4 Potenzen – Wachstumsprozesse

Potenzen – Wachstumsprozesse - Exponentialfunktionen
Jahrgangsstufe 10
4
Potenzen – Wachstumsprozesse – Exponentialfunktionen
4.1
Potenzieren – Radizieren
4.1.1
Potenzen mit natürlichen Exponenten – Exponentielle Wachstumsvorgänge
4.1.1.1
Wiederholung zum Potenzieren


4.1.1.2
.
Potenzen mit natürlichen Exponenten – Potenz a0

4.1.1.3
4.1.2
ist eine Potenz mit der Basis 4 und dem Exponenten 7.
16 384 ist die 7. Potenz von 4; man nennt 16 384 auch den Wert der Potenz
Eine Potenz mit dem Exponenten 0 ist immer 1
Exponentielle Wachstum – Wachstumsfaktor

Verändert sich eine Anfangsgröße a in gleichen Schritten immer um den gleichen Faktor q, so sprechen wir von einem exponentiellen
Wachstum.




Nach n Schritten (z.B. Jahre oder Stunden) hat die Anfangsgröße a den Wert
(a ≠ 0 und q > 0).
Der Faktor q heißt Wachstumsfaktor.
Ist q > 1, so nimmt die Größe immer weiter zu.
q heißt dann auch Zunahmefaktor.
Ist a < 1. so nimmt die Größe immer weiter ab.
q heißt dann auch Abnahmefaktor.
n-te Wurzel
4.1.2.1
4.Wurzel


4.1.2.2
Die Zahl 81 ist die 4. Potenz von 3. Die Zahl 3 heißt die 4. Wurzel aus 81, geschrieben:
4 heißt der Wurzelexponent.
5. Wurzel


Die Zahl 32 ist die 5. Potenz von 2. Die Zahl 2 heißt die 5. Wurzel aus 32, geschrieben:
5 heißt der Wurzelexponent.
Potenzen – Wachstumsprozesse - Exponentialfunktionen
4.1.2.3
n-te Wurzel

Unter der n-ten Wurzel aus einer positiven Zahl a versteht man diejenige positive Zahl, die mit n potenziert die
Zahl a ergibt.

Für die n-te Wurzel aus a schreibt man kurz:


4.1.3
√
Für den Sonderfall a = 0 gilt:
√
Eine n-te Wurzel ist nur definiert, wenn der Radikand positiv oder null ist.
Gesetzmäßigkeiten für das Potenzieren und Wurzelziehen

Für alle positiven Zahlen gilt:
(1)
√
Das Ziehen der n-ten Wurzel wird durch das Potenzieren mit n rückgängig gemacht.
√
Beispiel:
(2)
√
Das Potenzieren mit n wird durch das Ziehen der n-ten Wurzel rückgängig gemacht.
Beispiel:
4.2
Jahrgangsstufe 10
√
Erweiterung des Potenzbegriffs für rationale Exponenten
4.2.1
Potenzen mit negativen ganzen Exponenten


Bisher traten in den Potenzen nur natürliche Zahlen wie 0, 1, 2, 3, 4, ... als Exponenten auf.
Der Potenzbegriff gilt aber auch für negative ganze Exponenten.

Wir legen fest:
(für a ≠ 0 und für natürliche Zahlen n)
Beispiele:

4.2.2
Die Potenz
ist nicht möglich, da
nicht definiert ist.
Potenzen mit gebrochen rationalen Exponenten
4.2.2.1
Potenzbegriff für gebrochen rationale Exponenten

Neben den Ganzen Zahlen gilt der Potenzbegriff auch für gebrochen rationale Exponenten

Wir legen fest:
√
Beispiele:

Als Spezialfall für m = 1 erhalten wir:
(für a > 0 und für natürliche Zahlen n > 1 und ganze Zahlen m)
√
√
√
,
allgemein
√
√
Potenzen – Wachstumsprozesse - Exponentialfunktionen
4.3
Jahrgangsstufe 10
Zehnerpotenzen
4.3.1
Abgetrennte Zehnerpotenzen mit natürlichen Exponenten
Aufgabe:
4785,3 1000000000 = 4785300000000
 Unterschiedliche Taschenrechnermodelle zeigen vermutlich eines der Ergebnisse unten an.


