6 T ausch und allgemeines Gleichgewicht 6.1 Einleitung

6-1
Prof. Dr. K. Schmidt
Alle Resultate lassen sich fur beliebig viele Guter und Konsumenten, sowie fur eine O konomie mit Produktion verallgemeinern.
Praferenzen
keine Produktion
zwei Guter
zwei Konsumenten mit monotonen und streng konvexen
Bisher hatten wir den Markt fur ein Gut in Isolation betrachtet. Angebots- und Nachfragefunktion hingen nur vom Preis
dieses Gutes ab, Preise aller ubrigen Guter wurden konstant
gehalten.
Das nennt man ein Partialmodell oder ein partielles Gleichgewichtsmodell.
Wenn sich der Preis eines Gutes auf einem Markt andert,
hat das Ruckwirkungen auf Angebot und Nachfrage auf allen ubrigen Markten.
) Totalmodell oder allgemeines Gleichgewichtsmodell.
Hier nur der allereinfachste Fall:
6 Tausch und allgemeines Gleichgewicht
6.1 Einleitung
AVWL I (WS 1996/97)
6-2
A
Gut 2
Figur 6.1: Die Edgeworth-Box
Gut 1
B
Prof. Dr. K. Schmidt
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6.2 Die Edgeworth-Box
AVWL I (WS 1996/97)
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Prof. Dr. K. Schmidt
Auerdem lassen sich in der Edgeworth-Box die Praferenzen
der beiden Konsumenten mit den ublichen Indierenzkurven
darstellen, wobei man die Box fur Konsument B einfach auf
den Kopf stellen mu.
ge von Gut 1 (w1A + w1B).
Die Hohe mit die verfugbare Menge von Gut 2 (w2A + w2B)
Insbesondere ist der Erstausstattungspunkt, W, durchfuhrbar.
Die Grundseite des Rechtecks mit die verfugbare Men-
Eine
Allokation, d.h. ein Paar von Konsumguterbundeln
A
A
B B
(x1 ; x2 ); (x1 ; x2 ) , ist durchfu
hrbar, g.d.w.
xA1 + xB1 = w1A + w1B
xA2 + xB2 = w2A + w2B
Die Edgeworth-Box (Edgeworth-Diagramm) enthalt die Menge aller durchfuhrbaren Allokationen:
und
xji die von Konsument j konsumierte Menge des Gutes i.
wij die Erstausstattung von Konsument j mit dem Gut i
Sei
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Prof. Dr. K. Schmidt
von B gegenuber dem Punkt W vorgezogen. Diese Punkte sind eine Pareto-Verbesserung gegenuber W.
Alle Punkte auerhalb der Linse werden entweder von
A oder von B (oder von beiden) als schlechter bewertet als die Erstausstattung, d.h., sie sind keine ParetoVerbesserung.
Alle Punkte in der Linse werden sowohl von A als auch
Betrachte die Indierenzkurven IA und IB durch den Punkt
W:
6.3 Tausch und Pareto-Ezienz
AVWL I (WS 1996/97)
6-5
Prof. Dr. K. Schmidt
In diesem Punkt mu gelten, da sich die Indierenzkurven der beiden Parteien gerade tangieren.
Die Parteien werden solange tauschen, bis sie
einen Punkt erreicht haben, der keine weitere Pareto-Verbesserung mehr zulat.
Also werden sich die Parteien auf einen Tausch einigen, der
sie in das innere der Linse bringt, zum Beispiel zu Punkt M.
Gibt es eine Pareto-Verbesserung zu Punkt M?
Wenn die Indierenzkurven durch Punkt M erneut eine Linse aufspannen, gibt es Pareto-bessere Allokationen als M im
Inneren der neuen Linse.
AVWL I (WS 1996/97)
Figur 6.2: Die Kontraktkurve
Gut 1
B
Prof. Dr. K. Schmidt
Die Menge aller Pareto-ezienten Punkte wird Kontraktkurve genannt, weil sich die Parteien auf einen Tauschvertrag (Kontrakt) einigen werden, der auf dieser Kurve liegt.
Beachten Sie: Die Kontraktkurve mu durch die linke,
untere und die rechte, obere Ecke der Edgeworth-Box gehen.
Warum?
A
Gut 2
6-6
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Prof. Dr. K. Schmidt
1) Ein (walrasianischer) Auktionator ruft Preise fur die
Guter 1 und 2 aus.
2) Die Konsumenten nehmen die Preise als gegeben und erklaren, wieviel sie bei diesen Preisen anbieten und nachfragen mochten.
3) Wenn der Auktionator einen Preisvektor gefunden hat,
der beide Markte gleichzeitig raumt, ndet Handel zu
diesen Preisen statt.
Vorstellung:
Bisher haben wir nicht gesagt, welcher Punkt auf der Kontraktkurve zustande kommt. Dafur mussen wir den Tauschproze genau spezieren.
Nehmen wir an, die Parteien verhalten sich wie auf einem
Markt mit vollkommener Konkurrenz. Macht bei 2
Konsumenten wenig Sinn, aber wir konnen die beiden als
zwei Konsumentenklassen mit jeweils sehr vielen Konsumenten interpretieren.
6.3 Tausch am Konkurrenz-Markt
AVWL I (WS 1996/97)
6-8
Prof. Dr. K. Schmidt
Gut 1
Figur 6.3: Brutto- und Nettonachfrage
B
Gegeben diese Budgetgerade sei die nutzenmaximierende
Bruttonachfrage von Person A (xA1; xA2).
(Die Bruttonachfrage ist eine Funktion der Preise und der
Erstausstattung.)
