Ingenieurmathematik I

II, 1–107 (2012)
c 2012
Ingenieurmathematik I
Dr. Jürgen Bolik
Georg-Simon-Ohm-Hochschule
Nürnberg
y
e
x
T 15 ( x)
T 10 ( x)
x
T 5 ( x)
T 3 ( x)
T 1( x)
Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg
2
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
Komplexe Zahlen
1.1 Aufbau des Zahlensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Die Gaußsche Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Die Exponentialfunktion und Trigonometrische Funktionen . . .
1.4 Die Moivresche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Die Wurzelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Der Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Komplexe Darstellung harmonischer Schwingungen . .
1.7.2 Addition harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz
1.7.3 Wechselstromwiderstände . . . . . . . . . . . . . . . .
Differentialrechnung von Funktionen einer
reellen Veränderlichen
2.1 Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Konvergenz von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Der Begriff der Cauchy-Folge . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Eine numerische Anwendung . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Differentialrechnung von Funktionen einer Variablen . . . . .
2.2.1 Der Differentialquotient . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Lokale Extrema, Mittelwertsatz, Krümmungsverhalten
2.2.4 Approximation durch affin-lineare Funktionen . . . .
2.3 Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
7
13
16
19
21
26
26
28
31
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41
41
41
48
49
52
64
64
68
72
75
76
78
82
Differentialrechnung im Rn , Teil I
89
3.1 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.2 Approximation durch affin-lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3 Lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
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1
3
Komplexe Zahlen
1.1
Aufbau des Zahlensystems
Die Menge N der natürlichen und die Menge Z der ganzen Zahlen
Die Zahlen 1, 2, 3, ... werden als natürliche Zahlen bezeichnet.
Wir schreiben für die Menge der natürlichen Zahlen N, wobei
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ....} .
Um auch die Zahl 0 zu berücksichtigen, schreiben wir
N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ....} .
Häufig wird auch folgende Notation verwendet:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ....}
und
N∗ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ....} .
Die Menge der ganzen Zahlen ist
Z = {0, ±1, ±2, ±3, ....} .
Anmerkung: Verbunden mit den ganzen Zahlen ist auch ein wichtiges Beweisprinzip, das der
vollständigen Induktion:
Dabei wird eine Aussage A(n) für alle ganzen Zahlen n ≥ n0 ∈ Z bewiesen, indem gezeigt
wird, dass
• A(n0 ) wahr ist (Induktionsanfang)
• und, falls A(n0 ) wahr ist, auch A(n) für alle n ≥ n0 wahr ist.
Beispiel: Mit Hilfe der vollständigen Induktion lässt sich beweisen, dass
n
X
k=1
gilt.
k=
n(n + 1)
für alle n ∈ N
2
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4
Der Körper Q der rationalen und der Körper R der reellen Zahlen
Wir bezeichen Zahlen, die sich als Quotienten
darstellen lassen, als rationale Zahlen.
p
q
zweier Zahlen p ∈ Z und q ∈ Z, wobei q 6= 0,
Wir schreiben für die Menge der rationalen Zahlen Q, wobei
p
Q = { | p, q ∈ Z, q 6= 0} .
q
Eine rationale Zahl besitzt entweder
• eine endliche oder
• eine reinperiodische oder
• eine gemischtperiodische Dezimalbruchentwicklung.
Die Menge der √
reellen Zahlen R ist umfassender als Q und enthält auch irrationale Zahlen, wie
beispielsweise 2.
Wir sprechen von einem Körper K, wenn auf der Menge K die Verknüpfungen Addition und
Multiplikationen definiert und folgende Axiome und das Distributivgesetz erfüllt sind:
Axiome der Addition
• Assoziativgesetz
(x + y) + z = x + (y + z) für alle x, y, z ∈ K .
• Kommutativgesetz
x + y = y + x für alle x, y ∈ K .
• Existenz der Null
Es gibt eine Zahl 0 ∈ K mit x + 0 = x für alle x ∈ K .
• Existenz des Negativen
Zu jedem x ∈ K existiert ein − x ∈ K mit x + (−x) = 0 .
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Axiome der Multiplikation
• Assoziativgesetz
(x · y) · z = x · (y · z) für alle x, y, z ∈ K .
• Kommutativgesetz
x · y = y · x für alle x, y ∈ K .
• Existenz der Eins
Es gibt eine Zahl 1 ∈ K, 1 6= 0, so dass x · 1 = x für alle x ∈ K .
• Existenz des Inversen
Zu jedem von 0 verschiedenen x ∈ K existiert ein x−1 ∈ K mit x · x−1 = 1 .
Distributivgesetz
x · (y + z) = x · y + x · z für alle x, y, z ∈ K .
Beispielsweise sind Q und R Körper.
Anordnungsaxiome in R
• Für jedes x ∈ R gilt entweder x > 0 oder x = 0 oder x < 0.
• Aus x > 0 und y > 0 folgt x + y > 0.
• Aus x > 0 und y > 0 folgt xy > 0.
Anmerkung: x ≥ y bedeutet x > y oder x = y.
5
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6
Der Körper C der komplexen Zahlen
Die Menge R × R der geordneten Paare reeller Zahlen bildet auch dann einen Körper, wenn wir
die Addition mittels
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) := (x1 + x2 , y1 + y2 )
und die Multiplikation mittels
(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) := (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + y1 x2 )
definieren. Auch diese Multiplikation ist assoziativ und kommutativ.
Der Körper (R2 , +, ·) wird als der Körper C der komplexen Zahlen bezeichnet.
Nach unserer Multiplikationsregel erhalten wir
(x, y) · (1, 0) = (x, y) .
Daher ist (1, 0) das neutrale Element der Multiplikation.
Das multiplikative inverse Element von z = (x, y) 6= (0, 0) erhalten wir aus der Gleichung
(x, y) · (u, v) = (1, 0) .
Die eindeutige Lösung dieser Gleichung ist
x
y
−1
z = (u, v) =
,−
.
x2 + y 2 x2 + y 2
Wir können reelle Zahlen x dabei als (x, 0) schreiben. Setzen wir zusätzlich
i := (0, 1) ,
so zeigt sich, dass
(x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy für x, y ∈ R .
Außerdem erhalten wir
i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 .
Anmerkung: In der Mathematik ist die Bezeichnung i für die imaginäre Einheit üblich, während
in der Technik oft j verwendet wird.
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1.2
7
Die Gaußsche Zahlenebene
Für den Körper der komplexen Zahlen können wir
C = {x + iy | x, y ∈ R}
schreiben. Veranschaulichen lassen sich die komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene
(komplexen Zahlenebene):
imaginäre Achse
z=x+iy
y
x
reelle Achse
Abbildung 1.1 Darstellung einer komplexen Zahl
Die Addition zweier komplexer Zahlen entspricht der Vektoraddition
in R2 :
imaginäre Achse
z 1+z 2
z2
z1
reelle Achse
Abbildung 1.2 Addition zweier komplexer Zahlen
Ist z = x + iy mit x, y ∈ R, so sind Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl z definiert
durch
Re(z) := x, Im(z) := y .
Zwei komplexe Zahlen z1 und z2 sind genau dann gleich, wenn
Re(z1 ) = Re(z2 ) und Im(z1 ) = Im(z2 ) .
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8
Beispiele zur Lösung quadratischer Gleichungen
• Die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung x2 = −b2 lauten
x1,2 = ±ib .
• Die Gleichung x2 − 2x + 5 = 0 ist äquivalent zu (x − 1)2 = −22 . Daher erhalten wir als
Lösung
x1,2 = 1 ± 2i .
Die konjugiert komplexe Zahl
Die euklidische Norm k~xk ∈ R+ := {x ∈ R | x ≥ 0} eines Vektors
x
~x =
∈ R2
y
ist durch
p
x2 + y 2 definiert.
Mit Hilfe der konjugiert komplexen Zahl
z := x − iy .
lässt sich der Wert x2 + y 2 auch als Produkt von z und z schreiben, da
zz = (x + iy)(x − iy) = x2 + y 2 .
In der Gaußschen Zahlenebene wird die Konjugation einer komplexen Zahl durch Spiegelung
an der reellen Achse dargestellt:
imaginäre Achse
z=x+iy
y
x
reelle Achse
̄z=x−iy
Abbildung 1.3 Die konjugiert komplexe Zahl
Ist Im(z) = 0, so gilt z = z.
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9
Rechenregeln für die Konjugation
Seien z, z1 , z2 ∈ C. Dann gilt
• z = z,
• z1 + z2 = z1 + z2 ,
• z1 z2 = z1 z2 .
Der Betrag einer komplexen Zahl
Unter dem Betrag einer Zahl z ∈ C versteht man die Größe
p
√
|z| := zz = x2 + y 2 .
Der Betrag einer komplexen Zahl ist daher mit dem euklidischen Abstand des Punktes z vom
Nullpunkt in der Gaußschen Zahlenebene identisch.
Für alle z ∈ C gilt |z| = |z|.
Der Betrag einer komplexen Zahl
• Sei z ∈ C. Es gilt stets |z| ≥ 0 und |z| = 0 genau dann, wenn z = 0.
• Dreiecksungleichung: |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | für alle z1 , z2 ∈ C.
• |z1 z2 | = |z1 ||z2 | für alle z1 , z2 ∈ C.
Anmerkung: Es lässt sich auch zeigen, dass
|z1 − z2 | ≥ | |z1 | − |z2 | | für alle z1 , z2 ∈ C
gilt.
Mit Hilfe des Betrages, können wir auch den euklidischen Abstand dist(z1 , z2 ) zweier Punkte
z1 , z2 ∈ C der komplexen Zahlenebene definieren:
dist(z1 , z2 ) = |z2 − z1 | .
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10
Sei z0 ∈ C ein fester Punkt in der komplexen Zahlenebene und r ∈ R∗+ := {x ∈ R | x > 0}.
• Die Punktmenge
{z ∈ C | |z − z0 | < r}
ist die Kreisscheibe (ohne Rand) mit Radius r um den Punkt z0 .
• Die Punktmenge
{z ∈ C | |z − z0 | = r}
ist die Kreislinie mit Radius r um den Punkt z0 .
imaginäre Achse
r
. z0
y
x
reelle Achse
Abbildung 1.4 Eine Kreisscheibe in der
komplexen Ebene
Die Polarkoordinaten (r, ϕ) ∈ R∗+ × R sind gegeben durch die kartesischen Koordinaten
(x, y) ∈ R2 \{0} mittels
(x, y) = (r cos ϕ, r sin ϕ) .
Dabei gilt
r=
p
x2 + y 2 .
Die Größe ϕ gibt den Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl von 0 durch (x, y)
an.
Betrachten wir statt der Ebene R2 die komplexe Ebene, so erhalten wir
z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) ,
wobei auch der Ursprung z = 0 zugelassen ist.
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11
Anmerkung zu Winkelmaßen
Für Winkel in Bogenmaß gilt:
ϕ :=
b
r
Ist b = 2πr, so gilt ϕ = 2π.
180◦
.
Somit gilt 360◦ = 2π rad und 1 rad =
π
Für z 6= 0 ist der Winkel ϕ durch die Angabe der kartesischen Koordinaten eindeutig bestimmt.
Dieser Winkel wird als Argument von z bezeichnet. Wir schreiben
ϕ = arg z .
Um den Winkel ϕ eindeutig zu bestimmen, wird üblicherweise vorausgesetzt, dass
0 ≤ ϕ < 2π oder − π < ϕ ≤ π .
Darstellung der Multiplikation in der komplexen Zahlenebene
Sei z, w ∈ C∗ := {z ∈ C | z 6= 0} und arg z = ϕ, arg w = ψ.
Dann erhalten wir, mit Hilfe der Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen,
wz = |w| · |z|(cos ψ + i sin ψ)(cos ϕ + i sin ϕ)
= |w| · |z|(cos(ψ + ϕ) + i sin(ψ + ϕ)) .
Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen werden
• die Beträge multipliziert und
• die Argumente addiert.
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12
Ist w ∈ C∗ fest, so ist die Abbildung
f : C → C, z 7→ wz
eine Drehstreckung und, im Falle von |w| = 1, eine Drehung.
imaginäre Achse
.w
w⋅z
.
i
.z
φ+ψ
ψ φ
.
1
reelle Achse
Abbildung 1.5 Multiplikation in C
Das hinsichtlich der Multiplikation inverse Element von z 6= 0 ist
z −1 =
x2
1
1
1
(x − iy) = 2 z =
(cos ϕ − i sin ϕ) .
2
+y
|z|
|z|
Daher gilt für die Division von w ∈ C∗ durch z ∈ C∗
w
|w|
=
(cos ψ + i sin ψ)(cos ϕ − i sin ϕ)
z
|z|
=
|w|
(cos(ψ − ϕ) + i sin(ψ − ϕ)) .
|z|
Anmerkung: Dabei verwenden wir Symmetrieeigenschaften und Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen sin und cos, die in folgendem Abschnitt vorgestellt werden.
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1.3
13
Die Exponentialfunktion und Trigonometrische Funktionen
Die Exponentialfunktion in R, und analog in C, wird mit Hilfe einer (absolut konvergenten)
Reihe, der Exponentialreihe
exp : R → R , x 7→ exp(x) =
∞
X
xn
n=0
n!
definiert.
Damit lässt sich zeigen, dass
exp(x + y) = exp(x) exp(y) für x, y ∈ R
und mit Hilfe dieser Funktionalgleichung wiederum, dass
exp(x) > 0 für x ∈ R ,
exp(−x) = (exp(x))−1 für x ∈ R
und
exp(n) = en für n ∈ Z .
Die Exponentialfunktion in C ist gegeben durch
exp : C → C , z 7→ exp(z) =
∞
X
zn
n=0
n!
.
Die Exponentialfunktion exp ist in C stetig.
Ferner gilt
• die Funktionalgleichung
exp(z1 + z2 ) = exp(z1 ) exp(z2 ) für alle z1 , z2 ∈ C ,
• die Eigenschaft exp(z) 6= 0 für alle z ∈ C
• und exp(z) = exp(z) für alle z ∈ C.
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14
Die Definition der Exponentialfunktion zur Basis a lässt sich, wenn wir uns auf reelle Werte von
a beschränken, sehr einfach verallgemeinern. Ist der Definitionsbereich der Funktion R, so ist
ax folgendermaßen erklärt:.
Definition: Sei a ∈ R∗+ . Dann ist die Exponentialfunktion zur Basis a definiert durch
ax : R → R , x 7→ ax := exp(x ln a) .
Entsprechend ist die Funktion az für a ∈ R∗+ auf dem Definitionsbereich C erklärt:
Definition: Sei a ∈ R∗+ . Dann ist die Exponentialfunktion zur Basis a definiert durch
az : C → C , z 7→ az := exp(z ln a) .
Anmerkung: Auf die Verallgemeinerung von az für a ∈ C∗ wird hier verzichtet.
Für alle x ∈ R gilt
|eix | = 1 ,
da
|eix |2 = eix eix = eix eix = eix e−ix = e0 = 1 .
