¨Ubungen zur Vorlesung ” Geometrie“

Prof. Dr. H. Dinges
Blatt 1-12:
Übungen zur Vorlesung
”
WS 2009
Geometrie “
http://ismi.math.uni-frankfurt.de/dinges/teaching/
Die Aufgaben zum Einstieg können sich naturgemäß noch nicht auf aktuellen Vorlesungsstoff stützen. Sie sollen Diskussionen in den Übungsstunden
anregen, mit dem Ziel, sich über das Vorwissen der Teilnehmer zu verständigen. Darüber hinaus kann versprochen werden, dass die hier geforderten
Überlegungen zu Ende des Semesters allen Teilnehmern als Kleinigkeiten
erscheinen werden.
Aufgabe 1*:
(? Punkte)
Es sei L ein n-dimensionaler reellaffiner Raum (o. B. d. A. L = Rn ).
{Pi : i ∈ I} sei eine Familie von Punkten in L mit |I| ≥ n + 2.
a) Zeigen Sie: Es existiert eine Partition der Indexmenge I = I ′ + I ′′ so, dass
die konvexe Hülle von {Pi : i ∈ I ′ } und die konvexe Hülle von {Pi : i ∈ I ′′ }
einen nichtleeren Durchschnitt haben.
b) Diskutieren Sie die Situation mit Bildern im Spezialfall n = 2 , |I| = 4.
Aufgabe 2*:
(? Punkte)
Es seien P0 , P1 , R paarweise verschiedene Punkte auf einer reellen Geraden
R = (1 − r) · P0 + r · P1 = P0 + r · (P1 − P0 ).
Man definiert dann das Teilungsverhältnis als die Zahl r = T (P0 , P1 , R).
a) Bestimmen Sie die Teilungsverhältnisse T (P1 , P0 , R), T (R, P1 , P0 ), sowie
T (P0 , R, P1 ), T (P0 , P1 , R), , T (P1 , R, P0 ).
b)Es seien P0 , P1 , P2 , P3 paarweise verschiedene Punkte auf einer reellen
Geraden Man definiert das Doppelverhältnis
λ = DV (P0 , P1 ; P2 , P3 ) =
T (P3 , P0 , P1 )
.
T (P2 , P0 , P1 )
Wenn man die Punkte P0 , P1 , P2 , P3 permutiert, dann kommen als Doppelverhältnisse höchstens sechs verschiedene Werte in Betracht, die sich durch
λ ausdrücken lassen. Welche sind das?
c)Es seien x0 , x1 , x2 , x3 paarweise verschiedene reelle Zahlen (d. h. Punkte
auf der reellen Achse). Zeigen Sie
DV (x0 , x1 , x2 , x3 ) =
(x3 − x1 ) · (x2 − x0 )
.
(x3 − x0 ) · (x2 − x1 )
d) Für paarweise verschiedene komplexe Zahlen (z0 , z1 , z2 ; z3 ) definiert
man das Doppelverhältnis als die komplexe Zahl
DV (z0 , z1 , z2 , z3 ) =
(z3 − z1 ) · (z2 − z0 )
(z3 − z0 ) · (z2 − z1 )
Zeigen Sie, dass die reziproken Zahlen wi =
haben.
1
zi
dasselbe Doppelverhältnis
Aufgabe 3*:
(? Punkte)
Es sei K = {z : z ∈ K} ein Kreis in der komplexen Ebene, (welcher nicht
durch den Nullpunkt geht). Zeigen Sie, dass K ′ = { z1 : z ∈ K} ein Kreis ist.
( Die Reziprokenabbildung bildet Kreise in Kreise ab.“)
”
Aufgabe 4*:
(? Punkte)
Es sei G die Menge aller komplexen 2 × 2-Matrizen von der Gestalt
a b
A=
mit
|a|2 + |b|2 = 1.
−b̄ ā
a) Zeigen Sie, dass G eine Gruppe ist.
b)Zeigen Sie, dass diejenigen dieser Matrizen, die ganzzahlige Einträge haben
(a, b ∈ Z) eine Untergruppe bilden.
Zwei Sonderaufgaben zu den trigonometrischen Funktionen im
Reellen
Die Mathematik der trigonometrischen Funktionen erscheint bereits im
Schulunterricht, erfahrungsgemäß aber nicht in einer irgendwie standardisierten Form. Man braucht sie nicht nur in der Analysis I, wo sie irgendwann
gründlich behandelt wird. Wir werden sie ‘formlos’ auch in der Geometrie
immer wieder ansprechen. Um Unverständnis oder Erschrecken vorzubeugen,
sollten Sie sich bald einmal (ohne Beweise!) der folgenden Fakten vergewissern:
1. Die Sinusfunktion und die Cosinusfunktion sind 2π-periodische Funktionen mit
cos t = sin(t + π2 );
sin2 t + cos2 t = 1.
Die Sinusfunktion verschwindet in den Punkten k · π, k ∈ Z.