In allen Fällen wird die Zahl 4785300000000 dargestellt.
Die Zahl 4785300000000 wurde als Produkt einer Zahl a und einer Zehnerpotenz geschrieben, wobei die Zahl a zwischen 1 und 10 liegt.


Solche Zahldarstellungen heißen Schreibweise mit abgetrennter Zehnerpotenz oder Exponentendarstellung oder scientific notation.
Bei dieser Zahldarstellung benötigt man die Zehnerpotenzen (Potenzen mit der Basis 10).
Anwendung:
 Große Zahlen lassen sich übersichtlich mit abgetrennten Zehnerpotenzen oder gewissen Vorsilben (bei Maßeinheiten) schreiben.


4.3.2
Beispiel: 1 500 m = 1,5 10³ m = 1,5 km
Gewisse Vorsilben bei Maßeinheiten bedeuten Zehnerpotenzen:
Abgetrennte Zehnerpotenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten


Aufgabe:
0,47853 0,000000001 = 0,00000000047853
Unterschiedliche Taschenrechnermodelle zeigen vermutlich eines der Ergebnisse unten an.

In allen Fällen wird die Zahl 0,00000000047853 dargestellt.
Anwendung:
 Auch kleine Zahlen lassen sich übersichtlich mit abgetrennten Zehnerpotenzen oder gewissen Vorsilben (bei Maßeinheiten) schreiben.


Beispiel: 0,015 m = 1,5
m = 1,5 cm
Gewisse Vorsilben bei Maßeinheiten bedeuten eine Zehnerpotenz mit negativem Exponenten:


1 Farad und 1 Mikrofarad sind Einheiten für die Kapazität von Kondensatoren in der Elektronik.
Potenzen – Wachstumsprozesse - Exponentialfunktionen
4.3.3
Jahrgangsstufe 10
Potenzgesetze für das Rechnen mit Zehnerpotenzen

Für ganze Zahlen m und n gilt:
(1)
(2)
(3)
4.4
Modellieren von Wachstumsprozessen
4.4.1
Lineare und exponentielle Zunahmeprozesse
4.4.1.1
Lineares Wachstum

Zu gleichen Zeitspannen gehört immer eine Zunahme um den gleichen
Betrag.
Funktionsgleichung:
y = a + mx


a ist der Anfangswert.
y nimmt in jeder für x festgelegten Zeiteinheit um den Betrag m zu.
Beispiel:
4.4.1.2
Exponentielles Wachstum



Zu gleichen Zeitspannen gehört immer eine Vervielfachung mit dem gleichen
Faktor (Wachstumsfaktor).
Funktionsgleichung:
y=a
a ist der Anfangswert.
y wächst in jeder für x festgelegten Zeiteinheit mit dem Faktor q.
Beispiel:
4.4.2
Eine Straße erhält eine neue Asphaltdecke. 2,5 km
sind bereits fertiggestellt, täglich werden 800 m neu
asphaltiert.
In einer Speise sind 1 000 Salmonellen vorhanden. Im
Magen verdreifacht sich die Anzahl der Salmonellen
jede Stunde.
Prozentuale Zunahmeraten und Verdoppelungszeiten

Bei einer Zunahme um gleiche prozentuale Zunahmeraten liegt exponentielles Wachstum vor.

Zur Zunahmerate p% gehört der Zunahmefaktor (

d. h.: nimmt um p% zu bedeutet wird multipliziert mit dem Faktor (
Beispiel:

);
).
Das Volumen y einer Hefekultur ist 12 cm³ und wächst stündlich um 35%.
Zunahmefaktor:
q = 100% + 35% = 135% = 1,35
Funktionsgleichung:
y= 12 ·
(y in cm³; t in h)
Als Faustregel für die Berechnung der Verdoppelungszeit d kann man die Formel
Prozentsätzen bis etwa 12%).
Beispiel:
Für p = 6% ergibt sich d = 12 Jahre, denn 6 · 12
70.
verwenden (nur gültig bei
Potenzen – Wachstumsprozesse - Exponentialfunktionen
4.4.3
Jahrgangsstufe 10
Exponentielle Abnahme – Prozentuale Abnahmeraten und Halbwertszeiten
4.4.3.1
Exponentielle Abnahme (Zerfall)

Zu gleichen Zeitspannen gehört immer eine Multiplikation mit dem gleichen (positiven) Faktor, der kleiner als 1 ist.