Wir können daher eix als Punkt des Einheitskreises in der komplexen Ebene darstellen:
imaginäre Achse
. z=e ix
reelle Achse
Abbildung 1.6 Die Zahl eix als Punkt am Einheitskreis
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15
Mit Hilfe der Definition
cos x := Re(eix ) und sin x := Im(eix )
folgt unmittelbar die Eulersche Formel
eix = cos x + i sin x .
Die Variable x lässt sich sich als (orientierte) Bogenlänge verstehen.
Betrachten wir neben eix auch e−ix , so können wir auch folgende Gleichungen herleiten:
1
1
cos x = (eix + e−ix ) und sin x = (eix − e−ix ) .
2
2i
imaginäre Achse
. z 1 =eix
sin x
cos x
reelle Achse
. z 2 =e−ix
Abbildung 1.7 Die Winkelfunktionen cos und sin
Nach der Definition der trigonometrischen Funktion cos und sin und der Definition der Exponentialfunktion zeigt sich, dass
cos(−x) = cos x , sin(−x) = −sin(x)
und
cos2 x + sin2 x = 1 .
Mit Hilfe der Eulerschen Formel und der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion erhalten
wir eine einfache Herleitung folgender Additionstheoreme:
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y für alle x ∈ R ,
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y für alle x ∈ R .
Begründung: Gemäß der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion gilt
ei(x+y) = eix eiy ,
und umgeformt, mittels der Eulerschen Formel,
cos(x + y) + i sin(x + y) = (cos x + i sin x)(cos y + i sin y)
= (cos x cos y − sin x sin y) + i(sin x cos y + cos x sin y) .
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1.4
16
Die Moivresche Formel
Jede Zahl z ∈ C∗ lässt sich eindeutig schreiben als
z = |z|eiϕ = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) mit ϕ ∈ [0, 2π) .
Selbstverständlich können wir auch andere halboffene reelle Intervalle der Länge 2π wählen.
Schreiben wir zwei komplexe Zahlen w und z folgendermaßen in Polarkoordinaten:
w = |w|eiψ und z = |z|eiϕ ,
so lässt sich deren Produkt sehr einfach ausdrücken als
wz = |w||z|ei(ψ+ϕ) .
Demnach und nach der Funktionalgleichung gilt
(eiϕ )n = einϕ für alle n ∈ Z .
So erhalten wir die Moivresche Formel
(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos(nϕ) + i sin(nϕ) für alle n ∈ Z .
Damit lässt sich z n folgendermaßen schreiben:
z n = |z|n einϕ = |z|n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)) .
Die Formel von Abraham de Moivre gestattet eine einfache Herleitung der Darstellung von
cos(nϕ) und sin(nϕ), mit n ≥ 1, als Polynom in cos ϕ und sin ϕ, indem Real- und Imaginärteil
getrennt betrachtet werden.
Beispielsweise erhalten wir
cos(3ϕ) = cos3 ϕ − 3 cos ϕ sin2 ϕ
und
sin(3ϕ) = 3 cos2 ϕ sin ϕ − sin3 ϕ .
Der Term
(cos ϕ + i sin ϕ)n mit n ∈ N
lässt sich auch allgemein mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes umformen.
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Der Binomische Lehrsatz und Binomialkoeffizienten
Für n ∈ N definieren wir n! (n Fakultät) folgendermaßen:
n! :=
n
Y
i = 1 · 2 · ... · (n − 1) · n .
i=1
Zusätzlich sei
0! := 1 .
Für n, k ∈ N0 , wobei n ≥ k, ist der Binomialkoeffizient nk
(gesprochen n über k) folgendermaßen definiert:
n
n!
n · (n − 1) · ... · (n − k + 1)
:=
=
.
k
k!(n − k)!
1 · 2 · ... · k
Ist n < k, so setzen wir nk := 0.
Beispiel: Die Anzahl 6-elementiger Teilmengen einer Menge von 49 Elementen beträgt
49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44
49
= 13 983 816 .
=
1·2·3·4·5·6
6
Binomischer Lehrsatz: Sei x, y ∈ R und n ∈ N0 . Dann gilt
n
(x + y) =
n X
n
k=0
k
xn−k y k .
Demnach gilt beispielsweise
(x + y)0 = 1 ,
(x + y)1 = x + y ,
(x + y)2 = x2 + 2xy + y 2 ,
(x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3
und
(x + y)4 = x4 + 4x3 y + 6x2 y 2 + 4xy 3 + y 4 .
17
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18
Die jeweiligen Koeffizienten lassen sich in dem sog. Pascalschen Dreieck anordnen:
1
1
1
1
1
1
3
4
5
1
2
1
3
6
10
1
4
10
.
1
5
1
.
.
.
.
.
Wie aus der Gleichung
n
n−1
n−1
=
+
k
k−1
k
hervorgeht, ist jede Zahl im Inneren des Dreiecks die Summe der beiden unmittelbar über ihr
stehenden Zahlen.
Nach dem Binomischen Lehrsatz erhalten wir
n
X
n
k n
(cos ϕ + i sin ϕ) =
i
cosn−k ϕ · sink ϕ für alle n ∈ N .
k
k=0
Mit der Formel von Moivre folgt, durch Vergleich der Realteile:
n
n
cos(nϕ) = cos ϕ −
cosn−2 ϕ · sin2 ϕ
2
n
n
n−4
4
+
cos
ϕ · sin ϕ −
cosn−6 ϕ · sin6 ϕ + ... .
4
6
Entsprechend folgt, durch Vergleich der Imaginärteile:
n
n−1
sin(nϕ) = n cos
ϕ · sin ϕ −
cosn−3 ϕ · sin3 ϕ
3
n
n
+
cosn−5 ϕ · sin5 ϕ −
cosn−7 ϕ · sin7 ϕ + ... .
5
7
Beispiel
Nach dieser Regel erhalten wir wieder
cos(3ϕ) = cos3 ϕ − 3 cos ϕ sin2 ϕ
und
sin(3ϕ) = 3 cos2 ϕ sin ϕ − sin3 ϕ .
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1.5
19
Die Wurzelfunktion
n-te Einheitswurzeln: Sei n ∈ N mit n ≥ 2. Dann hat die Gleichung
zn = 1
genau n Lösungen in C. Diese sind
ζnk = ei
2kπ
n
mit k = 0, 1, ..., n − 1 .
imaginäre Achse
2π
ζ 1 =e 5
ζ 2 =e
4π
i
5
i
.
.
.1
6π
ζ 3 =e 5
i
reelle Achse
.
.
ζ 4 =e
8π
i
5
Abbildung 1.8 Die fünften Eineitswurzeln
Sei z ∈ C, a ∈ C∗ und n ∈ N mit n ≥ 2. Unter diesen Voraussetzungen suchen wir Lösungen
der Gleichung
zn = a .
Ist a = 1 und
ζn = exp(i
2π
),
n
so sind die n-ten Wurzeln von a die Zahlen
1, ζn , ..., ζnn−1 .
Ist a = |a|eiϕ , so lassen sich n-ten Wurzeln von z in Polarkoordinaten folgendermaßen schreiben:
p
i
n
|a| exp( (ϕ + 2kπ)) mit k ∈ Z .
n
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20
Sei z ∈ C, p, q ∈ R und die Diskriminante D = ( p2 )2 − q < 0. Dann sind die Lösungen der
quadratische Gleichung
z 2 + pz + q = 0
gegeben durch
p p
z1,2 = − ± |D|i .
2
Das quadratische Polynom
p(z) = z 2 + pz + q
hat daher keine Nullstellen in R, jedoch zwei Nullstellen in C. In C lässt sich das Polynom p(z)
als Produkt von Linearfaktoren darstellen:
p(z) = (z − z1 ) · (z − z2 ) .
Anmerkung: Ist p = 0, so können wir die Nullstellen des Polynoms unmittelbar, mit obiger
Formel für die Wurzelberechnung, angeben.
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1.6
21
Der Fundamentalsatz der Algebra
Die Gleichung
z n − a = 0 , mit z ∈ C, a ∈ C∗ ,
lässt sich auch als Aufgabe, die Nullstellen des Polynoms
p(z) = z n − a
zu finden, verstehen.
Um quadratische Polynome in Linearfaktoren zu zerlegen, gibt es einfache Verfahren. Nun stellt
sich die Frage, ob sich Polynome auch allgemein in Linearfaktoren zerlegen lassen, wenn der
Zahlenkörper R oder aber C vorausgesetzt wird.
Allgemein sind Polynome in C folgendermaßen definiert:
Definition: Sei am ∈ C, m = 0, 1, ..., n, und an 6= 0. Dann ist
p : C → C, z 7→ p(z) = a0 + a1 z + ... + an−1 z n−1 + an z n
ein Polynom vom Grade n.
Wir schreiben
• p(z) ∈ C[z], wenn die Koeffizienten des Polynoms p
komplexe Zahlen und
• p(z) ∈ R[z], wenn die Koeffizienten des Polynoms p
reelle Zahlen sind.
Ein Polynom p(z) ∈ C[z] heißt komplexes Polynom und ein Polynom p(z) ∈ R[z] reelles
Polynom.
Sei pm (z) ∈ C[z] ein Polynom des Grades m ∈ N und z, z1 ∈ C mit z 6= z1 . Dann ist der Rest
der Division von pn (z) durch (z − z1 ) gleich pn (z1 ), d.h.:
pn (z) = (z − z1 )pn−1 (z) + pn (z1 ) .
Ist pn (z) ohne Rest durch (z − z1 )k , jedoch nicht durch (z − z1 )k+1 teilbar, so ist z1 eine k-fache
Nullstelle des Polynoms pn (z).
Fundamentalsatz der Algebra: Jedes nicht-konstante komplexe Polynom hat mindestens eine
Nullstelle in C.
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22
Faktorisierungssatz: Das Polynom
p : C → C, z 7→ p(z) = a0 + a1 z + ... + an−1 z n−1 + an z n ,
mit am ∈ C, m = 0, 1, ..., n und an 6= 0 ,
lässt sich eindeutig (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) als Produkt
p(z) = an (z − z1 )m1 · (z − z2 )m2 · ... · (z − zr )mr
schreiben. Dabei sind z1 , ..., zr ∈ C paarweise verschiedene Nullstellen, deren jeweilige Vielfachheit m1 , m2 , ..., mr ∈ N und m1 + m2 + ... + mr = n.
Das Polynom p(z) ∈ C[z] zerfällt also vollständig in Linearfaktoren.
Für Polynome p(z) ∈ R[z] gilt
p(z) = p(z).
Daher ist mit jeder Nullstelle zi auch zi eine Nullstelle.
Ferner ist
(z − zi )(z − zi )
ein reelles quadratisches Polynom.
Daraus folgt, dass sich jedes Polynom p(z) ∈ R[z] vom Grade n ≥ 1, eindeutig als Produkt
reeller Linearfaktoren und reeller quadratischer Polynome darstellen lässt.
Das Horner-Schema
Ein Polynom der Form
p(z) =
n
X
ak z n−k = a0 z n + a1 z n−1 + ... + an
k=0
lässt sich auch folgendermaßen schreiben
p(z) = ((...((a0 z + a1 )z + a2 )z + ...)z + an−1 )z + an .
Mittels
y0 := a0
und
yi := yi−1 z + ai für i = 1, ..., n
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23
steht uns ein iteratives Verfahren, mit yn = p(z), zur Berechnung von Polynomwerten zu
Verfügung, das weniger Rechenschritte benötigt als die Berechnung nach der ursprünglichen
Polynomdarstellung.
Legen wir folgende Schreibweise des Polynoms zugrunde
p(z) = an z n + an−1 z n−1 + ... + a1 z 1 + a0 ,
so setzen wir
cn := an
und
ci−1 := ai−1 + bi−1 für i = n, n − 1, ..., 1 ,
wobei
bi−1 := ci · z für i = n, n − 1, ..., 1 .
Weiterhin gilt
c0 = p(z) .
Dieses iterative Verfahren zur Bestimmung von p(z) für einen festen Wert z = z0 lässt sich
auch in Form einer Tabelle darstellen:
an
0 = bn
cn = an
an−1
bn−1
cn−1
an−2
bn−2
cn−2
...
a0
...
b0
... c0 = p(z0 )
Ein Polynom pn (z) lässt sich folgendermaßen schreiben:
pn (z) = (z − z0 )pn−1 (z) + pn (z0 ) .
Die Werte pn (z0 ) und die Koeffizienten des Polynoms pn−1 stehen in der dritten Zeile des
Horner-Schemas zur Berechnung von p(z0 ).
Beispiel: Berechnung von p(−2) für
p(x) = x4 − 2x3 − 67x2 + 8x + 252 .
Horner-Schema
1
0
1
−2 −67 8
−2
8
118
−4 −59 126
252
−252
0 = p(−2)
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24
Außerdem erhalten wir
p(x) = x4 − 2x3 − 67x2 + 8x + 252 = (x + 2) · (x3 − 4x2 − 59x + 126) .
Erweitertes Horner-Schema
Sei x, x0 ∈ R mit x 6= x0 . Der Grenzwert des Differenzenquotienten
pn (x) − pn (x0 )
= pn−1 (x)
x − x0
für x → x0 existiert. Daher ist pn im Punkt x0 differenzierbar und es gilt
p0n (x0 ) := lim
x→x0
pn (x) − pn (x0 )
= pn−1 (x0 ) .
x − x0
Berechnung von p(−2) und p0 (−2) für
p(x) = x4 − 2x3 − 67x2 + 8x + 252 .
Wir erhalten
p(x) − p(−2)
= x3 − 4x2 − 59x + 126 .
x+2
Erweitertes Horner-Schema
1
0
1
0
1
−2 −67
−2
8
−4 −59
−2 12
−6 −47
8
252
118 −252
126
0
94
220
Daher gilt
p(−2) = 0 und p0 (−2) = 220 .
Polynomdivision mit Hilfe des Horner-Schemas
Sind die Nullstellen bekannt, so lassen sich die Koeffizenten der auftretenden Polynome dem
Horner-Schema entnehmen.
Beispiel: Das Polynom
p(x) = x4 − 2x3 − 67x2 + 8x + 252
hat Nullstellen in
x1 = −2, x2 = 9, x3 = −7 und x4 = 2 .
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25
Wir erhalten
x1 = −2
x2 = 9
x3 = −7
x4 = 2
1
0
1
0
1
0
1
0
1
−2 −67
8
252
−2
8
118 −252
−4 −59 126
0
9
45 −126
5 −14
0
−7 14
2
0
−2
0
Demnach gilt
p(x) = x4 − 2x3 − 67x2 + 8x + 252 = (x − 2) · (x3 − 67x − 126)
= (x + 2) · (x − 9) · (x2 + 5x − 14)
= (x + 2) · (x − 9) · (x + 7) · (x − 2) .
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1.7
1.7.1
Anwendungen
Komplexe Darstellung harmonischer Schwingungen
Harmonische Schwingungen genügen der Differentialgleichung
x00 (t) + ω 2 x(t) = 0 .
Die allgemeine Lösung unserer Bewegungsgleichung hat folgende Form:
x(t) = c1 · sin(ωt) + c2 · cos(ωt) .
Andere Darstellungen der allgemeinen Lösung lauten
x(t) = A · sin(ωt + α0 )
und
x(t) = A · cos(ωt + ϕ0 ) .
