Die komplexen Zahlen

Zahlen
Die komplexen Zahlen
Körper der komplexen Zahlen (1)
Da in angeordneten Körpern stets x 2 ≥ 0 gilt, kann die Gleichung
x 2 = −1 in R keine Lösung haben.
Wir werden nun einen Körper konstruieren, der die reellen Zahlen als
Teilmenge beinhaltet, in dem aber auch die Gleichung x 2 = −1 eine
Lösung hat.
Hierzu definieren wir auf R2 zwei Verknüpfungen ⊕ und durch
(a1 , b1 ) ⊕ (a2 , b2 ) := (a1 + a2 , b1 + b2 )
(a1 , b1 ) (a2 , b2 ) := (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + b1 a2 ).
Satz 1.27
(R2 , ⊕, ) ist ein Körper.
Peter Becker (H-BRS)
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Körper der komplexen Zahlen (2)
Beweis von Satz 1.27
Tafel. .
Definition 1.28
Wir nennen den Körper von Satz 1.27 den Körper der komplexen Zahlen.
Im Körper der komplexen Zahlen gilt nun
(0, 1) (0, 1) = (−1, 0)
Wir setzen i := (0, 1).
Eine reelle Zahl x ∈ R identifizieren wir mit dem Tupel (x, 0) ∈ R2 . Dann
können wir für die obige Gleichung schreiben als
i2 = −1.
Peter Becker (H-BRS)
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Die komplexen Zahlen
Körper der komplexen Zahlen (3)
Die Symbole ⊕ und wurden bisher verwendet, um deutlich zu machen,
in welchem Körper die Verknüpfung ausgeführt wird. Ab jetzt nutzen wir
auch in den komplexen Zahlen das Symbol · für und + für ⊕.
Weiterhin setzen wir für λ ∈ R und (a, b) ∈ R2
λ · (a, b) = (λ · a, λ · b)
und
(a, b) · λ := (λ · a, λ · b).
Dann lässt sich (a, b) als a + ib schreiben. Dies ist die übliche Art
komplexe Zahlen zu notieren.
Wir setzen
C := {a + ib|a, b ∈ R}.
Peter Becker (H-BRS)
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Inverse Elemente
Es sei z = a + ib ∈ C. Aus dem Beweis von Satz 1.27 wissen wir:
−z
z −1
Peter Becker (H-BRS)
= (−a) + i(−b) = −a − ib
−b
a
+i 2
=
2
2
a +b
a + b2
1
=
(a − ib) .
a2 + b 2
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Die konjugiert komplexe Zahl
Definition 1.29
Für eine komplexe Zahl z = a + ib ∈ C heißt
Re(z) := a der Realteil von z,
Im(z) := b der Imaginärteil von z,
z := a − ib die zu z konjugiert komplexe Zahl.
Lemma 1.30
Für alle z, z1 , z2 ∈ C gilt
z = z,
z1 + z2 = z1 + z2 ,
z1 z2 = z1 · z2 .
Für z = a + ib ∈ C gilt:
z +z
zz
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= 2a ∈ R,
= a2 + b 2 ∈ R.
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Der Betrag komplexer Zahlen
Definition 1.31
Für z ∈ C definieren wir den Betrag |z| durch
q
|z| := Re(z)2 + Im(z)2 .
Lemma 1.32
z
für z 6= 0,
|z|2
|z| = |z|,
√
|z| =
z · z.
z −1 =
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C als normierter Körper
Lemma 1.33
z + z ≤ 2|z|
Beweis.
Es sei z = a + ib.
p
√
z + z = 2a = 2 a2 ≤ 2 a2 + b 2 = 2|z|.
Satz 1.34
C bildet mit dem Betrag | · | als Norm einen normierten Körper.
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Die komplexen Zahlen
Beweis.
Wir müssen die Eigenschaften von Satz 1.13 nachweisen. (i) und (ii): Tafel
..
(iii): Da beide Seiten der Dreiecksungleichung nichtnegativ sind, ist die
Dreiecksungleichung äquivalent zu
|z1 + z2 |2 ≤ (|z1 | + |z2 |)2 .
Wir betrachten die beiden Seiten:
|z1 + z2 |2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 )
= (z1 + z2 )(z1 + z2 )
= z1 z1 + z1 z2 + z1 z2 + z2 z2 ,
(|z1 | + |z2 |)2 = |z1 |2 + 2|z1 ||z2 | + |z2 |2
= z1 z1 + 2|z1 z2 | + z2 z2 .
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Fortsetzung Beweis.
Durch Streichen gleicher Terme geht die Dreiecksungleichung über in
z1 z2 + z1 z2 ≤ 2|z1 z2 |.
Es gilt z1 z2 = z1 z2 und |z1 z2 | = |z1 z2 |. Mit z := z1 z2 entsteht
z + z ≤ 2|z|,
was nach Lemma 1.33 stets erfüllt ist.
