
Superior zu untersuchen.


> 1 : Die Folge divergiert
an+1
lim sup |
| = < 1 : Die Folge konvergiert absolut

an
n→∞

= 1 : Keine Aussage möglich
Das Quotientenkriterium eignet sich besonders gut bei Folgen, die eine Fakultät beinhalten, da diese sich beim
Teilen leicht rauskürzen.
7.5 Das Majoranten un Minorantenkriterium
Hierbei wird die Konvergenz bzw Divergenz durch eine Vergleichsfolge abgeschätzt.
7.5.1
Majorantenkriterium
Eine Majorante ist eine Folge, deren n-tes Folgenglied stets gröÿer ist, als der Absolutbetrag einer anderen Folge.
Ist
bn eine Majorante
Reihe über bn konvergent, so
P∞ zu an und ist die P
∞
|an | ≤ bn ∧ n=1 bn konvergent ⇒ n=1 an absolut konvergent
ist die Reihe über
an
absolut konvergent.
D.h.
7.5.2
Minorantenkriterium
Eine Minorante ist eine Folge, deren n-tes Folgenglied stets kleiner ist, als das n-te Folgenglied einer anderen Folge.
Ist
bn
eine Minorante zu
an
und ist
bn ≥ 0
und divergent, so divergiert auch die Reihe über
an .
7.6 Das Monotoniekriterium
Gilt für eine Folge
über die Folge
an > 0
und ist die Folge über die Partialsummen
sN
beschränkt, dann konvergiert die Reihe
an
7.7 Cauchykriterium
Eine Reihe konvergiert wenn:∀
> 0∃n0 ∈ N∀N > M ≥ n0 |
7
PN
n=M +1
an |< .
8 Das Cauchyprodukt
Das Cauchyprodukt deniert uns, wie man Reihen multipliziert.
Dabei ist zu beachten, dass ähnlich wie beim
Abzählen der rationalen Zahlen es darauf ankommt, in welcher Art und Weise man die einzelnen Teilprodukte
zusammenaddiert.
Würde man die unendlich vielen Folgenglieder, die in einer Reihe zusammenaddiert werden
alle zuerst mit dem ersten Folgenglied der zweiten Folge multiplizieren, käme man zu keinem Ergebnis. Deshalb
multipliziert man jeweils die diagonalen Folgenglieder. Eine Folge, die diese Diagonalen beschreibt ist
cn =
n
X
ak · bn−k
k=0
Addiert man nun alle Folgenglieder der Folge
cn
zusammen, kann man alle Teilprodukte erfassen. Das deniert uns
das Cauchyprodukt
∞
X
n=0
cn =
∞ X
n
X
ak · bn−k
n=0 k=0
Das Cauchyprodukt zweier absolut konvergenter Reihen ist selbst wieder absolut konvergent.
Zusammenfassung Exponentialfunktion, Sinus, Cosiuns und Potenzreihen
Christian Huber
Diese Zusammenfassung ist ein Mix aus dem Skript von Herr Dr. Peer Kunstmann, der allseits beliebten Wikipedia,
diversen anderen Onlinequellen und letztendlich meiner Fantasie ... es gibt also keine Garantie auf Richtigkeit vor
allem nicht bei den Beispielen ;)
9 Potenzreihen
9.1 Allgemeines
P∞
n
n=1 an (z − zo ) nennt man Potenzreihe. Dabei ist diese komplex, wenn an und z0 komplex
sind. Sind sie reell, so ist auch die Potenzreihe reell. an nennt man dei Koezienten und z0 den Entwicklungspunk
Eine Reihe der Form
der PR.
Jede Potenzreihe konvergiert im Entwicklungspunkt. Des weiteren wissen wir bereits, dass die geometrische Reihe
für alle
| z |< 1
konvergiert.
Bei allgemeinen Potenzreihen gibt uns der Konvergenzradius auskunft, über die
Konvergenz.
9.2 Der Konvergenzradius
Der Konvergenzradius gibt an in welchen Bereich um den Entwicklungspunkt eine PR konvergent ist. Im Fall einer
komplexen PR gibt er den Radius eines Kreises um den Entwicklungspunkt an. Für alle
z ∈ Kreis
gilt, dass die PR
konvergiert. Im Fall einer reellen PR gibt der Konvergenzradius ein Intervall auf dem Zahlenstrahl an.
| z − z0 |< R. Für die geometrische Reihe gilt also
| z − z0 |= R kann keine Aussage getroen werden. Dieser Fall muss dann gesondert überprüft werden.
Für alle | z |> R divergiert die PR. Eine PR mit R = ∞ konvergiert für jedes z ∈ C, eine PR mit R = 0 konvergiert
nur für z = z0 , also im Entwicklungspunkt.
Allgemein gilt, dass eine PR immer dann konvergiert, wenn
R = 1.
Für
8
9.3 Berechnung des Konvergenzradius
Der Konvergenzradius errechnet sich nach folgender Formel, wenn
R=
1
lim supn→∞
p
n
| an |
=
an
die Koezientenfolge der PR ist.
1
lim supn→∞ |
an+1
an
|
Der Konvergenzradius berechnet sich also ähnlich wie das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium.
10 Spezielle Potenzreihen
10.1 Die Exponentialreihe
Die Reihe
E(z) =
P∞
zn
n=0 n! heiÿt Exponentialreihe.
z ∈ C.
Ihr Konvergenzradius ist
∞,
d.h.
sie konvergiert für jedes
Da sie für jede Zahl konvergiert, kann man den Reihenwert der Exponentialreihe als Funktion von
Funktion
z 7→ E(z)
heiÿt die komplexe Exponentialfunktion. Die Funktion
f (x) = ex . Sie ist stetig und streng monoton steigend,
x
y
x+y
ist: E(z) · E(w) = E(z + w). Klar wegen e · e = e
.
und wird geschrieben als
Wichtige Eigenschaft
x 7→ E(x)
z
ansehen. Diese
heiÿt Exponentialfunktion
und niemals negativ.
10.2 Der Sinus
z 2n+1
n
n=0 (−1) · (2n+1)! heiÿt Sinusreihe. Sie besitzt den Konvergenzradius ∞ und auch hier kann
man wieder eine Funktion, die Sinusfunktion, denieren als z 7→ sin z . Der Sinus ist stetig, 2π -periodisch und auf
π π
dem Intervall [− , ] streng monoton wachsend.
2 2
Die Reihe
sin(z) =
P∞
10.3 Der Cosinus
z 2n
(2n)! heiÿt Cosinusreihe. Sie besitzt den Konvergenzradius ∞. Auch hier wird
wieder die Funktion deniert, analog, wie beim Sinus. Der Cosinus ist stetig und auf dem Intervall [0, π] streng
Die Reihe
cos(z) =
P∞
n=0 (−1)
n
·
monoton fallend.
