1 Determinanten

1
Determinanten
Wir bezeichnen mit Mn,n die Menge aller quadratischen Matrizen der Ordnung n. Die Determinante ist eine Abbildung DET : Mn,n → R, die jeder quadratischen Matrix eine reelle
Zahl zuordnet. Ist A = (aij ) ∈ Mn,n eine Matrix mit den Spalten S1 , S2 , . . . , Sn so gilt
1. DET ist als Funktion der Spalten eine multilineare Abbildung, d. h., sie ist linear in
jeder Spalte. Ausführlich: für alle a, b ∈ R gilt
DET (S1 , . . . , a S′i + b S′′i , . . . , Sn ) =
a DET (S1 , . . . , S′i , . . . , Sn ) + b DET (S1 , . . . , S′′i , . . . , Sn )
2. DET ist als Funktion der Spalten eine alternierende Abbildung, d. h., der Wert von
DET wechselt das Vorzeichen wenn man zwei Spalten vertauscht:
DET (S1 , . . . , Si , . . . , Sj , . . . , Sn ) = −DET (S1 , . . . , Sj , . . . , Si , . . . , Sn )
3. Die Determinante der Einheitsmatrix En ∈ Mn,n hat den Wert 1.
Anstelle von DET(A) schreibt man oft |A|, d. h., die Matrix wird zwischen zwei senkrechte
gerade Linien gesetzt.
Durch Anwenden dieser Regeln läßt sich die Determinante einer jeden Matrix berechnen: Es
gilt
Satz: 1 Es gibt eine und nur eine Abbildung D : Mn,n → R, die die obigen drei Eigenschaften
besitzt.
Der allgemeine Beweis dieses Satzes ist etwas zeitraubend. Wir verweisen auf die auf Seite ??
ausführlich durchgerechneten Beispiele, die zeigen, wie man durch alleiniges Anwenden der
Regeln 1., 2. und 3. den Wert einer Determinante erhält.
Die nachfolgenden Sätze liefern verschiedene Hilfsmittel und Methoden zum Berechnen von
Determinanten.
Satz: 2 Der Wert der Determinante einer Matrix A ist = 0, wenn zwei Spalten von A gleich
sind. Dasselbe gilt, wenn eine der Spalten nur aus Nullen besteht oder wenn zwei Spalten
zueinander proportional sind.
Beweis: Gilt beispielsweise Si = Sj , so ändert r = |S1 , . . . , Si , . . . , Sj , . . . , Sn | bei Vertauschen
von Si und Sj nach ??. das Vorzeichen. Die Matrix A = (S1 , . . . , Si , . . . , Sj , . . . , Sn ) selbst
bleibt aber dieselbe, da sich ja wegen Si = Sj beim Vertauschen nichts ändert: Es ist also
r = −r und damit zwangsläufig r = 0.
QED
Satz: 3 Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn man das c-fache der j-ten Spalte
zur i-ten Spalte addiert, wobei i 6= j und c ∈ R gilt. Als Formel:
DET (S1 , . . . , Si , . . . , Sj , . . . , Sn ) = DET (S1 , . . . , Si + c Sj , . . . , Sj , . . . , Sn ) .
Beweis: Es sei beispielsweise i = 1 und j
= 2. Dann ist nach ??.
DET (S1 + c S2 , S2 , S3 . . . , Sn ) = DET (S1 , S2 , S3 . . . , Sn )+c DET (S2 , S2 , S3 . . . , Sn ) und
die zweite Determinante in dieser Summe ist nach Satz ?? gleich 0.
QED
Als Folgerung aus Satz ?? erhält man
1
Satz: 4 Die Determinante einer Matrix hat den Wert 0, wenn ihre Spalten linear abhängig
sind (Das ist eine Verallgemeinerung von Satz ??). Es gilt auch die umgekehrte Aussage: Aus
|A| = 0 folgt die lineare Abhängigkeit der Spalten.
Beweis: Sei beispielsweise S1 = c2 S2 +c3 S3 +· · · +cn Sn eine Linearkombination der übrigen
Spalten. Wenn man dann nacheinander das c2 -fache der zweiten Spalte, c3 -fache der dritten
Spalte usw. von der ersten subtrahiert, ergibt sich die Nullspalte. Die Determinante der sich
ergebenden Matrix hat nach Satz ?? den Wert 0, nach Satz ?? ändert sich aber der Wert von
|A| bei diesen Umformungen nicht.
QED
Satz: 5 Es gilt die Leibnitzsche Determinantenformel:
a11
a21
a31
..
.
an1
a12 . . .
a22 . . .
a32 . . .
..
..
.
.
an2 . . .
a1,n−1
a2,n−1
a3,n−1
..
.
a1n
a2n
a3n
..
.
an,n−1 ann
X
sign(σ) a1,σ(1) a2,σ(2) · · · an,σ(n) ,
=
σ∈Sn
wobei über alle Permutationen σ des zweiten Index zu summieren ist und sign(σ) = ±1 das
Signum der Permutation bezeichnet.
Satz: 6 Die Determinante einer Matrix A ∈ Mn,n
ist gleich der Determinante der transpo⊤
⊤
nierten Matrix A , d. h., DET(A) = DET A
Die Leibnitzsche Determinantenformel ist zum Berechnen von Determinanten schlecht geeignet, da die Anzahl n! der zu berechnenden Produkte a1,σ(1) a2,σ(2) · · · an,σ(n) mit wachsendem
n schnell ins astronomische wächst. Ebenso ist es nicht ganz leicht, das Vorzeichen sign(σ)