A
Gut 2
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Angenommen, der Auktionator ruft einen beliebigen Preisvektor (p1; p2) aus. Dieser Preisvektor deniert eine Budgetgerade in der Edgeworth-Box mit Steigung , pp21 durch
den Erstausstattungspunkt W.
AVWL I (WS 1996/97)
6-9
Prof. Dr. K. Schmidt
 berschunachfraDann ist die Nettonachfrage oder U
ge von Person A gegeben durch
A A
A
A A
A
(e1 ; e2 ) = (x1 , w1 ; x2 , w2 )
Der Markt fur Gut 1 wird geraumt, wenn die Summe der
Bruttonachfragen gleich der Summe der Erstausstattungen
ist, d.h., wenn
xA1 + xB1 = w1A + w1B ;
bzw. wenn die Summe der U berschunachfragen gleich 0
ist:
z1(p1; p2) = eA1 + eB1 = xA1 , w1A + xB1 , w1B = 0:
Wenn die Markte fur beide Guter geraumt werden, d.h.,
wenn z1(p1; p2) = 0 und z2(p1; p2) = 0, dann sprechen wir
von einem Marktgleichgewicht, Konkurrenzgleichgewicht oder Walras-Gleichgewicht.
AVWL I (WS 1996/97)
6-10
Prof. Dr. K. Schmidt
p1z1(p1; p2) + p2z2(p1; p2) 0 :
Beachten Sie: Diese Beziehung gilt nicht nur im Gleichgewicht, sondern immer!
Beweis: folgt unmittelbar aus den Budgetgleichungen.
Fur Person A mu immer gelten:
p1xA1(p1; p2) + p2xA2(p1; p2) p1w1A + p2w2A
Sonst wurde A sein Budget nicht voll ausschopfen. Diese
Gleichung ist aquivalent zu
p1eA1(p1; p2) + p2eA2(p1; p2) 0
Analog mu fur Person B immer gelten:
p1eB1(p1; p2) + p2eB2(p1; p2) 0
Aufaddieren dieser Gleichungen ergibt:
gierten U berschunachfrage immer identisch gleich
0 ist, d.h.,
Das Gesetz von Walras besagt, da der Wert der aggre-
6.4 Das Gesetz von Walras
AVWL I (WS 1996/97)
B
p1z1(p1; p2) + p2z2(p1; p2)
0:
0
Q.E.D.
Prof. Dr. K. Schmidt
2) Allgemein gilt fur ein System von N Markten:
{ Der Wert der aggregierten U berschunachfrage auf
allen Markten ist gleich 0.
{ Wenn N-1 Markte im Gleichgewicht sind, dann mu
auch der Nte Markt im Gleichgewicht sein.
1) Aus dem Gesetz von Walras folgt, da wenn ein Markt
im Gleichgewicht ist, dann mu auch der zweite Markt
im Gleichgewicht sein,
z1(p1; p2) = 0 ) z2(p1; p2) = 0 :
+ e2 (p1; p2 )
B
+ e1 (p1; p2 )
6-11
1; p2)
A(p
1 ; p2 )
p2 e2
Bemerkungen:
bzw.
+
A(p
p1 e1
AVWL I (WS 1996/97)
6-12
Prof. Dr. K. Schmidt
Wenn wir in unserem Tauschmodell alle Preise mit t > 0
multiplizieren, wird auch der Wert der Erstausstattung, d.h.
das Einkommen jedes Konsumenten, mit t multipliziert. Also bleibt seine Nachfrage unverandert.
Das bedeutet, da nicht die absoluten, sondern nur
die relativen Preise fur die Nachfrage wichtig sind. Wir
konnen einen Preis frei wahlen, und alle anderen Preise entsprechend anpassen, so da die relativen Preise alle Markte
raumen.
Wenn alle Preise und das Einkommen mit t > 0 multipliziert werden, bleibt die Nachfrage des Konsumenten unverandert.
Wir hatten in Kapitel 1 gesehen, da die Nachfrage eines
Konsumenten linear homogen vom Grade 0 ist:
6.5 Relative Preise
AVWL I (WS 1996/97)
6-13
Prof. Dr. K. Schmidt
= 0
N ,1(p1; : : : ; pN ,1)
Man kann zeigen, da ein Walras-Gleichgewicht unter relativ schwachen technischen Anahmen existiert. Insbesondere
mussen die aggregierten U berschunachfragen stetig sein.
Ein Walras-Gleichgewicht existiert, genau dann
wenn dieses Gleichungssystem ein Losung hat.
Das sind N , 1 Gleichungen mit N , 1 Unbekannten (den
N , 1 relativen Preisen).
z
..
.. ..
= 0
z1 (p1 ; : : : ; p
N ,1)
Wir haben also N , 1 unabhangige Markte und N , 1 relative Preise. Auf jedem Markt i der N , 1 Markte mu im
Gleichgewicht gelten:
6.6 Existenz des Gleichgewichts
den Preis pN auf p0N = 1 normieren.
) Alle anderen N , 1 Preise mussen ebenfalls mit p1N
multipliziert werden.
) Alle anderen Preise werden jetzt in Einheiten von Gut
N gemessen.
Beispiel: Sei Gut N unser Numeraire-Gut. Wir konnen
AVWL I (WS 1996/97)
6-14
Prof. Dr. K. Schmidt
Literatur: Varian, Kapitel 28.
1) Die Frage nach der Existenz eines Gleichgewichts ist
sehr wichtig. Was nutzen die schonsten Aussagen uber
ein Konkurrenzgleichgewicht, wenn dieses Gleichgewicht
gar nicht existiert.
2) Es stimmt nicht, da ein Gleichungssystem mit N , 1
Gleichungen und N , 1 Unbekannten immer eine Losung
hat.
Bemerkungen:
AVWL I (WS 1996/97)