2. Es gelten die ‘Additionstheoreme’
sin(s + t) = sin s · cos t + cos s · sin t;
cos(s + t) = cos s · cos t − sin s · sin t.
d
cos t = − sin t.
dt
sin x
4. Die Tangensfunktion tan x = cos
x bildet das Intervall (−π/2 , +π/2)
strik monoton auf die reelle Achse R = (−∞ , +∞) ab mit
1
d
tan x = 1 + tan2 x =
.
dx
cos2 x
Die Umkehrabbildung (als Funktion auf R mit Werten in (−π/2 , +π/2)
heisst die Arcustangensfunktion. Wenn f (x) = tan x und g(y) =
arctan y, dann liefert die Kettenregel angewandt auf g(f (x) = x die
1
d
arctan y = 1+y
Ableitung der Arcustangensfunktion: dy
2.
5. Aus
1
1+y 2
= 1 − y 2 + y 4 − y 6 + . . . für |y| < 1 ergibt sich
arctan y = y − 13 y 3 + 15 y 5 − 71 y 7 + . . . . . .
für
|y| < 1.
6. Aus dem Additionstheorem für den Tangens ergibt sich das Additionstheorem für den Arcustangens:
tan s + tan t
;
1 − tan s · tan t
x+y
arctan x + arctan y = arctan
für
1 − xy
y+z
1 − yz
(∗) x =
=⇒
arctan x = arctan y + arctan z.
S-Aufgabe 5* :
Es gilt bekanntlich tan π/4 = 1 also π/4 = arctan 1. Die Potenzreihenentwicklung der Arcustangensfunktion ist zunächst einmal ungeeignet, die Zahl
π/4 zu approximieren. Wenn wir das Additionstheorem benützen, kommen
wir der Sache näher. Zeigen Sie
π
1
1
1
1
1
= arctan 1 = arctan + arctan = 2 · arctan + arctan + 2 · arctan .
4
2
3
5
7
8
1
mit k, ℓ, m ∈ N dann bedeutet die
Hinweis : Wenn x = k1 , y = 1ℓ , z = m
Beziehung (*)
(ℓ − k)(m − k) = k 2 + 1 .
Für k = 1, 2, 3, . . . liefert die Faktorisierung von k 2 +1 spezielle Beziehungen
zwischen einfachen Arcustangens–Werten.
3. Für die Ableitungen gilt
d
sin t = cos t,
dt
7. Das Additionstheorem kann man auch folgendermaßen formulieren:
tan(s + t) =
|x|, |y| < 1.
S-Aufgabe 6* :
Beweisen Sie weiter
π
4
1
= 4 · arctan 51 − arctan 239
.
Hinweis : Sei α = arctan 15 . Dann gilt
tan 2α =
5
12
,
tan 4α = 1 +
1
119
,
tan 4α −
π
4
=
1
239
.
Die Formel ist in der Tat nicht schlecht geeignet, wenn es gilt, die Zahl
π mit Hilfe der Reihenentwicklung auf eine beträchtliche Anzahl von De2
paßt überdies gut zum
zimalstellen genau zu berechnen, x = 15 = 10
Dezimalsystem. π = 3, 14159265358979 . . .)
Aufgabe 1:
(2 Punkte)
Es sei K die Kreislinie in der komplexen Ebene, die durch die Punkte 0 und
1 geht und symmetrisch zur reellen Achse liegt. (Mittelpunkt = 1/2 und
Radius = 1/2.)
u und v seien Punkte auf K mit positivem Imaginärteil.
u
· 1−v
a) Zeigen Sie, dass d = 1−u
v eine reelle Zahl ist.
(Für einen geometrischen Beweis nützen Sie den Satz vom Thaleskreis!)
b)
Es sei
r = ℜu,
s = ℜv.
Zeigen Sie
r
1−s
·
= d2 .
1−r
s
Hinweis: Das Dreieck mit den Ecken 0, 1, u ist ein rechtwinkliges Dreieck. Das
Verhältnis der Katheten lässt sich bequem als der Tangens eines Winkels φ
ausdrücken. Andererseits lassen sich auch die Zahlen r und 1 − r bequem
durch diesen Tangens ausdrücken.)
Aufgabe 2:
(3 Punkte)
a) In C̄ seien zwei Kreise durch die folgenden Gleichungen gegeben
K1
=
K2
=
mit
{z : a1 z z̄ + α1 z̄ + ᾱ1 z + b1 = 0}
{z : a2 z z̄ + α2 z̄ + ᾱ2 z + b2 = 0}
ai , bi ∈ R, αi ∈ C, Di := |αi |2 − ai bi > 0.
Bestimmen Sie die Schnittpunkte, wenn es solche gibt. (Es werden hier wohl
Fallunterscheidungen nötig sein.)
b) Finden Sie die Schnittpunkte, wenn die Kreise in parametrisierter
Form gegeben sind:
Ki = {z : z = zi + ri · eit
mit t ∈ R}
wobei zi ∈ C, ri > 0.
Aufgabe 3:
Wir betrachten die folgenden speziellen Bijektionen von C̄:
s(·) : z 7−→ 1 − z.
