8 Gewinnmaximierung: Individuelle und Gesamt- Faktornach

Prof. Dr. Frank Stehling
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8 Gewinnmaximierung: Individuelle und Gesamt- Faktornachfrage und individuelles und Gesamt-Güterangebot
Literatur: Wiese (2005), Abschnitt K (S. 229ff.)
Jedes Unternehmen wandelt Inputs, die es auf den Faktormärkten kauft, in Outputs um, die es
auf den Gütermärkten verkauft. Unternehmen sind also auf Faktormärkten Nachfrager,
auf den Gütermärkten Anbieter.
Das Ziel der Gewinnmaximierung wird im Folgenden zunächst von der Inputseite her betrachtet:
Fragestellung:
Welche Menge z = (z1,..., z m ) der Produktionsfaktoren fragt ein Unternehmen auf den
Faktormärkten nach, wenn es sich als Gewinnmaximierer verhält?
Antwort:
Ist wi der Preis für den Faktor i, p der Marktpreis für das Outputgut und f die PF des Unternehmens, so müssen die nachgefragten Mengen z*i also Lösung von
G (z1,..., zi ,..., z m ) = p ⋅ y − K ( y) =
m
= p ⋅ f (z1,..., zi ,...z m ) − ∑ w i zi → max .
(8.1)
i =1
sein.
Notwendige Bedingungen für i = 1,...,m:
∂G
0=
= pf i (.., z*i ,..) − w i ⇔
∂zi
⇔ „Grenzwertprodukt“ := p ⋅ f i (.., z*i ,..) = w i
(8.2)
Im Gewinnmaximum gilt also:
Faktorpreis = Grenzwertprodukt (des jeweiligen Faktors)
Beispiel: Betrachte als 1. Produktionsfaktor Arbeit, w1 ist dann der Lohnsatz. Typischerweise
ist die Grenzproduktivität f1 monoton fallend (Ertragsgesetz!); grafisch:
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f 1 , w1
Lohnsatz w1`
Lohnsatz w1
A*’
A*
A = z1
Man erkennt, dass die nachgefragte Arbeitsmenge mit wachsendem Lohnsatz abnimmt,
falls die Steigung der Grenzproduktivitätskurve (f11 < 0) negativ ist. Die nachgefragte Arbeitsmenge (D = demand) eines gewinnmaximierenden Unternehmens ist also eine monoton
fallende Funktion des Lohnsatzes. Dies entspricht auch den empirischen Beobachtungen auf
vielen Märkten.
Auch formal lässt sich dies zeigen an Hand der Auflösung von (8.2) nach z1* bzw. z*i :
f1(z1* ,...) =
1
w1 ⇔
p
1
z1* = f1−1( ⋅ w1) =: D( w1)
(8.3)
p
D ist die individuelle Nachfragefunktion des Unternehmens für den Produktionsfaktor 1 in
Abhängigkeit von w1.
Mit Hilfe der Ableitungsregel für Umkehrfunktionen und wegen f11 < 0 ergibt sich aus (8.3):
1
df1−1 ( w1 )
1
1 1
p
D' ( w1 ) =
= (f1−1 )' =
<0
dw1
p
p f11
Dies gilt wegen (8.2) für jeden Produktionsfaktor mit fallendem Grenzprodukt.
Volkswirtschaftlich gesehen ist natürlich eher die Gesamtnachfrage nach den Produktionsfaktoren interessant.
Die Gesamtnachfrage aller Unternehmen nach einem Produktionsfaktor ist die Summe
der individuellen Nachfragefunktionen.
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Beispiel (Wiese (2005), S.232):
Nachfragefunktion von Unternehmen 1 nach Faktor 1 sei:
z11 = D11 ( w1 ) = 30 − 2w1 (für 0 ≤ w1 ≤ 15 )
Nachfragefunktion von Unternehmen 2 nach Faktor 1 sei:
z12 = D12 ( w1) = 18 − 3w1 (für 0 ≤ w1 ≤ 6 )
Grafisch (qualitativ):
Z1 , Z1ges
Dges
2
D1
D11
0
⇒
6
15
w1
⎧48 − 5w1 für 0 ≤ w1 ≤ 6
z1ges = D1ges ( w1) = ⎨
⎩ 30 − 2 w1 für w1 > 6
Jedes Unternehmen versucht, seine Outputs auf den Märkten anzubieten bzw. zu verkaufen.
Die zweite Fragestellung daher ist, welche Outputmengen ein Unternehmen auf dem entsprechenden Gütermarkt anbietet, wenn es das Ziel der Gewinnmaximierung verfolgt. Die
Frage wurde schon in der Einleitung des 7. Kap. formuliert (s. (Φ1)):
Da Gewinn gleich Umsatz U minus Kosten K ist, bedeutet das, dass y* Lösung von
G(y) = U(y) – K(y) → max.
(Φ1)
ist. K versteht sich hierbei als die langfristige Kostenfunktion des Unternehmens.
Notwendige Bedingung hierfür ist
0 = G ' ( y*) = U' ( y*) − K ' ( y*) bzw.
U' ( y*) = MR ( y*) = K ' ( y*) = LMC(y*)
(8.4)
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Also:
Im Gewinnmaximum gilt: Grenzumsatz gleich (langfristige) Grenzkosten
Spezialfall:
Der Marktpreis p wird vom Unternehmen als gegeben hingenommen, d.h. es ist Preisnehmer auf dem Markt. Das ist typischerweise auf einem polypolistischen Markt der Fall,
d.h. wenn viele (andere) Anbieter desselben Gutes einer großen Zahl von Nachfragern gegenüber stehen, und vollständiger Wettbewerb herrscht (vollständige Informationen, keine
räumlichen, personellen Präferenzen der Nachfrager für bestimmte Anbieter). Dann kann die
Gewinnfunktion geschrieben werden als
G(y) = py – K(y)
(8.5)
und die notwendige Bedingung (7.4) für ein Gewinnmaximum lautet in diesem Spezialfall
p = K ' ( y*) = LMC( y*)
(8.6)
(„Preis = (langfristige) Grenzkosten-Regel“).
