Darstellung, Verarbeitung und Erwerb von Wissen - LS1

Darstellung, Verarbeitung und Erwerb von Wissen
Gabriele Kern-Isberner
LS 1 – Information Engineering
TU Dortmund
Wintersemester 2015/16
WS 2015/16
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
1 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Kapitel 2
2. Klassische und regelbasierte
Wissensrepräsentation
2.1 Grundlagen und Grenzen der
klassischen Logik
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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5 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logische Folgerung und logische Äquivalenz 1/2
G folgt logisch aus F (geschrieben F |= G)
gdw.
jedes Modell von F ist auch ein Modell von G, d.h.
ModΣ (F) ⊆ Mod Σ (G)
wobei ModΣ (F) = {I ∈ Int(Σ) | I |=Σ F }.
F und G heißen logisch (auch: semantisch) äquivalent, wenn F |= G und
G |= F gilt, d.h., wenn Mod Σ (F ) = Mod Σ (G) ist.
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25 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Klassischer Inferenzoperator
klassisch-logischer Inferenzoperator:
Cn
:
2Form(Σ) → 2Form(Σ)
Cn(F) := {G ∈ Form(Σ) | F |= G}
Cn ist monoton, d.h. aus F ⊆ G folgt Cn(F) ⊆ Cn(G)
Eine Menge von Formeln F ∈ Formel (Σ) ist (deduktiv) abgeschlossen
gdw. Cn(F) = F
Deduktionstheorem:
F |= G
gdw.
|= F ⇒ G
(Bei Formeln aus PL1 muss man voraussetzen, dass die Formeln
geschlossen sind, d.h. keine freien Variablen enthalten.)
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28 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Kalkül 1/2
Ein Kalkül besteht aus Axiomen und Inferenzregeln;
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31 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Kalkül 1/2
Ein Kalkül besteht aus Axiomen und Inferenzregeln;
Inferenzregeln werden üblicherweise wie folgt notiert:
F1 ,
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...,
F
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Fn
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31 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Kalkül 1/2
Ein Kalkül besteht aus Axiomen und Inferenzregeln;
Inferenzregeln werden üblicherweise wie folgt notiert:
F1 ,
...,
F
Fn
Ist eine Formel F aus den Formeln F1 , . . . , Fn durch eine Folge von
Anwendungen von Inferenzregeln eines Kalküls K ableitbar, so schreiben
wir dafür
F1 , . . . , Fn `(K) F
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Kalkül 2/2
Ein Kalkül ist
• (logisch) korrekt, wenn (syntaktisch) abgeleitetes Wissen auch
(semantisch) logisch gefolgert werden kann, d.h. wenn für beliebige
Formeln F und G gilt
F ` G impliziert F |= G
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Kalkül 2/2
Ein Kalkül ist
• (logisch) korrekt, wenn (syntaktisch) abgeleitetes Wissen auch
(semantisch) logisch gefolgert werden kann, d.h. wenn für beliebige
Formeln F und G gilt
F ` G impliziert F |= G
• (logisch) vollständig, wenn alle logischen Folgerungen auch mittels
des Kalküls abgeleitet werden, d.h. wenn für beliebige Formeln F und
G gilt
F |= G impliziert F ` G
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Klassische Inferenzregeln
Modus ponens
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A ⇒ B, A
B
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Klassische Inferenzregeln
Modus ponens
A ⇒ B, A
B
Modus tollens
A ⇒ B, ¬B
¬A
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33 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Klassische Inferenzregeln
Modus ponens
A ⇒ B, A
B
Modus tollens
A ⇒ B, ¬B
¬A
Monotonie
A⇒B
A∧C ⇒B
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Klassische Inferenzregeln
Modus ponens
A ⇒ B, A
B
Modus tollens
A ⇒ B, ¬B
¬A
Monotonie
A⇒B
A∧C ⇒B
Transitivität
A⇒B
B⇒C
A⇒C
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Resolutionskalkül 1/3
• liefert effizientes Verfahren zum Überprüfen deduktiver Ableitungen;
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Resolutionskalkül 1/3
• liefert effizientes Verfahren zum Überprüfen deduktiver Ableitungen;
• beruht auf folgendem Zusammenhang:
KB |= α
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gdw. KB ∪ {¬α} unerfüllbar
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Resolutionskalkül 1/3
• liefert effizientes Verfahren zum Überprüfen deduktiver Ableitungen;
• beruht auf folgendem Zusammenhang:
KB |= α
gdw. KB ∪ {¬α} unerfüllbar
• gibt es in aussagenlogischer und prädikatenlogischer Version;
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Resolutionskalkül 2/3
• benutzt konjunktive Normalformen (KNF)
(p ∨ ¬q) ∧ (q ∨ r ∨ ¬s ∨ p) ∧ (¬r ∨ q)
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Resolutionskalkül 2/3
• benutzt konjunktive Normalformen (KNF)
(p ∨ ¬q) ∧ (q ∨ r ∨ ¬s ∨ p) ∧ (¬r ∨ q)
die in Klauselformen transformiert werden
Klausel
z }| {
{[p, ¬q], [q, r, ¬s, p], [¬r, q]}
|
{z
}
Klauselform
wobei zu beachten ist
• [ ] leere Klausel ≡ ⊥ (falsum, FALSE)
• { } leere Klauselform ≡ > (verum, TRUE)
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Resolutionskalkül 3/3
Grundidee der Resolution, um Anfrage KB |= α zu entscheiden:
1 die Formeln in KB und ¬α werden in KNF bzw. Klauselform
gebracht;
2
die entstehende Menge von Klauseln wird auf Erfüllbarkeit geprüft.
Auf diese Weise lässt sich jedes Folgerungsproblem auf ein Problem der
Erfüllbarkeit von Formeln reduzieren.