aller n! Permuationen im Kopf auszurechnen. Jedoch hat sich für n = 3 eine Merkhilfe der
Leibnitzschen Formel durchgesetzt, die als Sarrus’sche Regel bekannt ist:
a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a21 a21 a33 .
a31 a32 a33 Wir erwähnen noch die zwei folgenden, leicht zu beweisenden und nützlichen Tatsachen:
Satz: 7 Die Determinante einer Diagonalmatrix oder einer Dreiecksmatrix ist gleich dem
Produkt der Elemente der Hauptdiagonale:
a11 0 . . . 0 0 a11 a12 . . . a1,n−1 a1n 0 a22 . . . 0 0 0 a22 . . . a2,n−1 a2n 0
0 . . . 0 0 = 0
0 . . . a3,n−1 a3n = a11 a22 · · · ann .
..
..
.. ..
.. ..
..
..
..
.. .
.
. .
. .
.
.
.
. 0
0 . . . 0 ann
0
0 ...
0
ann 1.1
Die Cramersche Regel
Es sei
(1.1)
a11 x1
a21 x1
a31 x1
..
.
an1 x1
+a12 x2 . . . +a1n xn
+a22 x2 . . . +a2n xn
+a32 x2 . . . +a3n xn
..
..
..
.
.
.
+an2 x2 . . . +an,n xn
2
= b1
= b2
= b3
..
.
= bn
ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten x1 , . . . , xn . Wir bezeichnen mit A = (aij ) die Systemmatrix und mit b = (b1 , b2 , . . . , bn )⊤ den Vektor der auf
der rechten Seite stehenden Zahlen und mit Ai die Matrix, die sich durch Ersetzen der i-ten
Spalte Si von A durch b ergibt. Dann gilt
Satz: 8 Das Gleichungssystem (??) ist genau dann eindeutig lösbar, wenn |A| =
6 0 ist. Ist
das der Fall, so ergeben sich die Lösungen aus
xi |A| = |Ai |.
Beweis: Wir beweisen nur die Lösungsformel xi |A| = |Ai |: Es seien S1 , S2 , . . . , Sn die Spalten
von A. Ist x1 , . . . , xn eine Lösung, so gilt x1 S1 + x2 S2 + · · · + xn Sn = b. Wir setzen diesen
Ausdruck für b in Ai ein (die i-te Spalte von Ai ist ja b) und erhalten
|Ai | = |S1 , . . . , Si−1 , b, Sn+1 , . . . , Sn | = |S1 , . . . , Si−1 , x1 S1 + · · · + xn Sn , Sn+1 , . . . , Sn |.
Dann subtrahieren wir für j = 1, . . . , n, aber j 6= i, das xj -fache der j-ten Spalte von der
i-ten. Es bleibt von b nur der Summand xi Si übrig, also
|Ai | = |S1 , . . . , Si−1 , xi Si , Si+1 , . . . , Sn | = xi |S1 , . . . , Si−1 , Si , Si+1 , . . . , Sn | = xi |A|.QED
1.2
Beispiele
Wir zeigen an zwei Beispielen, wie man durch sukzessives Anwenden der obigen drei Regeln
den Wert der Determinante erhält. Das dritte Beispiel ist der Cramerschen Regel gewidmet.
(I) Es sei
a b
A = c d
Zunächst gilt nach Satz ??
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
=
=
=
=
und e1 = 1 ,
0
e1 =
0
1
0
(zwei gleiche Spalten)
1
(Determinante der Einheitsmatrix)
.
−1 (Einheitsmatrix mit vertauschten Spalten)
0
(zwei gleiche Spalten)
Dann wird |A| sukzessiv in diese Determinanten umgeformt:
S1
S2
a
=
=a
c b
=
=b
d
1
0
+c
= a e1 + c e2
0
1 1
0
+d
= b e1 + d e2 .
0
1
3
Damit erhalten wir
|A| = |S1 , S2 | = |a e1 + c e2 , S2 | = a |e1 , S2 | + c|e2 , S2 |
= a |e1 , b e1 + d e2 | + c |e2 , b e1 + d e2 |
= a (b |e1 , e1 | + d |e1 , e2 |) + c (b |e2 , e1 | + d |e2 , e2 |)
1 1 + ad 1 0 + cb 0 1 + cd 0 0
= a b 1 1
0 0
0 1
1 0
= a b 0 + a d 1 + c b (−1) + c d 0 = a d − b c,
(II) Wir berechnen eine 3 × 3-Determinante:
3
1 1 1 1 0
5
7
0
|A| = 3 −5 35 = 3 · 5 · 7 1 −1 5 = 105 1 −2 4 21 15 21 7 3 3 7 −4 −4 1 0 0 1 0 0 1 0 0 = 105 (−2) 2 1 1 2 = −420 0 1 0 = −420 (−6) 0 1 0 5 2 1 5 2 −6 7 2 −2 1 0 0 = 2520 0 1 0 = 2520.
0 0 1 Dabei wurden der Reihe nach die folgenden Umformungen vorgenommen:
1. Ausklammern der Faktoren 3, 5, 7 aus der ersten, zweiten bzw. dritten Spalte,
2. Subtrahieren der ersten Spalte von der zweiten und dritten,
3. Ausklammern der Faktoren −2 und 2 aus der zweiten bzw. dritten Spalte.
4. Subtrahieren der zweiten Spalte von der ersten und des zweifachen der zweiten
Spalte von der dritten,
5. Ausklammern des Faktors −6 aus der dritten Spalte.
6. Subtrahieren des 5-fachen der dritten Spalte von der ersten und des 2-fachen der
dritten Spalte von der zweiten.
Zum Schluß erhält man die Determinante der Einheitsmatrix, deren Wert 1 vorgegeben
wurde.
(III) Beispiel zum praktischen Gebrauch der Cramerschen Regel: Gegeben sei das lineare
Gleichungssystem
x
+2 y +a z = a
3 x +14 a y
+z = a
x
+y
+z = a
mit den Unbekannten x, y, z und einem Parameter a. Wir erhalten die Matrizen