Die notwendige Bedingung (8.6) kann als (implizite) Gleichung für die Bestimmung des gewinnmaximalen Outputs y* und damit des Angebots des Unternehmens in Abhängigkeit vom
Preis p aufgefasst werden.
Wegen (8.6) kann man daher auch sagen, dass die individuelle Angebotskurve eines Unternehmens durch seine Grenzkostenkurve K’(y) = MC(y) gegeben ist. Genauer gesagt ist die
Angebotskurve die Umkehrfunktion der Grenzkostenkurve:
y* = S(p) := K’-1(p) = LMC-1(p)
(8.6’)
Man erkennt hieran :
Die individuelle Angebotsfunktion eines Unternehmens ist monoton steigend in p, falls
seine Grenzkostenfunktion K’ = LMC monoton wächst (d.h. wenn seine Kostenfunktion
konvex ist, d.h. K’’ > 0).
Begründung: Wächst K’ monoton, so wächst bekanntlich auch die Inverse K’-1 monoton;
diese inverse Grenzkostenfunktion ist nach (8.6’) aber gerade die individuelle Angebotsfunktion S des Unternehmens.
Grafisch bei Wahl der Preis-Achse als Ordinate mit eingezeichneter Grenz- und Durchschnittskostenkurve:
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p, LAC, LMC
LMC
p’
LAC
p
LAC(yu)
p0
pu
yu
y* y’
y
Bei irgendeinem Preis p wird diejenige Menge y* angeboten, die durch den Schnittpunkt der
Preisgerade mit der (langfristigen) Grenzkostenkurve (p = K’(y*)) gegeben ist.
Dies ist aber nur solange richtig, wie der Preis p mindestens so hoch wie die (langfristigen) Durchschnittskosten ist (also mindestens p0 beträgt). Liegt der Preis pu unter dem Minimum der Durchschnittskosten, d.h. pu < p0 , so würde hier nach der Regel Preis = Grenzkosten das Unternehmen yu produzieren, dabei aber die Durchschnittskosten LAC(yu) > pu realisieren, d.h. aber Verlust machen. Den könnte das Unternehmen aber (langfristig gesehen) mit
der Produktion von y = 0 vermeiden, denn bei y = 0 erzielt es den Gewinn 0 (weil langfristig
keine Fixkosten existieren). Die (langfristige) Angebotsfunktion besteht also aus den beiden
fett gezeichneten Kurventeilen in der obigen Abbildung.
[Bemerkung: Die obige Argumentation gilt nicht für das kurzfristige Angebot; denn für
ein Unternehmen kann es auch noch bei einem Preis unterhalb des Minimums der kurzfristigen Durchschnittskosten (aber oberhalb der variablen Durchschnittskosten) attraktiv sein zu
produzieren, weil es dort zwar einen Verlust, aber immerhin noch positive (Stück)Deckungsbeiträge erzielt, während es bei Einstellen der Produktion einen Verlust in Höhe
der Fixkosten macht.]
Beispiel (Wiese (2002), S.225):
Die langfristige Kostenfunktion des Unternehmens sei durch
⎧⎪6 y 2 + 15 y + 54 für y > 0
K ( y) = ⎨
⎪⎩
0 für y = 0
gegeben. Hier ist
K’(y) = 12y + 15 für y > 0.
Damit lautet hierfür die Gleichung (8.6):
p = 12y + 15
bzw. nach y aufgelöst:
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y=
121
p 5
−
12 4
Um zu klären, für welche p dies gilt, muss das Minimum der Durchschnittskostenkurve
bestimmt werden. Das ist dort, wo Durchschnittskosten gleich Grenzkosten sind (s. 7. Kap.,
S. 113), also
6y + 15 + 54/y = 12y + 15 ⇔ 54/y = 6y ⇔ y = 3
Diese Menge entspricht einem Preis von p = K’(3) = 51.
Also ist:
⎧⎪ p 5
− für p ≥ 51
y = S(p) = ⎨12 4
⎪⎩ 0 für 0 < p < 51
Die Gesamtangebotsfunktion aller (das betreffende Produkt anbietenden) Unternehmen ist
die Summe der individuellen Angebotsfunktionen der einzelnen Unternehmen:
r
y = S(p) = ∑ Si (p)
i =1
(8.7)
Hieraus kann man wieder eine wichtige Folgerung ziehen:
Sind die Kostenfunktionen aller Unternehmen konvex, dann wächst auch die Gesamtangebotsfunktion monoton in p.
Begründung: Sind die individuellen Kostenfunktionen konvex, so wachsen alle individuellen
Angebotsfunktionen mit p und damit auch deren Summe, d.h. die Gesamtangebotsfunktion.
Beispiel:
Die individuellen Angebotsfunktionen zweier Unternehmen seien gegeben durch S1(p) = p –
10 für p > 10 und S2 (p) = p – 15 für p > 15 gegeben; für jeweils kleinere p ist das Angebot
gleich 0. Damit wird die Gesamtangebotsfunktion
0 für p ≤ 10
⎧
⎪
S(p) = S (p) + S (p) = ⎨p − 10 für 10 ≤ p < 15
⎪ 2p − 25 für p ≥ 15
⎩
1
2