In der Ortsfunktion x(t) = A · cos(ωt + ϕ0 ) bezeichnet
• A die Amplitude, d.h. die maximale Auslenkung aus der Ruhelage, und
• ϕ0 den Nullphasenwinkel.
Die Ortsfunktion lässt sich als Realteil von
z(t) = Aei(ωt+ϕ0 ) =: z0 eiωt
darstellen. Die Amplitude
z0 = Aeiϕ0
ist hierbei komplex.
26
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27
Es ist auch eine praktische Darstellung von cos und sin mit Hilfe des Einheitskreises möglich:
g ( x )=cos( x)
f ( x )=sin ( x)
r=1
f ( x )=sin ( x)
x
g ( x )=cos( x)
x
Abbildung 1.9 Die Funktionen sin und cos und der Einheitskreis
Entsprechend können wir eiωt+ϕ0 als Punkt des Einheitskreises in der komplexen Ebene
darstellen:
Im(z)
. z (t )=ei( ω t +φ )
1
0
sin (ω t 1+φ0 )
cos(ω t 1 +φ 0 )
Re(z)
Abbildung 1.10 Die Funktion ei(ωt+ϕ0 ) und der Einheitskreis
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1.7.2
28
Addition harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz
Gegeben seien zwei harmonische Schwingungen gleicher Richtung und gleicher Frequenz:
y1 (t) = A1 sin(ωt + α1 )
und
y2 (t) = A2 sin(ωt + α2 ) .
Die Resultierende beider Schwingungen ist gegeben durch
y(t) = y1 (t) + y2 (t) = (A1 cos α1 + A2 cos α2 ) sin(ωt) + (A1 sin α1 + A2 sin α2 ) cos(ωt) .
Wir suchen zwei Konstanten A und α, so dass
A1 cos α1 + A2 cos α2 = A cos α und A1 sin α1 + A2 sin α2 = A sin α .
Diese sind gegeben durch
q
A = A21 + A22 + 2A1 A2 cos(α2 − α1 )
und
tan α =
A1 sin α1 + A2 sin α2
.
A1 cos α1 + A2 cos α2
Damit können wir y(t) auch folgendermaßen schreiben:
y(t) = A sin(ωt + α) .
Andererseits lassen sich die beiden Gleichungen zur Bestimmung von A und α auch zu einer
Gleichung in C zusammenfassen:
A1 (cos α1 + i sin α1 ) + A2 (cos α2 + i sin α2 ) = A(cos α + i sin α)
Mit Hilfe der Eulerschen Formel
eiα = cos α + i sin α
erhalten wir
A1 eiα1 + A2 eiα2 = Aeiα =: z0 .
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29
Setzen wir
z0,1 = A1 eiα1 und z0,2 = A2 eiα2 ,
so nimmt die vorangegangene Gleichung die einfache Form
z0,1 + z0,2 = z0
an.
Die Addition zweier komplexer Zahlen lässt sich auch in einem Zeigerdiagramm veranschaulichen:
Im(z)
z 1+z 2
y 1+ y 2
z2
z1
y1
y2
x1 + x 2
x2
x1
Re(z)
Abbildung 1.11 Zeigerdiagramm und Addition komplexer Zahlen
Die Addition sinusförmiger Schwingungen verschiedener Amplitude und Phase aber gleicher
Frequenz lässt sich mit Hilfe von Zeigerdarstellungen sehr einfach durchführen:
h (φ)= f (φ)+g (φ)
A
f (φ)= A1 sin (φ)
φ
φ=ω t +φ0
g (φ)= A2 cos(φ)
Abbildung 1.12 Addition sinusförmiger Schwingungen
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30
Wie das folgende Diagramm zeigt, ist die Amplitude der resultierenden Schwingung nicht notwendigerweise größer als die der einzelnen Schwingungen.
g (φ)= A2 sin (φ+β0 )
h (φ)= f (φ)+g (φ)
f (φ)= A1 sin (φ+α 0 )
A
φ
φ=ω t +φ0
Abbildung 1.13 Addition sinusförmiger Schwingungen
Die Funktion
z(t) = Aei(ωt+α) = z0 eiωt
genügt der Differentialgleichung
z 00 (t) + ω 2 z(t) = 0 .
Sowohl deren Real- als auch deren Imaginärteil repräsentieren harmonische Schwingungen.
Beispielsweise gilt
y(t) = Im(z(t)) = Im(z0 eiωt ) = A · Im(eiα eiωt ) = A · Im(ei(ωt+α) )
= A(sin(α) cos(ωt) + cos(α) sin(ωt))
= A sin(ωt + α) .
Beispiel: Die Funktion
y(t) = sin(ωt) + cos(ωt)
lässt sich mit Hilfe des Additionstheorems
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
umformen zu
y(t) = A sin(ωt + ϕ0 ) ,
wobei ϕ0 =
π
4
und A =
√
2 sind.
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31
Andererseits können wir A und ϕ0 auch mittels z(t) ∈ C bestimmen. Hierzu betrachten wir die
Funktionen
π
z1 (t) = eiωt , z2 (t) = ei 2 · eiωt
und deren Summe
z(t) = z1 (t) + z2 (t) = z0 eiωt .
Die komplexe Amplitude z0 lässt sich folgendermaßen darstellen:
√
π
π
z0 = 1 + ei 2 = 1 + i = 2 · ei 4 .
Hieraus folgt
√
π
A = 2, ϕ =
4
und
y(t) = sin(ωt) + cos(ωt) =
1.7.3
√
π
2 · sin(ωt + ) .
4
Wechselstromwiderstände
Gehen wir davon aus, dass eine Spannung
U (t) = U0 sin(ωt)
an einem Ohmschen Widerstand anliegt, so beträgt die Stromstärke
U (t)
U0
=
sin(ωt)
R
R
und die Leistung
I(t) =
P (t) = U (t)I(t) =
U02
sin2 (ωt) .
R
Der zeitliche Mittelwert P der Leistung beträgt
1
P =
T
ZT
P (t) dt =
1 U02
.
2 R
0
Würde diese Leistung mittels Gleichspannung erreicht, so müsste eine Spannung
U0
Uef f = √
2
anliegen.
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32
Wird der elektrische Widerstand nur durch einen Ohmschen Verbraucher verursacht, so sind
Stromstärke I und die Leistung P reell.
In diesem Falle ist P eine reine Wirkleistung.
I
U
P
R
I 0=
U0
R
U0
Abbildung 1.14 Stromstärke I, Spannung U und
Leistung P für einen Ohmschen Widerstand
t
Abbildung 1.15 zeitlicher Verlauf der Stromstärke I(t),
Spannung U (t) und Leistung P (t) für einen Ohmschen
Widerstand
Ersetzen wir den Ohmschen Widerstand durch eine Spule, so stellt sich der Strom durch die
Spule so ein, dass
L
dI(t)
= U (t)
dt
gilt. Da wir I(t) als Zeiger in der komplexen Ebene auffassen, schreiben wir
I(t) = I0 ei(ωt+ϕ0 ) mit I0 ∈ R .
Für die Ableitung von I(t) gilt daher
dI(t)
= iωI(t) .
dt
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33
Wir erhalten
I(t) =
U (t)
.
iωL
Bei einer Spule ist P eine reine induktive Blindleistung.
I
U
U0
L
P
I 0=
U0
iωL
Abbildung 1.16 Stromstärke I, Spannung U und
Leistung P für eine Spule
t
Abbildung 1.17 zeitlicher Verlauf der Stromstärke I(t),
Spannung U (t) und Leistung P (t) für eine Spule
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34
Für einen Kondensator gilt
Q(t)
C
U (t) =
und somit
I(t) =
dQ(t)
dU (t)
=C
= iωCU (t) .
dt
dt
Bei einem Kondensator ist P eine reine kapazitive Blindleistung.
I 0 =i ωCU 0
P
I
U
C
U0
Abbildung 1.18 Stromstärke I, Spannung U und
Leistung P für einen Kondensator
t
Abbildung 1.19 zeitlicher Verlauf der Stromstärke I(t), Spannung U (t) und Leistung P (t) für einen Kondensator
Mit Z ∈ C bezeichnen wir den elektrischen Widerstand, gegeben durch
Z :=
U
I
und mit Y ∈ C den Leitwert, gegeben durch den Kehrwert von Z.
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35
Zusammengefasst gilt
• für den Ohmschen Widerstand
Z = R,
• für die Spule
Z = iωL
• und für den Kondensator
Z=
1
.
iωC
Durch Linearkombination dieser Widerstandswerte entstehen allgemeinere komplexe Widerstandswerte. Als komplexe Zahlen lassen sie sich folgendermaßen darstellen:
Z = Re(Z) + i Im(Z) .
Die Zahl Z ∈ C wird auch als Impedanz bezeichnet.
Der Anteil Re(Z) gibt die Komponente der Spannung an, die mit dem Strom phasengleich ist.
Dieser heißt Wirkwiderstand.
Der Anteil Im(Z) heißt Blindwiderstand.
Bezeichnen Ief f und Uef f die Effektivwerte der Stromstärke bzw. Spannung und ϕ die Phasenverschiebung zwischen Stromstärke und Spannung, so beträgt die (zeitlich gemittelte) Wirkleistung
Pw = Uef f Ief f cos ϕ
und die (zeitlich gemittelte) Blindleistung
Pb = Uef f Ief f sin ϕ .
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36
Sind ein Ohmscher Widerstand und eine Spule in Reihe geschaltet, so addieren sich deren Widerstände. Die Amplitude der Gesamtspannung beträgt
p
U0 = I0 R2 + (ωL)2 .
Der Strom weist gegenüber der Spannung eine Phasenverschiebung ϕ mit
tan ϕ = −
ωL
R
auf.
U L ,0 =i ω L I 0
I
U0
R
U
I0
L
U R ,0= R I 0
Abbildung 1.20 Zeigerdiagramm für eine Reihenschaltung von Ohmschen Widerstand und Spule
Sind ein Ohmscher Widerstand und ein Kondensator parallel geschaltet, so addieren sich deren
Leitwerte. Die Amplitude des Gesamtstroms beträgt
r
q
1
2
2
I0 = IR,0
+ (ωC)2 .
+ IC,0
= U0
R2
Der Strom weist gegenüber der Spannung eine Phasenverschiebung ϕ mit
tan ϕ = ωCR
auf.
I0
I C,0
I
U
I R,0
C
R
U0
Abbildung 1.21 Zeigerdiagramm für eine Parallelschaltung von Ohmschen Widerstand und Kondensator
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37
Hat eine Schaltung den komplexen Widerstand
Z = Z0 eiδ ,
so erhalten wir deren Leitwert
Y = Y0 e−iδ
durch Inversion von |Z| und anschließende Spiegelung an der reellen Achse.
0A0
0T
Da die Dreiecke 0T A0 und 0AT ähnlich sind, gilt
=
.
0T
0A
1
Mit 0T = 1, folgt hieraus, dass 0A0 =
.
0A
imaginäre Achse
T
A
A'
0
A' '
reelle Achse
Abbildung 1.22 Inversion einer komplexen Zahl
Geraden und Kreislinien sind genau jene Punktmengen, die sich durch eine Gleichung der Form
αz z̄ + cz + c̄z̄ + δ = 0 ,
mit α, δ ∈ R, c ∈ C und cc̄ > αδ, beschreiben lassen.
1
Setzen wir hier w = , so erhalten wir, nach Multiplikation mit ww̄,
z
δww̄ + cw̄ + c̄w + α = 0 .
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38
Um den Einfluss eines Schaltelements auf die Schaltung zu untersuchen, bietet sich die graphische Methode der Ortskurven an.
Hier betrachten wir einige Ortskurven zu einfachen Reihen- und Parallelschaltungen:
R
L
R
L
Z
Y
Z
Y
Abbildung 1.23 Ortskurven für die Serien- und Parallelschaltung eines Ohmschen Widerstandes und einer Spule
R
C
R
C
Z
Y
Y
Z
Abbildung 1.24 Ortskurven für die Serien- und Parallelschaltung eines Ohmschen Widerstandes und eines Kondensators
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39
Ausgehend von der abgebildeten Schaltung analysieren wir, ob es möglich ist L1 , L2 und C so
zu dimensionieren, dass Strom und Spannung, unabhängig vom Wert R, immer in Phase sind,
und somit der Blindstrom verschwindet.
L2
L1
C
R
Abbildung 1.25 Schaltung zu einer Blindstromkompensation
L1
L1
R
Z
Y
C
R
Y
Z
Abbildung 1.26 Graphische Analyse einer Blindstromkompensation, Teil 1
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40
Wie in der Abbildung dargestellt, wird
• die Z-Ortskurve des ersten Schaltungsabschnitts (Halbgerade im Z-Diagramm) auf einen
Halbkreis im Y -Diagramm transformiert,
• dieser Halbkreis, durch Hinzufügen des Kondensators, um iωC verschoben und
• der Halbkreis im Y -Diagramm rücktransformiert auf eine Halbgerade im Z-Diagramm.
L2
L1
C
R
Z
Abbildung 1.27 Graphische Analyse einer Blindstromkompensation, Teil 2
Durch Hinzufügen von L2 wird die Halbgerade schließlich um iωL2 im Z-Diagramm verschoben.
Gilt außerdem
ωL1 = ωL2 =
1
,
ωC
so ist Z ∈ R. Das bedeutet, dass I und U in Phase sind.
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2
41
Differentialrechnung von Funktionen einer
reellen Veränderlichen
2.1
Folgen und Reihen
Unter einer Folge reeller Zahlen versteht man eine Abbildung
n 7→ an ,
wobei n ∈ N0 = {0, 1, 2, 3, ...} oder n ∈ N = {1, 2, 3, ...} und an ∈ R.
Die Zahlenfolge ist daher eine Abbildung von N0 → R.
Man schreibt dafür (an )n∈N0 oder (a0 , a1 , a2 , ...).
1
1
Beispiel: Die Abbildung n 7→ √ definiert eine Folge ( √ )n∈N .
n
n
Beispiele
(1) an = (−1)n , n ∈ N0 : (1, −1, 1, −1, 1, −1, ...)
(2) arithmetische Folge: an = a1 + (n − 1) · d, n ∈ N, d ∈ R
(3) geometrische Folge: an = a1 q n−1 , n ∈ N, q ∈ R\{0, 1}
(4) an =
n
,
n+1
n ∈ N0 : (0, 12 , 23 , 34 , 45 , ...)
(5) Sei a0 = 1, a1 = 1 und an = an−1 + an−2 für n ≥ 2.
Diese Folge (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...) heißt Folge der ”Fibonacci-Zahlen”.
2.1.1
Konvergenz von Folgen
Definition: Sei (an )n∈N0 eine Folge reeller Zahlen. Die Folge heißt konvergent gegen a ∈ R,
falls
zu jedem > 0 ein N = N () ∈ N0 existiert, so dass
|an − a| < für alle n ≥ N .
Schreibweise: lim an = a
n→∞
Die reelle Zahl a heißt Grenzwert oder Limes der Zahlenfolge (an )n∈N0 .