1
2
a
a
2
a
1 a a
1
2
a
A =  3 14 a 1  , A1 =  a 14 a 1  , A2 =  3 a 1  , A3 =  3 14 a a 
1
1
1
a
1
1
1 a 1
1
1
a
und berechnen deren Determinanten:
|A1 | = −14 a3 + 15 a2 − a,
|A2 | = 2 a2 − 2 a,
4
|A3 | = −2 a,
|A| = −14 a2 + 17 a − 5.
Der Lösungsvektor (x, y, z)⊤ ist somit
x=
1.3
14 a3 − 15 a2 + a
,
14 a2 − 17 a + 5
y=
2 a2 − 2 a
,
−14 a2 + 17 a − 5
z=
14 a2
2a
.
− 17 a + 5
Der Entwicklungssatz von Laplace
Ein Hilfsmittel zum Berechnen von Determinanten besteht in der sukzessiven Verringerung
ihrer Ordnung.
Definition 0.1 Ist eine quadratische Matrix A = (aij ) vom Typ n × n gegeben, so wird für
alle i, j ∈ {1, 2, · · · , n} mit Aij die Matrix vom Typ (n − 1) × (n − 1) bezeichnet, die sich aus
A durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte ergibt
Die zu aij gehörende Unterdeterminate (oder der zugehörige Minor) ist dann die Determinante |Aij | der Matrix Aij :
|Aij | = a1,1
a1,2
···
a1,j−1
a1,j+1
···
a2,1
a2,2
···
a2,j−1
a2,j+1
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
ai−1,1 ai−1,2 · · · ai−1,j−1 ai−1,j+1 · · ·
ai+1,1 ai+1,2 · · · ai+1,j−1 ai+1,j+1 · · ·
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
an,1
an,2
···
an,j−1
an,j+1
···
a1,n a2,n ..
.
ai−1,n .
ai+1,n ..
.
an,n Satz: 9 (Laplace’scher Entwicklungssatz) Für jede quadratische Matrix gilt
|A| =
|A| =
n
P
(−1)i+j aij |Aij | (Entwicklung nach der i-ten Zeile),
i=1
n
P
(−1)i+j aij |Aij | (Entwicklung nach der j-ten Spalte).
j=1
Noch allgemeiner gilt
n
P
i=1
n
P
ail (−1)i+k |Aik | = δlk |A|
alj (−1)l+j |Akj | = δlk |A|
, mit δlk =
1
0
für l = k
.
für l =
6 k
j=1
Daraus ergibt sich eine Formel für die inverse Matrix:
Satz: 10

