Lösungen: Multiplikation und Division komplexer Zah- len

Lösungen: Multiplikation und Division
Komplexe Zahlen
Lösungen: Multiplikation und Division komplexer Zahlen
1♥ (a) Der Drehwinkel von z 3 = 8i ist 90◦ . Sei ϕ der Drehwinkel und r der Betrag von
z. Es gilt also 3ϕ = 90◦ und r 3 = 8. Aus letzterem folgt r = 2, aus ersterem
ϕ = 30◦ + k · 120◦ , wobei für k = 0, 1, 2 die drei Lösungen entstehen.
Ri
z2 (für ϕ = 150◦ ) )
z1 (für ϕ = 30◦ )
2
R
z3 (für ϕ = 270◦ )
(b)
z1 = 2(cos 30◦ + i sin 30◦ ) = 2(
√
3
2
+ 21 i) =
√
3+i
√
z2 = 2(cos 150◦ + i sin 150◦ ) = 2(− 23 + 21 i) = − 3 + i
z3 = 2(cos 270◦ + i sin 270◦ ) = 2(0 − 1i) = −2i
√
2♥ Erfüllt z 8 = 1, so muss der Betrag r und der Drehwinkel ϕ von z folgendes erfüllen:
r 8 = 1 und 8ϕ = 0◦ . Es gilt daher r = 1 und ϕ = k ·
k = 0, 1, 2, . . . , 7. Es gilt daher zk = cos(k45◦ ) + i sin(k45◦ ).
360◦
8
= k · 45◦ für ein
Ri
z2 = i
z3 = − √12 +
√1 i
2
z1 =
z4 = −1
z5 = − √12 −
√1
2
+
√1 i
2
z0 = 1
R
√1 i
2
z7 =
z6 = −i
1
√1
2
−
√1 i
2
BaM
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Lösungen: Multiplikation und Division
3♥ Zu zeigen: Für alle komplexen Zahlen x und y gilt: |xy| = |x| · |y|.
Beweis. Zei x = a + bi und y = c + di. Dann gilt:
|x| =
√
√
a2 + b2
|y| = c2 + d2
xy = (ac − bd) + (ad + bc)i
Nun schliesst man:
|xy| =
=
=
p
√
√
(ac − bd)2 + (ad + bc)2
a2 c2 − 2acbd + b2 d2 + a2 d2 + 2adbc + b2 c2
a2 c2 + b2 d2 + a2 d2 + b2 c2
√
|x| · |y| = a2 + b2 · c2 + d2
p
= (a2 + b2 )(c2 + d2 )
√
= a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2
√
Nun sieht man dass |xy| = |x| · |y| gilt.
4♥ Zu bestimmen sind in jedem Fall der Betrag r und den Drehwinkel ϕ.
p
√
(a) r = 11 + (−3)2 = 10,
. Der TI-89 liefert tan−1 (−3) = −71.565◦ . Da z im vierten Quadrante
tan ϕ = −3
1
liegt,√bedeutet dies ϕ = −71.565◦ + 360◦ = 288.435◦.
z = 10(cos 288.435◦ + i sin 288.435◦).
p
√
(b) r = (−5)2 + (−12)2 = 169 = 13.
= 12
. Der TI-89 liefert tan−1 ( 12
) = 67.380◦. Da z im dritten
tan ϕ = −12
−5
5
5
◦
◦
Quadranten liegt, gilt ϕ = 67.380 + 180 = 247.380◦.
z = 13(cos 247.380◦ + i sin 247.380◦).
(c) z n = r n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
30
30i
30
5
=
=
i
=
i.
−12i
−12i2
12
2
56 − 33i
(56 − 33i)(12 + 5i)
56 · 12 + 33 · 5 + (56 · 5 − 33 · 12)i
(b)
=
=
12 − 5i
(12 − 5i)(12 + 5i)
122 + 52
837 + 676i
837 676
=
=
+
i
169
169 169
ai − b
a + bi
=
= −b + ai.
(c)
i
i2
(a + bi)(c + di) − (a − bi)(c − di)
a + bi a − bi
−
=
(d)
c − di c + di
(c − di)(c + di)
ac − db + (ad + bc)i − [ac − bd − (ad + bc)i]
2(ad + bc)
=
= 2
i
2
2
c +d
c + d2
5♥ (a)
2
BaM
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6♥ x = 1 + 2i und y = 5 + 5i = 5(1 + i).
(a) x2 = 1 + 4i − 4 = −3 + 4i, x2 y = (−3 + 4i)(5 + 5i) = −15 − 20 + (−15 + 20)i =
−35 + 5i ⇒ Im(x2 y) = 5.
√
√
√
√
√
(b) |x2 y 3 | = |x| · |y|3, |x| = 12 + 22 = 5, |y| = 52 + 52 = 50 = 5 2
√
√
√
√ 2
|x2 y 3 | = 5 · (5 2)3 = 5 · 125 · 2 2 = 125 2.
3
1 + 2i
(1 + 2i)(1 − i)
3+i
3
1
x
x
= , aber
=
=
=
=
+ i. Daher Re
(c)
y
5(1 + i)
5(1 + i)(1 − i)
10
10 10
y
10
Re(x)
1
= . Die beiden Ausdrücke sind also nicht gleich.
Re(y)
5
1
3
1
x
Im(x)
2
x
=
=
+ i. Daher Im
und
= . Diese beiden
(d) Aus (c):
y
10 10
y
10
Im(y)
5
Ausdrücke sind auch nicht gleich.
(e) x · y = (1 − 2i)(5 − 5i) = −5 − 15i,
xy = (1 + 2i)(5 + 5i) = −5 + 15i, xy = −5 − 15i. Die beiden Ausdrücke sind
gleich.
1 − 2i
1 − 2i
1 2
1 2
1
=
=
= − i, x−1 = + i.
(f) x−1 =
1 + 2i
(1 + 2i)(1 − 2i)
5
5 5
5 5
1
+
2i
1
+
2i
1
2
1
=
=
= + i. Die beiden
x = 1 − 2i, x−1 =
1 − 2i
(1 − 2i)(1 + 2i)
5
5 5
Ausdrücke sind gleich.
7♥ Sei z = a + bi. Dann ist z 2 = a2 − b2 + 2abi und daher Im(z 2 ) = 2ab. Andererseits ist
Im(z) = b und daher Im(z)2 = b2 . Die Gleichung gegebene Gleichung bedeutet also
2ab = b2
2ab − b2 = 0
(2a − b)b = 0
2a − b = 0 oder b = 0
b = 0 beduetet, dass z eine reelle Zahl ist. 2a − b = 0 bedeutet dass z von der Form
a+ 2ai ist. Die Lösungsmenge in der komplexen Ebene besteht also aus zwei Geraden.
8♥ Sei f : C → C die Abbildung, die durch f (z) = z −1 gegeben ist.
(a) f (a + bi) =
1
a + bi
a + bi
a
b
=
= 2
=
+
i.
a − bi
(a − bi)(a + bi)
a + b2
a2 + b2 a2 + b2
1
(b) Da f (a + bi) = a2 +b
2 (a + bi) gilt, dass f (z) durch eine zentrischen Streckung mit
1
Zentrum 0 und Streckungsfaktor a2 +b
2 aus z hervorgeht. Daer sind 0, z und f (z)
kollinear.
√
(c) Sei λ = |z| = a2 + b2 . Es gilt also f (z) = λ12 z und daher |f (z)| = λ12 |z| = λ1
und daher |z| · |f (z)| = 1.
3
BaM