Mathematik für Informatiker I ¨Ubungsserie 1

TU Ilmenau
Institut für Mathematik
Prof. Dr. Michael Stiebitz
Wintersemester 2011/12
Mathematik für Informatiker I
Übungsserie 1
Aufgabe 1 Geradengleichung
Die Gleichung y = ax + b beschreibt eine Gerade in der x-y-Ebene, welche den
Anstieg a hat und die y-Achse im Punkte y = b schneidet und somit durch den
Punkt (x, y) = (0, b) verläuft.
(a) Man gebe die Gleichung der Geraden an, die den Anstieg a = 5 hat und
die x-Achse im Punkte x = 3 schneidet also durch den Punkt (x, y) = (3, 0)
verläuft
(b) Man gebe die Gleichung der Geraden an, die durch die beiden Punkte (x1 , y1 ) =
(1, 3) und (x2 , y2 ) = (4, 1) verläuft. Wo schneidet die Gerade die x-Achse bzw.
die y-Achse?
(c) Man gebe die Gleichung der Geraden an, die durch den Punkt (x1 , y1 ) = (4, 3)
verläuft und den Anstieg a = 5 hat.
Aufgabe 2 Tangente an einer Kurve
(a) Die Gleichung x2 + y 2 = 8 beschreibt einen Kreis in der x-y-Ebene, welcher
den Miteelpunkt M = (0, 0) und den Radius r hat. Welchen Wert hat dann r?
Der Punkt P = (2, 2) liegt auf dem Kreis. Die Tangente am Kreis durch diesen
Punkt ist die Gerade, welche durch den Punkt P verläuft und senkrecht auf
der Geraden steht, welche durch die Punkte P und O = (0, 0) verläuft. Man
gebe die Gleichung der Tangente an.
(b) Gegeben sei die Funktion f : R → R mit f (x) = x2 − 2. Man skizziere die
Kurve y = f (x) in der x-y-Ebene. Die Tangente an der Funktion f im Punkt
x1 = 2 ist die Funktion T : R → R mit folgende Eigenschaften:
(1) T ist eine lineare Funktion also T (x) = ax + b (somit ist y = T (x) eine
Gerade)
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(2) T (x1 ) = f (x1 ) (also die Kurven y = f (x) und y = T (x) schneiden an der
Stelle x1
(3) a = f ′ (x1 ) (also die Kurven y = f (x) und y = T (x) haben an der Stelle
x1 denselben Anstieg)
Man gebe die Bildungsvorschrift für T an, d.h., man bestimme a und b mit
T (x) = ax + b.
Aufgabe 3 Newtonverfahren
√
Die Zahl 2 ist die positive Nullstelle der Funktion f : R → R mit f (x) = x2 − 2.
Newton hatte folgende Idee, wie man die Nullstelle einer Funktion Näherungsweise
berechnen kann. Man wähle eine Anfangsnäherung, in unserem Fall etwa x1 = 2.
Hat man nun eine Näherung xn bestimmt, so berechne man die nächste Näherung
xn+1 wie folgt.
(a) Man ersetze die Funktion f durch ihre Tangente T im Punkte xn , d.h., T (x) =
ax + b ist eine lineare Funktion (y = T (x) ist dann eine Gerade) mit T (xn ) =
f (xn ) und dem Anstieg a = f ′ (xn ), wobei f ′ die Ableitung von f ist (siehe
Aufgabe 2)
(b) Die Näherung xn+1 ist dann die Nullstelle der Ersatzfunktion T (x), d.h.,
T (xn+1 ) = 0.
Geben Sie die Rekursionsvorschrift für die Folge x = (x1 , x2 , . . .) an und berechnen
Sie x4 .
Aufgabe 4
Durch die folgenden Zuordnungsvorschriften x 7→ f (x) werden Abbildungen f : D ⊆
R −→ R definiert:
1) f (x) =
√
1 − x2
2) f (x) =
x+2
x2 +x−6
(a) Man bestimme den größtmöglichen Definitionsbereich D sowie den zugehörigen Wertebereich W der Abbildung f .
(b) Man bestimme die Nullstellen von f .
(c) Man skizziere den Graphen Γf = {(x, y) | x ∈ D, y = f (x)} von f
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(d) Läßt sich die Gleichung f (x) = y mit x ∈ D und y ∈ W eindeutig nach x
auflösen, so daß dadurch eine Funktion x = g(y) definiert wird.
Aufgabe 5
Für nicht-negative( ganze
Zahlen n, k definieren wir die Fakultät n! sowie den Bino)
mialkoeffizienten nk wie folgt:
0! = 1 n! =
n
∏
k = 1 · 2 · 3 . . . (n − 1) · n
k=1
mit n ≥ 1 und
( )
n!
n
=
.
k
k! (n − k)!
mit 0 ≤ k ≤ n. Der binomische Lehrsatz besagt dann, daß für alle rellen Zahlen a, b
gilt:
n ( )
∑
n k n−k
n
(a + b) =
a b .
k
k=0
Beweisen Sie folgende Identitäten für die Binomialkoeffizienten:
( ) (n ) ( n )
(a) n+1
= k + k−1
(1 ≤ k ≤ n)
k
( ) ( n )
(b) nk = n−k
(0 ≤ k ≤ n)
Mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes berechne man
∑n (n)
(c)
k=0 k
( )
∑n
k n
(d)
(−1)
k=0
k
Weiterhin löse man folgende Aufgaben:
(e) Für das Polynom p mit p(x) = (x + 1)91 bestimme man den Koeffizienten vor
x17 .
(f) Welcher Koeffizient steht vor x4 bzw x5 , wenn man den rationalen Ausdruck
r(x) = (x + x1 )100 ausmultipliziert?
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