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Resolutionskalkül 3/3
Grundidee der Resolution, um Anfrage KB |= α zu entscheiden:
1 die Formeln in KB und ¬α werden in KNF bzw. Klauselform
gebracht;
2
die entstehende Menge von Klauseln wird auf Erfüllbarkeit geprüft.
Auf diese Weise lässt sich jedes Folgerungsproblem auf ein Problem der
Erfüllbarkeit von Formeln reduzieren.
Der Resolutionskalkül ist widerlegungsvollständig, d.h. mit Hilfe der
Resolution lässt sich aus einer Klauselmenge genau dann die leere Klausel
(d.h. ein Widerspruch) ableiten, wenn sie unerfüllbar ist.
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Resolutionsregel
• aussagenlogisch:
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[L, K1 , . . . , Kn ]
[¬L, M1 , . . . , Mm ]
[K1 , . . . , Kn , M1 , . . . , Mm ]
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Resolutionsregel
• aussagenlogisch:
[L, K1 , . . . , Kn ]
[¬L, M1 , . . . , Mm ]
[K1 , . . . , Kn , M1 , . . . , Mm ]
• prädikatenlogisch:
[L, K1 , . . . , Kn ]
[¬L0 , M1 , . . . , Mm ]
σ(L) = σ(L0 )
[σ(K1 ), . . . , σ(Kn ), σ(M1 ), . . . , σ(Mm )]
wobei σ allgemeinster Unifikator von L und L0 ist.
Jede Resolvente ist Folgerung ihrer Elternklauseln.
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel – Resolutionsregel (AL)
[ A, B, ¬D ]
[ A, ¬B, C ]
S
S
S
S
S
S
[ A, C, ¬D ]
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel – Resolutionsregel (AL)
[ A, B, ¬D ]
[ A, ¬B, C ]
S
S
S
S
S
S
[ A, C, ¬D ]
[ ¬A ]
[A]
A
A
A
A
A
A
2
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel – Resolutionsregel (PL1) 1/2
Anfrage:
Gilt
(∀x M ensch(x) ⇒ Sich-irren(x)) ∧ M ensch(max)
|= ∃y Sich-irren(y) ?
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel – Resolutionsregel (PL1) 1/2
Anfrage:
Gilt
(∀x M ensch(x) ⇒ Sich-irren(x)) ∧ M ensch(max)
|= ∃y Sich-irren(y) ?
→ folgende Klauselmenge:
{[ ¬M ensch(x), Sich-irren(x) ], [ M ensch(max) ],
[ ¬Sich-irren(y) ]}
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel – Resolutionsregel (PL1) 2/2
[ ¬sich–irren(y) ]
[ ¬Mensch(x), sich–irren(x) ]
σ1
[ ¬Mensch(y) ]
[ Mensch(Max ) ]
σ2
2
σ1 = {x/y} und σ2 = {y/Max }
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel – Resolutionsregel (AL)
Resolution der Klauseln [ p, q ], [ ¬p, ¬q ]
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel – Resolutionsregel (AL)
Resolution der Klauseln [ p, q ], [ ¬p, ¬q ] – 2 Möglichkeiten:
[ ¬p, ¬q ]
[ p, q ]
[ q, ¬q ]
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[ ¬p, ¬q ]
[ p, q ]
[ p, ¬p ]
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches Programmieren 1/3
implementiert (in seiner klassischen Variante) einen Resolutionskalkül auf
Hornklauseln
• Hornklauseln sind Klauseln, die höchstens ein nicht-negiertes Literal
enthalten;
• sie entsprechen Regeln, die in ihrem Bedingungsteil nur Atome
enthalten und deren Folgerungsteil aus höchstens einem Atom
besteht.
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches Programmieren 1/3
implementiert (in seiner klassischen Variante) einen Resolutionskalkül auf
Hornklauseln
• Hornklauseln sind Klauseln, die höchstens ein nicht-negiertes Literal
enthalten;
• sie entsprechen Regeln, die in ihrem Bedingungsteil nur Atome
enthalten und deren Folgerungsteil aus höchstens einem Atom
besteht.
• Eine definite Klausel ist eine Hornklausel [H, ¬B1 , . . . , ¬Bn ] die
genau ein positives Literal H enthält; sie wird notiert als
H ← B1 , . . . , B n .
wobei ← als Implikationspfeil von rechts nach links zu lesen ist.
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches Programmieren 2/3
• Ein (klassisches) logisches Programm P ist eine Menge von definiten
Klauseln.
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches Programmieren 2/3
• Ein (klassisches) logisches Programm P ist eine Menge von definiten
Klauseln.
• Eine Anfrage (oder Zielklausel, query) ist eine Hornklausel ohne ein
positives Literal, notiert als ← B1 , . . . , Bn .
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches Programmieren 2/3
• Ein (klassisches) logisches Programm P ist eine Menge von definiten
Klauseln.
• Eine Anfrage (oder Zielklausel, query) ist eine Hornklausel ohne ein
positives Literal, notiert als ← B1 , . . . , Bn .
• Zweck einer solchen Anfrage an ein logisches Programm P ist die
Beantwortung der Frage, ob gilt:
P |= ∃x1 . . . ∃xr (B1 ∧ . . . ∧ Bn )
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches Programmieren 2/3
• Ein (klassisches) logisches Programm P ist eine Menge von definiten
Klauseln.
• Eine Anfrage (oder Zielklausel, query) ist eine Hornklausel ohne ein
positives Literal, notiert als ← B1 , . . . , Bn .
• Zweck einer solchen Anfrage an ein logisches Programm P ist die
Beantwortung der Frage, ob gilt:
P |= ∃x1 . . . ∃xr (B1 ∧ . . . ∧ Bn )
• Diese Implikation wird im logischen Programmieren konstruktiv in
dem Sinne bewiesen, dass dabei Terme t1 , . . . , tr konstruiert werden,
die als Belegungen für die existenzquantifizierten Variablen x1 , . . . , xr
diese Folgerung verifizieren.