11 Zusammenhänge von Exponentialfunktion, Sinus und Cosinus
Es gelten folgende Zusammenhänge:
• eiz = cos z + i sin z
• cos z = 21 (eiz + e−iz )
• sin z =
1
iz
2i (e
− e−iz )
9
• sin2 z + cos2 z = 1
• sin(z + w) = sin z · cos w + cos z · sin w
• cos(z + w) = sin z · cos w − sin w · cos z
Zusammenfassung Stetigkeit
Christian Huber
Diese Zusammenfassung ist ein Mix aus dem Skript von Herr Dr. Peer Kunstmann, der allseits beliebten Wikipedia,
diversen anderen Onlinequellen und letztendlich meiner Fantasie ... es gibt also keine Garantie auf Richtigkeit vor
allem nicht bei den Beispielen ;)
12 Denition und Allgemeines
12.1 Denition
Eine Funktion heiÿt stetig in einem Punkt
die Folge gegen
x0
x0
wenn für jede Folge
xn
in der Denitionsmenge folgendes gilt: Wenn
konvergiert, so muss auch die Folge der Funktionswerte der Folgenglieder
Funktionswert an der Stelle
f (xn )
gegen den
x0 konvergieren.
xn → x0 ⇒ f (xn ) ⇒ f (x0 )
Ist eine Funktion in jedem Punkt der Denitionsmenge stetig, so heiÿt die Funktion stetig auf D.
Des weiteren ist eine Funktion stetig in
12.1.1
x0
wenn der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert gleich sind.
Das Epsilon-Delta-Kriterium
Insbesondere ist eine Funktion stetig, wenn daraus, dass die x-Werte nah beisammen liegen folgt, dass die Funktionswerte zusammenliegen, d.h. wenn man zu jedem noch so kleinen Abstand der Funktionswerte einen Abstand
von deren x-Werten ndet. Das beschreibt das Epsilon-Delta-Kriterium:
∀x ∈ D, ∀ > 0∃δ > 0∀x0 ∈ D :| x − x0 |< δ ⇒| f (x) − f (x0 ) |< 12.2 Allgemeine Prinzipien
12.2.1
Komposition stetiger Funktionen
WICHTIG! Lässt sich eine Funktion als Komposition stetiger Funktionen schreiben, so ist die Funktion stetig.
Stetig sind z.B. folgende Funktionen:
•
Alle Polynome
10
• ex
• sin x, cos x
•
Alle Potenzreihen mit Konvergenzradius
Folglich ist z.B. eine Funktion der Form
12.2.2
R ∈ [0, ∞]
auf dem Intervall
f (x) = ex · x3 + sin x
(x0 − R, x0 + R)
stetig nach dem Kompositionskriterium.
Stetigkeit ganzrationaler Funktionen
Der Quotient reeller Polynome
q(x)
p(x) ist stetig auf
f (x) =
R
ohne die Nullstellen von
p(x).
13 Der Zwischenwertsatz
Ist eine Funktion
f (a)
und
f (b)
f
auf einem Intervall
liegt ein
x0 ,
[a, b]
stetig, so nden wir zu jedem
dessen Funktionswert
f (x0 ) = y0
yo ,
dass zwischen den Funktionswerten
ist.
Daraus kann man die bahnbrechende Eigenschaft folgern, dass das Bild eines Intervalls einer stetigen Funktion
wieder ein Intervall ist.
Weiterhin gilt, dass wenn
f : D → R stetig ist und D kompakt ist, dann ist auch das Bild kompakt und die Funktion
nimmt dort Minimun und Maximum an, d.h.
∃x1 , x2 ∀x ∈ D : f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 )
.
14 Monotonie und Stetigkeit
x1 > x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ) bzw fallend, wenn ≤ gilt.
x1 > x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) bzw fallend, wenn <gilt.
wachsende Funktion f : I → R besitzt eine Umkehrfunktion, die
Eine Funktion heiÿt monoton wachsend wenn:
Eine Funktion heiÿt streng monoton wachsend wenn:
Eine auf einem Intervall streng monoton
ebenfalls
streng monoton wachsend ist.
Ist die Funktion auch stetig, so ist auch die Umkehrfunktion stetig.
Eine Umkehrfunktion existiert übrigens genau dann, wenn man es schat die Funktionsgleichung auf eine eindeutige
Weise nach x aufzulösen. Dies ist zum Beispiel bei
ex der
Fall. Bei
f (x) = x2 ist
dies nicht der Fall.
15 Gleichmäÿige Stetigkeit
Im Epsilon-Delta-Kriterium wird nur gefordert, dass bei kleinem Abstand der x-Werte der Abstand der dazugehörigen Funktionswerte klein wird. Wie nah die x-Werte beisammen liegen müssen, kann jedoch von den x-Werten
abhängen. Bei der gleichmäÿigen Stetigkeit soll das nicht der Fall sein, hier muss man zu jedem Epsilon ein Delta
11
nden, dass die Bedingung für alle x-Werte erfüllt.
Deshalb ist z.B.
f (x) = x2
nicht gleichmäÿig stetig.
Die
Bedingung für gleichmäÿige Stetigkeit lautet:
∀ > 0∃δ > 0∀x, x0 ∈ D :| x − x0 |< δ ⇒| f (x) − f (x0 ) |< Eine stetige Funktion, die eine kompakte Menge abbildet, ist gleichmäÿig stetig.
Zu jeder gleichmäÿigen Funktion
R
f
gibt es eine Funktion
abbildet, die in allen Funktionswerten mit
f
g,
die den Abschluss der Denitionsmenge von
f
nach
übereinstimmt und gleichmäÿig stetig ist. Das ist logisch, weil der
Abschluss ja alle Elemente der ürsprünglichen Menge enthält.
16 Lipschitz-Stetigkeit
Eine Funktion heiÿt Lipschitz-stetig, wenn die maximale Steigung der Funktion auf einem Intervall kleiner gleich
einer beliebigen Konstante L ist. Dann heiÿt L Lipschitz-Konstante. Es gilt also:
f
ist lipschitz-stetig
⇔ ∀s, t ∈ [a, b] :| f (s) − f (t) |≤ L· | s − t |
Eine lipschitz-stetige Funktion ist immer auch gleichmäÿig stetig, jedoch ist nicht jede gleichmäÿig stetige Funktion
auch lipschitz-stetig.
17 Physikerergänzung
17.1 Die Bestapproximation
Man nehme zwei kompakte Mengen, die einen leeren Schnitt haben (also kein Element kommt in beiden Mengen
vor). Für jedes Element
x0
der einen Menge gibt es in der anderen Menge mindestens eine Bestapproximation
Das ist das Element, dass am nächsten an
x0
y0 .
dran ist.
17.2 Supremumsnorm
Die Supremumsnorm einer Funktion
k f k∞ = sup{| f (x) |: x ∈ M }
f ∈ B(M )
ist das Supremum der Absolutbeträge der Funktionswerte, d.h.
, das heiÿt sie gibt schlicht und ergreifend den absolut gröÿten Funktionwert an. Es
gilt:
•
Ist die Supremumsnorm 0, dann müssen auch alle Funktionswerte 0 sein.
•
Konstanten dürfen aus der Supremumsnorm herausgezogen werden.
