Aufgabe 1 Bei der Herstellung von Kerzen ist nicht zu vermeiden

Aufgabe 1
Bei der Herstellung von Kerzen ist nicht zu vermeiden, dass einige Kerzen kleinere Mängel
aufweisen, also Produkte zweiter Wahl sind. Auf Grund langjähriger Produktions-Erfahrung weiß
der Kerzenhersteller, dass etwa 5 % der Kerzen zur zweiten Wahl gehören. Zur Qualitätssicherung
führt der Kerzenhersteller eine Qualitätskontrolle ein, bei der der laufenden Produktion täglich
10 Kerzen entnommen werden. Eines Tages entdeckt man unter den 10 Kerzen 2 Kerzen zweiter
Wahl. Welche Bedeutung sollte man diesem Ereignis beimessen?
Aufgabe 20
Nach einem Wurf mit einem regulären Würfel werde eine Münze n-mal geworfen, wenn die Zahl n
gewürfelt wurde. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 3-mal „Kopf“ erscheint?
Aufgabe 21
1
als Mädchen oder als
2
Knabe auf die Welt kommt. Eine Familie habe n Kinder. Untersuchen Sie für n=2, n=3 und n=4, ob
das Ereignis A „es gibt höchstens ein Mädchen in der Familie“ und das Ereignis B „es gibt Kinder
beiderlei Geschlechts in der Familie“ unabhängig sind.
Es sei angenommen, dass man in Deutschland mit der Wahrscheinlichkeit
Aufgabe 1
Die Wahrscheinlichkeit, bei einer zufälligen Stichprobe eine Kerze zweiter Wahl zu ziehen
(Ergebnis der Einzelziehung ist T), beträgt p=0,05. Werden nun 10 Kerzen gezogen, so beschreibe
X die Anzahl der Kerzen zweiter Wahl. Gesucht wird P(X=2). Dann gilt
 }} . Dieses Ereignis tritt z.B. bei dem Ergebnis
={T 1, T 2 ,... ,T n ∣Ti ∈{T , T
,T
 ,T
,T
 ,T
 ,T , T
 ,T
,T
  ein. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ergebnis ist
T , T
5
3
2
8
p⋅1−p ⋅p⋅1−p = p ⋅1− p . Jede von 10 Permutation dieses Ergebnisses hat die gleiche
2
10
⋅0,052⋅0,958 =0,07463. Die Wahrscheinlichkeit, dass
Wahrscheinlichkeit. Damit folgt P(X=2)=
2
von 10 Kerzen 2 Kerzen zweite Wahl sind, ist also keineswegs gering.
 
 
Aufgabe 20
Nach einem Wurf mit einem regulären Würfel werde eine Münze n-mal geworfen, wenn die Zahl n
gewürfelt wurde. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 3-mal „Kopf“ erscheint?
 = {x n , y n ∣x n =n∧n ∈{1,2,3,4,5,6}∧y n = w1 ,... , w n ∧w j ∈{K;Z} }
6
∣∣= ∑ 2 n = 126; X = Anzahl von Kopf-Würfen. Abhängig von der gewürfelten Augenzahl n
n=1
wird die Münze n mal geworfen. Ereignisse sind dann A n =“Augenzahl n gewürfelt“, B= (X=3).
6
Gesucht ist die totale Wahrscheinlichkeit B= ∑ P A n ⋅P B∣A n  . Dabei ist P B∣A n  die
n=1
Wahrscheinlichkeit für 3 Treffer (Kopf) bei einer Bernoulli-Kette mit p=0,5 der Länge n.
6

1
1
1
1
P An = , also gilt P(B) = ⋅ ∑ n ⋅ = .
n
6
6
6 n=3 3 2
Aufgabe 21
1
als Mädchen oder als
2
Knabe auf die Welt kommt. Eine Familie habe n Kinder. Untersuchen Sie für n=2, n=3 und n=4, ob
das Ereignis A „es gibt höchstens ein Mädchen in der Familie“ und das Ereignis B „es gibt Kinder
beiderlei Geschlechts in der Familie“ unabhängig sind.
Es sei angenommen, dass man in Deutschland mit der Wahrscheinlichkeit
Sei n= 2
Dann gilt  2={m 1 , m 2 ∣m1 , m 2 ∈{K;M}} , A={(K;M),(M;K),(K;K)}, B={(K;M),(M;K)}.
Daraus folgt A∩B = B, ∣2∣ = 22 = 4 , ∣A∣=3 und ∣B∣=∣A∩B∣ = 2. Damit gilt
2
3 2 6
=P A∩B≠PA ⋅P B= ⋅ = , also sind A und B stochastisch abhängig.
4
4 4 16
Sei n = 3
Dann gilt 3 ={m1 , m2 , m3 ∣m1 , m2 , m3 ∈{K;M}} . Daraus folgt A∩B ={(M;K;K),(K;M;K),
(K;K;M)} , also ∣3∣ = 23 = 8, ∣A∣=13=4 , ∣A∩ B∣ = 3, ∣B∣ = 3+3=6. Damit gilt
3
4 6 3
=P A∩B= PA⋅P B= ⋅ = , also sind A und B stochastisch unabhängig.
8
8 8 8
Sei n = 4
Zeige, dass A und B stochastisch abhängig sind.