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches Programmieren 3/3
Programm und Anfrage
P 1:
Q1
P 4:
Q4 :
Antwortsubstitutionen
Even(zero).
σ1 = {x/zero}
Even(succ(succ(y))) ← Even(y).
σ2 = {x/succ(succ(zero))}
σ3 = {x/succ(succ(succ(succ(zero))))}
← Even(x).
..
.
Kante(a, b).
Kante(b, c).
Kante(b, d).
W eg(v, w) ← Kante(v, w).
W eg(v, w) ← Kante(v, z), W eg(z, w).
σ1 = {x/b}
σ2 = {x/c}
σ3 = {x/d}
← W eg(a, x).
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle
P
Σ = ΣP
(klassisch) logisches Programm,
Signatur von P (Funktions- und Prädikatssymbole)
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle
P
Σ = ΣP
(klassisch) logisches Programm,
Signatur von P (Funktions- und Prädikatssymbole)
• Herbranduniversum: Menge der Grundterme über Σ;
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle
P
Σ = ΣP
(klassisch) logisches Programm,
Signatur von P (Funktions- und Prädikatssymbole)
• Herbranduniversum: Menge der Grundterme über Σ;
• Herbrandbasis H(P) von P: Menge aller Grundatome über Σ;
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle
P
Σ = ΣP
(klassisch) logisches Programm,
Signatur von P (Funktions- und Prädikatssymbole)
• Herbranduniversum: Menge der Grundterme über Σ;
• Herbrandbasis H(P) von P: Menge aller Grundatome über Σ;
• Herbrandinterpretation von P: M ⊆ H(P);
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle
P
Σ = ΣP
(klassisch) logisches Programm,
Signatur von P (Funktions- und Prädikatssymbole)
• Herbranduniversum: Menge der Grundterme über Σ;
• Herbrandbasis H(P) von P: Menge aller Grundatome über Σ;
• Herbrandinterpretation von P: M ⊆ H(P);
• Herbrandinterpretation M ist ein Herbrandmodell, falls M |=Σ P;
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle
P
Σ = ΣP
(klassisch) logisches Programm,
Signatur von P (Funktions- und Prädikatssymbole)
• Herbranduniversum: Menge der Grundterme über Σ;
• Herbrandbasis H(P) von P: Menge aller Grundatome über Σ;
• Herbrandinterpretation von P: M ⊆ H(P);
• Herbrandinterpretation M ist ein Herbrandmodell, falls M |=Σ P;
• M(P): Menge aller Herbrandmodelle von P;
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle
P
Σ = ΣP
(klassisch) logisches Programm,
Signatur von P (Funktions- und Prädikatssymbole)
• Herbranduniversum: Menge der Grundterme über Σ;
• Herbrandbasis H(P) von P: Menge aller Grundatome über Σ;
• Herbrandinterpretation von P: M ⊆ H(P);
• Herbrandinterpretation M ist ein Herbrandmodell, falls M |=Σ P;
• M(P): Menge aller Herbrandmodelle von P;
• der Durchschnitt zweier Herbrandmodelle ist wieder ein
Herbrandmodell;
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle
P
Σ = ΣP
(klassisch) logisches Programm,
Signatur von P (Funktions- und Prädikatssymbole)
• Herbranduniversum: Menge der Grundterme über Σ;
• Herbrandbasis H(P) von P: Menge aller Grundatome über Σ;
• Herbrandinterpretation von P: M ⊆ H(P);
• Herbrandinterpretation M ist ein Herbrandmodell, falls M |=Σ P;
• M(P): Menge aller Herbrandmodelle von P;
• der Durchschnitt zweier Herbrandmodelle ist wieder ein
Herbrandmodell;
T
• ( M(P)) ∈ M(P) ist das kleinste Herbrandmodell von P.
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle – Beispiel
P:
V (Polly).
V (x) ← P (x).
P (Tweety). F (x) ← V (x).
• Herbranduniversum: {Polly, Tweety};
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle – Beispiel
P:
V (Polly).
V (x) ← P (x).
P (Tweety). F (x) ← V (x).
• Herbranduniversum: {Polly, Tweety};
• Herbrandbasis H(P) = {V (Polly), V (Tweety),
P (Polly), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety)};
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle – Beispiel
P:
V (Polly).
V (x) ← P (x).
P (Tweety). F (x) ← V (x).
• Herbranduniversum: {Polly, Tweety};
• Herbrandbasis H(P) = {V (Polly), V (Tweety),
P (Polly), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety)};
• Herbrandinterpretationen:
M1 = { V (Polly), V (Tweety), P (Polly), P (Tweety)},
M2 = { V (Polly), V (Tweety), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety),
P (Polly)}, . . .
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle – Beispiel
P:
V (Polly).
V (x) ← P (x).
P (Tweety). F (x) ← V (x).
• Herbranduniversum: {Polly, Tweety};
• Herbrandbasis H(P) = {V (Polly), V (Tweety),
P (Polly), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety)};
• Herbrandinterpretationen:
M1 = { V (Polly), V (Tweety), P (Polly), P (Tweety)},
M2 = { V (Polly), V (Tweety), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety),
P (Polly)}, . . .
• Herbrandmodell: M2 ist ein Herbrandmodell von P, M1 nicht;
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle – Beispiel
P:
V (Polly).
V (x) ← P (x).
P (Tweety). F (x) ← V (x).