•
Es gilt die Dreiecksungleichung:k
f + g k∞ ≤k f k∞ + k g k∞
12
k f − g k∞ gibt
den maximalen Abstand der Funktionswerte an. Wenn man also für Funktionenfolgen Konvergenz
deniert, dann bedeutet Konvergenz bezüglich der Supremumsnorm, dass die Folge gleichmäÿig konvergent ist:
∀ > 0∃n0 ∀n ≥ n0 :k fn − f k∞ < ⇔ fn
ist gleichmäÿig konvergent
Man kann auch Cauchyfolgen bezüglich der Supremumsnorm denieren, wenn sich die Funktionen halt wie Cauchyfolgen verhalten, d.h. der maximale Abstand der Funktionen wird beliebig klein.
∀ > 0∃n0 ∀n, m ≥ n0 :k fn − fm k∞ < Wieder sind CF bezüglich
k · k∞ konvergent.
Zusammenfassung Integration
Christian Huber
Diese Zusammenfassung ist ein Mix aus dem Skript von Herr Dr. Peer Kunstmann, der allseits beliebten Wikipedia,
diversen anderen Onlinequellen und letztendlich meiner Fantasie ... es gibt also keine Garantie auf Richtigkeit vor
allem nicht bei den Beispielen ;)
18 Denition und Allgemeines
18.1 Was ist ein Integral?
Mit dem Integral wird der Flächeninhalt der Fläche unter einer Funktion innerhalb eines Intervalls beschrieben.
Um diesen zu erhalten approximiert man ihn in dem man das Intervall zuerst zerlegt und Ober- und Untersumme
ausrechnet. Für innitesimal kleine Intervalle werden Ober- und Untersumme zum oberen und unteren Integral.
18.2 Wann ist eine Funktion integrierbar
Eine Funktion ist integrierbar, wenn oberes und unteres Integral gleich sind und dann ist das Integral gleich dem
oberen Integral. Alternativ kann man auch sagen, dass eine Funktion dann integrierbar ist, wenn
∀ > 0 : Sf −sf < wird.
Man deniert
R[a, b]
als die Menge der über dem Intervall
[a, b]
integrierbaren Funktionen.
Eine Funktion ist dann integrierbar, wenn sie durch eine andere integrierbare Funktion auf dem zu integrierenden
Intervall beliebig gut approximiert werden kann.
Ist
g ∈ R[a, b],
gilt also
∀ > 0∀x ∈ [a, b] :| f (x) − g(x) |< ⇒ f ∈ R[a, b]
18.3 Welche Funktionen sind integrierbar?
•
Potenzfunktionen sind integrierbar
•
monotone Funktionen sind integrierbar
13
•
stetige Funktionen sind integrierbar
•
sin, cos und exp sind integrierbar
•
reelle Potenzreihen sind innerhalb des Konvergenzradius um den Entwicklungspunkt integrierbar
•
Das Produkt zweier integrierbarer Funktionen ist integrierbar.
•
Die Komposition einer integrierbaren Funktion mit einer Lipschitz-stetigen Funktion ist integrierbar.
•
Der Kehrwert einer integrierbaren Funktion ist integrierbar, wenn die Funktion an keiner Stelle 0 ist.
•
Eine Funktion die nur endlich viele Nichtstetigkeitstellen auf einem Intervall hat ist auf diesem Intervall
trotzdem integrierbar.
19 Rechenregeln
•
´b
Man kann ein Integral in die Summe von Integralen kleinerer Intervalle auspalten:
´b
•
Integrale sind linear:
•
Wenn
•
Das Integral einer Potenzfunktion ist:
b
•
n+1
F (x)
a
(αf + βg) = α
´b
a
die Stammfunktion ist gilt:
f +β
´b
a
´b
a
a
=
´c
a
+
´b
c
g
f (x)dx = F (b) − F (a)
´y
0
xm dx =
y m+1
m+1 , folglich gilt, bei variablen Grenzen:
´b
a
xn dx =
n+1
−a
n+1
Das Integral einer Potenzreihe mit Entwicklungspunkt als unterer Integrationsgrenze ist:
x0 )n )dx =
P∞
an
n=0 n+1 (y
− x0 )n+1
•
Für Integrale gilt die Dreiecksungleichung:
•
Für
x0 ∈ [a, b]
gilt
´ x0 +h
a
f (x)dx →
´ x0
a
|
´b
a
f (x) |≤
f (x)dx (h → 0)
´b
a
| f (x) |
´
1 x0 +h
und
h
a
´ y P∞
( n=0 an (x −
x0
f (x)dx → f (x0 ) (h → 0)
20 Die Riemannsche Summe
Ist Z eine Zerlegung, dann nennt man das n-Tupel
Pn
ξ
einen passenden Zwischenvektor, wenn das
ξj ∈ Ij
ist. Dann
j=1 f (ξj )· | Ij | Riemannsche Summe.
Diese Riemannsche Summe approximiert das Integral immer besser je kleiner die Feinheit der Zerlegung ist. Folglich
nennt man
σf (Z, ξ) :=
ist das Integral der Grenzwert für eine gegen 0 strebende Feinheit:
ˆ
lim σf (Z, ξ) =
|Z|→0
f (x)dx
a
14
b
21 Uneigentliche Integrale
Ein Integral, dass wir z.B. bis unendlich auswerten, oder dass wir versuchen an einer Polstelle zu berechnen und
von dem wir eigentlich erwarten würden, dass es keinen reellen Wert besitzt heiÿt konvergent, falls dies eben doch
der Fall ist. Wir schreiben dann:
ˆ
ˆ
β
f (x)dx = lim
r→β
a
r
f (x)dx
a
und überprüfen die Existenz des Limes. D.h. wir schieben einfach den die eine Integrationsgrenze immer weiter in
Richtung des kritischen Wertes und schauen, was passiert. Falls der Limes nicht existiert heiÿt das Integral folglich
divergent.
Bei zwei kritischen Integrationsgrenzen untersucht man, ob man das Integral in zwei Integrale aufsplitten, die die
obere Form besitzen und diese dann zusammenaddieren kann, d.h. man sucht nach einem Wert
ˆ
ˆ
β
α
ˆ
c
f (x)dx =
mit
β
f (x)dx +
α
c
f (x)dx
c
21.1 Beispiele
Wichtiges Beispiel sind die Funktionen der Form
´∞
γ > 1 mit 1 f (x) =
´1
Für
f (x) gilt genau das
0
für
f (x) = x−γ mit γ > 0.
Das Integral von 1 bis Unendlich konvergiert
1
γ−1 . Sonst divergiert es.
umgekehrte. Es konvergiert nur für
γ<1
mit dem Wert
1
1−γ
21.2 Konvergenzkriterien
Da Intregrale sich in vieler Hinsicht wie Reihen verhalten kann man auch hier ähnliche Konvergenzrkriterien nden
...
21.2.1
Cauchykriterium
Sehr analog zu Reihen gilt hier, dass wir versuchen wollen, das Integral in der Nähe des kritischen Bereichs möglichst
klein zu kriegen.