Satz (Eindeutigkeit des Limes): Die Folge (an )n∈N0 besitzt höchstens einen Grenzwert.
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42
Beweis: Angenommen (an )n∈N0 konvergiere gegen a und ã, wobei a 6= ã. Wir setzen
:=
|a − ã|
.
2
Da lim an = a gilt, existiert ein N ∈ N, so dass
n→∞
|an − a| < für alle n ≥ N .
Da lim an = ã gilt, existiert ein Ñ ∈ N, so dass
n→∞
|an − ã| < für alle n ≥ Ñ .
Für n > max(N, Ñ ) erhalten wir nun
|a − ã| = |(a − an ) + (an − ã)| ≤ |an − a| + |an − ã| < 2 = |a − ã| .
Da das ein Widerspruch ist, muss die Annahme falsch sein.
Beispiele für konvergente Folgen
Die Folge ( n12 )n∈N konvergiert:
1,2
an
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
2
3
4
5
6
7
n
Abbildung 2.1 Die Folge (n−2 )n∈N
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43
1
Die Folge ((−1)n )n∈N konvergiert:
n
0,6
an
0,4
0,2
0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
11
Abbildung 2.2 Die Folge ((−1)n n−1 )n∈N
1
Die Folge ( √ )n∈N konvergiert:
n
an
2
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
2
3
4
5
6
7
n
8
√
Abbildung 2.3 Die Folge (( n)−1 )n∈N
Beispiele zum Grenzwert
(1) Sei an = n1 , n ∈ N. Die Folge lautet also
1 1 1
(an )n∈N = (1, , , , ...) .
2 3 4
Es gilt
1
= 0,
n→∞ n
lim
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da zu > 0 ein N () ∈ N existiert, so dass
|an − a| = |
1
1
− 0| = < für alle n ≥ N () .
n
n
Hierzu muss lediglich N () >
1
gewählt werden.
(2) Sei an = 1 − n1 , n ∈ N. Die Folge
1 2 3
(an )n∈N = (0, , , , ...) .
2 3 4
konvergiert gegen 1, da
|an − a| = |1 −
1
1
− 1| =
n
n
und wir wie in (1) argumentieren können.
(3) Sei an = 1 +
(−1)n
,
n
n ∈ N. Die Folge
3 2 3
(an )n∈N = (0, , , , ...) .
2 3 4
konvergiert gegen 1, da
|an − a| = |1 +
(−1)n
1
− 1| =
n
n
und wir wieder wie in (1) verfahren können.
(4) Sei an =
√1 ,
n
n ∈ N. Die Folge
1 1 1
(an )n∈N = (1, √ , √ , √ , ...) .
2 3 4
konvergiert gegen 0, da zu > 0 ein N () ∈ N existiert, so dass
1
1
|an − a| = | √ − 0| = √ < für alle n ≥ N () .
n
n
Hierzu muss lediglich N () >
1
gewählt werden.
2
44
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45
Wenn die reelle Zahlenfolge gegen keine reelle Zahl konvergiert, dann wird sie divergent genannt.
Beispiele für divergente Folgen
Die Folge (n)n∈N divergiert, wie die nächste Abbildung zeigt:
8
an
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
n
8
Abbildung 2.4 Die Folge (n)n∈N
Die Folge (n2 )n∈N divergiert:
120
an
100
80
60
40
20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
Abbildung 2.5 Die Folge (n2 )n∈N
Definition: Eine Folge (an )n∈N0 reeller Zahlen heißt bestimmt divergent gegen +∞ (bzw. −∞),
wenn es zu jedem K ∈ R ein N ∈ N0 gibt, so dass
an > K (bzw. an < K) für alle n ≥ N .
Schreibweise: lim an = ∞
n→∞
Statt bestimmt divergent sagt man auch uneigentlich konvergent.
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46
Die Folge ((−1)n )n∈N divergiert:
1,5
an
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
n
14
Abbildung 2.6 Die Folge ((−1)n )n∈N
Eine Zahl a heißt Häufungspunkt einer Folge (an )n∈N0 , wenn es eine Teilfolge von (an ) gibt,
die gegen a konvergiert.
Beispielsweise besitzt die Folge ((−1)n )n∈N0 die Häufungspunkte
+1 und -1.
Definition: Sei (an )n∈N0 eine Folge und
n1 < n2 < n3 < ....
eine aufsteigende Folge natürlicher Zahlen. Dann heißt die Folge
(ank )k∈N0 = (an1 , an2 , an3 , ....)
Teilfolge der Folge (an )n∈N0 .
Summe, Differenz, Produkt und Quotient konvergenter Folgen
Seien (an )n∈N0 und (bn )n∈N0 konvergente Folgen mit
lim an =: a und lim bn =: b ,
n→∞
n→∞
so konvergiert auch die Folge (cn )n∈N0 mit
cn := an · bn
und es gilt
lim cn = lim an · lim bn = a · b .
n→∞
n→∞
n→∞
Entsprechende Regeln gelten für die Addition und Subtraktion.
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47
Seien (an )n∈N0 und (bn )n∈N0 konvergente Folgen mit
lim an =: a und lim bn =: b 6= 0 ,
n→∞
n→∞
so existiert ein N ∈ N0 , so dass
bn 6= 0 für alle n ≥ N .
Sei
cn :=
an
für alle n ≥ N .
bn
Dann konvergiert die Folge (cn )n≥N und
lim an
lim cn =
n→∞
n→∞
lim bn
=
n→∞
a
.
b
Beispiele
• Für die Folge (an )n∈N mit
4 + n7 − n32
4n2 + 7n − 3
=
an =
7n2 + 2
7 + n22
verwenden wir
1
= 0 für alle k ∈ N .
n→∞ nk
lim
Da (an )n∈N Summe, Differenz und Quotient (mit Nenner 6= 0) konvergenter Folgen ist,
konvergiert (an )n∈N .
Der Grenzwert ist
lim an =
n→∞
4
.
7
• Gegeben sei eine Folge (an )n≥2 mit
n
Y
(1 −
k=2
1
) für n ≥ 2 .
k2
Es gilt
a2 =
3
4
und für n ≥ 3:
an = an−1 (1 −
1
(n + 1)(n − 1)
) = an−1
.
2
n
n2
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Demnach gilt
an
n
n−1
2
32
1
= an−1
= ... = a2 =
=
für alle n ≥ 3 .
n+1
n
3
43
2
Somit erhalten wir
an =
1
1
1n+1
= (1 + ) für alle n ≥ 3 .
2 n
2
n
Die Folge (an )n≥2 ist demnach konvergent und es gilt
lim an =
n→∞
2.1.2
1
.
2
Der Begriff der Cauchy-Folge
Eine Folge (an )n∈N0 heißt Cauchy-Folge, falls
zu jedem > 0 ein N = N () ∈ N0 existiert, so dass
|an − am | < für alle n, m ≥ N .
Folglich ist jede konvergente Folge auch eine Cauchy-Folge.
Umgekehrt konvergiert, nach dem Vollständigkeitsaxiom, in R jede Cauchy-Folge.
Beispiel zur Konvergenz einer Cauchy-Folge
Für eine Folge (an )n∈N gelte für n > 2
|an+1 − an | ≤ q|an − an−1 | mit 0 < q < 1 .
Es lässt sich zeigen, dass
|an+1 − an | ≤ q n−1 |a2 − a1 | ,
und mit Hilfe der Dreiecksungleichung, dass
|an+r − an | ≤ |an+r − an+r−1 | + .... + |an+2 − an+1 | + |an+1 − an | , mit r ∈ N .
Daher gilt
|an+r − an | ≤ (q n+r−2 + ... + q n + q n−1 ) |a2 − a1 |
und somit
|an+r − an | ≤
q n−1
|a2 − a1 | .
1−q
48
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49
Nun kann zu jedem > 0 ein N ∈ N so gewählt werden, dass
q n−1
|a2 − a1 | < für alle n ≥ N .
1−q
Demnach ist (an )n∈N eine Cauchy-Folge in R und damit eine konvergente Folge.
Beschränkte Folgen
Bekanntlich ist jede konvergente Folge beschränkt, d.h. es existiert eine obere und untere Schranke. Zwar gilt die Umkehrung der Aussage nicht, doch finden wir folgende Aussagen:
• Jede beschränkte monotone Folge (an )n∈N0 reeller Zahlen konvergiert.
– Ist (an )n∈N0 monoton wachsend und nach oben beschränkt, so konvergiert die Folge.
– Ist (an )n∈N0 monoton fallend und nach unten beschränkt, so konvergiert die Folge.
• Satz von Bolzano-Weierstraß: Jede beschränkte Folge (an )n∈N0 reeller Zahlen besitzt eine
konvergente Teilfolge.
Beispiel zur Konvergenz einer monotonen beschränkten Folge
Die Folge
((1 +
9 64
1 n
) )n∈N = (2, , , ...)
n
4 27
ist monoton wachsend und nach oben beschränkt. Demnach konvergiert die Folge. Ihr Grenzwert ist die Eulersche Zahl e = 2, 71828... .
2.1.3
Eine numerische Anwendung
Um die Quadratwurzel positiver reeller Zahlen numerisch zu berechnen, stellen wir hier ein
Verfahren vor, dass besonders schnell gegen die Lösung der Gleichung
a2 = b
konvergiert. Dabei seien b und a positive reelle Zahlen. Mittels
an+1 =
b
1
(an + ) mit n ∈ N
2
an
ist eine Folge (an )n∈N rekursiv definiert.
Es lässt sich zeigen, dass die Folge (an )n∈N gegen die Quadratwurzel konvergiert und
√
b
≤ b ≤ an für alle n ≥ 2
an
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gilt.
Beweis
Es gilt an > 0 für alle n ∈ N. Ferner erhalten wir für alle n ≥ 2:
a2n − b =
1
b 2
1
b 2
(an−1 +
) − b = (an−1 −
) ≥ 0.
4
an−1
4
an−1
Daher gilt
an − an+1 = an −
1
b
1
(an + ) =
(a2n − b) ≥ 0 .
2
an
2an
−1
Aus a−2
folgt für cn :=
n ≤ b
b
an
die Ungleichung
c2n ≤ b für alle n ≥ 2 .
Weiterhin erhalten wir
cn ≤ cn+1 für alle n ≥ 2 .
Zusätzlich gilt
cn ≤ an für alle n ≥ 2 ,
da andernfalls c2n > a2n wäre.
Bisher wissen wir, dass (an )n≥2 eine monoton fallende und beschränkte Folge mit
c 2 ≤ an ≤ a2
ist. Demnach konvergiert die Folge, und für den Grenzwert der Folge gilt
a ≥ c2 ≥ 0 .
Außerdem erhalten wir
1
b
1
b
(an + ) = (a + )
n→∞ 2
an
2
a
a = lim an+1 = lim
n→∞
und daher
a2 = b .
50
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51
Beispiel
Der Wert von
√
3 zum Startwert a1 = 1
n
an
1
2
3
4
5
1, 0
2, 0
1, 75
1, 732 142 857
1, 732 050 810
b
an
3, 0
1, 5
1, 714 285 714
1, 731 958 763
1, 732 050 805
Es gilt außerdem
√
b
≤ b ≤ an für alle n ≥ 2 .
an
√
Zum Vergleich: 3 ≈ 1, 732 050 808.
Wie sich gezeigt hat, gilt
√
b
≤ b ≤ an für alle n ≥ 2
an
für die Folge (an )n∈N mit
an+1 =
1
b
(an + ) mit n ∈ N
2
an
Überdies konvergieren die beiden Folgen
(
b
)n∈N und (an )n∈N .
an
3,5
b
an
3
2,5
2
1,5
an
1
0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
n
5,5
Abbildung 2.7 Zur Konvergenz von ( abn )n∈N und (an )n∈N
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2.1.4
52
Reihen
Sei (an )n∈N0 eine Folge reeller Zahlen. Die Folge der Partialsummen
sn :=
n
X
ak , mit n ∈ N0 ,
k=0
heißt (unendliche) Reihe und wird mit
∞
P
ak bezeichnet.
k=0
Konvergiert die Folge (sn )n∈N0 , so wird ihr Grenzwert ebenfalls mit
∞
P
ak bezeichnet.
k=0
Beispiele für Summenformeln
(1) Für alle Zahlen n ∈ N gilt die Summenformel
n
X
k=1
k=
n(n + 1)
2
(2) Für eine arithmetische Folge (an )n∈N erhalten wir die Summenformel
n
X
k=1
ak =
n
(a1 + an )
2
(3) Für die geometrische Folge (an )n∈N erhalten wir die Summenformel
n
X
k=1
ak = a1 ·
1 − qn
1−q
Diese Beispiele geben Summenformeln für
n
P
an wieder. Dabei sind (an )n∈N arithmetische
k=1
bzw. geometrischen Folgen. Die Folge der Partialsummen
sn :=
n
X
ak , 1 ≤ n ≤ N ,
k=1
mit festem N ∈ N0 , lässt sich auch als endliche Reihe bezeichnen.
(1) Ist (an )n∈N eine arithmetische Folge, so heißt (sn )1≤n≤N
(endliche) arithmetische Reihe.
(2) Ist (an )n∈N eine geometrische Folge, so heißt (sn )1≤n≤N
(endliche) geometrische Reihe.
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53
Heben wir die Beschränkung auf, dass, bei arithmetischer und geometrischer Reihe, n ein fester endlicher Wert ist, so können wir auch unendliche arithmetische und geometrische Reihen
untersuchen.
Während die arithmetische Reihe für n → ∞ divergiert, gibt es bei der geometrischen Reihe
auch konvergente Folgen von Partialsummen, d.h. eine konvergente unendliche geometrische
Reihe.
Sei |q| < 1. Dann gilt
∞
X
ak = a1
k=1
1
1−q
Um die Konvergenz von Reihen allgemeiner behandeln zu können, befassen wir und im nächsten
Abschnitt mit einigen Konvergenzkriterien.
Konvergenzkriterien für Reihen
Allgemeines Cauchysches Konvergenzkriterium
Sei (an )n∈N0 eine Folge reeller Zahlen. Dann konvergiert die Reihe
∞
X
an
n=0
genau dann, wenn sie einen Cauchy-Folge ist, d.h., wenn gilt:
Zu jedem > 0 existiert ein N ∈ N0 , so dass
n
X
ak < für alle n ≥ m ≥ N .
k=m
Eine notwendige, aber nicht hinreichende, Bedingung für die Konvergenz einer Reihe
∞
X
an
n=0
ist, dass
lim an = 0 .
n→∞
Beweis: Da eine konvergente Folge auch Cauchy-Folgen ist, existiert ein N ∈ N0 , so dass
n
X
ak < für alle n ≥ m ≥ N .
k=m
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54
Hieraus folgt insbesondere, dass
|an | < für alle n ≥ N .
Besteht eine Reihe
∞
P
an nur aus nicht-negativen Reihengliedern an , so ist die Reihe genau
n=0
dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.
Dieses Ergebnis lässt sich leicht zeigen, da die Folge der Partialsummen monoton wachsend ist.
∞
P
Eine Reihe
an heißt absolut konvergent, wenn
n=0
∞
X
|an |
n=0
konvergiert.
