Potentialbarriere - Universität des Saarlandes

Universität des Saarlandes
Fachrichtung 7
Physik und Mechatronik
20.07.2009
Mathematisches Tutorium II
Sommersemester 2009
Übungsblatt 10
Aufgabe 1: endliche Potentialstufe
Wir betrachten eine eindimensionale Potentialstufe der Höhe V0 an der Stelle x = 0:
V0 , für x > 0
V (x) =
0, für x < 0
(1)
Zur besseren Beschreibung des Problems unterteilen wir die x-Achse in zwei Gebiete I (x < 0)
und II (x > 0). Ein Teilchen mit der Energie E treffe von links auf die Potentialstufe. Die
Amplitude der einfallenden Wellenfunktion sei 1. Die Amplitude des reflektierten Anteils sei R
und die des transmittierten Anteils sei T (siehe Abb. 1(a)). Wir unterscheiden die beiden Fälle:
i) E > V0 und ii) E < V0 .
a) Stellen Sie die Schrödinger-Gleichung für die zwei Gebiete I und II auf und lösen Sie sie,
d.h. berechnen Sie die Wellenfunktionen ψI (x) und ψII (x) für die beiden Fälle i) und ii).
b) Welche Stetigkeitsbedingungen gelten bei x = 0? Leiten Sie daraus Gleichungen für die
Koeffizienten R und T in Abhängigkeit der Wellenvektoren der beiden Gebiete I und II
her.
c) Auf dem 8. Übungsblatt haben wir die Wahrscheinlichkeits-Stromdichte wie folgt definiert:
~
∂
∂ ∗
∗
j(x) =
ψ (x) ψ(x) − ψ(x) ψ (x)
(2)
2mi
∂x
∂x
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsstromdichten jI und jII für die Gebiete I und II.
(a) Potentialstufe
(b) Potentialschwelle
Abbildung 1: Skizze einer Potentialstufe bzw. Potentialschwelle.
Aufgabe 2: Potentialschwelle
Wir betrachten nun eine endliche Potentialschwelle
V0 , für |x| < a
V (x)
.
0, für |x| > a
(3)
Treffe ein Teilchen der Energie E < V0 auf die Potentialbarriere. Ein klassisches Teilchen würde
dann von der Barriere vollkommen reflektiert. In der vorherigen Aufgabe haben wir allerdings
gesehen, dass in der Quantenmechanik ein Teilchen teilweise in den klassisch verbotenen Bereich
eindringen kann. Daher ist es in der Quantenmechanik nicht ausgeschlossen, dass ein Teilchen
die Barriere durchtunneln“ kann. Wir unterteilen die x-Achse wieder in Teilgebiete:
”
Gebiet I
x < −a
Gebiet II −a < x < a
Gebiet III x > a
a) Wie lautet die Schrödinger-Gleichung auf den 3 Teilgebieten unter der Vorraussetzung,
dass die Energie des einfallenden Teilchens kleiner ist als die Höhe der Potentialschwelle,
d.h. E < V0 ? Die dazugehörige Wellenfunktion, wollen wir zunächst in ihrer allgemeinsten
Form betrachten: Auf dem Gebiet I habe der Anteil der Welle, der nach rechts läuft die
Amplitude A und derjenige, der nach links läuft die Amplitude B. Die Amplituden im
Gebiet II seien C bzw. D und die Amplituden im Gebiet III seien F bzw. G (siehe Abb.
1(b)). Wie lauten die Wellengleichungen auf den einzelnen Gebieten?
b) Betrachten Sie die Stetigkeitsbedingung der Wellenfunktion an der Stelle x = −a. Am
besten Sie formulieren den Zusammenhang zwischen den Amplituden A,B bzw. C,D in
Form einer Matrix M (a):
C
A
(4)
= M (a)
D
B
Wie lautet die Matrix M (a)?
c) Werten Sie analog zu b) die Stetigkeitsbedingung an der Stelle x = a aus. Wie hängen die
Amplituden C,D mit F,G zusammen? Nutzen Sie dazu das Ergebnis aus b). (Bitte nicht
nochmal alles ausrechnen!)
d) Welcher Zusammenhang ergibt sich zwischen A,B und F,G?
e) Wir wollen den Spezialfall eines Teilches betrachten, welches von links auf die Potentialschwelle trifft. Geben Sie für diesen Fall die Transmissionsamplitude, d.h. das Verhältnis
aus der Amplitude der einlaufenden Welle und der Amplitude der transmittierten Welle
hinter der Potentialschwelle im Gebiet III an.
Aufgabe 3: Kommutatoren
Berechnen Sie folgende Kommutatoren:
a) [Lx , p2 ]
b) [Lx , p~]
Hierbei bezeichnet Lx die x-Koordinate des Drehimpulses und p~ den Impuls.
Janine Riedrich-Möller
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Besprechung der Aufgaben:
27. Juli