1
t(·) : z 7−→ .
z
(3 Punkte)
(‘Spiegelung’)
(‘Reziprokenabbildung’)
a)
Zeigen Sie, dass die beiden Abbildungen eine Transformationsgruppe T mit 6 Elementen erzeugen. Berechnen Sie die Produkte
u = s ◦ t, v = t ◦ s, w = s ◦ t ◦ s, . . . und bestimmen Sie die
Gruppentafel.
b) Zeigen Sie, dass man T als Gruppe auch durch Erzeugende und Relationen beschreiben kann, wie folgt: Zwischen den Erzeugenden gelten die
fundamentalen Relationen
s 2 = e = t2 ;
c)
(s ◦ t)3 = e.
Zeigen Sie, dass T isomorph ist zur symmetrischen Gruppe S3 .
Aufgabe 4:
(2 Punkte)
Die Cayley-Transformation und ihre Umkehrung sind die folgenden speziellen
Möbiustransformationen . χ bildet die obere Halbebene H auf das Innere des
Einheitskreises K ab:
z−i
1 w+1
χ(z) = w =
;
χ−1 (w) = z = ·
.
z+i
i w−1
Die dazugehörigen Matrizen mit Determinante = 1 sind offenbar die Matrizen
±A bzw. ±A−1
1
1
1 −i
1 1
·
·
;
χ−1 ↔ ±A−1 = ±
.
χ ↔ ±A = ±
i −i
1+i 1 i
1−i
a) Seien a, b komplexe Zahlen mit |a|2 − |b|2 = 1. Zeigen Sie, dass die
Matrix
a b
A−1 ·
·A
reelle Einträge hat.
b̄ ā
b)
Folgern Sie, dass die Möbiustransformation
ϕA (z) =
az + b
b̄z + ā
die Kreisscheibe K auf sich abbildet.
Aufgabe 5:
(3 Punkte)
2
Seien a, b reelle Zahlen, α komplex mit |α| − ab > 0, und dazu
K = { z : a · z z̄ + ᾱz + αz̄ + b > 0 } ⊂ C.
a) Stellen Sie in Fallunterscheidungen fest, wie die Punktmenge K aussieht.
Sie kann Inneres eines Kreises sein, Halbebene, usw.
b) Diskutieren Sie die geometrische Form auch für das Bild unter der
Spiegelung am Einheitskreis K ′ = { z̄1 : z ∈ K}.
Begründen Sie die Aussage: Genau dann gilt K ′ = K, wenn K den
Einheitskreis in rechten Winkeln schneidet.
c) Zeigen Sie: Es gilt genau dann a + b = 0, wenn es auf der Peripherie
von K zueinander diametrale Punkte gibt, d. h. Punkte z, w mit z · w̄ = −1.
Aufgabe 6:
(1 Punkt)
a) Es seien f und g komplexwertige Funktionen (über einer Grundmenge Ω).
Zeigen Sie
1
|f + g|2 − |f − g|2 + i · |f − ig|2 − i · |f + ig|2 = f¯ · g.
4
Begründen Sie, dass es ausreicht, dies für ein einpunktiges Ω zu beweisen.
b) Es sei H eine hermitische n × n-Matrix und s(y, x) = y∗ · H · x für
n-Spalten x, y; sowie h(x) = s(x, x). Zeigen Sie
1
[h(x + y) − h(x − y) + i · h(x − iy) − i · h(x + iy)] = s(x, y).
4
Aufgabe 7:
(2 Punkte)
Sei V ein komplexer Vektorraum. Eine komplexwertige Funktion s(·, ·) auf
V × V heisst eine hermitische Sesquilinearform, wenn gilt
1. s(v , w) = s(w , v)
2. s(v , a · w) = a · s(v , w) für a ∈ C.
3. s(v , w1 + w2 ) = s(v , w1 ) + s(v , w2 )
Betrachten wir V = CnSp , also den Raum der komplexen n-Spalten.
Zeigen Sie: Für jede hermitische n × n-Matrix H ist s(y, x) = y∗ · H · x
eine hermitische Sesquilinearform auf V × V . Für jede hermitische Sesquilinearform s(·, ·) auf V × V existiert genau eine hermitische n × n-Matrix H,
sodass h(x) = s(x, x).
Sie können gern die Resultate der anderen Aufgaben benützen!
Aufgabe 8:
(4 Punkte)
Es sei h(·) eine reellwertige Funktion auf dem komplexen Vektorraum V mit
den Eigenschaften
h(v + w) + h(v − w) = 2 · h(v) + 2 · h(w),
h(a · v) = |a|2 · h(v).
Wir konstruieren dazu (durch ‘Polarisierung’) die komplexwertige Funktion
s(·, ·) auf V × V ,
s(v , w) =
1
[h(v + w) − h(v − w) + i · h(v − iw) − i · h(v + iw)] .
4
a) Zeigen Sie
1. s(v , w) = s(w , v)
2. s(v , iw) = i · s(v , w) = −s(iv , w).
3. s(v , w1 + w2 ) = s(v , w1 ) + s(v , w2 )
4. s(v , r · w) = r · s(v , w) für r rational.
5. s(v, v) = h(v).