• Herbranduniversum: {Polly, Tweety};
• Herbrandbasis H(P) = {V (Polly), V (Tweety),
P (Polly), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety)};
• Herbrandinterpretationen:
M1 = { V (Polly), V (Tweety), P (Polly), P (Tweety)},
M2 = { V (Polly), V (Tweety), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety),
P (Polly)}, . . .
• Herbrandmodell: M2 ist ein Herbrandmodell von P, M1 nicht;
• kleinstes Herbrandmodell ist
M = {V (Polly), P (Tweety),
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle – Beispiel
P:
V (Polly).
V (x) ← P (x).
P (Tweety). F (x) ← V (x).
• Herbranduniversum: {Polly, Tweety};
• Herbrandbasis H(P) = {V (Polly), V (Tweety),
P (Polly), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety)};
• Herbrandinterpretationen:
M1 = { V (Polly), V (Tweety), P (Polly), P (Tweety)},
M2 = { V (Polly), V (Tweety), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety),
P (Polly)}, . . .
• Herbrandmodell: M2 ist ein Herbrandmodell von P, M1 nicht;
• kleinstes Herbrandmodell ist
M = {V (Polly), P (Tweety), V (Tweety),
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle – Beispiel
P:
V (Polly).
V (x) ← P (x).
P (Tweety). F (x) ← V (x).
• Herbranduniversum: {Polly, Tweety};
• Herbrandbasis H(P) = {V (Polly), V (Tweety),
P (Polly), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety)};
• Herbrandinterpretationen:
M1 = { V (Polly), V (Tweety), P (Polly), P (Tweety)},
M2 = { V (Polly), V (Tweety), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety),
P (Polly)}, . . .
• Herbrandmodell: M2 ist ein Herbrandmodell von P, M1 nicht;
• kleinstes Herbrandmodell ist
M = {V (Polly), P (Tweety), V (Tweety), F (Polly),
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
46 / 206
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle – Beispiel
P:
V (Polly).
V (x) ← P (x).
P (Tweety). F (x) ← V (x).
• Herbranduniversum: {Polly, Tweety};
• Herbrandbasis H(P) = {V (Polly), V (Tweety),
P (Polly), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety)};
• Herbrandinterpretationen:
M1 = { V (Polly), V (Tweety), P (Polly), P (Tweety)},
M2 = { V (Polly), V (Tweety), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety),
P (Polly)}, . . .
• Herbrandmodell: M2 ist ein Herbrandmodell von P, M1 nicht;
• kleinstes Herbrandmodell ist
M = {V (Polly), P (Tweety), V (Tweety), F (Polly), F (Tweety)}.
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DVEW
WS 2015/16
♣
46 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Delphin im Karpfenteich 1/4
¬(A ⇒ (B ∨ C)) ⇒ ((B ∧ C) ⇒ A) ≡ >(Tautologie)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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WS 2015/16
47 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Delphin im Karpfenteich 1/4
¬(A ⇒ (B ∨ C)) ⇒ ((B ∧ C) ⇒ A) ≡ >(Tautologie)
A
B
C
:
:
:
Er ist ein Delphin
Er ist ein Fisch
Er ist ein Teichbewohner
Delphin → A ∧ ¬B ∧ ¬C
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DVEW
WS 2015/16
47 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Delphin im Karpfenteich 1/4
¬(A ⇒ (B ∨ C)) ⇒ ((B ∧ C) ⇒ A) ≡ >(Tautologie)
A
B
C
:
:
:
Er ist ein Delphin
Er ist ein Fisch
Er ist ein Teichbewohner
Delphin → A ∧ ¬B ∧ ¬C ≡ ¬(¬A ∨ B ∨ C) ≡ ¬(A ⇒ (B ∨ C))
(¬(A ⇒ (B ∨ C)) ⇒ ((B ∧ C) ⇒ A)
¬(A ⇒ (B ∨ C))
(B ∧ C) ⇒ A
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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WS 2015/16
47 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Delphin im Karpfenteich 1/4
¬(A ⇒ (B ∨ C)) ⇒ ((B ∧ C) ⇒ A) ≡ >(Tautologie)
A
B
C
:
:
:
Er ist ein Delphin
Er ist ein Fisch
Er ist ein Teichbewohner
Delphin → A ∧ ¬B ∧ ¬C ≡ ¬(¬A ∨ B ∨ C) ≡ ¬(A ⇒ (B ∨ C))
(¬(A ⇒ (B ∨ C)) ⇒ ((B ∧ C) ⇒ A)
¬(A ⇒ (B ∨ C))
(B ∧ C) ⇒ A
Aussage (1):
Wenn er ein Fisch und ein Teichbewohner ist, dann ist er ein
Delphin. – ?!
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WS 2015/16
47 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Delphin im Karpfenteich 2/4
Aussage (1) wird verstanden als prädikatenlogische Formel:
∀x F isch(x) ∧ T eichbewohner(x) ⇒ Delphin(x)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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WS 2015/16
48 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Delphin im Karpfenteich 2/4
Aussage (1) wird verstanden als prädikatenlogische Formel:
∀x F isch(x) ∧ T eichbewohner(x) ⇒ Delphin(x)
→ Ist
(¬(∀x A(x) ⇒ (B(x) ∨ C(x)))) ⇒ (∀y (B(y) ∧ C(y)) ⇒ A(y))
allgemeingültig?