Konvergiert eine Reihe absolut, so konvergiert sie auch im gewöhnlichen Sinne.
Umgekehrt ist eine konvergente Reihe jedoch nicht notwendigerweise absolut konvergent, wie
sich beispielsweise bei der alternierenden harmonischen Reihe zeigt.
Anders als für endliche Summen ist es nicht selbstverständlich, dass eine konvergente Reihe
nach Umordnung noch konvergent ist und der Grenzwert durch die Umordnung nicht verändert
wird. In diesem Zusammenhang ist es wichtig, dass die Reihe absolut konvergiert.
Definition: Sei
∞
X
an eine Reihe. Ist τ : N → N eine bijektive Abbildung, so heißt die Reihe
n=0
∞
X
aτ (n)
n=0
eine Umordnung der gegebenen Reihe.
Ist
∞
X
an eine absolut konvergente Reihe mit dem Grenzwert g, so konvergiert jede Umordnung
n=0
der Reihe ebenfalls gegen g.
Auch für den folgenden Satz genügt die bloße Konvergenz der Reihen nicht. Vielmehr wird
absolute Konvergenz gefordert.
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55
Das Cauchy-Produkt von Reihen
Seien
∞
X
an und
n=0
∞
X
bn absolut konvergente Reihen. Wir setzen
n=0
cn :=
n
X
an−k bk für n ∈ N .
k=0
Dann ist die Reihe
∞
X
cn absolut konvergent und es gilt
n=0
∞
X
cn =
n=0
∞
X
!
an
n=0
∞
X
!
bn
.
n=0
Quotientenkriterium
(A) Sei
∞
P
an eine Reihe mit an 6= 0 für alle n ≥ N .
n=0
• Existiert eine Zahl θ ∈ R mit 0 < θ < 1, so dass
an+1 an ≤ θ , für alle n ≥ N ,
gilt, dann konvergiert die Reihe
Daher konvergiert auch
∞
P
∞
P
n=0
an .
n=0
• Gilt hingegen
an+1 an ≥ 1 , für alle n ≥ N ,
so divergiert die Reihe.
an absolut. Das bedeutet, dass
∞
P
n=0
|an | konvergiert.
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(B) Es sei
∞
P
56
an eine Reihe mit an > 0. Ferner existiere der Grenzwert
n=0
an+1
.
n→∞ an
q := lim
• Ist q < 1, so konvergiert die Reihe
∞
P
an .
n=0
• Ist q > 1, so divergiert die Reihe
∞
P
an .
n=0
• Für q = 1 ist eine entsprechende Aussage nicht möglich.
Anmerkung: Die Aussage zur Divergenz lässt sich einfach zeigen, da die Folgeglieder einer
konvergenten Reihe gegen Null konvergieren.
Beispiele
• Die Reihe
∞
X
n
2n
n=1
konvergiert, da
n+1 n
2n+1 an+1 = lim (n + 1) · 2
=
lim
q = lim n→∞
an n→∞ 2nn n→∞ n · 2n+1
n+1
1
= < 1.
n→∞ n · 2
2
• Die harmonische Reihe
∞
X
1
= lim
n=1
n
divergiert, wie wir noch zeigen werden. Zwar gilt
an+1
n
=
< 1 , für alle n ≥ 1 ,
an
n+1
aber es gibt kein θ < 1 mit
an+1 an ≤ θ , für alle n ≥ N .
Das Quotientenkriterium ist für Reihen der Form
∞
X
1
, mitk ∈ N ,
nk
n=1
nicht anwendbar.
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57
Majorantenkriterium
Sei
∞
X
cn eine konvergente Reihe mit
n=0
cn ≥ 0 , für alle n ∈ N0
und (an )n∈N eine Folge mit
|an | ≤ cn für alle n ∈ N0 .
Dann konvergiert die Reihe
Beweis: Da die Reihe
∞
X
∞
P
|an | und daher
n=0
∞
P
an .
n=0
cn konvergiert, ist diese Folge der Partialsummen auch eine Cauchy-
n=0
Folge.
Daher existiert zu jedem > 0 ein N ∈ N0 , so dass
n
X ck < für alle n ≥ m ≥ N .
k=m
Demnach gilt
n
X
|ak | ≤
k=m
n
X
ck < für alle n ≥ m ≥ N .
k=m
Mit dem allgemeinen Cauchyschen Konvergenzkriterium ist die Behauptung bewiesen.
Anmerkungen
• Die Reihe
∞
P
cn heißt Majorante von
n=0
• Bildet stattdessen
∞
P
an .
n=0
∞
P
cn eine divergente Reihe mit
n=0
cn ≥ 0 für alle n ∈ N0 und an ≥ cn für alle n ∈ N0 ,
∞
P
dann divergiert die Reihe
an .
n=0
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58
Beispiele
• Zwar konvergieren die Reihenglieder der harmonischen Reihe
∞
X
1
n
n=1
gegen Null, jedoch divergiert die harmonische Reihe.
Anmerkung: Das Quotientenkriterium kann hier nicht angewendet werden.
Beweis: Um die Folge der Partialsummen
m
X
1
)m∈N
(
n
n=1
nach unten abzuschätzen, betrachten wir die Partialsummen
!
k+1
p+1
2X
k
2X
1
1 X
1
s2k+1 =
=1+ +
n
2 p=1 n=2p +1 n
n=1
=1+
1
+
2
1 1
+
3 4
+
1 1 1 1
+ + +
5 6 7 8

+ ... + 
k+1
2X
n=2k +1

1
n
Die Summe jeder dieser Terme in Klammern ist größer oder gleich 12 . Somit folgt
s2k+1 ≥ 1 +
k
.
2
Das bedeutet aber, dass die Folge der Partialsummen unbeschränkt ist.
• Die Reihe
∞
X
1
√
n
n=1
divergiert, da
1
1
√ ≥ , für alle n ≥ 1 ,
n
n
gilt und die harmonische Reihe divergiert.
∞ 1
P
, mit k ∈ N : k ≥ 2, konvergiert.
k
n=1 n
m
P
m
1
Begründung:
=
und Anwendung des Majorantenkriteriums.
m+1
n=1 n(n + 1)
• Die Reihe
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59
• Die Reihe
∞
X
1
nn
n=1
konvergiert, da
m
m n
X
X
1
1
, für alle m ≥ 2 ,
≤1+
n
n
2
n=1
n=2
gilt, die geometrische Reihe mit |q| < 1 konvergiert und daher eine Majorante existiert.
Grenzwertkriterium
Seien an > 0 und bn > 0, für n ∈ N0 . Existiert der Grenzwert
lim
n→∞
an
= q,
bn
wobei 0 < q < ∞, so sind die Reihen
∞
X
an und
∞
X
bn
n=0
n=0
entweder beide konvergent oder beide divergent.
Beispiele
• Die Reihe
∞
X
n=1
lim
an
n→∞ 1
n
n
divergiert, da
n2 + 2
n
n2 +2
1
n→∞
n
= lim
n2
1
=
lim
=1
n→∞ n2 + 2
n→∞ 1 + 22
n
= lim
gilt und die harmonische Reihe divergiert.
• Die Reihe
∞
X
n=1
an
lim
n→∞ 12
n
n
konvergiert, da, mit | cos n| ≤ 1,
+ cos n
n3
=
n
n3 +cos n
lim
1
n→∞
n2
gilt und die Reihe
n3
1
= lim 3
= lim
=1
n→∞ n + cos n
n→∞ 1 + cos3n
n
∞
X
1
konvergiert.
2
n
n=1
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60
Wurzelkriterium
(A) Sei
∞
P
an eine Reihe mit an ≥ 0.
n=0
• Existiert eine Zahl θ ∈ R mit 0 < θ < 1 und ein N ∈ N0 , so dass
√
n
an ≤ θ < 1 für alle n ≥ N
gilt, dann konvergiert die Reihe
∞
P
an .
n=0
• Gilt hingegen
√
n
an ≥ 1 für alle n ≥ N ,
so divergiert die Reihe
∞
P
an .
n=0
Anmerkungen
• Die Aussage zur Divergenz lässt sich einfach zeigen, da die Folgeglieder einer konvergenten Reihe gegen Null konvergieren.
• Sind die Folgeglieder der Reihe nicht alle positiv, so lässt sich stattdessen die Konvergenz
∞
P
von
|an | behandeln.
n=0
(B) Sei
∞
P
an eine Reihe mit an ≥ 0. Hat die Folge
n=0
√
( n an )n∈N0
einen Grenzwert g, so ist die Reihe
∞
P
n=0
• für g < 1 konvergent
• für g > 1 divergent.
an
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Anmerkungen
• Für g = 1 ist eine entsprechende Schlußfolgerung nicht möglich.
• Beispielsweise gilt
√
lim n n = 1 ,
n→∞
lim
n→∞
√
n
a = 1 , für a > 0 .
Beispiel
Die Reihe
∞
X
(5n)n+1
n2n
n=1
konvergiert, da
g = lim
√
n
r
an = lim
n
n→∞
n→∞
√
(5n)n+1
5n √
n
n
=
lim
(
·
5
·
n)
2n
2
n→∞
n
n
√
√
5
n
· lim 5 · lim n n = 0 · 1 · 1 = 0 < 1 .
n→∞
n→∞ n n→∞
= lim
Leibnizsches Konvergenzkriterium für alternierende Reihen
Sei (an )n∈N0 eine monoton fallende Folge mit an ≥ 0 und lim an = 0.
∞
P
Dann konvergiert die Reihe
(−1)n an .
n=0
Beweis: Für die Partialsumme
sk :=
k
X
an
n=0
gilt
s2k+2 − s2k = −a2k+1 + a2k+2 ≤ 0
und daher
s0 ≥ s2 ≥ s4 ≥ ... ≥ s2k ≥ s2k+2 ≥ ... .
Entsprechend gilt
s2k+3 − s2k+1 = a2k+2 − a2k+3 ≥ 0
61
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62
und daher
s1 ≤ s3 ≤ s5 ≤ ... ≤ s2k+1 ≤ s2k+3 ≤ ... .
Überdies gilt
s2k+1 − s2k = −a2k+1 ≤ 0
und somit
s2k+1 ≤ s2k für alle k ∈ N0 .
Die Folge (s2k )k∈N0 ist monoton fallend und, wegen
s2k ≥ s1 für alle k ∈ N0 ,
nach unten beschränkt.
Daher konvergiert die Folge und der Grenzwert
S := lim s2k
k→∞
existiert.
Die Folge (s2k+1 )k∈N0 ist monoton wachsend und, wegen
s2k+1 ≤ s0 für alle k ∈ N0 ,
nach oben beschränkt. Daher konvergiert die Folge und der Grenzwert
S̃ := lim s2k+1
k→∞
existiert.
Die beiden Grenzwerte S und S̃ sind identisch, da
S − S̃ = lim (s2k − s2k+1 ) = lim a2k+1 = 0 .
k→∞
k→∞
Demnach gibt es für alle > 0 Zahlen N1 , N2 ∈ N0 , so dass
|s2k − S| < für alle k ≥ N1
und
|s2k+1 − S| < für alle k ≥ N2 .
Setzen wir N := max(2N1 , 2N2 + 1), so gilt
|sn − S| < für alle n ≥ N .
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63
Beispiele
• Die harmonische Reihe
• Die Reihe
∞ 1
P
divergiert.
n=1 n
∞ 1
P
, mit k ∈ N : k ≥ 2, konvergiert.
k
n=1 n
∞
P
• Die alternierende harmonische Reihe
(−1)n
n=1
1
konvergiert.
n
Begründung: nach Leibniz-Kriterium.
• Die unendliche geometrische Reihe
∞
P
xn , für |x| < 1, konvergiert.
n=0
1 − xm+1
für x ∈ R : x 6= 1
Begründung: Es gilt
xn =
1−x
n=0
∞
P
1
für |x| < 1 .
und daher
xn =
1−x
n=0
m
P
∞ 1
P
|x|n , mit |x| < 1 konvergiert.
n=1 n
n+1
|x| ≤ θ < 1.
Begründung: Quotientenkriterium, da
n
• Die Reihe
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2.2
2.2.1
64
Differentialrechnung von Funktionen einer Variablen
Der Differentialquotient
Definition: Sei D ⊂ R und
f : D −→ R
eine Funktion. Es existiere eine Folge (ξn ) ⊂ D\{x} mit lim ξn = x.
n→∞
f heißt in einem Punkt x ∈ D differenzierbar, falls der Grenzwert
f 0 (x) :=
lim
ξ→x
ξ∈D\{x}
f (ξ) − f (x)
ξ−x
in R existiert. Dieser Grenzwert f 0 (x) heißt Differentialquotient oder Ableitung von f im Punkte
x.
Anmerkung: Der Definition liegt der Begriff des Grenzwertes bei Funktionen zu Grunde. Der
Grenzwert von
g(ξ) :=
f (ξ) − f (x)
ξ−x
existiert nicht, wenn die Folge g(ξn ) divergiert, d. h., wenn ihr Wert von der Wahl der Folge
(ξn )n ∈ N abhängt oder bestimmt divergiert.
Der Differenzenquotient
f (ξ) − f (x)
ξ−x
ist die Steigung der Sekante durch die Punkte (x, f (x)) und (ξ, f (ξ)) des Graphen der Funktion
f.
Existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten für ξ → x, so geht bei diesem Grenzübergang die Sekante in die Tangente an den Graphen von f im Punkt (x, f (x)) über.
Statt f 0 (x) ist auch die Schreibweise
df (x)
üblich.
dx
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65
f ( ξ)
f ( ξ)− f ( x )
f (x)
x
ξ−x
ξ
Abbildung 2.8 Die Steigung der Sekante
Beispiele zur Berechnung der Ableitung
• Sei f : R → R, f (x) = x2 . Dann gilt
f (x + h) − f (x)
(x + h)2 − x2
= lim
h→0
h→0
h
h
f 0 (x) = lim
2xh + h2
= lim (2x + h) = 2x .
h→0
h→0
h
= lim
• Sei f : R∗ := R\{0} und f : R∗ → R, f (x) =
1
. Dann gilt
x
1
1
1
f (x + h) − f (x)
= lim (
− )
h→0 h x + h
h→0
h
x
f 0 (x) = lim
x − (x + h)
−1
1
= lim
=− 2.
h→0 h(x + h)x
h→0 (x + h)x
x
= lim
• Sei f : R → R, f (x) = exp x. Dann gilt
exp(x + h) − exp(x)
exp(h) − 1
= exp(x) lim
.
h→0
h→0
h
h
f 0 (x) = lim
Da
ex − 1
= 1,
x→0
x
x6=0
lim
erhalten wir
f 0 (x) = exp(x) .
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66
• Sei f : R → R, f (x) = sin x. Dann gilt
2 cos(x + h2 ) sin h2
sin(x + h) − sin(x)
f (x) = lim
= lim
h→0
h→0
h
h
!
sin h
h
= lim cos(x + ) · lim h 2 .
h→0
h→0
2
2
0
Da die Funktion cos stetig ist, erhalten wir
h
lim cos(x + ) = cos x .
h→0
2
Weiterhin gilt
sin x
= 1.
x→0
x
x6=0
lim
Das ergibt schließlich
f 0 (x) = cos x .