(Wenn Ihnen das Nachrechnen von 3) zu aufwendig ist, bestätigen Sie
dennoch mit Hilfe von 3) die Gleichung 4).)
b) Zeigen Sie: Wenn (im endlichdimensionalen Fall) h(·) auch noch stetig
ist, dann ist die daraus durch ‘Polarisierung’ abgeleitete Funktion s(·, ·) eine
hermitische Sesquilinearform (im Sinne der vorstehenden Aufgabe). Im Fall
V = CnSp existiert also (gemäß der obigen Aussage) eine hermitische Matrix
sodass h(x) = x∗ · H · x.
Aufgabe 8A:
(3 Punkte)
Es sei ℓ(·) eine linearform auf einem komplexen Vektorraum V .
2
a)Zeigen Sie, dass die reellwertige Funktion Ψ(v) = ℓ(v) eine hermitische Form ist. Zeigen Sie insbesondere die Parallelogrammgleichung.
b)Bestimmen Sie die zu Ψ(·) gehörende Sesquilinearfrm Φ(·, ·).
Aufgabe 9:
(2 Punkte)
Ein Endomorphismus ϕ eines Vektorraums V heisst eine Projektion, wenn
gilt ϕ ◦ ϕ(·) = ϕ(·). Es sei V0 der Kern und V1 das Bild.
a) Zeigen Sie, dass jedes v genau eine Darstellung besitzt v = v0 + v1 mit
vj ∈ Vj . Man notiert V = V0 ⊕ V1 .
Ein Endomorphismus ϕ eines Hilbertraums (V, h · | · i) heisst selbstadjungiert, wenn gilt h w | ϕ(v) i = h ϕ(w) | v i für alle v, w.
b) Zeigen Sie: Wenn π eine selbstadjungierte Projektion ist, dann sind
Kern und Bild zueinander orthogonal:
ker π ⊥ im π. und umgekehrt:
Wenn für eine Projektion gilt ker π ⊥ im π., dann ist sie selbstadjungiert.
⊥
Man notiert V = V0 ⊕ V1 .
Aufgabe 10:
(2 Punkte)
n
Es sei V = CSt der (‘Standard’)-Hilbertraum der komplexen n-Spalten mit
dem Skalarprodukt h w | v i = w∗ · v. (Matrizenprodukt)
Es sei X eine komplexe n × k-Matrix mit linear unabhängigen Spalten. W
sei der von den Spalten aufgespannte Teilvektorraum.
a) Zeigen Sie, dass die Gram-Matrix G = X ∗ · X positiv definit ist.
b) Zeigen Sie, dass die folgende Matrix P die orthogonale Projektion auf
W beschreibt (v 7→ w = P v):
P = X · (X ∗ · X)−1 · X ∗ .
(Sie können gerne die Aussagen der vorigen Aufgabe heranziehen. Sie
können auch gerne die hier zu beweisenden Aussagen für die Lösung der
nächsten Aufgabe benützen.)
Aufgabe 11:
(3 Punkte)
Seien u1 , u2 , u3 paarweise orthogonale Einheitsvektoren (in irgendeinem Hilbertraum). Diese Vektoren sollen orthogonal projiziert werden auf die Ebene
W = span{v1 , v2 }, wo Null
v1 = −u1 + 2u2 − 2u3 ;
v2 = 2u1 + u2 + u3 .
Die Fußpunkte seien mit w1 , w2 , w3 bezeichnet. Wir wollen Sie nicht unbedingt in der Orthonormalbasis (u1 , u2 , u3 ) darstellen; es mag bequemer sein,
sie als Linearkombination von v1 und v2 auszudrücken.
Wir notieren empfehlen die Notation:


−1 2
(v1 , v2 ) = (u1 , u2 , u3 ) · X = (u1 , u2 , u3 ) · +2 1
−2 1
(w1 , w2 , w3 ) = (v1 , v2 ) · F = (u1 , u2 , u3 ) · X · F.
a) Berechnen
Sie die Matrix F , und auch die Gram-Matrix
h v1 | v1 i h v1 | v2 i
G=
,
sowie das Produkt G−1 · X ∗ .
h v2 | v1 i h v2 | v2 i
1
2
3
b) Zeigen Sie: Wenn u = u1 ·x +u2 ·x +u3 ·x , dann gilt für den Fußpunkt
des Lots w = π(u) = v1 · z 1 + v2 · z 2 = u1 · y 1 + u2 · y 2 + u3 · y 3 . mit
 1
 1
 1
1
x
y
x
z
x2  ;
y 2  = X · F · x2  .
=
F
·
z2
x3
y3
x3
(Somit ist P = X ·F die Projektionsmatrix, ausgedrückt im ONS (u1 , u2 , u3 ))
Aufgabe 12:
(3 Punkte)
Wenn π eine orthogonale Projektion mit einem eindimensionalen Bildraum
ist, dann existiert ein Einheitsvektor û, sodass gilt π(·) = û · h û| · i.
a) Zeigen Sie, dass û bis auf einen Faktor vom Betrag = 1 eindeutig bestimmt ist.
b) Zeigen Sie: Wenn
P u1 , . . . , un paarweise orthogonale Einheitsvektoren
sind, dann ist ϕ(·) = n1 uj · h uj | ·i. eine orthogonale Projektion.