∀ > 0∃N, M ∈ N :|
21.2.2
´M
N
f (x)dx |< Absolute Konvergenz
Auch absolute Konvergenz ist gleich deniert, wie bei Reihen. Ein Intergral ist absolut konvergent, wenn
dx
konvergiert. Dann konvergiert auch
´b
a
f (x)dx
und es gilt die Dreiecksungleichung
15
´b
a
| f (x) | dx ≥
´b
´b
a
a
| f (x) |
f (x)dx
21.2.3
Majorantenkriterium
Kann man eine Funktion
f
mit einer Majorantenfunktion (d.h.
Stelle gröÿer als der Absolutwert der Funktion
f.
so konvergiert auch das Integral üer
f)
der Wert der Majorantenfunktion ist an jeder
abschätzen und das Integral der Majorantenfunktion konvergiert,
Hier sind natürlich besonders, die gebrochenrationalen Funktionen zum
Abschätzen wichtig.
21.2.4
Minorantenkriterium
Findet man zu einer Funktion eine Minorantenfunktion und das Integral über diese Funktion divergiert, so ist auch
das andere Integral divergent. Hier ist besonders die Funktion
21.2.5
f (x) = x−1
geignet.
Aufpassen!!
Das Integral über das Produkt zweier Funktionen, muss nicht konvergent sein, auch wenn die Integrale über die
einzelnen Funktionen konvergieren.
Zusammenfassung Dierenzierbarkeit
Christian Huber
22 Dierenzierbarkeit
Eine Funktion
f :I→R
heiÿt in
x0
dierenzierbar, wenn der folgender Limes deniert ist:
lim
x→x0
Eine Funktion, die für jedes
x0 ∈ I
f (x) − f (x0 )
= f 0 (x)
x − x0
dierenzierbar ist, heiÿt dierenzierbar auf
I.
22.1 Nachweis der Dierenzierbarkeit
Dierenzierbarkeit kann nachgewiesen werden aufgrund der Denition von oben.
von dierenzierbaren Funktionen dierenzierbar.
22.2 Dierenzierbare Funktionen
•
Polynome
•
Exp, sin, cos, sinh, cosh
•
Wurzelfunktion
•
ln für
•
tan (im stetigen Bereich)
x > 1.
16
Weiterhin sind Kompositionen
22.3 Ableitungsregeln
• f (x) = xn → f 0 (x) = n · xn−1
• f (g(x)) → (f (g(x)))0 = f 0 (g(x)) · g 0 (x)
• (f (x) · g(x))0 = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x)
0
0
(x)
(x)·g 0 (x)
• fg(x)
= f (x)·g(x)−f
(g(x))2
• f (y)−1 0 =
1
f 0 (f −1 (y))
22.4 Stetige Dierenzierbarkeit
Eine Funktion
f
heiÿt stetig dierenzierbar, wenn die Ableitung
f0
stetig ist. Achtung, nicht jede dierenzierbare
Funktion ist automatisch stetig dierenzierbar und andersrum genausowenig. Die Weierstraÿfunktion ist z.B. überall
stetig, aber nirgends dierenzierbar. Ist eine Funktion n-mal stetig dierenzierbar, so schreiben wir
f ∈ C n (I).
23 Mittelwertsatz (MWS)
(a, b) stetig und dierenzierbar ist. Dann gibt es ein
f (b)−f (a)
0
=
f
(ξ)
.
b−a
Das heiÿt, dass die es mindestens eine Stelle im Intervall gibt, an der die Ableitung gleich der Steigung zwischen a
Man nehme eine Funktion, die auf dem oenen Intervall
ξ ∈ (a, b)
und
b
mit
ist.
In verallgemeinerter Form lautet der Mittelwertsatz:
f (a) − f (b)
f 0 (ξ)
= 0
g(a) − g(b)
g (ξ)
23.1 Anwendungen
•
Abschätzungen, siehe Übung 10, Aufgabe 6b)
•
Grenzwerte, siehe Übung 10, Aufgabe 6a)
24 Haupsatz der Integral und Dierentialrechnung
Ein bestimmtes Integral kann auch als Dierenz von der Stammfunktion geschrieben werden. Für eine dierenzierbare Funktion
G
mit
G0 = f
gilt nämlich:
ˆ
b
f (x)dx = G(a) − G(b) =: G(x)|ba
a
17
25 Die Regel von de L'Hopital
Die Regel von de L'Hopital erlaubt es uns Aussagen über die Grenzwerte von Quotienten von Funktionen zu machen.
f (x)
g(x) und beide Funktionen konvergieren nicht, so ist auf den ersten Blick
nicht möglich den Grenzwert des Quotienten zu bestimmen. Die Regel von l'Hopital besagt, dass es trotzdem
Betrachten wir den Quotienten
limn→a
möglich ist, wenn wir den den Quotienten der Ableitung berechnen können.
Gilt
limn→a f (x) = limn→a g(x) = 0, so ist limn→a
±∞.
f (x)
g(x)
= limn→a
f 0 (x)
g 0 (x) . Gleiches gilt, für
limn→a g(x) = limn→∞ f (x) =
26 Dierentiation von Potenzreihen
Potenzreihen lassen sich innerhalb des Konvergenzradius beliebig oft dierenzieren, d.h. für eine Funktion
R, x →
P∞
n=0
f :I→
an (x − x0 )n gilt f ∈ C ∞ (I).
Dabei lässt sich die Potenzreihe gliedweise dierenzieren, d.h.
f 0 (x) =
P∞
n=0
nan (x−x0 )n−1 .
Auch diese Potenzreihe
besitzt den gleichen Konvergenzradius.
26.1 Der Satz von Taylor/Taylorreihenentwicklung
Der Satz von Taylor besagt, dass sich jede Funktion auch als Potenzreihe darstellen lässt.
komplette Reihe bis
∞betrachtet,
sondern nur bis zu einem Glied
n,
Wenn man nicht die
so macht man einen Fehler.
Dieser Fehler
steckt im sogenannten Restglied. In der praktischen Anwendung ist dieses Restglied dann meist so klein, dass man
es vernachlässigen kann. Konkret lautet der Satz:
f (x) =
n
X
f k (x0 )
k=0
Hierbei ist
ξ ∈ (x, x0 ),
d.h.
je weiter das
k!
x
· (x − x0 )k +
von
x0
f (n+1) (ξ)
(x − x0 )n+1
(n + 1)!
entfernt ist, desto ungewisser ist das Restglied, weil
ξ
viel
variabler ist und desto schlechter ist die Taylorentwicklung als Approximation der Funktion geeignet. Eine gute
Approximation stellt sie also nur in der nahen Umgebung von
x0
dar.