Die Betragsfunktion
abs : R → R , x 7→ |x|
ist stetig, jedoch nicht differenzierbar.
y
f ( x )=∣x∣
x
Abbildung 2.9 Die Betragsfunktion
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67
Beweis: Die Folge (hn )n∈N mit
hn := (−1)n
1
mit n ∈ N
n
konvergiert gegen Null. Für
qn :=
abs(0 + hn ) − abs(0)
hn
gilt
qn =
1
n
−0
n
1 = (−1) .
n
(−1) n
Da lim qn nicht existiert, ist die Funktion abs im Nullpunkt nicht differenzierbar.
n→∞
Wie bei der rechtsseitigen und linksseitigen Stetigkeit, lassen sich auch entsprechende Differentialquotienten einführen.
Definition: Sei D ⊂ R und
f : D −→ R
eine Funktion. Dann heißt f im Punkt x von rechts differenzierbar, falls der Grenzwert
f+0 (x) := lim
ξ&x
f (ξ) − f (x)
ξ−x
existiert. Die Funktion f heißt im Punkt x von links differenzierbar, falls der Grenzwert
f−0 (x) := lim
ξ%x
f (ξ) − f (x)
ξ−x
existiert.
Beispiel: Die Funktion abs ist im Nullpunkt zwar nicht differenzierbar, jedoch sowohl von
rechts als auch von links differenzierbar, wobei
abs0+ (0) = +1 und abs0− (0) = −1 .
Während aus der Stetigkeit einer Funktion nicht deren Differenzierbarkeit folgt, impliziert jedoch umgekehrt die Differenzierbarkeit einer Funktion deren Stetigkeit.
Satz: Ist die Funktion f : D −→ R in x ∈ D differenzierbar, so ist sie in x auch stetig.
Eine Funktion f : D −→ R heißt in x ∈ D stetig differenzierbar, wenn sie in x differenzierbar
und der Differentialquotient f 0 in x stetig ist.
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2.2.2
Ableitungsregeln
Produktregel
Seien f, g : D −→ R in x ∈ D differenzierbare Funktionen. Dann ist auch die Funktion
f · g : D −→ R
in x ∈ D differenzierbar, und es gilt
(f · g)0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x) .
Quotientenregel
Ist g(ξ) 6= 0 für alle ξ ∈ D, so ist auch die Funktion
f
: D −→ R
g
in x ∈ D differenzierbar und es gilt
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
f
.
( )0 (x) =
g
g(x)2
Beispiel
Für die Funktion
tan : R\{
π
+ kπ|k ∈ Z} → R , x 7→ tan x
2
erhalten wir
tan0 (x) =
cos2 x + sin2 x
1
sin0 (x) cos(x) − sin(x) cos0 (x)
=
=
.
2
2
cos x
cos x
cos2 x
68
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69
Ableitung der Umkehrfunktion
Sei D ⊂ R ein abgeschlossenes Intervall. Ferner sei
f :D→R
eine stetige und streng monotone Funktion und
ϕ = f −1 : D∗ → R , mit D∗ = f (D) ,
deren Umkehrfunktion.
Ist f im Punkt x ∈ D differenzierbar mit f 0 (x) 6= 0, so ist ϕ im Punkt y := f (x) differenzierbar
und es gilt
ϕ0 (y) =
1
f 0 (x)
=
1
f 0 (ϕ(y))
.
Beispiel
Die Funktion ln : R∗+ → R ist die Umkehrfunktion von exp : R → R. Daher gilt
ln0 (x) =
1
exp0 (ln x)
=
1
1
= .
exp(ln x)
x
Kettenregel
Seien f : D −→ R und g : E −→ R Funktionen mit f (D) ⊂ E. Die Funktion f sei im Punkt
x ∈ D und g im Punkt f (x) ∈ E differenzierbar. Dann ist die zusammengesetzte Funktion
g ◦ f : D −→ R
im Punkt x ∈ D differenzierbar, und es gilt
(g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x))f 0 (x) .
Beispiel
Sei a ∈ R und
f : R∗+ → R, x 7→ xa .
Mit xa = exp(a ln x) und der Anwendung der Kettenregel erhalten wir
dxa
d
a
= exp0 (a ln x) (a ln x) = exp(a ln x) = a xa−1 .
dx
dx
x
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70
Ableitungen höherer Ordnung
Sei f : D → R in D ∩ (x − , x + ) und f 0 : D → R in x ∈ D differenzierbar. Demnach
existiert der Grenzwert (f 0 )0 (x). Die Ableitung (f 0 )0 (x) wird als zweite Ableitung von f in x
bezeichnet. Gebräuchlich ist die Schreibweise
2
d2 f (x)
d
d df (x)
00
0 0
=
=
f (x) .
f (x) := (f ) (x) =
2
dx
dx
dx
dx
Allgemein lassen sich so k-te Ableitungen einführen.
Definition: Eine Funktion f : D → R heißt k-mal differenzierbar im Punkt x ∈ D, falls ein
> 0 existiert, so dass f in D ∩ (x − , x + ) (k − 1)-mal differenzierbar und die (k − 1)-te
Ableitung von f in x differenzierbar ist. Gebräuchlich ist die Schreibweise
f
(k)
(x) := (f
d
) (x) =
dx
(k−1) 0
dk−1 f (x)
dk−1 x
Ableitungen einiger Funktionen
Die Ableitung der konstanten Funktion
f : R → R , x 7→ f (x) = c
ist
f 0 (x) = 0 .
Die Ableitung der Potenzfunktion
f : R∗+ → R , x 7→ f (x) = xa , mit a ∈ R ,
ist
f 0 (x) = a xa−1 .
Trigonometrische Funktionen
Die Ableitung der sin-Funktion
f : R → R , x 7→ f (x) = sin x
ist
f 0 (x) = cos x .
dk f (x)
=
=
dxk
d
dx
k
f (x) .
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Die Ableitung der cos-Funktion
f : R → R , x 7→ f (x) = cos x
ist
f 0 (x) = − sin x .
Die Ableitung der tan-Funktion
f : R\{
π
+ kπ|k ∈ Z} → R , x 7→ f (x) = tan x
2
ist
f 0 (x) =
1
.
cos2 x
Die Ableitung der cot-Funktion
f : R\{kπ|k ∈ Z} → R , x 7→ f (x) = cot x
ist
f 0 (x) = −
1
.
sin2 x
Exponentialfunktionen
Die Ableitung der exp-Funktion
f : R → R , x 7→ f (x) = ex
ist
f 0 (x) = ex .
Sei a ∈ R∗+ . Die Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis a
f : R → R , x 7→ f (x) = ax
ist
f 0 (x) = ax · (ln a) .
71
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2.2.3
72
Lokale Extrema, Mittelwertsatz, Krümmungsverhalten
Definition: Sei D ⊂ R eine offene Menge und f : D → R. Die Funktion f besitzt in D ein
lokales Maximum (Minimum), wenn ein > 0 existiert, so dass
f (x) ≥ f (ξ) (bzw. f (x) ≤ f (ξ)) für alle ξ mit |x − ξ| < .
Dieser Extremwert wird als isoliertes lokales Maximum (Minimium) bezeichnet, wenn
f (x) 6= f (ξ) in einer beliebig kleinen Umgebung von ξ ist.
Sei D ⊂ R eine offene Menge und f : D → R. Die Funktion f besitze in D ein lokales
Extremum und sei in x differenzierbar. Dann gilt f 0 (x) = 0.
Der Satz von Rolle besagt, dass zwischen zwei Nullstellen einer Funktion eine Nullstelle der
Ableitung liegt.
Satz von Rolle: Sei a < b. Ferner sei f : [a, b] → R eine stetige und in (a, b) differenzierbare
Funktion mit f (a) = f (b). Dann existiert ein ξ ∈ (a, b) mit f 0 (ξ) = 0.
Eine Folgerung des Satzes von Rolle ist der folgende Mittelwertsatz.
Mittelwertsatz der Differentialrechnung: Sei a < b und f : [a, b] → R eine stetige und in (a, b)
differenzierbare Funktion. Dann existiert ein ξ ∈ (a, b), so dass
f (b) − f (a)
= f 0 (ξ) .
b−a
Das bedeutet, dass die Steigung der Sekante durch die Punkte (a, f (a)) und (b, f (b)) gleich der
Steigung der Tangente an den Graphen von f an einer Stelle (ξ, f (ξ)) mit ξ ∈ (a, b) ist.
y
f (x)
f (b)− f (a)
b−a
a
ξ
b
x
Abbildung 2.10 Die Sekantensteigung und f 0 (ξ)
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73
Mit Hilfe der Ableitung lassen sich die Monotoniebereiche und damit die Extrema bestimmen.
Sei f : [a, b] → R eine stetige und in (a, b) differenzierbare Funktion. Gilt
• f 0 (x) ≥ 0 (f 0 (x) > 0) für alle x ∈ (a, b), so ist f in [a, b]
(streng) monoton wachsend,
• f 0 (x) ≤ 0 (f 0 (x) < 0) für alle x ∈ (a, b), so ist f in [a, b]
(streng) monoton fallend.
Beispiel: Monotoniebereiche und Extremwerte
y
f (x)
f ( x 1)
f ' ( x)>0
f ' ( x)<0
f ' ( x)>0
f ( x 2)
x1
x2
x
Abbildung 2.11 Monotoniebereiche und
Extremwerte
Eine hinreichende Bedingung für ein isoliertes lokales Extremum bietet der folgende Satz:
Sei f : (a, b) → R eine differenzierbare Funktion, die im Punkt x ∈ (a, b) zweimal differenzierbar ist. Gilt
f 0 (x) = 0 und f 00 (x) > 0 (bzw. f 00 (x) < 0) ,
so besitzt f in x ein isoliertes lokales Minimum (bzw. Maximum).
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74
Krümmungsverhalten
Sei D ⊂ R ein (endliches oder uneigentliches) Intervall.
Eine Funktion f : D → R heißt konvex, wenn für alle x1 , x2 ∈ D und alle λ mit 0 < λ < 1 gilt
f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) .
Eine Funktion f heißt konkav, wenn −f konvex ist.
Sei f : D → R zweimal differenzierbar. Die Funktion f ist genau dann konvex (bzw. konkav),
wenn für alle x ∈ (a, b) gilt
f 00 (x) ≥ 0 (bzw. f 00 (x) ≤ 0) .
Beispiel: Krümmungsverhalten
y
f (x)
f ' ' ( x)<0
f ( x 0)
f ' ' ( x)>0
x0
x
Abbildung 2.12 Konvexe und konkave Bereiche einer
Funktion
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2.2.4
75
Approximation durch affin-lineare Funktionen
Die Differenzierbarkeit einer Funktionen kann auch durch die Approximierbarkeit mittels affinlineare Funktionen ausgedrückt werden.
Sei D ⊂ R und a ∈ D ein Punkt, der Grenzwert mindestens einer Punktfolge (xn )n∈N ⊂ D\{a}
ist. Eine Funktion f : D → R ist genau dann im Punkt a differenzierbar, wenn eine Konstante
c ∈ R existiert, so dass
f (x) = f (a) + c(x − a) + ϕ(x) für x ∈ D ,
wobei ϕ eine Funktion ϕ : D → R mit der Eigenschaft
ϕ(x)
=0
x−a
x∈D\{a}
lim
x→a
ist. In diesem Fall gilt c = f 0 (x). Der Graph unserer affin-linearen Funktion
L(x) = f (a) + c(x − a)
ist die Tangente an den Graphen von f im Punkt (a, f (a)).
Beispiel
Approximation der Funktion
f : R → R , x 7→ f (x) = sin x
in Umgebung des Punktes a = 0.
Wir erhalten
x
0,1
0,2
sin x 0,09983 0,19867
0,3
0,4
0,29552 0,38942
Approximation einiger Funktionen in der Umgebung von a = 0
Es gilt
(1 + x)α ≈ 1 + α x , mit α ∈ R,
ex ≈ 1 + x,
sin x ≈ x,
ln(1 + x) ≈ x.
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2.3
76
Funktionenfolgen
Gegeben sei K eine Menge und Funktionen fn : K → C, mit n ∈ N0 .
K kann beispielsweise R oder C oder ein Intervall in R sein.
Dann können wir (fn (x))n∈N0 punktweise als Zahlenfolgen auffassen.
Die Folge (fn (x))n∈N0 heißt Funktionenfolge.
Punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen
Die Folge (fn (x))n∈N0 konvergiert punktweise gegen einen Funktion f : K → C, falls für alle
x ∈ K und für alle > 0 ein N = N (x, ) exsitiert, so dass
|fn (x) − f (x)| < für alle n ≥ N .
Bei gleichmäßiger Konvergenz einer Funktionenfolge muss die für die punktweise Konvergenz
geforderte Eigenschaft hinsichtlich N = N () gelten, d.h. N darf nicht von x abhängen.
Die Folge (fn (x))n∈N0 konvergiert gleichmäßig gegen einen Funktion f : K → C, falls für alle
> 0 ein N = N () exsitiert, so dass
|fn (x) − f (x)| < für alle x ∈ K und alle n ≥ N .
Konvergiert eine Funktionenfolge gleichmäßig, so konvergiert sie auch punktweise.
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77
Beispiel zur punktweisen Konvergenz von Funktionenfolgen
Sei n ∈ N0 und
fn : [0, 1] → R , x 7→ fn (x) = xn .
Obwohl die Funktionen fn stetig sind, ist
f (x) = lim fn (x)
n→∞
unstetig, wobei
0 für
f (x) =
1 für
0≤x<1
x = 1.
y
x2
x4
x12
x100
lim n → ∞ f n ( x)
x
Abbildung 2.13 Punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen
Allerdings bietet die gleichmäßige Konvergenz ein Kriterium, das die Stetigkeit des Limes f (x)
gewährleistet.
Sei fn : K → C, n ∈ N0 und (fn )n∈N0 eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen
die Funktion f : K → C konvergiere. Dann ist auch f stetig.
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2.4
78
Potenzreihen
Sei (cn )n∈N0 eine Folge komplexer Zahlen, z0 ∈ C und fn : C → C. Besitzen die Folgeglieder
fn der Funktionenfolge (fn (z))n die Form
fn (z) = cn (z − z0 )n für n ∈ N0 ,
so bezeichnen wir die zugehörige Reihe
∞
X
fn (z)
n=0
als Potenzreihe.
Definition: Ist
∞
X
cn (z − z0 )n
n=0
eine Potenzreihe, so heißt
r := sup{|z − z0 | |
∞
X
cn (z − z0 )n konvergiert }
n=0
Konvergenzradius der Potenzreihe.
Anmerkung: Es gilt r ∈ R+ ∪ {∞}.
Beispiel
Sei n ∈ N0 und
fn : (−1, 1) → R , x 7→ xn .
Dann konvergiert die geometrische Reihe
∞
X
n=0
∞
X
n=0
fn (x) =
∞
X
n=0
xn =
1
.
1−x
fn (x) und
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79
Sei ρ ∈ R und
B(z0 , ρ) := {z ∈ C | |z − z0 | ≤ ρ} .