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Komplexe Zahlen als Vektoren
Komplexe Zahlen als Vektoren
Durch die Bijektivität zwischen R2 und C können wir komplexe Zahlen als
Vektoren bzw. Punkte der Ebene darstellen.
z1 = a + ib
z2 = x + iy
⇒ z1 + z2 = (a + x) + i(b + y )
Die Ebene der komplexen Zahlen wird auch komplexe Ebene oder
Gaußsche Zahlenebene genannt.
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Komplexe Zahlen als Vektoren
Polarkoordinaten
Punkte in der Ebene können wir auch durch Polarkoordinaten beschreiben,
d.h. durch die Länge r ≥ 0 eines Ortsvektors und seinen Winkel ϕ mit der
x-Achse.
z
= a + ib
r
= |z| ∈ R
ϕ = arg(z)
⇒z
= r · (cos ϕ + i sin ϕ)
= r · e iϕ
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Komplexe Zahlen als Vektoren
Komplexe Konjugation
z
= a + ib
= r · (cos ϕ + i sin ϕ)
⇒z
= a − ib
= r · (cos(−ϕ) + i sin(−ϕ))
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Komplexe Zahlen als Vektoren
Multiplikation komplexer Zahlen
Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen z1 und z2 entspricht dem
Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.
z1 = r1 · (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )
z2 = r2 · (cos ϕ2 + i sin ϕ2 )
⇒ z1 · z2 = r1 · r2 · (cos(ϕ1 + ϕ2 ) +
i sin(ϕ1 + ϕ2 ))
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Komplexe Zahlen als Vektoren
Division komplexer Zahlen
Die Division zweier komplexer Zahlen z1 und z2 entspricht der Differenz
der Winkel und der Division der Beträge.
z1 = r1 · (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )
z2 = r2 · (cos ϕ2 + i sin ϕ2 )
z1
r1
⇒
=
· (cos(ϕ1 − ϕ2 ) +
z2
r2
i sin(ϕ1 − ϕ2 ))
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Potenzieren komplexer Zahlen
Aus der n-fachen Anwendung der Multiplikation ergibt sich
⇒z
z
= r · (cos ϕ + i sin ϕ)
n
= r n · (cos(nϕ) + i sin(nϕ).
Beispiel 1.35
π
π
+ i sin
2
2
π
π
= cos(2015 ) + i sin(2015 )
2
2
3
3
= cos π + i sin π
2
2
= −i.
i = cos
⇒ i2015
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Komplexe Zahlen als Vektoren
Wurzeln komplexer Zahlen
Aus Multiplikation und Division erschließt sich leicht, wie man Wurzeln in
C zieht.
z
⇒
√
z
= r · (cos ϕ + i sin ϕ)
√
ϕ
ϕ
=
r · (cos + i sin )
2
2
Beispiel 1.36
π
π
+ i sin
2
2
√
π
π
⇒ i = cos + i sin
√ 4 √ 4
2
2
=
+i
2
√2
2
=
(1 + i)
2
i = cos
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Fortsetzung Beispiel.
Probe:
√
2
(1 + i)
2
!2
=
1
(1 + i)2
2
1
((1 · 1 − 1 · 1) + i(1 · 1 + 1 · 1))
2
1
=
(0 + i2)
2
= i
=
Bemerkung: Wegen (−z)2 = z 2 ist auch
√
2
−
(1 + i)
2
eine Wurzel von i.
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Komplexe Zahlen als Vektoren
k-te Wurzeln komplexer Zahlen
Satz 1.37
Es sei z = r · (cos ϕ + i sin ϕ). Dann gilt für die komplexen Zahlen
√
ϕ 2πj
ϕ 2πj
k
zj = r · cos
+
+ i sin
+
, j = 0...,k − 1
k
k
k
k
die Gleichung zjk = z.
Definition 1.38
Die komplexen Zahlen zj aus Satz 1.37 sind die k-ten Wurzeln von z.
Die k-ten Wurzeln von z = 1 heißen k-te Einheitswurzeln.
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Beispiel 1.39
√
Die fünften Wurzeln von z = 1 + i 3.
Peter Becker (H-BRS)
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Fundamentalsatz der Algebra
Satz 1.40
Jede Gleichung
z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 = 0
mit n ∈ N und a0 , a1 , . . . , an−1 ∈ C besitzt eine Lösung in C.
Der Beweis zu diesem Satz erfolgt zu einem späteren Zeitpunkt der
Vorlesung.
Peter Becker (H-BRS)
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Zusammenfassung
R ist ein angeordneter, vollständiger, normierter Körper.
C ist ein normierter Körper, aber kein angeordneter Körper.
C ist tatsächlich auch vollständig.
Um die Vollständigkeit von C zu begründen, bräuchten wir aber einen
etwas anders definierten Vollständigkeitsbegriff, der auf sogenannten
Cauchy-Folgen basiert (siehe nächstes Kapitel).
Im Folgenden können wir alle Aussagen, die nur auf der
Vollständigkeit oder Normiertheit eines Körpers beruhen, sowohl auf
R als auch auf C anwenden.
Peter Becker (H-BRS)
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