¨Ubungen zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 1 Blatt 3

Universität Heidelberg
Institut für Informatik
Wolfgang Merkle
3. November 2011
Übungen zur Vorlesung
Berechenbarkeit und Komplexität 1
Blatt 3
Aufgabe 1 (6 Punkte)
Es sei ϕ0 , ϕ1 , . . . die Standardnummerierung der partiell berechenbaren Funktionen und W0 , W1 , W2 , . . .
mit We = dom(ϕe ) sei die Standardaufzählung der r.a. Mengen. Auf der Menge der natürlichen Zahlen
seien zwei Relationen ∼ϕ und ∼W wie folgt definiert
e ∼ϕ e0 g.d.w. ϕe = ϕe0 ,
e ∼W e0 g.d.w. We = We0 .
Die Relationen ∼ϕ und ∼W sind beide reflexiv, symmetrisch und transitiv und somit Äquivalenzrelationen, also bilden die zugehörigen Äquivalenzklassen
[e]ϕ = {e0 : e ∼ϕ e0 }
bzw.
[e]W = {e0 : e ∼W e0 }
jeweils eine Zerlegung der natürliche Zahlen. Weiter sei die durch eine Teilmenge I der natürlichen Zahlen
¯ \ {∅}, enthalte also gerade die von der leeren
induzierte Zerlegung der natürlichen Zahlen gleich {I, I}
¯
Menge verschiedenen Mengen unter I und I. Eine Zerlegung heißt feiner als eine andere Zerlegung, wenn
jede Menge der ersten Zerlegung in einer Menge der zweiten Zerlegung enthalten ist.
Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
a) Eine Teilmenge I der natürlichen Zahlen ist eine Indexmenge, falls die durch ∼ϕ induzierte Zerlegung
der natürliche Zahlen feiner ist als die durch I induzierte Zerlegung.
b) Die durch ∼ϕ induzierte Zerlegung der natürliche Zahlen ist feiner als die durch ∼W induzierte
Zerlegung, aber nicht umgekehrt.
c) Jede Indexmenge bezüglich r.a. Mengen ist auch eine Indexmenge (im Sinne der Vorlesung), die Umkehrung gilt aber nicht. Eine Teilmenge I der natürlichen Zahlen heiße dabei Indexmenge bezüglich
r.a. Mengen, falls die durch ∼W induzierte Zerlegung der natürlichen Zahlen feiner ist, als die
durch I induzierte Zerlegung.
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Zeigen Sie, dass es einen Index e gibt, so dass ϕe die konstante Funktion mit Wert e ist.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Es sei ≤r eine zweistellige reflexive und transitive Relation auf der Klasse aller Teilmengen von N. Weiter
gelte A =r B genau dann, wenn A ≤r B und B ≤r A gelten und es sei
degr (A) = {X ⊆ N : A =r X}
der r-Grad einer Menge A. Beweisen Sie die beiden folgenden Aussagen.
a) Die Relation =r ist reflexiv, transitiv und symmetrisch, d. h., die Relation =r ist eine Äquivalenzrelation, deren Äquivalenzklassen gerade die r-Grade sind.
b) Die Relation ≤r induziert auf der Menge der r-Grade eine partielle Ordnung ≤, d.h., die Relation
≤ ist wohldefiniert, reflexiv, transitiv und antisymmetrisch.
Aufgabe 4 (6 Punkte)
Es sei M0 , M1 , . . . die Standardaufzählung aller Turingmaschinen, weiter sei ϕ0 , ϕ1 , . . . die zugehörige
Standardnummerierung der partiell berechenbaren Funktionen und W0 , W1 , W2 , . . . mit We = dom(ϕe )
sei die Standardaufzählung der r.a. Mengen.
Im Fall A = We heißt e rekursiv aufzählbarer Index von A. Ist ϕe gleich der charakteristischen Funktion
einer Menge A, d.h., gilt
P A = L(Me ), so heißt e rekursiver Index von A. Der kanonische Index einer
endlichen Menge D ist j∈D 2j (der kanonische Index der leeren Menge ist also gleich 0), die endliche
Menge mit kanonischem Index i wird mit Di bezeichnet.
a) Es sei H = {e ∈ N : ϕe (e) ↓} das Halteproblem. Zeigen Sie, dass es berechenbare Funktionen g
und h gibt, so dass jeweils für alle e gilt:
(
∅, falls e ∈
/ H,
Wg(e) =
N, sonst,
(
∅,
falls e ∈
/ H,
L(Mh(e) ) =
{s}, falls Me bei Eingabe e in genau s Schritten terminiert.
b) Zeigen Sie, dass es keine partiell berechenbare Funktion α gibt, so dass für alle e gilt
We entscheidbar → α(e) ist definiert und rekursiver Index für We .
c) Zeigen Sie, dass es keine partiell berechenbare Funktion β gibt, so dass für alle e gilt
L(Me ) endlich → β(e) ist definiert und kanonischer Index für L(Me ).
Hinweis: Definieren Sie in Teil a zunächst geeignete zweistellige partielle Funktionen, skizzieren Sie dann
einen Beweis, dass diese Funktionen partiell berechenbar sind, und wenden Sie dann das s-m-n-Theorem
an, um Funktionen g und h wie gefordert zu erhalten.
Abzugeben bis Donnerstag, den 10.11.2011, 14 Uhr, in den Briefkästen im
Foyer der Angewandten Mathematik (INF 294) oder in der Vorlesung.
Hinweis: Übungsblätter können unter der folgenden www-Seite abgerufen werden
http://www.math.uni-heidelberg.de/logic/WS11/