Falls die Potenzreihe
∞
X
cn (z − z0 )n
n=0
für ein z1 ∈ C mit z1 6= z0 konvergiert, so konvergieren diese Potenzreihe und die Potenzreihe
∞
X
ncn (z − z0 )n−1
n=1
absolut und gleichmäßig auf B(z0 , ρ) mit 0 < ρ < |z1 − z0 |.
Entweder konvergiert die Potenzreihe absolut auf ganz C oder es gibt eine reelle Zahl
r ∈ [0, ∞), so dass die Potenzreihe
• auf {z ∈ C | |z − z0 | < r} absolut konvergiert und
• auf {z ∈ C | |z − z0 | > r} divergiert.
Anmerkung: Entsprechende Aussagen gelten für Potenzreihen in R.
Berechnung des Konvergenzradius
Gegeben sei eine Reihe
∞
X
an xn , mit x ∈ R .
n=0
Existiert
lim
n→∞
p
n
|an | = g ,
so gilt für den Konvergenzradius
1
r= .
g
Existiert
an+1 = q,
lim n→∞ an so gilt für den Konvergenzradius
1
r= .
q
Anmerkung: Die Aussagen lassen sich mit Hilfe des Wurzel- bzw. Quotientenkriteriums
beweisen.
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80
Beispiele
• Die Exponential-Reihe
∞
X
xn
n=0
n!
xn
ist für jedes x ∈ R absolut konvergent, da mit fn (x) :=
, für alle n ≥ 2|x|:
n!
fn+1 (x) 1
|x|
fn (x) = n + 1 ≤ 2 .
Nach dem Quotientenkriterium ist demnach die Behauptung bewiesen.
Für den Konvergenzradius erhalten wir daher r = ∞.
Anmerkung: Es gilt
fn+1 (x) = 0.
lim n→∞ fn (x) Wir können den Konvergenzradius aber auch, wie oben, mittels der Folgen (an )n∈N0 bestimmen:
1
So erhalten wir, mit an := ,
n!
an+1 = lim 1 = 0 ,
lim n→∞
an n→∞ n + 1
woraus r = ∞ folgt.
• Für den Konvergenzradius der Reihe
∞
X
nxn
n=0
erhalten wir r = 1, da für fn (x) := nxn
p
√
lim n |fn (x)| = lim ( n n |x|) = |x|
n→∞
n→∞
ist.
Das Ergebnis für den Konvergenzradius lässt sich aber auch als Folgerung des Konvergenzverhaltens von
(an )n∈N0 mit an := n
zeigen.
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81
Im folgenden Satz formulieren wir, dass sich konvergente reelle Potenzreihen gliedweise differenzieren lassen.
Sei an , x, x0 ∈ R und
f (x) =
∞
X
an (x − x0 )n
n=0
eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius r > 0.
Dann gilt für alle x ∈ (x0 − r, x0 + r)
0
f (x) =
∞
X
n=1
nan (x − x0 )n−1 .
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2.5
82
Taylor-Reihen
Wie wir gesehen haben, kann der Funktionswert einer differenzierbaren Funktion f in der Umgebung einer Stelle a durch
f (a) + (x − a)f 0 (a)
näherungsweise bestimmt werden.
Da die Berücksichtigung höherer Ableitungen zu einer verbesserten Approximation von ganzrationalen Funktionen führen kann, stellt sich allgemein die Frage, wann sich Funktionen, zumindest lokal, durch Polynome approximieren lassen.
Eine ganzrationale Funktion
f (x) =
n
X
ak x k ,
k=0
lässt sich auch folgendermaßen schreiben
f (x) =
n
X
f (k) (0)
k!
k=0
xk .
Ersetzen wir hierbei den Punkt 0 durch den Punkt a, so erhalten wir entsprechend
f (x) =
n
X
f (k) (a)
k!
k=0
(x − a)k .
Taylorsche Formel: Sei I ⊂ R ein Intervall und a, x ∈ I. Ferner sei f : I → R eine (n + 1)-mal
stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt
f (x) = f (a) +
=
n
X
f (k) (a)
k=0
k!
f 0 (a)
f 00 (a)
f (n) (a)
(x − a) +
(x − a)2 + ... +
(x − a)n + Rn+1 (x)
1!
2!
n!
(x − a)k + Rn+1 (x) ,
wobei
1
Rn+1 (x) =
n!
Zx
a
(x − t)n f (n+1) (t) dt .
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83
Die Lagrangesche Form dieses Restgliedes Rn+1 (x) lautet:
Es existiert ein ξ ∈ [a, x] bzw. ξ ∈ [x, a], so dass
Rn+1 (x) =
f (n+1) (ξ)
(x − a)n+1 .
(n + 1)!
Mit Hilfe der Taylor-Entwicklung lässt sich folgender Satz beweisen:
Sei I ⊂ R ein Intervall und x ∈ I. Ferner sei f : I → R eine n-mal stetig differenzierbare
Funktion. Dann gilt
f (x) =
n
X
f (k) (a)
k!
k=0
(x − a)k + η(x)(x − a)n ,
wobei η : I → R eine Funktion mit der Eigenschaft
lim η(x) = 0
x→a
ist.
Definition
• Sei f : I → R eine n-mal differenzierbare Funktion und a ∈ I.
Dann heißt
n
X
f (k) (a)
k=0
k!
(x − a)k
Taylor-Polynom n-ter Ordnung von f mit Entwicklungspunkt a.
• Sei f : I → R eine beliebig oft differenzierbare Funktion und a ∈ I. Dann heißt
∞
X
f (k) (a)
k=0
k!
(x − a)k
Taylor-Reihe von f mit Entwicklungspunkt a.
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84
Anmerkungen
• Der Konvergenzradius einer Taylor-Reihe ist nicht notwendigerweise positiv.
• Auch wenn die Taylor-Reihe von f konvergiert, konvergiert sie nicht notwendigerweise
gegen f .
• Für x ∈ I konvergiert die Taylor-Reihe von f (x) genau dann gegen f (x), wenn Rn+1 (x)
gegen 0 konvergiert.
• Das Restglied Rn+1 lässt sich auch folgendermaßen darstellen:
– Schlömilchsche Form von Rn+1 : Sei p ∈ N mit 1 ≤ p ≤ n + 1.
Es existiert ein ξ ∈ [a, x] bzw. ξ ∈ [x, a], so dass
f n+1 (ξ)
(x − ξ)n+1−p (x − a)p .
Rn+1 (x) =
p · n!
– Cauchysche Form von Rn+1 (entspricht der vorangegangenen Darstellung im Falle
p = 1):
Es existiert ein ξ ∈ [a, x] bzw. ξ ∈ [x, a], so dass
Rn+1 (x) =
f n+1 (ξ)
(x − ξ)n (x − a) .
n!
Beispiele
(1) Wir entwickeln die Funktion
f : (−1, 1) → R , f (x) =
√
1 + x,
für den Entwicklungspunkt a = 0, in erster Ordnung.
Es gilt
1
1
f (0) = 1 , f (0) = √
= .
2 1 + x x=0 2
0
Demnach erhalten wir
√
x
f (x) = 1 + x = 1 + + η(x)x mit lim η(x) = 0
x→0
2
(2) Die Exponentialreihe
Die Exponentialfunktion
exp : R → R
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85
ist definiert als Exponentialreihe, so dass
exp(x) :=
∞
X
xn
n!
n=0
.
Demnach ist die Exponentialreihe die Taylor-Reihe von exp mit Entwicklungspunkt a = 0.
Abschätzung des Restglieds
Es gilt
exp(x) =
N
X
xn
n=0
n!
+ RN +1 (x) ,
wobei
|RN +1 (x)| ≤ 2
N
|x|N +1
für |x| ≤ 1 + .
(N + 1)!
2
Beweis
Das Restglied
RN +1 (x) =
∞
X
xn
n!
n=N +1
lässt sich folgendermaßen abschätzen:
n
∞
X
x =
|RN +1 (x)| ≤
n! n=N +1
|x|N +1
|x|2
|x|
1+
+
+ ...
(N + 1)!
N + 2 (N + 2)(N + 3)
!
|x|k
... +
+ ...
(N + 2) · .... · (N + k + 1))
=
|x|N +1
≤
(N + 1)!
|x|
1+
+
N +2
|x|
N +2
2
+ ... +
|x|
N +2
k
!
+ ...
.
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Da wir o.B.d.A. |x| ≤ 1 +
N
2
|x|N +1
|RN +1 (x)| ≤
(N + 1)!
86
setzen können, gilt
1 1
1
1 + + + ... + k + ... .
2 4
2
Die geometrische Reihe
∞ n
X
1
n=0
2
konvergiert gegen 2. Daher erhalten wir
|RN +1 (x)| ≤ 2
|x|N +1
.
(N + 1)!
Zur Konvergenz der Taylor-Reihe für exp(x)
y
e
x
T 15 ( x)
T 10 ( x)
x
T 5 ( x)
T 3 ( x)
T 1( x)
Abbildung 2.14 Approximation von exp durch Taylor-Polynome Tn
der Ordnung n = 1, 3, 5, 10, 15
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87
ex
y
T 10 ( x)
T 2 ( x)
T 4 ( x)
x
Abbildung 2.15 Approximation von exp durch Taylor-Polynome Tn
der Ordnung n = 2, 4, 10
(3) Die Taylor-Reihen von Sinus und Cosinus
Die Funktionen sin und cos sind gegeben durch
∞
X
x2k+1
(−1)k
sin x =
(2k + 1)!
k=0
und
cos x =
∞
X
k=0
(−1)k
x2k
.
(2k)!
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88
Zur Konvergenz der Taylor-Reihe für sin(x)
y
T 7(x)
T 3 ( x)
T 1 ( x)
T 5 ( x)
T 11 ( x)
sin x
T 31 ( x )
x
Abbildung 2.16 Approximation von sin durch einige
Taylor-Polynome Tn
(4) Die Logarithmusreihe
Sei −1 < x ≤ +1. Dann gilt
ln(1 + x) =
∞
X
(−1)n−1
n=1
n
xn .
(5) Die Arcus-Tangens-Reihe
Sei |x| ≤ 1. Dann gilt
∞
X
x2n+1
arctan x =
(−1)n
.
2n
+
1
n=0
(6) Die Binomische Reihe
Sei α ∈ R und |x| < 1. Dann gilt
∞ X
α n
α
(1 + x) =
x ,
n
n=0
wobei
Y
n
α
α−k+1
=
.
n
k
k=1
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3
89
Differentialrechnung im Rn, Teil I
Funktionen mehrere Variablen treten in der Physik und Chemie sehr häufig auf. Beispielsweise
lassen sich
• die Zustandsgleichung idealer Gase
pV = nRT
• und das Ohmsche Gesetz
R=
U
I
als Funktionen mehrerer Variablen, wie p(n, V, T ) oder U (R, I), betrachten.
Dabei wird der Definitionsbereich oft stärker als mathematisch notwendig eingeschränkt, da
Naturgesetze sinnvolle naturwissenschaftlichen Gegebenheiten wiedergeben. So können wir für
den Druck p = p(V, T ) eines idealen Gases als Definitionsbereich beispielsweise
Dp = {(V, T ) ∈ R2 | T ≥ 0, V > 0}
wählen, wenn wir n als konstant voraussetzen.
Der Definitionsbereich Dp lässt sich dann folgendermaßen veranschaulichen
T
Dp
V
Abbildung 3.1 Dp für ein ideales Gas bei n = const.
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90
Der Definitionsbereich einer Funktion mit n reellen Variablen ist eine Punktmenge im Rn . Bei
zwei Variablen kann das in einfachen Fällen beispielsweise ein Rechteck
{(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
sein
y
d
Df
c
a
b
x
Abbildung 3.2 Rechteck als Punktmenge des R2
oder eine Kreisfläche
{(x, y) ∈ R2 | (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ≤ r2 } .
y
( x , y)
y0
Df
x0
x
Abbildung 3.3 Kreisfläche als Punktmenge des R2
Ebenen
Geometrisch lassen sich Gleichungen wie
x + y + z = b mit (x, y, z) ∈ R3 ,
zu festem b ∈ R, als Ebenen im R3 beschreiben.
Eine Teilmenge A ⊂ R3 ist genau dann eine Ebene, wenn es zu b ∈ R Zahlen a1 , a2 , a3 ∈ R
mit (a1 , a2 , a3 ) 6= (0, 0, 0) gibt, so dass
A = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = b}
gilt.
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91
Da nicht alle Koeffizienten der Ebenengleichung verschwinden, existiert auch eine Darstellung
der Form
z = z(x, y) .
Jedoch müssen Funktionen f (x, y) nicht linear von den Variablen x und y abhängen. Allgemeiner betrachten wir Abbildungen f von Teilmengen D ⊂ Rn nach R, d.h.
f : D → R , (x1 , ..., xn ) 7→ f (x1 , ..., xn ) .
Der Graph von f ist die Menge
Γf := {(x, y) ∈ D × R | y = f (x)} .
Demnach ist Γf ⊂ Rn+1 .
Die folgende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion
f : D → R , (x, y) 7→ z = f (x, y) = x2 + y 2
für D = [−10, 10] × [−10, 10].
Abbildung 3.4 Graph von f (x, y) = x2 + y 2 (Rotationsparaboloid)
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92
Die folgende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion
f : D → R , (x, y) 7→ z = f (x, y) = x3 − y 3
für D = [−3, 3] × [−3, 3].
Abbildung 3.5 Graph von f (x, y) = x3 − y 3
Eine Funktion f : U → R mit U ⊂ Rn , n ≥ 2, lässt sich auch durch die Schar Nf (c), c ∈ R,
ihrer Niveaumengen
Nf (c) := {x ∈ U | f (x) = c} ⊂ Rn
beschreiben.
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93
Im Fall n = 2 werden die Niveaumengen auch Höhenlinien genannt.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
- 0.2
- 0.4
- 0.6
- 0.8
- 1.0
- 1.0
- 0.8
- 0.6
- 0.4
- 0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Abbildung 3.6 Höhenlinien von f (x, y) = x2 + y 2
3
2
1
0
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
Abbildung 3.7 Höhenlinien von f (x, y) = x3 − y 3
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3.1
94
Partielle Ableitungen
Definition: Sei U ⊂ Rn eine offene Menge und
f :U →R
eine Funktion. Ferner sei ei ∈ Rn der i-te Einheitsvektor
ei = (0, ...., 1, ...., 0) ,
wobei nur an der i-ten Stelle eine 1, sonst aber nur 0-Einträge auftreten. Die Funktion f heißt im
Punkt x ∈ U partiell differenzierbar bezüglich der i-ten Koordinatenrichtung, falls der Limes
∂f (x)
f (x + hei ) − f (x)
:= lim
h→0
∂xi
h
existiert, wobei h ∈ R∗ mit x + hei ∈ U ist.
∂f (x)
schreiben wir auch ∂xi f (x).
∂xi
Nehmen wir an, dass für x = (x1 , ...., xn ) ∈ U nur eine Koordinate variabel ist, die anderen
n − 1 Koordinaten aber fest, so erhalten wir Funktionen
Statt
ξ 7→ fi (ξ) := f (x1 , ...., xi−1 , ξ, xi+1 , ..., xn ) .