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WS 2015/16
48 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Delphin im Karpfenteich 3/4
A(x) ≡ Delphin(x)
: x ist ein Delphin
B(x) ≡ F isch(x)
: x ist ein Fisch
C(x) ≡ T eichbewohner(x) : x ist ein Teichbewohner
flipper I , karl I ∈ UI
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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WS 2015/16
49 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Delphin im Karpfenteich 3/4
A(x) ≡ Delphin(x)
: x ist ein Delphin
B(x) ≡ F isch(x)
: x ist ein Fisch
C(x) ≡ T eichbewohner(x) : x ist ein Teichbewohner
flipper I , karl I ∈ UI
[[Delphin(flipper )]]I
= true
[[Delphin(karl )]]I
= false
[[F isch(flipper )]]I
= false
[[F isch(karl )]]I
= true
[[T eichbewohner(flipper )]]I
= false
[[T eichbewohner(karl )]]I
= true
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WS 2015/16
49 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Delphin im Karpfenteich 4/4
[[∀x Delphin(x) ⇒ (F isch(x) ∨ T eichbewohner(x))]]I = false
=⇒
[[¬(∀x Delphin(x) ⇒ (F isch(x) ∨ T eichbewohner(x)))]]I = true
und
[[∀y (F isch(y) ∧ T eichbewohner(y)) ⇒ Delphin(y)]]I = false
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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WS 2015/16
50 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Delphin im Karpfenteich 4/4
[[∀x Delphin(x) ⇒ (F isch(x) ∨ T eichbewohner(x))]]I = false
=⇒
[[¬(∀x Delphin(x) ⇒ (F isch(x) ∨ T eichbewohner(x)))]]I = true
und
[[∀y (F isch(y) ∧ T eichbewohner(y)) ⇒ Delphin(y)]]I = false
Die prädikatenlogische Formel ist nicht allgemeingültig!
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WS 2015/16
50 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Modelltheoretisch – beweistheoretisch
Es ist zu unterscheiden zwischen
• modellbasierter Argumentation:
• bezieht sich auf ein konkretes Modell, eine konkrete Struktur;
• beruht auf vollständiger Information;
• kann auch für Widerspruchsbeweise verwendet werden, um
Gegenbeispiel zu konstruieren;
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
51 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Modelltheoretisch – beweistheoretisch
Es ist zu unterscheiden zwischen
• modellbasierter Argumentation:
• bezieht sich auf ein konkretes Modell, eine konkrete Struktur;
• beruht auf vollständiger Information;
• kann auch für Widerspruchsbeweise verwendet werden, um
Gegenbeispiel zu konstruieren;
• und beweistheoretischer Argumentation:
• abstrakte Behandlung der Wahrheit von Formeln;
• bezieht alle Modelle mit in die Überlegung ein;
• wird zum Nachweis der Allgemeingültigkeit einer Formel verwendet
(klassischer Beweis).
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
51 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Jenseits der klassischen Logik 1/3
Logische Folgerung
• ist unabhängig von der Bedeutung der nichtlogischen Symbole
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
52 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Jenseits der klassischen Logik 1/3
Logische Folgerung
• ist unabhängig von der Bedeutung der nichtlogischen Symbole
• führt nur auf Wissen, das implizit bereits vorhanden ist.
(“Wen interessiert’s?”)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
52 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Jenseits der klassischen Logik 1/3
Logische Folgerung
• ist unabhängig von der Bedeutung der nichtlogischen Symbole
• führt nur auf Wissen, das implizit bereits vorhanden ist.
(“Wen interessiert’s?”)
Was man (außerdem noch) möchte . . .
• System, das auch inhaltlich schlussfolgern kann
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
52 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Jenseits der klassischen Logik 2/3
Beispiel:
Hund (fido)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
53 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Jenseits der klassischen Logik 2/3
Beispiel:
Hund (fido)
|= Hund (fido) ∨ Katze(fido)
|= ¬¬Hund (fido)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
logische
Folgerung
WS 2015/16
53 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Jenseits der klassischen Logik 2/3
Beispiel:
Hund (fido)
|= Hund (fido) ∨ Katze(fido)
|= ¬¬Hund (fido)
(∗)
|≈ Säugetier (fido)
(∗∗)
|≈ Hat vier Beine(fido)
logische
Folgerung
inhaltliche
Folgerung
(∗) : sichere Folgerung
(∗∗) : unsichere Folgerung
♣
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53 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Jenseits der klassischen Logik 3/3
Für inhaltliche Folgerungen ist es wichtig, Verbindungen zwischen
nicht-logischen Symbolen herzustellen:
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
54 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Jenseits der klassischen Logik 3/3
Für inhaltliche Folgerungen ist es wichtig, Verbindungen zwischen
nicht-logischen Symbolen herzustellen:
• bei sicheren Folgerungen (∗): durch materiale Implikation/sichere
Regel
Beispiel:
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
∀x
Hund (x) ⇒ Säugetier (x)
DVEW
♣
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54 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Jenseits der klassischen Logik 3/3
Für inhaltliche Folgerungen ist es wichtig, Verbindungen zwischen
nicht-logischen Symbolen herzustellen:
• bei sicheren Folgerungen (∗): durch materiale Implikation/sichere
Regel
Beispiel:
∀x
Hund (x) ⇒ Säugetier (x)
♣
Hund (x) ; Hat vier Beine(x)
♣
• bei unsicheren Folgerungen (∗∗): durch sog. Default-Regeln
Beispiel:
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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54 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Jenseits der klassischen Logik 3/3
Für inhaltliche Folgerungen ist es wichtig, Verbindungen zwischen
nicht-logischen Symbolen herzustellen:
• bei sicheren Folgerungen (∗): durch materiale Implikation/sichere
Regel
Beispiel:
∀x
Hund (x) ⇒ Säugetier (x)
♣
Hund (x) ; Hat vier Beine(x)
♣
• bei unsicheren Folgerungen (∗∗): durch sog. Default-Regeln
Beispiel:
• Explizit repräsentiertes Wissen soll auch Regeln enthalten.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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54 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Jenseits der klassischen Logik 3/3
Für inhaltliche Folgerungen ist es wichtig, Verbindungen zwischen
nicht-logischen Symbolen herzustellen:
• bei sicheren Folgerungen (∗): durch materiale Implikation/sichere
Regel
Beispiel:
∀x
Hund (x) ⇒ Säugetier (x)
♣
Hund (x) ; Hat vier Beine(x)
♣
• bei unsicheren Folgerungen (∗∗): durch sog. Default-Regeln
Beispiel:
• Explizit repräsentiertes Wissen soll auch Regeln enthalten.
