Klasse WI09b HeSe 10/11 ungr MLAN3 Serie 1 Aufgabe 1

Klasse WI09b
HeSe 10/11
MLAN3
ungr
Serie 1
Aufgabe 1
Berechnen Sie die Seitenlängen und Winkel des Dreiecks mit den Eckpunkten A(1, 5, 7), B(−1, 3, 6)
und C(0, 4, 5).
Aufgabe 2
Bestimmen Sie µ ∈ R jeweils so, dass a und b senkrecht stehen:




1
2
a) a =  µ  und b =  −5 
−3
4




5
1
 µ 
 −3 



b) a = 
 −4  und b =  2 
2
2µ
Aufgabe 3
Riemann’sche Summe:
a) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von der Kurve y = x12 , der x−Achse und
den Geraden x = 1 bzw. x = 2 eingeschlossen wird. Benützen Sie dazu eine äquidistante
Intervalleinteilung und wählen Sie die Zwischenwerte ξk (xk−1 ≤ ξk ≤ xk ) so, dass
p
f (ξk ) = f (xk−1 ) · f (xk )
ist. Beachten Sie dabei, dass
1
k (k+1)
=
1
k
−
1
k+1 ,
(PBZ = Partial-Bruch-Zerlegung)
b) Dieselbe Fläche, jetzt aber neu mit den beiden vertikalen Graden x = 1 und x = b, wobei b > 1.
c) Wohin strebt der Inhalt der Fläche, falls die obere Grenze b −→ ∞ strebt?
Aufgabe 4
Im Dreieck mit den Eckpunkten A(1, 5, 7), B(−1, 3, 6) und C(0, 4, 5) sind die Fusspunkte der Höhen
gesucht.
Aufgabe 5
Für x, y ∈ Rn gilt:
(1)
kx − yk2 = kx + yk2
⇐⇒
x·y =0
Zeigen Sie, dass (1) richtig ist.
Aufgabe 6
Schreiben Sie ein Struktogramm für die Unter- bzw. Obersumme mit fortgesetzter Halbierung.
Bereits gerechnete Funktionswerte sollen wieder verwendet werden.
Eingabe: a, b, Toleranz ε für die Genauigkeit, f soll separat in einem m-File gespeichert werden.
Ausgabe: Un , On , n, sowie das zuletzt verwendete h = ∆x =
b−a
n
Aufgabe 7
Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen und stellen Sie diese Lösungen in der Gauss’schen
Ebene als Zeiger graphisch dar:
a) z 4 + j 2 = 0
b) z 3 + 64j = 0
c) z 6 = 64j
Aufgabe 8
Schreiben Sie die folgenden Zahlen in der trigonometrischen bzw. exponentiellen Form:
z1 = 1 + j
z2 = 2 + 3j
z3 = 3j − 4
Aufgabe 9
Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in kartesischer Form dar:
a) j 1/2
b) (−j)1/2
c)
(2 − 3j)2/5
MLAN3
Lösungen Serie 1
Lösung 1
√
√
Seitenlängen: 3, 6√ und 3.
³√ ´
Winkel: cos (α) = 36 ⇒ α = arccos 36 und cos (β) =
Ergänzung auf π: γ = π − α − β.
√
3
3
⇒ β = arccos
³√ ´
3
3 , schliesslich γ als
Lösung 2
Skalarprodukt im Rn : a · b = 0.
a) µ = −2
b) µ = 3
Lösung 3
a) x0 = 1 und xn = 2, sowie xk = 1 + k
1
n
für k = 0, 1, 2, . . . , n
Ã
!
1
1
1
1
PBZ
¢¡
¢ = n ¡
¢−¡
¢
=¡
xk
1 + k−1
1 + nk
1 + k−1
1 + nk
n
n
1
1
=
2
ξk
xk−1
¡
¢
und damit Rn = 1 − 12 = 12 .
f (ξk ) =
PBZ von
1
xk−1
·
1
A
B
A (1 + k∆x) + B (1 + (k − 1)∆x)
=
+
=
xk
(1 + (k − 1)∆x) (1 + k∆x)
(1 + (k − 1)∆x) · (1 + k∆x)
Koeffizientenvergleich für die Zähler (bzgl. Potenzen von k):
1 = A (1 + k∆x) + B (1 + (k − 1)∆x) = (A + B − B∆x) · 1 + (A + B)∆x · k
also
k0 :
1
=
A + B − B∆x
1
0
=
(A + B)∆x
k :
und damit A = −B = n.
¡
¢
b) Rn = 1 − 1b , b > 1
c) lim Rn = 1
b→∞
Lösung 4
Projektion eines Vektors auf einen anderen!
19
Fusspunkt der Höhe hC , hC ⊥ c: FC (− 13 , 11
3 , 3 ), FA = C und FB = C, da das Dreieck rechtwinklig
ist.
Lösung 5
Beweis von (1) durch Nachrechnen:
kx − yk2 = kx + yk2
⇐⇒
(x − y)2 = (x + y)2
!
Ausmultiplizieren: x · x − 2(x · y) + y · y = x · x + 2(x · y) + y · y
Daraus folgt: x · y = 0 und umgekehrt impliziert x · y = 0 die Gültigkeit der letzten Gleichung.
Lösung 6
Eingabe:
a, b, ε
h=b−a
On = h f (b)
Un = h f (a)
zh = 1
so lange |Un − On | > ε On
(relativer Fehler)
Ua = Un
Oa = On
zh = 2 · zh
h = h/2
j=1
mu = mo = 0
f monoton wachsend
so lange j < zh
(neue Mitten )
mu = mu + f (a + j · h)
mo = mo + f (a + (j + 1) · h)
j =j+2
Ausgabe:
Un = 1/2 · Ua + h · mu
On = 1/2 · Oa + h · mo
Un , On , n, h
Was ist anders, falls f nicht monoton wachsend, sondern monoton fallend ist?
Lösung 7
a) zk = r · ej·ϕk , wobei r = 1 und ϕk = k π2 , k = 0, 1, 2, 3.
b) zk = r · ej·ϕk , wobei r = 4 und ϕk =
π
2
c) zk = r · ej·ϕk , wobei r = 2 und ϕk =
π
12
+ k 2π
3 , k = 0, 1, 2.
+ k π3 , k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
¤
Lösung 8
√ ³
π
π
π ´ √
2 cos ( ) + j sin ( ) = 2 ej 4
4
4
µ ¶
√
√
3
jϕ
z2 = 13 (cos (ϕ) + j sin (ϕ)) = 13 e
ϕ = arctan
2
µ
¶
3
z3 = 5 (cos (ϕ) + j sin (ϕ)) = 5 ejϕ
ϕ = arctan −
+π
4
z1 =
Lösung 9
√
√
√
ϕ
2π
2
5
b) ±
(1 − j)
c) 13 ej( 5 +k 5 ) k = 0, 1, 2, 3, 4 ϕ = arctan
2
√
2
5
wobei (2 − 3j) 5 = z 2 mit z = 2 − 3j und damit z 2 = −5 − 12j = 13 · ejϕ
2
a) ±
(1 + j)
2
µ
12
5
¶
+ π,