ZAHLENTHEORIE —— ¨UBUNGSBLATT 2 30 Punkte

ZAHLENTHEORIE
——
ÜBUNGSBLATT 2
30 Punkte - Abgabe 15.03.12
1. [8 Punkte] Zeige, dass es eine Konstante C gibt, so dass π(x+y)−π(y) ≤ 31 x+C für alle x ≥ 0, y ≥ 0
in R [Hinweis: durchsiebe die Zahlen n mit y < n ≤ x + y].
2. [4 Punkte] Zeige, dass 2012! mit genau 501 Dezimalnullstellen endet!
3. [2+2+2 Punkte]
(b) Für M =
(a) Zeige, dass [2x] − 2[x] ≤ 1 (alle x ∈ R).
2m
zeige, dass ordp M ≤ log
log p .
2m
m
(c) Schliesse daraus, dass π(2m) ≥
log M
log 2m .
4. [2+2+4 Punkte] (a) Zeige, dass es höchstens 1 +
log n
log 2
π(x)
Zahlen m ≤ n die nur durch Primzahlen
p ≤ x teilbar sind.
(b) Zeige, dass es höchstens
n
x<p≤n p
P
Zahlen m ≤ n die durch mindestens eine Primzahl mit
p > x teilbar sind.
P
P
(c) Schliesse daraus, dass p∈P p1 divergent ist [Hinweis: sonst wähle x mit p>x
π(x)
n
zeige dass n ≤ 1 + log
+ εn für alle n].
log 2
1
p
<ε≤
1
2
und
5. [4 Punkte] Zeige direkt, dass es unendlich viel Primzahlen p ≡ 3 (mod 4) gibt [Hinweis: 4p1 p2 · · · pk −
1].
EXTRAS
I. Sei z ≥ 2. Zeige, dass π(x) ≤ π(z) + 2π(z) + x
II. Zeige, dass nx = [x]
(n ∈ N).
n
III. In #3 zeige, dass M ≥
Q
p≤z (1
− p1 ).
22m
2m+1 .
IV. Sei ε > 0. Zeige, dass es x0 = x0 (ε) gibt, so dass (log 2 − ε) logx x ≤ π(x) ≤ (2 log 2 + ε) logx x (alle
x ≥ x0 ).
1
1
V. Sei ε > 0. Zeige, dass es n0 = n0 (ε) gibt, so dass ( 2 log
2 − ε)n log n ≤ pn ≤ ( log 2 + ε)n log n (alle
n ≥ n0 ).
P
VI. Zeige nochmals, dass p∈P p1 divergent ist [Hinweis:
P
1
VII. Zeige, dass p∈P p log
p konvergent ist.
1
n log n
≥
R n+1
n
dx
x log x
= log log(n+1)−log log n.
VIII. Zeige, dass es unendlich viel Primzahlen p ≡ 1 (mod 4) gibt [Hinweis: 4(p1 p2 · · · pk )2 + 1].
IX. Zeige, dass es unendlich viel Primzahlen p ≡ 1 (mod 10) gibt [Hinweis: f (5p1 p2 · · · pk ) mit f (x) =
x5 −1
x−1 ].
X. Gilt π(x + y) ≤ π(x) + π(y)? (Niemand weiss, aber man glaubt es eher nicht.)
D.W. Masser
06.03.12