• (Logischer) Folgerungsmechanismus leitet mit Hilfe dieser Regeln
implizites Wissen ab.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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54 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Jenseits der klassischen Logik 3/3
Für inhaltliche Folgerungen ist es wichtig, Verbindungen zwischen
nicht-logischen Symbolen herzustellen:
• bei sicheren Folgerungen (∗): durch materiale Implikation/sichere
Regel
Beispiel:
∀x
Hund (x) ⇒ Säugetier (x)
♣
Hund (x) ; Hat vier Beine(x)
♣
• bei unsicheren Folgerungen (∗∗): durch sog. Default-Regeln
Beispiel:
• Explizit repräsentiertes Wissen soll auch Regeln enthalten.
• (Logischer) Folgerungsmechanismus leitet mit Hilfe dieser Regeln
implizites Wissen ab.
• explizites Wissen → Wissensbasis
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
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54 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Jenseits der klassischen Logik 3/3
Für inhaltliche Folgerungen ist es wichtig, Verbindungen zwischen
nicht-logischen Symbolen herzustellen:
• bei sicheren Folgerungen (∗): durch materiale Implikation/sichere
Regel
Beispiel:
∀x
Hund (x) ⇒ Säugetier (x)
♣
Hund (x) ; Hat vier Beine(x)
♣
• bei unsicheren Folgerungen (∗∗): durch sog. Default-Regeln
Beispiel:
• Explizit repräsentiertes Wissen soll auch Regeln enthalten.
• (Logischer) Folgerungsmechanismus leitet mit Hilfe dieser Regeln
implizites Wissen ab.
• explizites Wissen → Wissensbasis
• implizites Wissen → Folgerungen aus Wissensbasis
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
54 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches Schließen vs. unsicheres Schließen
Logische Folgerung |=
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
F |= G gdw. M od(F) ⊆ M od(G)
DVEW
WS 2015/16
55 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches Schließen vs. unsicheres Schließen
Logische Folgerung |=
Konsequenzoperator
F |= G gdw. M od(F) ⊆ M od(G)
Cn
: 2Form(Σ) → 2Form(Σ)
Cn(F) = {G ∈ Form(Σ) | F |= G}
F |= G gdw. G ⊆ Cn(F)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
55 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches Schließen vs. unsicheres Schließen
Logische Folgerung |=
Konsequenzoperator
F |= G gdw. M od(F) ⊆ M od(G)
Cn
: 2Form(Σ) → 2Form(Σ)
Cn(F) = {G ∈ Form(Σ) | F |= G}
F |= G gdw. G ⊆ Cn(F)
Unsicheres Schließen |∼
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
?????
DVEW
WS 2015/16
55 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches Schließen vs. unsicheres Schließen
Logische Folgerung |=
Konsequenzoperator
F |= G gdw. M od(F) ⊆ M od(G)
Cn
: 2Form(Σ) → 2Form(Σ)
Cn(F) = {G ∈ Form(Σ) | F |= G}
F |= G gdw. G ⊆ Cn(F)
Unsicheres Schließen |∼
?????
Inferenzoperator
C
: 2Form(Σ) → 2Form(Σ)
C(F) = {G ∈ Form(Σ) | F |∼ G}
F |∼ G gdw. G ⊆ C(F)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
55 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Klassisch-logische Eigenschaften: Kontraposition
Aus A |= B folgere ¬B |= ¬A
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
56 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Klassisch-logische Eigenschaften: Kontraposition
Aus A |= B folgere ¬B |= ¬A
Penguin |= Bird
Pinguine sind Vögel.
¬Bird |= ¬Penguin Nicht-Vögel sind Nicht-Pinguine. :)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
56 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Klassisch-logische Eigenschaften: Kontraposition
Aus A |= B folgere ¬B |= ¬A
Penguin |= Bird
Pinguine sind Vögel.
¬Bird |= ¬Penguin Nicht-Vögel sind Nicht-Pinguine. :)
Human being
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
|∼ ¬Millionaire
Menschen sind meistens keine Millionäre.
DVEW
WS 2015/16
56 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Klassisch-logische Eigenschaften: Kontraposition
Aus A |= B folgere ¬B |= ¬A
Penguin |= Bird
Pinguine sind Vögel.
¬Bird |= ¬Penguin Nicht-Vögel sind Nicht-Pinguine. :)
Human being
Millionaire
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
|∼ ¬Millionaire
Menschen sind meistens keine Millionäre.
|∼ ¬Human being
Millionäre sind meistens keine Menschen. :(
DVEW
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56 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Klassisch-logische Eigenschaften: Transitivität
Aus A |= B und B |= C folgere A |= C
Penguin |= Bird
Bird |= Animal
Penguin |= Animal
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Pinguine sind Vögel.
Vögel sind Tiere.
Pinguine sind Tiere.
DVEW
:)
WS 2015/16
57 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Klassisch-logische Eigenschaften: Transitivität
Aus A |= B und B |= C folgere A |= C
Penguin |= Bird
Bird |= Animal
Penguin |= Animal
Pinguine sind Vögel.
Vögel sind Tiere.
Pinguine sind Tiere.
Penguin |∼ Bird Pinguine sind Vögel.
Bird |∼ Fly
Vögel können fliegen.
Penguin |∼ Fly Pinguine können fliegen.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
:)
:(
WS 2015/16
57 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Klassisch-logische Eigenschaften: Monotonie
Aus A |= C folgere A ∧ B |= C
Penguin |= Bird
Pinguine sind Vögel.