Einer Abnahme um p% entspricht der Abnahmefaktor (
Beispiel:
4.4.3.2
); d. h. nimmt um p% ab bedeutet wird mit (
) multipliziert.
Von anfangs 5 g eines radioaktiven Stoffes zerfallen täglich 6%.
Abnahmefaktor:
100% - 6% = 94% = 0,94
Funktionsgleichung:
y=5·
(y in g; t in Tagen)
Halbwertszeit t

Zur Berechnung der Halbwertszeit t eines exponentiellen Zerfalls mit dem Abnahmefaktor q pro Zeiteinheit muss
man die Gleichung
Beispiel:
lösen.
Die Halbwertszeit im obigen Beispiel muss die Gleichung
2,5 = 5 ·
bzw.
0,5 =
erfüllen.
Da
ist, beträgt die Halbwertszeit 11 Tage.
Beachte: Oft werden exponentielle Zunahme und exponentielle Abnahme einheitlich als exponentielles Wachstum bezeichnet.
4.4.4
Proportionale und quadratische Wachstumsprozesse
4.4.4.1
Proportionales Wachstum


4.4.4.2
Quadratisches Wachstum


4.5
Die Funktionsgleichung
beschreibt ein proportionales Wachstum.
Verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht, ... man den Ausgangswert x, so verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht... sich auch die
zugeordnete Größe y.
Die Funktionsgleichung
beschreibt ein quadratisches Wachstum.
Verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht, ... man den Ausgangswert x, so wächst die zugeordnete Größe y mit dem Faktor 22, 32, 42 . . . ,
d. h. sie vervierfacht, verneunfacht, versechzehnfacht... sich.
Exponentialfunktion und ihre Eigenschaften
4.5.1
Die Exponentialfunktion








Die Funktion mit der Gleichung
heißt Exponentialfunktion zur Basis 2.
Der maximale Definitionsbereich ist die Menge der reellen Zahlen
Der Graph der Funktion ist steigend.
Der Graph liegt oberhalb der x-Achse.
Der Graph nähert sich mit dem negativen Teil der x-Achse an.
Die Funktion hat keine Nullstelle.
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt E (0|1).
Jedes Mal, wenn x um 1 wächst, wird der Funktionswert mit 2 multipliziert (Grundeigenschaft der Exponentialfunktion).
Potenzen – Wachstumsprozesse - Exponentialfunktionen
4.5.2
Exponentialfunktionen mit


Jahrgangsstufe 10
(b > 0, b ≠ 1) - Eigenschaften
Die Funktion mit
, wobei b > 0 und b ≠ 1, heißt Exponentialfunktion Basis b.
Der maximale Definitionsbereich ist die Menge der reellen Zahlen.
Für jede Exponentialfunktion mit der Gleichung
 Die Graphen aller Exponentialfunktionen mit
Punkt E (0|1) und nur diesen Punkt gemeinsam.
 Die Graphen der Exponentialfunktionen mit
gilt:
haben den
und mit
liegen symmetrisch zur y-Achse.







4.5.3
Der Graph der Funktion
 steigt für b > 1;
 fällt für 0 < b < 1.
Der Graph liegt oberhalb der x-Achse.
Der Graph nähert sich
 für b > 1 dem negativen Teil der x-Achse an;
 für 0 < b < 1 dem positiven Teil der x-Achse an.
Die Funktion hat keine Nullstelle.
Jedesmal, wenn x um 1 wächst, wird der Funktionswert
mit dem
Faktor b multipliziert (Grundeigenschaft der Exponentialfunktionen).
Ist die Basis b einer Exponentialfunktion größer als 1, so liegt eine
exponentielle Zunahme vor.
Liegt die Basis b einer Exponentialfunktion zwischen 0 und 1, so liegt eine exponentielle Abnahme (Zerfall) vor.
Die Exponentialfunktionen mit y = a



b>
b≠
- Eigenschaften
Ein exponentieller Wachstumsprozess wird durch eine Exponentialfunktion mit der Gleichung y = a
Die Basis b ist der Wachstumsfaktor des Prozesses.
Der Faktor a ist der Anfangswert.
beschrieben.