27 Lokale Extremstellen
Klare Sache: Eine Extremstelle liegt vor, wenn die erste Ableitung gleich 0 ist. Allgemeiner muss man jedoch sagen,
dass eine Extremstelle gerade dann vorliegt, wenn eine gerade Ableitung, die erste ist, die nicht 0 ist. Ein Beispiel
f (x) = x4 . Hier ist die sind die ersten 3 Ableitungen für x = 0 0. Die 4. Ableitung ist die erste, bei der
x = 0 nicht 0 rauskommt. Deshalb liegt eine Extremstelle vor. Bei f (x) = x3 ist die erste Ableitung, bei der
x = 0 nicht 0 rauskommt, die 3. Ableitung, also eine ungerade. Foglich handelt es sich nicht um ein lokales
wäre
für
für
Extremum. Die Entscheidung, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt funktioniert wie gewohnt über
Einsetzen.
Zusammenfassung Lineare Algebra (HM1)
Christian Huber
18
28 Der Vektorraum
In einem Vektorraum existieren Elemente, die sogeannten Vektoren. Ein Vektor ist nichts weiter als ein n-Tupel
von n Komponenten z.b.
wiederum können durch
Mit
(1, 5, 3, 8, 9, 4, 6) ∈ K7 , wobei die Elemente reell
zwei Verknüpfungen + und · verknüpft werden.
oder komplex sein können. Die Vektoren
+ werden zwei Vektoren miteinander verknüpft, woraus ein neuer Vektor entsteht, d.h. Kn +Kn → Kn .
Hierbei
werden einfach die Komponenten addiert.
Mit
·
wird ein Vektor
∈ Kn
mit einem Skalar
∈K
verknüpft und es entsteht wieder ein Vektor, d.h.
K · Kn → Kn
.
Hierbei wird jede Komponente des Vektors mit dem Skalar multipliziert.
28.1 Die Vektorraumaxiome
+und ·
x, y, z ∈ Kn ; α, β ∈ K .
Für die Verknüpfungen
hier
werden nun Eigenschaften deniert, ähnlich wie bei den Körperaxiomen. Es seien
1. Assoziativität der Addition:
x + (y + z) = (x + y) + z
2. Kommutativität der Addition:
x+y =y+x
∃0 : x + 0 = x
3. Existenz der Null:
4. Existenz des Negativen:
∃ − x : x + (−x) = 0
5. Assoziativität der Multiplikation:
6. Distributivität:
α(βx) = (αβ)x
(α + β)x = αx + βx
7. Kompatibilität (neutrales Element der Multiplikation):
∃1 : 1x = x
V mit den Verknüpfungen + und · die, die sieben Vektorraumaxiome besitzen heiÿt Vektorraum.
K − V R also ein K-Vektorraum, oder ein Vektorraum über K.
Jede Menge
ist
V
ein
Man sieht, also, dass jedes
Kn
jeweils einen Vektorraum dar.
ein Vektorraum darstellt. Sowohl, die uns bekannten
K3
, als auch der
K,
Damit
stellen
Jedoch lässt sich die Denition des Denition des Vektorraums auch allgemeiner
auassen.
Wir können ein n-Tupel
(x1 , x2 ...xn )
auch als eine Abbildung auassen.
D.h.
auf die Zahlen
1...n
werden die
jeweiligen Komponenten abgebildet.
K3 :
Bespiel aus dem


1 → 4
2→3


3→8
ergibt das 3-Tupel,
(4, 3, 8).
Noch allgemeiner müssen nicht einmal die natürlichen Zahlen abgebildet werden, sondern irgendwelche Elemente
einer Menge
M.
D.h.
wir können
KM
als die Menge aller Abbildungen, von
M → K
auassen.
Eine spezielle
Abbildung ist dann ein Element dieses Vektorraums.
Damit wäre
KN
einfach alle Folgen, in
K
und die Folge
an =
K[a,b] alle
1
n , wäre ein mögliches Element des Vektorraums.
Funktionen im Intervall [a, b] betrachten. Die Funktion
f (x) = x wäre dann ein Element des Vektorraums. Ein solcher Vektor hat dann natürlich unendlich viele Elemente,
weil wir für jeden x-Wert im Interval [a, b] einen zugeordneten Funktionswert nden.
Auf die gleiche Art und Weise kann man als
19
29 Untervektorräume
Ein Untervektorraum ist ein Vektorraum, in dem die gleichen Verknüpfungen gelten, wie im Vektorraum, und er
bezüglich dieser Verknüpfungen abgeschlossen ist. Das heiÿt, wenn man die Verknüpfungen auf beliebige Element
des VR anwendet, so erhält man wiederrum ein Element, das im Untervektorraum liegt. Konkret gelten folgende
Bedingungen.
• U 6= ∅
bzw.
0∈U
• ∀x, y ∈ U : x + y ∈ U ∧ αx ∈ U
Wie bereits gesagt, darf es also nicht möglich sein mit den Verknüpfungen aus dem Untervektorraum herauszukommen. Folglich ist zum Beispiel der
R2
ein UVR des
R3 ,
also eine Ebene ist ein UVR des 3-dimensionalen Raumes.
30 Linearkombinationen
Eine Linearkombination ist eine Summe von Vektoren in einem Vektorraum, wobei jeder Vektor noch einen beliebigen Vorfaktor besitzen darf. Die allgemeinste Linearkombination aus n Vektoren ist also:
n
X
αk xk
k=1
für
x ∈ Kn
30.1 Der lineare Aufspann
Man nehme eine beliebige Anzahl
n
von Vektoren. Als linearen Aufspann bezeichnet man dann die Menge aller
Linearkombinationen dieser Vektoren. Das heiÿt, dass der lineare Aufspann einen Vektorraum aufspannt. Sind die
n Vektoren aus
v1 − vn enthält.
dem Vektorraum
V,
so ist lin(v1 , v2 ..vn ) der kleinste Untervektorraum von
V,
der alle Vektoren
Da der lineare Aufspann alle Linearkombinationen der Vektoren enthält ist nämlich sichergestellt,
dass der Raum bezüglich Addition und Multiplikation abgeschlossen ist. Wir können also beliebige Vektoren im
Raum des linearen Aufspanns adddieren und mit einem Skalar multiplizieren, weil wir dadurch nur wieder eine
Linearkombination erzeugen, die laut Denition schon im Aufspann drin ist.
Beispiel: lin
0
1
= R1
lin
0
1
1
0
= lin
3
1
4
−0, 5
= R2
30.2 Lineare Unabhängigkeit
Eine Menge von Vektoren heiÿt linear unabhängig, wenn man keinen Vektor entfernen kann ohne dadurch den
linearen Aufspann zu verkleinern. Das heiÿt im Umkehrschluss, dass kein Vektor der Menge sich als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt, denn dann könnte man diesen Vektor entfernen. Schlieÿlich besteht
der lineare Aufspann aus allen Linearkombinationen der Vektoren, und der Vektor, der schon Linearkombination
der anderen Vektoren ist, vergröÿert ihn auch nicht mehr.
20
In der Praxis überprüft man lineare Unabhängigkeit am besten dadurch, dass man versucht den Nullvektor als
Linearkombination der Vektoren darzustellen.