A−1



1 

=
|A| 



|A11 |
− |A21 |
|A31 |
− |A12 |
|A22 |
− |A32 |
|A13 |
− |A23 |
|A33 |
..
.
..
.
..
.
· · · (−1)n+1 |An1 |

· · · (−1)n+2 |An2 | 


· · · (−1)n+3 |An3 | 


..
..

.
.

(−1)1+n |A1n | (−1)2+n |A2n | (−1)3+n |A3n | · · ·
5

|Ann | .
2
Permutationen
Es sei n ∈ N und Nn = {1, 2, 3, . . . , n} die Menge der natürlichen Zahlen die kleiner oder gleich
n sind. Unter einer Permutation von Nn verstehen wir eine umkehrbar eindeutige Abbildung
σ : Nn → Nn . Die Menge aller Permutationen der Zahlen 1, . . . , n bezeichnen wir Sn . Die
Anzahl aller Permutationen von Nn ist n!, d. h., Sn hat n! Elemente.
Satz 0.1 Sn ist eine Gruppe, in der das Produkt zweier Permutationen σ, τ ∈ S als Komposition (Hintereinanderausführung) σ ◦ τ , definiert ist, d. h. durch σ ◦ τ (i) = σ(τ (i)). Das
Einselement ǫ ist die identische Abbildung und σ −1 ist die inverse Abbildung.
Eine Transposition τij ist eine spezielle Permutation, die nur zwei Elemente i, j ∈ Nn vertauscht und die übrigen fest läßt.
Satz 0.2 Jede Permutation läßt sich als Produkt von Transpositionen darstellen:
σ = τi1 ,j1 ◦ τi2 ,j2 ◦ . . . ◦ τir ,jr ,
Für eine solche Darstellung gibt es im allgemeinen viele verschiedene Möglichkeiten. Jedoch
ist die Anzahl r der benötigten Transpositionen immer gerade oder ungerade. Man erhält
somit eine wichtige Invariante: Das Signum sign(σ) = (−1)r .
Das Signum hat folgende Eigenschaften (1) sign(σ ◦ τ ) = sign(σ) sign(τ )
(2) sign σ −1 = sign(σ)
(3) sign(σ) läßt sich urch das folgende Abzählverfahren errechnen: Es sei σ ∈ Sn eine Permutation. Eine Inversion von σ nennt man jedes Paar (i, j) von Zahlen i, j ∈ Nn mit i < j und
σ(i) > σ(j), d. h., (i, j) ist eine Inversion, wenn sich durch Anwenden von σ auf i und j die
Größenbeziehung umkehrt. Ist i die Anzahl aller Inversionen von σ), so gilt sign(σ) = (−1)i .
(4) Daraus erhält man noch eine Produktformel für das Signum:
sign(σ) =
Q
i<j
σ(j) − σ(i)
Q
.
j−i
i<j
Beispiel:
1
σ =
7
1
σ −1 =
8
1
σ◦τ =
5
2
2
2
2
2
1
3
5
3
5
3
6
4
4
4
4
4
4
5
3
5
3
5
8
6
6
6
6
6
3
7
8
7
1
7
2
8
1 2 3 4
,
τ =
1
3 8 6 4
8
1 2 3 4
, τ −1 =
7
2 7 6 4
8
1 2 3 4
, τ ◦σ =
7
2 8 7 4
5
7
5
1
5
6
6
5
6
3
6
5
7
2
7
8
7
1
8
,
1
8
,
5
8
.
3
Die Inversionen von σ sind die 15 Zahlenpaare (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 8), (2, 8),
(3, 4), (3, 5), (3, 8), (4, 5), (4, 8), (5, 8), (6, 8), (7, 8). Daher gilt sign(σ) = (−1)15 = −1.
6