Übungen zur Elementaren Zahlentheorie Blatt 10 Prof. Dr. R

Übungen zur Elementaren Zahlentheorie
Prof. Dr. R. Weissauer
Th. Krämer
Blatt 10
Sommersemester 2013
Abgabe: 24. Juni 2013, 11:14 Uhr
Aufgabe 34. Für ein normiertes Polynom f (t) ∈ Q[t] vom Grad deg(p) = 3, welches
keine mehrfachen Nullstellen hat, betrachte man die glatte Kubik
E = {(x, y) ∈ Q2 | y 2 = f (x)}.
Es seien p1 = (x1 , y1 ), p2 = (x2 , y2 ) ∈ E zwei verschiedene rationale Punkte auf
dieser Kubik, und die Gerade durch diese beiden Punkte sei mit ` bezeichnet. Zeigen
Sie, dass für x1 6= x2 genau ein weiterer Punkt p ∈ E existiert mit
E ∩ ` = {p1 , p2 , p},
wobei wir per Konvention p = pi setzen, falls die Gerade ` im Punkt pi tangential
zu E verläuft. Erklären Sie, was im Falle x1 = x2 passiert, indem Sie die Kubik E
durch ihren Abschluß in P2 (Q) mit homogenen Koordinaten [x : y : z] ersetzen!
Aufgabe 35. Sei p 6= 2 eine Primzahl. Über dem Körper Fp = Z/pZ betrachte man
die projektive Quadrik
Q = [x : y : z] ∈ P2 (Fp ) | y 2 = q(x, z) ,
wobei q(x, z) = ax2 + bxz + cz 2 mit Koeffizienten a, b, c ∈ Fp und a 6= 0 sei.
(a) Zeigen Sie, dass f (x) = q(x, 1) für x ∈ Fp genau #{f (x) | x ∈ Fp } = (p + 1)/2
verschiedene Werte annimmt. Folgern Sie, dass sich unter diesen Werten
mindestens ein quadratischer Rest modulo p befindet und dass die Quadrik Q
mindestens einen Punkt P0 = [x0 : y0 : 1] ∈ P2 (Fp ) enthält.
(b) Angenommen, es ist f (x) 6= 0 für alle x ∈ Fp . Zeigen Sie, dass für jede Gerade
der Form ` = {[x : y : z] | αx + βy + γz = 0} mit α, β, γ ∈ Fp , welche einen
fest gewählten Punkt P0 ∈ Q wie in Teil (a) enthält, genau ein Punkt P ∈ Q
existiert mit
Q ∩ ` = {P0 , P }.
Zeigen Sie ferner, dass der Fall P = P0 nur für genau eine Gerade ` auftritt,
und folgern Sie durch Zählen aller Geraden durch P0 , dass die Quadrik Q
genau p + 1 verschiedene Punkte besitzt.
Aufgabe 36. Gegeben sei eine natürliche Zahl n ∈ N. Wenn n eine Primzahl ist, gilt
nach dem kleinen Satz von Fermat
an−1 ≡ 1 (mod n)
für alle zu n teilerfremden a ∈ Z.
(?)
Die Umkehrung gilt jedoch im Allgemeinen nicht — es gibt Zahlen n ∈ N mit der
Eigenschaft (?), die nicht prim sind. Solche Zahlen heißen Carmichael-Zahlen.
(a) Prüfen Sie mittels des Chinesischen Restsatzes direkt nach, dass die natürliche
Zahl n = 561 = 3 · 11 · 17 eine Carmichael-Zahl ist.
(b) Zeigen Sie allgemeiner, dass eine Zahl n ∈ N genau dann eine Carmichael-Zahl
ist, wenn n = p1 · · · pk ein Produkt paarweise verschiedener Primzahlen pi ist
mit der Eigenschaft, dass jedes pi − 1 ein Teiler von n − 1 ist.
Hinweis: Für =⇒ in Teil (b) betrachte man geeignete Primitivwurzeln a modulo p2
für Primfaktoren p der Carmichael-Zahl n und verwende (?).
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