Dies folgt direkt aus der Bedingung, dass ein Vektor der Menge
Linearkombination der anderen Vektoren ist.
j−1
X
α n vn = vj ⇒
n=1
Hierbei muss natürlich der Fall
j−1
X
αn vn − vj = 0 ⇒
n=1
α1 = α2 = αn = 0
j
X
αn vn = 0
n=1
ausgeschlossen werden. Diesen Fall nennt man den trivialen Fall
oder triviale Linearkombination.
30.3 Lineare Unabhängigkeit mit Hilfe von Matrizen
Man kann die lineare Unabhängigkeit von Vektoren auf einfachere Art und Weise überprüfen, indem man sie als
Zeilen einer Matrix schreibt und dann versucht diese mit Hilfe von Zeilenumformungen auf die Zeilenstufenform zu
bringen. Dabei ändert sich die lineare Abhängigkeit der Zeilen nicht, wir können also im Endeekt ablesen, ob die
Vektoren linear abhängig waren oder nicht. Als Umformungen ist folgendes zugelassen:
•
Vertauschen von Zeilen
•
Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl
•
Addition einer Zeile zu einem beliebigen Vielfachen einer anderen Zeile
Ziel der Umformungen ist es so viele Nullen wie möglich in der Matrix zu erzeugen.
In Zeilenstufenform ist die
Matrix genau dann, wenn sie so aussieht, irgendwie schwer zu beschreiben

c
 0

 0
0
∗ ∗
0 b
0 0
0 0
∗
∗
a
0

∗
∗ 

∗ 
d
Man will also links unten nur noch Nullen haben. Jetzt sehen wir, dass die ursprünglichen Vektoren linear unabhängig waren, wenn
d 6= 0
gilt. Für
d=0
waren die Vektoren linear abhängig.
Noch krasser als die Zeilenstufenform ist die Zeilennormalenform. Das bedeutet, dass die Zeilen zudem normiert
sind, d.h. das erste Element in jeder Zeile ist 1 und über jeder 1 stehen nur noch Nullen. Wieder ein Beispiel:

1
 0

 0
0
a
0
0
0

0 0 e
1 0 d 

0 1 c 
0 0 0
Das höhere Mathematikon
Christian Huber
Diese Zusammenfassung ist ein Mix aus dem Skript von Herr Dr. Peer Kunstmann, der allseits beliebten Wikipedia,
diversen anderen Onlinequellen und letztendlich meiner Fantasie ... es gibt also keine Garantie auf Richtigkeit vor
allem nicht bei den Beispielen ;)
21
A
abgeschlossen (Menge)
Eine Menge heiÿt abgeschlossen, wenn jede konvergente Folge in der Menge gegen einen Wert in der Menge konvergiert
xn → x0 ⇒ x0 ∈ D
Absolutkonvergenz
Eine Reihe heiÿt absolutkonvergent, wenn die Reihe über die Absolutbeträge
P∞
n=1
| an |konvergiert.
Abschluss einer Menge
Der Abschluss einer Menge
D
ist eine Menge, die alle Elemente der Menge
D
enthält und zusätzlich noch deren
Häufungspunkte. Das heiÿt, dass alle endlichen einzelnen Lücken in der Menge geschlossen werden. Die Denition
lautet:
D = {x ∈ R : ∀ > 0 : U (x) ∩ D 6= ∅}
Additionstheoreme
• sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x
• cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
Arcuscosinus
Der Arcuscosinus ist die Umkehrfunktion vom Cosinus. Er bildet
[−1, 1] → [0, π] ab.
Er ist streng monoton fallend,
stetig und bijektiv.
Arcussinus
Der Arcussinus ist die Umkehrfunktion vom Sinus. Er bildet
[−1, 1] → [− π2 , π2 ] ab.
Er ist streng monoton wachsend
und stetig und bijektiv.
Arcustangens
Der Arcustangens ist die Umkehfunktion vom Tangens. Er bildet
stetig und bijektiv.
22
R → [− π2 , π2 ]
ab. Er ist streng monton wachsend,
B
Bernouillsche Ungleichung
(1 + x)n ≥ 1 + nx
Beschränktheit
Eine Menge heiÿt beschränkt, wenn es sowohl eine obere als auch eine untere Schranke gibt, die nicht in der Menge
liegt.
∃γ∀x ∈ M : x < γ . Eine Funktion
∃γ∀x ∈ D : f (x) < γ .
heiÿt beschränkt, falls es eine obere und eine untere Schranke für die
Funktionswerte gibt.
Bestapproximation
Man nehme zwei kompakte Mengen, die einen leeren Schnitt haben (also kein Element kommt in beiden Mengen
vor). Für jedes Element
x0
der einen Menge gibt es in der anderen Menge mindestens eine Bestapproximation
Das ist das Element, dass am nächsten an
x0
y0 .
dran ist.
Bijektivität
Eine Funktion heiÿt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Bijektive Funktionen besitzen Umkehrfunktion,
da die Zuordnung
x 7→ y
auf eindeutige Art und Weise in
y 7→ x
umgewandelt werden kann.
Binomialkoezient
Der Binomialkoezient ist eine verkürzte Schreibweise.
n
k−1
=
n+1
k
Es gilt:
n
k
=
n!
k!(n−k)! .
Weiterhin gilt:
n
k
Binomialsatz
(a + b)n =
Pn
k=0
ak bn−k
Bolzano-Weierstraÿ-Satz
Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge, d.h. jede beschränkte Folge hat einen Häufungswert.
23
+
C
Cauchyfolge
Eine Folge deren Folgenglieder ab einem bestimmten Folgeglied beliebig nahe aneinanderkommen heiÿt Cauchyfolge:
∀ > 0∃n0 ∈ N∀n, m ≥ n0 :| an − am |< Jede konvergente Folge ist Cauchyfolge.
Cauchyprodukt
P∞
n=0 an und
n=0 bn ist deniert als
absolut konvergent, so ist dies auch das Cauchyprodukt.
Das Cauchyprodukt zweier Reihen
P∞
P∞ Pn
n=0
k=0
ak bn−k .
Sind beide Reihen
Cosinus
z 2n
(2n)! heiÿt Cosinusreihe. Sie besitzt den Konvergenzradius ∞. Man deniert die
Funktion analog wie beim Sinus. Der Cosinus ist stetig und auf dem Intervall [0, π] streng monoton fallend.
Die Reihe
cos(z) =
P∞
n
n=0 (−1)
·
Cosinus Hyperbolicus
Der Cosinus Hyperbolicus ist deniert als:
cosh x =
1 x
2 (e
+ e−x ) =
x2n
n=0 (2n)! .
P∞
Er sieht ähnlich aus wie einer
Normalparabel durch (0,1) und ist stetig.
D
Dierenzierbarkeit
Eine Funktion heiÿt dierenzierbar in
x0
wenn
limx→x0
f (x)−f (x0 )
existiert. Eine Funktion, die an allen Stellen
x−x0
x0
dierenzierbar ist, heiÿt dierenzierbar.
Dreiecksungleichung
| a´+ b |≤| a | +
´ | b |. Sie kann auch auf
Integrale
| f (x) |≥| f (x) |angewand werden.