Sei π(·) orthogonale P
Projektion auf einen n-dimensionalen Teilraum mit
Pc)
n
n
v
·
h
v
|
·i
=
π(·)
=
k
k
1 uj · h uj | ·i. Welche Beziehung besteht zwischen
1
den beiden n-Tupeln (uj )j und (vk )k ?
Aufgabe 13:
(5 Punkte)
−1
Es sei Q positivdefinit und C = Q . Wir machen den Raum der komplexen
n-Spalten zu einem Hilbertraum durch hy | xi = y ∗ · Q · x.
Zeigen Sie: Eine Matrix P liefert genau dann eine orthogonale Projektion
π : x 7→ P x, wenn gilt
P C = CP ∗ = P CP ∗ .
Tipps zur Vorbereitung: Wenn P die Gleichungen erfüllt, dann gilt auch
P 2 C = P C sowie
QP = P ∗ Q = P ∗ QP.
Zeigen Sie π ◦ π = π und (id − π)(y)⊥π(x) für alle Paare x, y.
Aufgabe 14:
(5 Punkte)
Sei A eine komplexe m × n-Matrix und Q eine positivdefinite n × n-Matrix.
Sei weiter V0 = {x : Ax = 0} und V1 der Spaltenraum der Matrix QA∗ .
Zeigen Sie
1. Jede n-Spalte x besitzt genau eine Darstellung x = y + z mit y ∈ V0 , z ∈
V1 . Anders gesagt: CnSp = V0 ⊕ V1 .
2. Zeigen Sie zuerst einmal, dass es ausreicht, die Behauptung für A mit
linearunabhängigen Zeilen zu bestätigen. Beachten Sie dann den
Hinweis: Studieren Sie die Dimensionen der Vektorräume V0 , V1 , V0 ∩V1 .
3. Zeigen Sie, dass die Matrix AQA∗ denselben Rang hat wie die Matrix
QA∗ . Genauer: Der Zeilenraum von AQA∗ ist im Zeilenraum von QA∗
enthalten, und die beiden Matrizen haben denselben Rang.
4. Es existiert eine n × m-Matrix N , sodass (I − N A)QA∗ = 0.
5. Wenn N die Gleichung erfüllt, dann gelten für die Matrix P = A∗ N ∗
die Gleichungen QP = P ∗ Q = P ∗ QP .
6. V0 ist der Nullraum der Abbildung π : x 7→ P x.
Aufgabe 15:
(5 Punkte)
Zur Erinnerung: Zu jeder positivdefiniten Matrix G existiert eine Diagonalmatrix D mit positiven Einträgen und eine normierte untere
Dreiecksmatrix L, sodass LG =obere Dreiecksmatrix, in unserem konkreten
fall = D−2 (L∗ )−1 . Mit A∗ = DL gilt also A∗ GA = E.
(‘normiert’ bedeutet hier, dass alle Diagonaleinträge = 1 sind. L ist eindeutig
bestimmt.)
Wir wollen diese algebraische Aussage, die durch das Gauss’sche Eliminationsverfahren konkretisiert wird, in Verbindung setzen zum Schmidt’schen
Orthonormalisierungsverfahren.
Im Hilbertraum V seien v1 , v2 , v3 Vektoren mit der Gram-Matrix


1 1/2 0
G = 1/2 1 1/2
0 1/2 1
(Die Einträge sind die inneren Produkte hvj | vk i.) Das Orthonormalisierungsverfahren findet eine obere Dreiecksmatrix A mit positiven Diagonaleinträgen di = aii sodass (u1 , u2 , u3 ) = (v1 , v2 , v3 ) · A ein Orthonormalsystem ist:
u1 = v1 · d1 ,
u2 = v1 · a12 + v2 · d2 ,
u3 = v1 · a13 + v2 · a23 + v3 · d3 .
Aufgabe: Die Diagonaleinträge d1 , d2 , d3 und die Matrizen A und A−1 sollen
bestimmt werden für unsere spezielle Matrix G.
Hilfe: Zur Abwehr von Rechenfehlern sei einige Rechenergebnisse bekannt
gegeben. Es geht also nur noch darum, die Aussagen zu verifizieren.




1 0
0
1
0
0
1
0
D−2 = 0 3/4 0  ;
L = −1/2
0 0 2/3
1/3 −2/3 1
Aufgabe 16 :
(5 Punkte)
−1
Es sei Q positivdefinit und C = Q . Zeigen Sie: Für jede Zeile ξ gilt
p
sup{ | ξ · x | : x∗ · Q · x ≤ 1 } = ξ · C · ξ.
(In Worten: Wenn man den Raum der Zeilen mittels des Matrizenprodukts
als den Dualraum des Raums der Spalten mit der Hilbertraumnorm zu Q
betrachtet, dann ergibt sich als die duale Norm die Hilbertraumnorm zu C.)
