¨Ubungen zur Vorlesung Logik WS 2011 ¨Ubungsblatt 3 31.10.2011

Übungen zur Vorlesung Logik
Thomas Schwentick
Daniela Huvermann und Thomas Zeume
WS 2011
Übungsblatt 3
31.10.2011
Es gelten die Bedingungen von Blatt 1 und 2.
Quizfragen:
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche sind falsch? Und warum?
keine Punkte
1. Die leere Klauselmenge ist erfüllbar.
2. Sei G eine Menge von aussagenlogischen Formeln und F eine aussagenlogische Formel. Wenn
F allgemeingültig ist, dann gilt 2 ∈ Res∞ (G ∪ {¬F }).
3. Sei G eine Menge von aussagenlogischen Formeln und F eine aussagenlogische Formel. Wenn
F unerfüllbar ist, dann gilt 2 6∈ Res∞ (G ∪ {¬F }).
Aufgabe 3.1 [Erfüllbarkeitstest]
3 Punkte
Berechnen Sie für die Behauptungen a) und b) jeweils eine Menge K von Klauseln, so dass aus
der Erfüllbarkeit von K die Gültigkeit der Behauptung geschlossen werden kann. Beschreiben Sie
genau, wie der Zusammenhang zwischen der Erfüllbarkeit von K und der Gültigkeit der jeweiligen
Behauptung ist. Die Erfüllbarkeit von K soll nicht getestet werden.
a) Die Formel ϕ = (B → (A ∧ B)) ∨ (C ↔ ¬D) ist allgemeingültig.
(1,5 Punkte)
b) Aus der Formelmenge F = {(A ∧ B) → C, C → B} folgt (A ∧ B) ∨ (B ∧ C).
(1,5 Punkte)
Beispiel: Für die Behauptung Es gilt {A} |= B.“ könnte K als {{A}, {¬B}} gewählt werden. Die
”
Behauptung ist genau dann wahr, wenn K unerfüllbar ist.
Übungsblatt 3
Übungen zur Logik
Aufgabe 3.2 [Die Gefährten]
Seite 2
7 Punkte
Wenige Stunden nachdem sich Bilbo Beutlin mit dem Ring auf den Weg zu den Elben machte,
bereitet sich auch Frodo auf eine lange Reise vor. Seinen kleinen Freunden entgeht das natürlich
nicht. Die Hobbits Bam, Jam, Sam und Wam sind sich jedoch einig: Sie können Frodo nicht allein
in dieses Abenteuer ziehen lassen. Sie wären aber nicht Hobbits, würden sie die Auswahl nicht mit
einer kleinen Logelei verbinden. Die Hobbits äußern folgende Wünsche:
• Bam: ,,Ich begleite Frodo nicht, wenn Jam nicht geht.”
• Jam: ,,Ich mag die Elben nicht. Deshalb gehe ich nur, wenn Bam oder Sam mitgehen.”
• Sam: ,,Wenn Bam geht, dann will ich auf jeden Fall mit. Ich reise aber nur, wenn Jam nicht
mitkommt.”
• Wam: ,,Wenn Jam nicht geht und Bam nicht geht, dann begleite ich Frodo auch nicht.”
a) Modellieren Sie die beschriebene Situation mit den Mitteln der Aussagenlogik. Geben Sie dazu
zunächst die verwendeten aussagenlogischen Variablen und deren intendierte Bedeutung
an. Stellen Sie anschließend eine aussagenlogische Formel auf, die die Wünsche der Hobbits
modelliert.
(3,5 Punkte)
b) Zeigen Sie, dass genau dann alle Wünsche erfüllt sind, wenn Sam als einziger Frodo auf seinem
Abenteuer begleitet. Benutzen Sie die Resolutionsmethode!
(3,5 Punkte)
Zusatzaufgabe [Der Endlichkeitssatz]
Sei V eine abzählbare Variablenmenge und
3 Punkte
F = {ϕn | n ∈ N und ϕn ist eine aussagenlogische Formel über V }
eine Formelmenge, so dass für alle natürlichen Zahlen n die folgenden Bedingungen gelten:
• Die aussagenlogische Formel ϕn+1 → ϕn ist allgemeingültig.
• Die aussagenlogische Formel ϕn → ϕn+1 ist nicht allgemeingültig.
a) Geben Sie ein Beispiel für eine solche Formelmenge an.
b) Zeigen Sie mit Hilfe des Endlichkeitssatzes: F ist erfüllbar.
(1 Punkt)
(2 Punkte)