Dreiecksungleichung lautet:
Zahlen oder auch auf
Summen:
|
P
a |≤
P
E
Epsilonumgebung
Die Epsilonumgebung
U
um eine Zahl
x0
gibt das geschlossene Intervall
24
[x0 − , x0 + ]
an.
| a |,
oder komplexe
Epsilon-Delta-Kriterium
Mithilfe des
− δ - Kriteriums lässt sich eine Aussage über Stetigkeit treen.
Es sagt, dass wenn die x-Werte beliebig
nahe aneinanderkommen die Funktionswerte beliebig nahe anneinander kommen.
∀∃δ :| f (x) − f (x0 ) | ∀x ∈ D :|
x − x0 |< δ .
Exponentialreihe
Die Reihe
E(z) =
P∞
z
n=0 n! heiÿt Exponentialreihe und konvergiert für jedes
z ∈ C.
F
Feinheit
Die Feinheit einer Zerlegung ist die Intervalllänge des längsten Intervalls:
| Z |= max{| Ij |}
Folge
eine Folge ist eine Abbildung der natürlichen Zahlen auf eine andere Menge.
G
Gleichmäÿige Konvergenz
Eine Funktionenfolge heiÿt gleichmäÿig konvergent, wenn eine stetige Grenzfunktion existiert, d.h ab einem bestimmten n0 liegen alle Funktionswerte
N∀n ≥ n0 ∀x ∈ D :| fn (x) − f (x) |< in einem beliebig engen Epsilonschlauch um die Funktion.
∀ > 0∃n0 ∈
Gleichmäÿige Stetigkeit
Eine Funktion heiÿt gleichmäÿig stetig, wenn man das Epsilon-Delta-Kriterium auf die gleiche Art und Weise für
alle x-Werte verwenden kann:
∀ > 0∃δ > 0∀x, x0 ∈ D :| x − x0 |< δ ⇒| f (x) − f (x0 ) |< H
Häufungspunkt
Ein Häufungspunkt einer Menge ist der Grenzwert einer Folge in der Menge (deren Folgenglieder jedoch selbst nicht
der Grenzwert werden dürfen). Das kann auch folgendermaÿen ausgedrückt werden.
0∃U (x0 ) ∩ (D \ {x0 }) 6= ∅.
25
x0
ist Häufungspunkt
⇔ ∀ >
Häufungswert
Ein Häufungswert ist der Grenzwert einer Teilfolge einer Folge. Besitzen alle Teilfolgen den selben Häufungswert,
dann ist dies auch der Grenzwert der Folge.
Hauptsatz der Integral- und Dierentialrechnung
Das bestimmte Integral eine Funktion
Stammfunktion von
f
mit
G0 = f
´b
berechnet man wie folgt:
a
f (x)dx = G(b) − G(a). G
heiÿt
f.
I
Induktionsmenge
Eine Induktionsmenge ist eine Menge, die die 1 enthält und weiterhin jede um 1 gröÿere Zahl. Folglich sind die
natürlichen Zahlen, die kleinste Induktionsmenge.
Inmum
Das Inmum einer Menge (Funktion) ist die gröÿte untere Schranke.
Injektivität
Eine Funktion heiÿt injektiv, wenn jedem x ein anderes y zugeordnet wird, d.h.
x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )
Innerer Punkt
Einer Innerer Punkt einer Menge ist, ein Punkt, der von beiden Seiten von der Menge eingeschlossen wird, dass
heiÿt dass die Deltaumgebung des Punkts zu der Menge gehört:
∃δ > 0 : Uδ (x0 ) ⊂ M .
In einem Intervall sind alle
Punkte auÿer dem Supremum und dem Inmum innere Punkte.
Intervallschachtelung
Eine Intervallschachtelung ist eine Folge von Intervallen für die gilt:
In+1 ⊂ In
und
an − bn → 0.
Wobei a und b
die Intervallgrenzen sind.
Isolierter Punkt
Eine isolierter Punkt einer Funktion ist ein Punkt der nicht Häufungspunkt der der Denitionsmenge ist.
Funktion ist in einem isolierten Punkt stetig.
26
Jede
K
Kartesisches Produkt
Das kartesische Produkt zweier Mengen ist die Menge der geordneten n-Tupel beider Mengen. Das kann man sich
so vorstellen: Man nehme jedes Element jeder Menge und kombiniere es mit jedem Element der anderen Menge.
Der
R3
ist ein kartesisches Produkt
R × R × R.
Kompaktheit
Eine Menge heiÿt kompakt wenn jede Folge in der Menge eine Teilfolge besitzt, die in der Menge konvergiert. Im
Reellen ist eine Menge kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Komplexe Zahlen
Die komplexen Zahlen bestehen aus einem Real und einem Imaginärteil. Beide sind reell. Der Imaginärteil wird
mit der imaginären Einheit der komplexen Zahl i multipliziert. Dabei gilt
i=
√
−1.
Zahlen anschaulich in der komplexen Zahlenebene vorstellen, ähnlich wie Vektoren im
auch über Polarkoordinaten dargestellt werden:
z =| z | e
Man kann sich die komplexen
R2 .
Komplexe Zahlen können
φi
Komposition von Funktionen
Eine Funktion heiÿt Komposition zweier Funktionen, wenn sie sich als hintereinander Ausführung zweier Funktionen
darstellen lässt.
f (x) = x2 − 1
ist
h◦g
wenn
h(x) = x2
und
g(x) = −1
ist. Die Komposition ist assoziativ.
Konjugation
Die Konjugation einer komplexen Zahl
z = x + iy
ist
z = x − iy .
Die konjugiert komplexe
Zahl ist die an der
p
Realachse gespiegelte Zahl. Sie besitzt den gleichen Betrag. Dieser beträgt
| z |=
√
zz =
x2 + y 2 .
Konvergenz
Eine Folge heiÿt konvergent, wenn die Folgenglieder beliebig nahe an einen Grenzwert herankommen.
0∃n0 ∀n > n0 :| an − a |< .
∀ >
Eine monotone beschränkte Folge ist konvergent.
Konvergenzradius
Der Konvergenzradius
R
einer Potenzreihe gibt den Kreisradius um den Entwicklungspunkt an für den die Poten-
zreihe konvergiert. Es gilt
1
R := lim supn→∞ √
n
|an |
27
L
Leibnizkriterium
Ist
an
eine monton fallende Nullfolge, so konvergiert
P∞
n
n=1 (−1) an .
Limes
Der Limes ist der Grenzwert einer Folge (Funktion).
•
Limes Superior
Der Limes Superior ist der gröÿte Häufungswert einer Folge.
•
Limes Inferior
Der Limes Inferior ist der kleinste Häufungswert einer Folge.
Logarithmus (allgemeiner)
Der allgemeine Logarithmus
loga x
ist die Umkehrfunktion von
f (x) = ax .
Es gilt
loga x =
ln x
ln a
Logarithmus (natürlicher)
Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion der e-Funktion. Er bildet die positiven reellen Zahlen auf die
reellen Zahlen ab und ist stetig sowie streng monoton wachsend.
