Ubungen zur Vorlesung Berechenbarkeit und

Universität Heidelberg
Institut für Informatik
Priv.-Doz. Dr. Wolfgang Merkle
11. Juli 2016
Übungen zur Vorlesung
Berechenbarkeit und Komplexität I
Blatt 8
(Präsenzübungen, nicht abzugeben)
Aufgabe 1 (Rekursive aufzählbare Indexmenge)
Geben Sie eine nichttriviale, rekursiv aufzählbare Indexmenge an.
Aufgabe 2 (Indexmengen bezüglich r.a. Mengen)
Es sei ϕ0 , ϕ1 , . . . die Standardnummerierung der partiell berechenbaren Funktionen und W0 , W1 , W2 , . . .
mit We = dom(ϕe ) sei die Standardaufzählung der r.a. Mengen. Eine Teilmenge I der natürlichen Zahlen
heiße Indexmenge bezüglich r.a. Mengen, falls für alle e und e0 mit We = We0 folgt, dass die Indizes e
und e0 entweder beide in I oder beide im Komplement von I enthalten sind.
Auf der Menge der natürlichen Zahlen seien zwei Relationen ∼ϕ und ∼W wie folgt definiert
e ∼ϕ e0 g.d.w. ϕe = ϕe0 ,
e ∼W e0 g.d.w. We = We0 .
Die Relationen ∼ϕ und ∼W sind beide reflexiv, symmetrisch und transitiv, somit Äquivalenzrelationen
und die zugehörigen Äquivalenzklassen
[e]ϕ = {e0 : e ∼ϕ e0 }
bzw.
[e]W = {e0 : e ∼W e0 }
bilden jeweils eine Zerlegung der natürliche Zahlen. Eine Zerlegung heißt feiner als eine andere Zerlegung,
wenn jede Menge der ersten Zerlegung in einer Menge der zweiten Zerlegung enthalten ist.
Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
a) Eine Teilmenge I 6= ∅, N der natürlichen Zahlen ist genau dann eine Indexmenge, wenn die durch ∼ϕ
¯
induzierte Zerlegung der natürliche Zahlen feiner ist als die durch I induzierte Zerlegung {I, I}.
(Eine entsprechende, hier nicht zu beweisende Aussage gilt für Indexmengen bezüglich r.a. Mengen
und die Relation ∼W .)
b) Die durch ∼ϕ induzierte Zerlegung der natürliche Zahlen ist feiner als die durch ∼W induzierte Zerlegung, die Umkehrung gilt nicht. Folglich ist jede Indexmenge bezüglich r.a. Mengen eine
Indexmenge (im Sinne der Vorlesung), die Umkehrung gilt nicht.
Aufgabe 3 (Selbstbezügliche partiell berechenbare Funktionen)
Zeigen Sie, dass es einen Index e gibt, so dass ϕe die konstante Funktion mit Wert e ist.
Aufgabe 4 (Eigenschaften von Reduzierbarkeiten)
Beweisen Sie die beiden folgenden Aussagen für r gleich tt und T.
a) Die Reduzierbarkeit ≤r ist eine reflexive und transitive Relation auf der Klasse aller Teilemengen
von N.
b) Gilt A ≤r B für eine entscheidbare Menge B, so ist auch A entscheidbar (dies ist äquivalent dazu,
dass falls A ≤r B für eine nicht entscheidbare Menge A gilt, auch B nicht entscheidbar ist).
Bitte wenden!
Aufgabe 5 (Grade)
Es sei ≤r eine zweistellige reflexive und transitive Relation auf der Klasse aller Teilmengen von N. Weiter
gelte A ≡r B genau dann, wenn A ≤r B und B ≤r A gilt und es sei
degr (A) = {X ⊆ N : A ≡r X}
der r-Grad einer Menge A. Beweisen Sie die beiden folgenden Aussagen.
a) Die Relation ≡r ist reflexiv, transitiv und symmetrisch (d. h., die Relation ≡r ist eine Äquivalenzrelation, deren Äquivalenzklassen gerade die r-Grade sind).
b) Die Relation ≤r induziert auf der Menge der r-Grade eine partielle Ordnung ≤, d.h., die Relation
≤ ist wohldefiniert, reflexiv, transitiv und antisymmetrisch.
Aufgabe 6 (Join von zwei Mengen)
Der Join A ⊕ B zweier Mengen A und B ist definiert als
A ⊕ B = {2x : x ∈ A} ∪ {2x + 1 : x ∈ B}.
Eine partielle Ordnung ≤ heißt oberer Halbverband, wenn zu je zwei Elementen der partiellen Ordnung
eine kleinste obere Schranke existiert (die dann eindeutig bestimmt ist).
Für r ∈ {m, tt, T} ist die durch die Reduzierbarkeit ≤r auf den r-Graden induzierte partielle Ordnung
ein oberer Halbverband, wobei die kleinste obere Schranke zweier Grade degr (A) und degr (B) gleich
degr (A ⊕ B) ist. Beweisen Sie dies für den Fall r = T.
Die Aufgaben werden in der Übung am Donnerstag, den 14. Juli, um 14 Uhr c.t. besprochen.
Die Übungen finden in SR 9 im Mathematikon statt.
Die Übungsblätter sind im PDF-Format abrufbar unter
http://math.uni-heidelberg.de/logic/ss16/komplex ss16.html .