Hinweise: Die Aussage sollte gut bekannt sein, wenn Q die Einheitsmatix
ist. Es gibt viele Wege, sie im allgemeineren Fall zu beweisen:
1. Vorschlag: Für jedes Paar von Spalten x, y ist die quadratische
Funktion (x + ay)∗ · Q · (x + ay) nichtnegativ. Wie im üblichen Beweis der
Schwarz’schen Ungleichung ergibt sich daraus eine Beziehung zwischen den
drei Größen x∗ ·Q·y, x∗ ·Q·x, y ∗ ·Q·y. Betrachten Sie nun die Zeile ξ = y ∗ ·Q.
2. Vorschlag: Es gibt eine Matrix A, sodass A∗ QA = E. (Es gibt sogar
eine obere Dreiecksmatrix mit dieser Eigenschaft. Aber das werden Sie nicht
brauchen.)
Aufgabe 17 :
(5 Punkte)
Es sei B eine n × p-Matrix mit linear unabhängigen Spalten. Wir nennen die
n × (n − p)-Matrix A einen Annihilator für B, wenn sie linear unabhängige
Spalten hat und A∗ B = 0. (Bemerke: A ist genau dann Annihilator für B,
wenn B ein Annihilator für A ist.)
a) Zeigen Sie, dass es zu jedem B einen Annihilator gibt.
Es sei Q eine positivdefinite n × n-Matrix und C ihre Inverse C = Q−1 .
Wir betrachten die n-Spalten als Elemente des Hilbertraums (CnSp , Q).
√
(kxk = x∗ Qx.)
b)Zeigen Sie: Sei W1 der Spaltenraum von A und W2 der Spaltenraum
von CB. Ist A ein Annihilator von B, so sind W1 und W2 orthogonale Komplemente. Wenn π die orthogonale Projektion auf W1 ist, dann ist π die
orthogonale Projektion entlang W2 .
c) Verifizieren sie die Aussagen anhand der in der Vorlesung hergeleiteten
Formeln für die Matrizen orthogonaler Projektionen im Raum (CnSp , Q) bzw.
(CnZ , C)
P = M (M ∗ QM )−1 M ∗ Q;
S = CN ∗ (N CN ∗ )−1 N.
Aufgabe 18 :
(5 Punkte)
Es sei V ein n-dimensionaler reeller Vektorraum, und B(·, ·) eine nichtausgeartete indefinite symmetrische Bilinearform auf V × V , d. h.
• ∀w ∈ V : B(v, w) = 0 =⇒ v = 0,
• Die quadratische Form Q(v) = B(v, v) nimmt sowohl positive als auch
negative Werte an.
Zu einem k-dimensionalen Teilvektorraum W definieren wir das ‘BKomplement’
W B = {v : B(v, w) = 0 für alle w ∈ W }.
Zeigen Sie,
a) W B ist ein n − k-dimensionaler Vektorraum ist mit W ∩ W B = {0}
B
b) W B
= W.
Wir nennen W totalnegativ, wenn die Einschränkung von B(·, ·) auf W × W
negativdefinit ist, d. h. Q(w) < 0 für alle w ∈ W \ {0}.
c) Zeigen Sie, dass genau eine der beiden folgenden Aussagen zutrifft:
• Q(·) ist positivdefinit auf W B .
• Es existiert ein w̃ ∈ W B , sodass Q(·) auf dem vergrößerten Vektorraum
W̃ = {w + aw̃ : w ∈ W, a ∈ R } negativdefinit ist.
Hinweis: Für jedes w̃ ∈ W B gilt Q(w + aw̃) = Q(w) + a2 Q(w̃). Warum?
Aufgabe 19 :
(5 Punkte)
Es seien A, B irgendwelche komplexe n × n-Matrizen und C = AB − BA =
[A, B] ihr Lie-Produkt. Ferner sei für t ∈ R
Ut = exp(tA),
Vt = exp(tB),
Wt = Ut−1 Vt−1 Ut Vt .
Wt = E + t2 · C + o(t2 ) für t → 0.
Zeigen Sie:
Aufgabe 20 :
Seien σx , σy , σz wie
0
σx =
1
Berechnen Sie
(3 Punkte)
üblich die Pauli-Spinmatrizen
1
0 −i
1 0
;
σy =
;
σz =
.
0
i 0
0 −1
[σx , σy ] =
σz−1 σx σz =
, [σy , σz ] =
,
[σz , σx ] =
,
sowie
σz−1 (b1 σx + b2 σy + aσz ) σz =
Handelt es sich bei den Spin-Matrizen um hermitische und möglicherweise
auch um unitäre Matrizen?
Aufgabe 21 :
(5 Punkte)
Es sei C eine hermitische 2 × 2-Matrix mit trace C = 0 und det C = −1.
Das charakteristische Polynom sei also
z − c11
c12
= z 2 − 1.
det(z · E − C) = det
c21
z − c22
Zeigen Sie, dass es für jede solche Matrix eine unitäre Matrix S gibt, sodass
S −1 CS = σz . Finden Sie eine solche Matrix für die Fälle C = σx , σy .
Inwieweit ist S durch C bestimmt?