M
Maximum
Eine Maximum einer Menge ist eine obere Schranke, die noch Element der Menge ist
γ : γ ∈ M ∧γ
ist OS von M.
Mittelwertsatz der Dierentialrechnung
Für eine auf einem Intervall
I
I
stetige und dierenzierbare Funktion
f
a
und
b
f (a)−f (b)
. Man benötigt den Mittelwertsatz vor allem für Abschätzungen und Grenzwerte.
a−b
28
(a, b) von
∃ξ : f 0 (ξ) =
gilt: Zwischen jedem Teilintervall
gibt es einen Punkt an dem die Ableitung gerade der Sekantensteigung zwischen
entspricht:
Mittelwertsatz (verallgemeinert)
Für zweit stetige und dierenzierbare Funktionen
f, g
gilt:
f (a)−f (b)
g(a)−g(b)
=
f 0 (ξ)
g 0 (ξ)
Minimum
Ein Minimum einer Menge ist eine untere Schranke, die noch Element der Menge ist:
γ : γ ∈ M ∧γ
ist US von M.
P
Partielle Integration
´
f 0 (x)g(x) = f g −
´
f (x)g 0 (x)
Piπ
Pi ist deniert als das doppelte der ersten Nullstelle des
cos x
im Intervall
[0, 2].
Polarkoordinaten
Jede komplexe Zahl lässt sich mithilfe von Polarkoordinaten darstellen, die sich z.B. leichter potenzieren lassen.
z =| z | eφi , hierbei heiÿt φ das Argument. Dies geschieht analog zur
eφi = cos x + i sin x. Den Winkel bekommt man über ϕ = arctan ab , wobei man
Sie haben die Form:
Physik wegen der
Eulerumformung
natürlich mit dem
Vorzeichen aufpassen muss.
Potenz (allgemeine)
Es gilt
ax = ex·ln a
Potenzmenge
Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen:
P ot(M ) = {N :
N ist Teilmenge von M}
Potenzreihe
P∞
n
n=0 an (z − zo ) heiÿt Potenzreihe um den Entwicklungspunkt
z, die innerhalb des Konvergenzradius liegen.
Eine Reihe der Form
29
z0 .
Sie ist konvergent für alle
Punktweise Konvergenz
Eine Funktionenfolge heiÿt punktweise Konvergent, wenn an jeder Stelle
n nähern sich die Funktionswerte
gelten:limn→∞ fn (x) = f (x)
zunehmendem
lediglich
x0
einer Grenzfunktion an.
der Limes der Folge existiert. D.h. mit
Diese muss nicht stetig sein.
Es muss
Q
Quotientenkriterium
Ist
α = lim supn→∞ |
an+1
an
|,
so ist die Reihe
P∞
n=1
an
absolutkonvergent für
α<1
und divergent für
α > 1.
R
Raum der beschränkten Funktionen
Der Raum der beschränkten Funktionen
B(M ) sind alle Funktionen, die von M → R abbilden und beschränkt sind.
Regeln von de l'Hospital
1. Es gelte:
limx→a
2. Es gelte:limx→a
f 0 (x)
g 0 (x)
f 0 (x)
g 0 (x)
= L und limx→a f (x) = limx→a g(x) = 0, dann gilt für den Quotienten limx→a
=L
und
limx→a g(x) = ∞,
dann gilt für den Quotienten
limx→a
f (x)
g(x)
f (x)
g(x)
= L.
= L.
Reihe
Die Folge über die Partialsummen
sN
einer Folge heiÿt Reihe.
Konvergiert die Reihe wird
P∞
n=1
an
auch der
Reihenwert der Reihe genannt.
•
geometrische:
•
harmonische:
•
P∞
1
n=1 n(n+1)
P∞
n=0
zn =
1
1−z ist konvergent für
| z |< 1.
P∞
1
n=1 n divergiert.
=1
S
Sinus
Die Reihe
Funktion.
P∞
z 2n+1
sin(z) = n=0 (−1)n · (2n+1)!
heiÿt Sinusreihe. Sie besitzt den Konvergenzradius ∞ Man deniert die
z 7→ sin z . Der Sinus ist stetig, 2π -periodisch und auf dem Intervall [− π2 , π2 ] streng monoton wachsend.
30
Sinus Hyperbolicus
Der Sinus Hyperbolicus wird deniert als:
sinh x = 21 (ex − e−x ) =
x2n+1
n=0 (2n+1)! . Er sieht ähnlich aus, wie eine
P∞
x3
Funktion und ist stetig.
Stammfunktion
Eine Stammfunktion von
f
ist
F
mit
F0 = f.
Man schreibt auch
F =
´
f (x)dx.
Zwei Stammfunktion unterscheiden
sich nur durch eine additive Konstante.
Stetigkeit
Eine Funktion heiÿt stetig in
x0 ,
wenn der
limx→x0 f (x) = f (x0 ) ist. Analog kann man auch den rechtsseitigen
− δ - Kriterium anwenden. Eine Funktion heiÿt stetig,
und linksseitigen Limes auf Gleichheit überprüfen, oder das
wenn sie in jedem Punkt stetig ist.
Stetige Dierenzierbarkeit
Eine Funktion heiÿt stetig dierenzierbar auf einem Intervall, wenn sie dierenzierbar ist und ihr Ableitung stetig
ist. Für stetig dierenzierbare Funktionen existiert eine Stammfunktion. Man schreibt
f ∈ C −1 (I)
Supremum
Das Supremum einer Menge (Funktion) ist die kleinste obere Schranke.
Supremumsnorm
Die Supremumsnorm einer Funktion
f ∈ B(M )
ist das Supremum der Absolutbeträge der Funktionswerte.
Surjektivität
Eine Funktion heiÿt surjektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs, auf den der Denitionsbereich abgebildet
wird, getroen wird, d.h.
∀y ∈ W ∃x ∈ D : f (x) = y
T
Tangens
sin x
tan x = cos
x . Aus seiner Denitionsmenge muss man die Nullstellen des Cosinus
+ Zπ}. Der Tangens ist π -periodisch und auf einem stetigen Intervall streng monoton
Der Tangens ist deniert durch
rausnehmen, d.h.
D=
R \ { π2
wachsend.
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U
Umkehrabbildung
Jede bijektive oder streng monoton wachsende Funktion besitzt eine Umkehrabbildung, die die Funktionswerte
zurück auf die Denitionsmenge abbildet.
f : D → W , f −1 : f (D) → D.
W
Wurzelkriterium
Ist
α = lim supn→∞
p
| an |,
dann gilt. Für
α<1
konvergiert
P∞
n=1
an
absolut. Ist
α>1
so divergiert die Reihe.
Z
Zwischenwertsatz
Der Zwischenwertsatz besagt, dass wenn
y0
zwischen
f (a)
und
f (b)
ein
x0
f
gibt mit
auf dem Intervall
f (x0 ) = y0 .
[a, b]
eine stetige Funktion ist, dass es dann zu jedem
Daraus folgt, dass das Bild eines Intervalls einer stetigen
Funktion wieder ein Intervall ist.
32