Penguin ∧ Black |= Bird Schwarze Pinguine sind Vögel.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
:)
WS 2015/16
58 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Klassisch-logische Eigenschaften: Monotonie
Aus A |= C folgere A ∧ B |= C
Penguin |= Bird
Pinguine sind Vögel.
Penguin ∧ Black |= Bird Schwarze Pinguine sind Vögel.
Bird |∼ Fly
Vögel können fliegen.
Bird ∧ Penguin |∼ Fly Pinguin-Vögel können fliegen.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
:)
:(
WS 2015/16
58 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Monotonie
F ⊆ H impliziert Cn(F) ⊆ Cn(H)
(denn F ⊆ H impliziert H |= F, also Cn(F) ⊆ Cn(H))
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
59 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Monotonie
F ⊆ H impliziert Cn(F) ⊆ Cn(H)
(denn F ⊆ H impliziert H |= F, also Cn(F) ⊆ Cn(H))
• Alle Modelle müssen für Cn berücksichtigt werden.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
59 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Monotonie
F ⊆ H impliziert Cn(F) ⊆ Cn(H)
(denn F ⊆ H impliziert H |= F, also Cn(F) ⊆ Cn(H))
• Alle Modelle müssen für Cn berücksichtigt werden.
• Transitivität und Kontraposition basieren (im Wesentlichen) auf der
Monotonie-Eigenschaft.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
59 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Monotonie
F ⊆ H impliziert Cn(F) ⊆ Cn(H)
(denn F ⊆ H impliziert H |= F, also Cn(F) ⊆ Cn(H))
• Alle Modelle müssen für Cn berücksichtigt werden.
• Transitivität und Kontraposition basieren (im Wesentlichen) auf der
Monotonie-Eigenschaft.
• Monotonie erlaubt nur ein Erweiterung von Wissen, aber keine
Revision von Wissen.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
59 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Monotonie
F ⊆ H impliziert Cn(F) ⊆ Cn(H)
(denn F ⊆ H impliziert H |= F, also Cn(F) ⊆ Cn(H))
• Alle Modelle müssen für Cn berücksichtigt werden.
• Transitivität und Kontraposition basieren (im Wesentlichen) auf der
Monotonie-Eigenschaft.
• Monotonie erlaubt nur ein Erweiterung von Wissen, aber keine
Revision von Wissen.
→ Jede revidierbare Inferenzoperation muss nichtmonoton sein!
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
59 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Sichere Folgerungen?! – Beispiel: Tweety
• Pinguin(x) ⇒ Vogel(x) – Pinguine sind immer Vögel
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
60 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Sichere Folgerungen?! – Beispiel: Tweety
• Pinguin(x) ⇒ Vogel(x) – Pinguine sind immer Vögel
Ausnahmen:
• Plastik- und Plüschpinguine
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
60 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Sichere Folgerungen?! – Beispiel: Tweety
• Pinguin(x) ⇒ Vogel(x) – Pinguine sind immer Vögel
Ausnahmen:
• Plastik- und Plüschpinguine
• Tux (Linux)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
60 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Sichere Folgerungen?! – Beispiel: Tweety
• Pinguin(x) ⇒ Vogel(x) – Pinguine sind immer Vögel
Ausnahmen:
• Plastik- und Plüschpinguine
• Tux (Linux)
•
Krefeld Pinguine (Deutscher Eishockeymeister 2002/2003)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
60 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Sichere Folgerungen?! – Beispiel: Tweety
• Pinguin(x) ⇒ Vogel(x) – Pinguine sind immer Vögel
Ausnahmen:
• Plastik- und Plüschpinguine
• Tux (Linux)
•
Krefeld Pinguine (Deutscher Eishockeymeister 2002/2003)
• Pinguin(x) ⇒ ¬Fliegt(x) – Pinguine fliegen nie
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
60 / 206
Wissensrepräsentation
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
DVEW
WS 2015/16
61 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Pinguine und Ernsthafteres . . .
Das berühmte Pinguin-Beispiel behandelt das zentrale
Subklassen-Superklassen- bzw. Ausnahmenproblem, ebenso wie im
folgenden – sehr ernsthaften – Beispiel:
Beispiel – menschliches Herz
Menschen haben das Herz auf der linken Brustseite.
Hans ist ein Mensch
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
62 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Pinguine und Ernsthafteres . . .
Das berühmte Pinguin-Beispiel behandelt das zentrale
Subklassen-Superklassen- bzw. Ausnahmenproblem, ebenso wie im
folgenden – sehr ernsthaften – Beispiel:
Beispiel – menschliches Herz
Menschen haben das Herz auf der linken Brustseite.
Hans ist ein Mensch
Das Herz von Hans liegt auf der rechten Brustseite (Dextrokardie).
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
62 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Pinguine und Ernsthafteres . . .
Das berühmte Pinguin-Beispiel behandelt das zentrale
Subklassen-Superklassen- bzw. Ausnahmenproblem, ebenso wie im
folgenden – sehr ernsthaften – Beispiel:
Beispiel – menschliches Herz
Menschen haben das Herz auf der linken Brustseite.
Hans ist ein Mensch
Das Herz von Hans liegt auf der rechten Brustseite (Dextrokardie).