Aufgabe 22 :
(7 Punkte)
Es sei (V, h·|·i) ein zweidimensionaler Hilbertraum. Wenn wir eine ONB
(u+ , u− ) auszeichnen, dann bedeutet das, dass wir einen Isomorphismus
mit C2St auszeichnen. Ein selbstadjungierter Operator h wird dann durch
eine hermitische 2 × 2-Matrix dargestellt
hu+ | h |u− i hu+ | h |u− i
h++ h+−
=
H =
hu− | h |u+ i hu− | h |u− i
h−+ h−−
E sei der dreidimensionale reelle Vektorraum der spurlosen selbstadjungierten
Operatoren. Bzgl. der gewählten Basis erscheint H als eine reelle Linearkombination
0 1
a
b1 − ib2
0 −i
1 0
= b1 ·
H=
+ b2 ·
+a·
.
b1 + ib2
−a
1 0
i 0
0 −1
a)
Zeigen Sie, dass E zu einem euklidischen Raum wird, wenn wir
festsetzen
q
p
p
khk = a2 + |b|2 = a2 + b21 + b22 = | det hk.
Zeigen Sie insbesondere dass die Definition nicht an die Wahl der ONB gebunden ist. Was sind Determinante und Spur eines Endomorphismus?
b)
Zeigen Sie dass man das Skalarprodukt im euklidischen Raum E
auch folgendermaßen ausdrücken kann
hh|ki = 12 trace (h · k),
c)
sodass
insbesondere khk2 = 21 trace h2 .
Zeigen Sie, dass es zur gewählten ONB (u+ , u− ) ein h 6= 0 gibt,
hu+ = khk · u+ ,
”
Geometrie “
Aufgabe GeoP1:
Was ist eine Bilinearform?
(? Punkte)
Aufgabe GeoP2:
Was ist eine Projektion?
Was heisst es, dass eine Matrix eine Projektionsmatrix ist?
(? Punkte)
Aufgabe GeoP3:
Was ist eine Gruppenwirkung?
(? Punkte)
Aufgabe GeoP 4:
a
Wir betrachten zu einer nichtsingulären Matrix A =
c
ϕA : z −→ w =
(? Punkte)
b
die Zuordnung
d
az + b
cz + d
als eine Abbildung der erweiterten Zahleneben C̄ = C ∪ {∞} in sich.
Zeigen Sie, dass es sich um eine Bijektion handelt, und finden sie eine
Formel für die Umkehrabbildung ϕ−1 .
hu− = −khk · u− .
Und zeigen Sie weiter, dass sich die h, die das Verlangte leisten nur um einen
positiven Faktor unterscheiden. Wir nennen die Menge dieser h den Strahl
zur gewählten ONB.
d)
Zeigen Sie: Die ONB (v+ , v− ) führt genau dann auf denselben
Strahl wie die ONB (u+ , u− ), wenn es Zahlen vom Betrag 1 gibt, sodass
v+ = eiφ u+ ;
Übungen zur Probeklausur
v− = eiψ u−
e)
Man kann also sagen, dass die Strahlen im euklidischen Raum E
genau den orthogonalen Zerlegungen des Hilbertraums V entsprechen.—
Die Quantentheoretiker sagen, dass ‘Spinup’ und ‘Spindown’ den beiden Basiszuständen eines Zweizustandssystems entspricht; die Analogie mit einem
Drehmoment im Anschauungsraum sei nicht gesund.
Aufgabe GeoP5:
Begründen Sie (‘geometrisch’), dass die Abbildung
z −→ w =
(? Punkte)
z−i
z+i
die obere Halbebene auf das Innere des Einheitskreises abbildet.
Aufgabe GeoP6:
(? Punkte)
Es sei Q eine positivdefinite n× n-Matrix, und A eine n× d-Matrix mit linear
unabhängigen Spalten. Zeigen Sie, dass A∗ QA positiv definit ist.
Aufgabe GeoP7:
(? Punkte)
Es sei P eine hermitische n × n-Matrix mit P · P = P . Zeigen Sie
a) Für beliebige n-Spalten u, v gilt
Aufgabe 1:
a) Was ist eine Projektion in einem Vektorraum?
b) Was heisst es, dass eine Matrix eine Projektionsmatrix ist?
v∗ · (P u) = (P v)∗ · u = (P v)∗ · (P u).
b)
Für beliebige n-Spalten u, v gilt
((I − P )v) · (P u) = 0.
Geben Sie einen Kommentar zu der letzteren Formel! Was ist die geometrische Bedeutung der Eigenschaften von P ?
Aufgabe GeoP8:
Es seien u1 , u2 komplexe n-Spalten mit
ku1 k2 = 1 = ku2 k2 ,
(2 Punkte)
Aufgabe 2:
(3 Punkte)
a) Was heisst es , dass eine komplexe n × n-Matrix Q positiv definit ist?
b) Es sei Q eine positivdefinite n × n-Matrix, und A eine n × d-Matrix mit
linear unabhängigen Spalten. Zeigen Sie, dass A∗ QA positiv definit ist.