Die partielle Ableitung der i-ten Koordinatenrichtung lässt sich dann als gewöhnliche Ableitung
von f (ξ) formulieren. Demnach gilt
∂f (x)
= fi0 (xi )
∂xi
und wir können unsere Ergebnisse und Definitionen der Differentialrechnung einer reellen Variablen nutzen.
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95
Beispiele
• Für die partielle Ableitung von
f (x, y) = x + 2xy
nach x erhalten wir
∂f (x, y)
= 1 + 2y
∂x
und für die partielle Ableitung nach y
∂f (x, y)
= 2x .
∂y
• Für die partielle Ableitung von
1
f (x, y) = x2 + exy
2
nach x erhalten wir
∂f (x, y)
= x + y exy
∂x
und für die partielle Ableitung nach y
∂f (x, y)
= x exy .
∂y
Höhere Ableitungen
Sei U ⊂ Rn offen und
f :U →R
eine partiell differenzierbare Funktion. Sind alle partiellen Ableitungen
∂f
: U → R, 1 ≤ i ≤ n,
∂xi
partiell differenzierbar, so heißt f zweimal partiell differenzierbar. Entsprechend wird der Begriff k-mal partiell differenzierbar erklärt.
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96
Eine übliche Schreibweise für die zweiten Ableitungen von f ist
∂ 2f
∂xj ∂xi
und, falls i = j,
∂ 2f
.
∂xi ∂xi
Beispiel
Für die Funktion
f (x, y) = cos x · sin y
erhalten wir für die ersten Ableitungen
∂f (x, y)
∂f (x, y)
= − sin x · sin y ,
= cos x · cos y
∂x
∂y
und für die zweiten
∂ 2 f (x, y)
∂ 2 f (x, y)
=
−
cos
x
·
sin
y
,
= − sin x · cos y
∂x2
∂y∂x
und
∂ 2 f (x, y)
∂ 2 f (x, y)
= − sin x · cos y ,
= − cos x · sin y .
∂x∂y
∂y 2
Eine Funktion f : U → R heißt k-mal stetig partiell differenzierbar, wenn sie k-mal partiell
differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen der Ordnung ≤ k stetig sind.
Satz: Sei U ⊂ Rn offen und f : U → R zweimal stetig partiell differenzierbar. Dann gilt für
alle a ∈ U
∂f
∂f
=
für 1 ≤ i, j ≤ n .
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
Anmerkung: Die Eigenschaft
∂f
∂f
=
∂x∂y
∂y∂x
können wir auch für das vorangegangene Beispiel nutzen.
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3.2
97
Approximation durch affin-lineare Funktionen
Sei U ⊂ Rn offen und f : U → Rm eine Abbildung, die im Punkt x0 ∈ U differenzierbar sei.
Dann lässt sich f durch affin-lineare Funktionen
f (x) = f (x0 ) + A · (x − x0 )
approximieren, wobei für die Matrix A = (aij ) mit 1 ≤ i ≤ m und 1 ≤ j ≤ n gilt
aij =
∂fi
(x0 ) .
∂xj
Diese Matrix wird als das Differential oder die Jacobi- oder Funktional-Matrix von f im Punkte
x0 bezeichnet
Anmerkung: Die Variable x und der Punkt x0 sind Elemente des Rn .
Ist m = 1 und n = 2, so ist A der Vektor
(
∂f ∂f
,
)(x0 ) ,
∂x1 ∂x2
wobei x0 = (x0,1 , x0,2 ). Selbstverständlich können wir hier für x1 auch x und für x2 auch y
schreiben.
Im Falle n = 1 haben wir die Funktion durch die Geradengleichung der Tangente approximiert.
Hier gehen wir entsprechend vor. Statt der Geradengleichung erhalten wir eine Ebenengleichung.
Tangentialebene
Sei U ⊂ R2 und f : U → R eine in (x0 , y0 ) stetig partiell differenzierbare Funktion.
Wir betrachten die Tangentialebene an den Graphen von f im Punkte P mit den Koordinaten
(x0 , y0 , f (x0 , y0 )).
Die beiden Richtungsvektoren
(1, 0, ∂x f (x0 , y0 )) und (0, 1, ∂y f (x0 , y0 ))
liegen in der Tangentialebene des Punktes (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) und sind linear unabhängig.
Daher erhalten wir als Parameterdarstellung dieser Ebene
(x, y, z) = (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) + λ(1, 0, ∂x f (x0 , y0 )) + µ(0, 1, ∂y f (x0 , y0 )) ,
wobei λ, µ ∈ R.
Allgemeiner nennen wir eine Teilmenge A ⊂ Rn Ebene, wenn es v, w1 , w2 ∈ Rn gibt, wobei
w1 und w2 linear unabhängig sind und
A = {u ∈ Rn | u = v + λ1 w1 + λ2 w2 mit λ1 , λ2 ∈ R}
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98
gilt. Kürzer schreiben wir hierfür
A = v + Rw1 + Rw2 .
Ist A ⊂ Rn eine Ebene, so wird ein s ∈ Rn als orthogonal zu A, oder als Normalenvektor von
A, bezeichnet, wenn für alle v1 , v2 ∈ A gilt
hs, v1 − v2 i = 0 .
Ist A = v + Rw1 + Rw2 , so ist s orthogonal zu A genau dann, wenn
s ⊥ w1 und s ⊥ w2 ist.
Der Vektor
~n := w
~1 × w
~ 2 = (−∂x f (x0 , y0 ), −∂y f (x0 , y0 ), 1)
ist orthogonal zu unserer Tangentialebene.
Da
h~n, ((x, y, z) − (x0 , y0 , f (x0 , y0 )))i = 0
gilt, erhalten wir
nx (x − x0 ) + ny (y − y0 ) + nz (z − z0 ) = 0
und als weitere Darstellung der Tangentialebene von f in (x0 , y0 )
z − f (x0 , y0 ) =
∂f (x0 , y0 )
∂f (x0 , y0 )
(x − x0 ) +
(y − y0 ) .
∂x
∂y
Anmerkung: Letztere Darstellung ergibt sich auch unmittelbar aus obiger Parameterdarstellung.
Beispiel
Mit Hilfe unserer Approximation sollen Funktionswerte von
√
z = f (x, y) = x · y 2
in der Umgebung des Punktes P (1, 2) berechnet werden.
Es gilt f (1, 2) = 4 und
√
y2
z − 4 = ( √ )(1,2) 4x + ( x · 2y)(1,2) 4y = 2 4x + 4 4y ,
2 x
mit 4x := x − x0 und 4y := y − y0 .
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99
Für 4x = −0, 05 und 4y = 0, 06 erhalten wir nach dieser Approximation
f (0, 95 , 2, 06) = 4 − 2 · 0, 05 + 4 · 0, 06 = 4, 140 .
Setzen wir x = 0, 95 und y = 2, 06 stattdessen direkt in f (x, y) ein, so erhalten wir
f (0, 95 , 2, 06) = 4, 136.
Fehlerrechnung
Um zu bestimmen, wie sich Fehler von Messungen in einer Meßgröße niederschlagen, betrachten wir die jeweilige funktionale Abhängigkeit und bestimmen neben dem resultierenden
Mittelwert auch die resultierende Abweichung der Meßgröße im Rahmen einer linearen Approximation.
Dabei nehmen wir an, dass die Messgröße
f : U → R, x 7→ f (x) ,
mit U ⊂ Rn , von x = (x1 , ..., xn ) abhängt. Werte der Variablen xi werden durch einen Messung
bestimmt. Dabei treten Messfehler auf, so dass wir statt xi die Große xi ± 4xi betrachten.
Die Mittelwerte der Größen xi legen einen Wert für die Messgröße f (x) fest. Wie sich dabei
die Fehler 4xi , im Falle 4xi xi , fortplanzen, zeigen wir im folgenden Abschnitt.
Für f : U → R mit U ⊂ Rn können wir, bei kleinen Fehlern 4xi , die Näherung
n
X
∂f
(x0 )4xi
4z =
∂x
i
i=1
verwenden.
Als maximalen absoluten Fehler |4z| definieren wir dann
n X
∂f
|4z| :=
∂xi (x0 ) |4xi | .
i=1
Damit steht uns ein einfaches Fehlerfortpflanzungsgesetz zur Verfügung.
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100
Beispiele
• Nach der Zustandsgleichung für ideale Gase,
pV = nRT ,
lässt sich beispielsweise der Druck p des idealen Gases als Funktion p = p(n, V, T )
schreiben.
Nach unserer Näherung erhalten wir für 4p
4p =
∂p
∂p
∂p
4V +
4T +
4n .
∂V
∂T
∂n
Mit
∂p
nRT
∂p
nR
∂p
RT
=− 2 ,
=
und
=
∂V
V
∂T
V
∂n
V
und p0 = p(n0 , V0 , T0 ) ergibt sich für den maximalen relativen Fehler
−1 4p n
RT
n
RT
n
R
RT
0
0
0
0
0
0
|4V | +
|4T0 | +
|4n| .
p0 =
V0
V02
V0
V0
Demnach gilt
4p 4V
p0 = V0
4T 4n +
+
T0 n0 .
Für
4V
V0
4T 4n , T0 , n0 = 2%
erhalten wir somit
4p p0 = 6% .
• Für den Ohmschen Widerstand gilt
R=
U
.
I
Hier erfolgt die Messung des Widerstandes R anhand einer Messung der Spannung U
und der Stromstärke I.
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101
Um den maximalen relativen Fehler von R = R(U, I) abzuschätzen, nutzen wir die Beziehung
4R 4U 4I =
+
R0 U0 I0 .
Somit erhalten wir für I = (10 ± 0, 3) A und U = (220 ± 2) V
4R U0
≈ 4% .
R0 =
= 22, 0 Ω und I0
R0 Beispiele für Fehlerabschätzungen
Funktionen z = f (x, y)
Maximaler absoluter bzw. relativer Fehler
z = x + y, z = x − y
|4z| = |4x| + |4y|
x
z = c xy, z = c
y
4z 4x 4y =
+
z0 x0 y0 α β
∗
z = c x y mit α, β ∈ R
Dabei setzen wir z0 := f (x0 , y0 ).
4z 4x 4y = α
+ β
z0 x0 y0 Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg
3.3
102
Lineare Regression
Lassen sich die Daten der Ausprägungen zweier Merkmale X und Y näherungsweise in Form
eines linearen Zusammenhangs darstellen, so verhilft die lineare Regressionsrechnung zu einer
genaueren Analyse der funktionalen Abhängigkeit beider Merkmalsausprägungen. Dabei liegen
die Daten in Form von Wertepaaren (x1 , y1 ), ...., (xn , yn ), mit xi , yi ∈ R, vor.
Dabei wird davon ausgegangen, dass
yi = α + βxi + ci für i = 1, ..., n
gilt. Dabei seien α, β, ci ∈ R, wobei die Größen ci zufällige Fehler darstellen.
Die Methode der kleinsten Quadrate
Die Parameter α und β sollen so bestimmt werden, dass durch die Regressionsgerade
ŷ = a + bx
eine möglichst gute Schätzung ŷ für die Ausprägung y des Merkmals Y bietet.
Ein geeignetes Maß für die Güte dieser Schätzung stellt die Summe der Abweichungsquadrate
2
S =
n
X
(yi − ŷi )2
i=1
dar, wobei
ŷi := a + bxi
sei. Nun sollen die Schätzgrößen a und b für α und β so bestimmt werden, dass S 2 minimal
wird.
y
6
( xi , yi)
5
̂y =a +b x
4
3
( x i , ŷ i )
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
Abbildung 3.8 Methode der kleinsten Quadrate
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103
Die Parameter a und b ergeben sich dann als Lösungen des Normalengleichungssystems
n
X
∂S 2
= −2
(yi − a − bxi ) = 0
∂a
i=1
und
n
X
∂S 2
= −2
xi (yi − a − bxi ) = 0 .
∂b
i=1
Nach der ersten der beiden Gleichungen ist der Schätzwert für α
a = ȳ − bx̄ ,
wobei
n
n
1X
1X
xi und ȳ =
yi
n i=1
n i=1
x̄ =
die Mittelwerte der Größen xi bzw. yi sind.
Die zweite Gleichung impliziert
n
n
1X 2
1X
xi yi − ȳx̄ + bx̄2 − b
x = 0.
n i=1
n i=1 i
Nach dieser Gleichung und mit Hilfe der Identitäten
n
X
(xi − x̄)(yi − ȳ) =
i=1
n
X
xi yi − nx̄ȳ
i=1
und
n
X
2
(xi − x̄) =
n
X
i=1
x2i − x̄2 n
i=1
erhalten wir schließlich
n
P
b=
(xi − x̄)(yi − ȳ)
i=1
n
P
,
(xi −
i=1
den Schätzwert für β.
x̄)2
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104
Beispiel
Gesucht ist die Regressionsgerade für folgende Daten (xi , yi ):
(−4, −3), (−2, 1), (−1, 0), (0, 1), (4, 5) .
Die Schätzwerte a und b lassen sich mittels
5
X
xi = −4 − 2 − 1 + 0 + 4 = −3 ,
i=1
5
X
5
X
yi = −3 + 1 + 0 + 1 + 5 = 4 ,
i=1
x2i = 42 + 22 + 1 + 0 + 42 = 37
i=1
und
5
X
xi yi = (−4) · (−3) + (−2) · 1 + (−1) · 0 + 0 · 1 + 4 · 5 = 30
i=1
bestimmen. Demnach gilt
30 · 5 + 12 + b(9 − 5 · 37) = 0
und
5a = 4 + 3b .
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105
Die Parameter der Regressionsgerade
y = a + bx
sind daher
a ≈ 1, 35 , b ≈ 0, 92 .
y
6
5
4
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
-1
0
1
2
3
4
5
x
-2
-3
-4
Abbildung 3.9 Datenpunkte und die zugehörige Regressionsgerade
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Symbolverzeichnis
N = {1, 2, 3, ....} Menge der natürlichen Zahlen
N0 = {0, 1, 2, 3, ....}
Z = {0, ±1, ±2, ....} Menge der ganzen Zahlen
p
Q = { | p, q ∈ Z, q 6= 0} Körper der rationalen Zahlen
q
R Körper der reellen Zahlen
R+ := {x ∈ R | x ≥ 0}
R∗ := {x ∈ R | x 6= 0}
R∗+ := {x ∈ R | x > 0}
C Körper der komplexen Zahlen
106
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107
Quellen und
Literatur
[1] I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, B. G. Teubner, Nauka
[2] A. Budó, Theoretische Mechanik, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften
[3] W. Fischer, I. Lieb, Funktionentheorie, Vieweg
[4] O. Forster, Analysis 1, 2, Vieweg
[5] C. Gerthsen, H.O. Kneser, H. Vogel, Physik, Springer
[6] J. Hartung, Statistik, Oldenbourg
[7] F. Reinhardt, H. Soeder, dtv-Atlas zur Mathematik, Deutscher Taschenbuch Verlag
[8] R. Remmert, Funktionentheorie 1, Springer