(? Punkte)
u∗1 · u2 = 0.
Zeigen Sie, dass die Matrix P = u1 ·u∗1 +u2 ·u∗2 die Matrix einer orthogonalen
Projektion ist.
Aufgabe GeoP9:
(? Punkte)
Es sei G eine positivdefinte n× n-Matrix, und L eine ‘normierte’ untere Dreiecksmatrix, sodass LG eine obere Dreiecksmatrix ist.
(‘normiert’ bedeutet hier, dass die Diagonaleinträge = 1 sind. Denken Sie an
das Gauss’sche Eliminationsverfahren im speziellen Fall.)
a)
Zeigen Sie: Es gibt eine Diagonalmatrix D mit positiven Diagonaleinträgen, sodass gilt
LG = D2 (L∗ )−1 .
Abschlussklausur
Mit A∗ = D−1 L gilt A∗ GA = E.
b) PEs seien v1 , . . . , vn n-Spalten mit vi vj = gij . Dazu konstruieren wir
uj = vi · aij . Zeigen Sie, dass die Spalten uj eine ONBasis bilden.
Was hat die Konstruktion mit dem Schmidt’schen Orthonormalsisierungsverfahren zu tun? Insbesondere: Warum konstruiert man Dreiecksmatrizen?
Aufgabe 3:
(3 Punkte)
Es sei V der komplexe Vektorraum
der komplexen n-Spalten u, v, w, . . ..
√
a) Zeigen Sie, dass kvk = v∗ · v eine Norm ist, die V zu einem Hilbertraum
macht.
b) Was ist das Skalarprodukt in diesem Raum: hu|vi?
Aufgabe 4:
(6 Punkte)
a) Was heisst es, dass für eine komplexe n × n-Matrix P , dass die Abbildung
u 7−→ v = P · u
eine orthogonale Projektion des oben definierten Hilbertraums V, k · k ist.
b) Was heisst es für die Matrix A, dass die Abbildung u 7−→ v = A · u ein
selbstadjungierter Endomorphismus ist.
c) Es seien u1 , u2 , . . . un paarweise orthogonale Einheitsvektoren in V, k·k .
Zeigen Sie, dass die Matrix U mit diesen Spalten eine unitäre Matrix ist.
Aufgabe 5:
(3 Punkte)
a) Zeigen Sie: Die spurlosen hermitischen 2 × 2-Matrizen h bilden einen dreidimensionalen reellen Vektorraum H.
b) Finden sie eine Basis. √
c) Zeigen Sie, dass khk = − det h den Raum H zu einen euklidischen Raum
macht.
Aufgabe 6:
(6 Punkte)
2
2
Es seien a, b komplexe Zahlen mit |a| − |b| = 1 Wir betrachten dazu die
Matrix A =
a
b̄
b
ā
und die Zuordnung
ϕA : z −→ w =
az + b
b̄z + ā
als eine Abbildung der erweiterten Zahlenebene C̄ = C ∪ {∞} in sich.
a) Zeigen Sie, dass es sich bei ϕA (·) um eine Bijektion handelt, und finden
sie eine Formel für die Umkehrabbildung ϕ−1
A .
b) Zeigen Sie, dass ϕA (·) die Kreislinie (und auch die Kreisscheibe {z : |z| ≤
1}) auf sich abbildet.
c) Zeigen Sie, dass die Menge der Abbildungen der gegebenen Art eine Gruppe bilden.
Aufgabe 7:
(6 Punkte)
Eine (komplexe) n × n-Matrix L heisst eine ‘normierte’ untere Dreiecksmatrix, wenn sie über der Diagonalen Nullen und auf der Diagonalen Einsen
hat. Es sei G eine positivdefinte n × n-Matrix, und L eine ‘normierte’ untere
Dreiecksmatrix, sodass LG eine obere Dreiecksmatrix ist.
( Denken Sie an das Gauss’sche Eliminationsverfahren im speziellen Fall!)
a)
Zeigen Sie: Es gibt eine Diagonalmatrix D mit positiven Diagonaleinträgen, sodass gilt
LG = D2 (L∗ )−1 .
Mit A∗ = D−1 L gilt A∗ GA = E.
b)
Es seien v1 , . . . , vn Vektoren in einem n-dimensionalen
P Hilbertraum
mit hvi |vj i = gij . Betrachten Sie dazu die Vektoren uk = vi · aik .
a)Zeigen Sie, dass die uk eine Orthogonalbasis bilden.
b) Formulieren Sie mit einfachen Worten Ziel und Ergebnis des Schmidt’schen
Orthonormalsisierungsverfahrens. Was hat die obige Konstruktion unterer
und oberer Dreieckmatrizen mit dem Schmidt’schen Orthonormalisierungsverfahren zu tun?(Beachten Sie dazu, dass uk eine Linearkombination der
ersten k der vorgegebenen Vektoren sind.)
Hinweis: Das Angebot ist reichlich! Bearbeitungen mit 16 Punkten bewerte ich mit ‘sehr gut’. Bei sauber präsentierten Bearbeitungen sollten 8
Punkte für ein ‘bestanden’ ausreichen.