Tweety und Pinguine – intuitives Beispiel, bei dem man die Plausibilität
von Schlussfolgerungen sofort beurteilen kann, ohne an alle möglichen
gefährlichen Konsequenzen denken zu müssen.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
62 / 206
Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Übersicht Kapitel 2 – Klassische und regelbasierte
Wissensrepräsentation
2.1 Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
2.2 Knowledge Engineering und Ontologien
2.3 Beschreibungslogiken
2.4 Frames und Vererbungsnetze (Inheritance Networks)
2.5 Regelbasierte Wissensverarbeitung
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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WS 2015/16
63 / 206
Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Kapitel 2
2. Klassische und regelbasierte
Wissensrepräsentation
2.2 Knowledge Engineering und
Ontologien
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
64 / 206
Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Aufbau einer Wissensbasis
Vorarbeiten:
• Überlegungen zu Einsatzmöglichkeiten des Systems, abstrakter
Architektur, Schnittstellen und Interaktionsmöglichkeiten etc.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
65 / 206
Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Aufbau einer Wissensbasis
Vorarbeiten:
• Überlegungen zu Einsatzmöglichkeiten des Systems, abstrakter
Architektur, Schnittstellen und Interaktionsmöglichkeiten etc.
• Wahl eines geeigneten Repräsentationsrahmens für das zu
behandelnde Problem (Sprache und Folgerungsmechanismen)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
65 / 206
Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Aufbau einer Wissensbasis
Vorarbeiten:
• Überlegungen zu Einsatzmöglichkeiten des Systems, abstrakter
Architektur, Schnittstellen und Interaktionsmöglichkeiten etc.
• Wahl eines geeigneten Repräsentationsrahmens für das zu
behandelnde Problem (Sprache und Folgerungsmechanismen)
Knowledge Engineering
• Strukturierung und Design der Wissensbasis auf der Wissensebene;
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
65 / 206
Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Aufbau einer Wissensbasis
Vorarbeiten:
• Überlegungen zu Einsatzmöglichkeiten des Systems, abstrakter
Architektur, Schnittstellen und Interaktionsmöglichkeiten etc.
• Wahl eines geeigneten Repräsentationsrahmens für das zu
behandelnde Problem (Sprache und Folgerungsmechanismen)
Knowledge Engineering
• Strukturierung und Design der Wissensbasis auf der Wissensebene;
• umfasst meistens den Aufbau einer Ontologie
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65 / 206
Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Ontologie 1/3
Philosophie:
Lehre vom Sein, vom Wesen der Dinge
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66 / 206
Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Ontologie 1/3
Philosophie:
Lehre vom Sein, vom Wesen der Dinge
Informatik:
pragmatische Sicht:
Ontologie = Konzeptualisierung eines Themenbereichs
mit folgenden Zielsetzungen:
• soll die Bedeutung von Begriffen, Objekten etc. und ihren
Beziehungen zueinander explizieren;
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Knowledge Engineering und Ontologien
Ontologie 1/3
Philosophie:
Lehre vom Sein, vom Wesen der Dinge
Informatik:
pragmatische Sicht:
Ontologie = Konzeptualisierung eines Themenbereichs
mit folgenden Zielsetzungen:
• soll die Bedeutung von Begriffen, Objekten etc. und ihren
Beziehungen zueinander explizieren;
• spiegelt ein gemeinsames Verständnis dieses Themenbereichs wider
bzw. legt dieses fest;
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Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Ontologie 1/3
Philosophie:
Lehre vom Sein, vom Wesen der Dinge
Informatik:
pragmatische Sicht:
Ontologie = Konzeptualisierung eines Themenbereichs
mit folgenden Zielsetzungen:
• soll die Bedeutung von Begriffen, Objekten etc. und ihren
Beziehungen zueinander explizieren;
• spiegelt ein gemeinsames Verständnis dieses Themenbereichs wider
bzw. legt dieses fest;
• dient als Grundlage für die Kommunikation zwischen (humanen
und/oder maschinellen) Agenten.
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Knowledge Engineering und Ontologien
Ontologie 1/3
Philosophie:
Lehre vom Sein, vom Wesen der Dinge
Informatik:
pragmatische Sicht:
Ontologie = Konzeptualisierung eines Themenbereichs
mit folgenden Zielsetzungen:
• soll die Bedeutung von Begriffen, Objekten etc. und ihren
Beziehungen zueinander explizieren;
• spiegelt ein gemeinsames Verständnis dieses Themenbereichs wider
bzw. legt dieses fest;
• dient als Grundlage für die Kommunikation zwischen (humanen
und/oder maschinellen) Agenten.
→ nutzbar für die maschinelle Verwendung und Verarbeitung von
Information
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Knowledge Engineering und Ontologien
Ontologie 2/3
Ontologien können in unterschiedlichen Größenordnungen konzipiert
werden:
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Knowledge Engineering und Ontologien
Ontologie 2/3
Ontologien können in unterschiedlichen Größenordnungen konzipiert
werden:
• für eine konkrete Anwendung;
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Knowledge Engineering und Ontologien
Ontologie 2/3
Ontologien können in unterschiedlichen Größenordnungen konzipiert
werden:
• für eine konkrete Anwendung;
• für eine Einheit (z.B. eine Firma);
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Knowledge Engineering und Ontologien
Ontologie 2/3
Ontologien können in unterschiedlichen Größenordnungen konzipiert
werden:
• für eine konkrete Anwendung;
• für eine Einheit (z.B. eine Firma);
• für mehrere zusammenhängende Einheiten (z.B. für einen Konzern
mit Tochtergesellschaften);
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Knowledge Engineering und Ontologien
Ontologie 2/3
Ontologien können in unterschiedlichen Größenordnungen konzipiert
werden:
• für eine konkrete Anwendung;
• für eine Einheit (z.B. eine Firma);
• für mehrere zusammenhängende Einheiten (z.B. für einen Konzern
mit Tochtergesellschaften);
• für ein Fachgebiet (z.B. Fachrichtung in der Medizin);
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Knowledge Engineering und Ontologien
Ontologie 2/3
Ontologien können in unterschiedlichen Größenordnungen konzipiert
werden:
• für eine konkrete Anwendung;
• für eine Einheit (z.B. eine Firma);
• für mehrere zusammenhängende Einheiten (z.B. für einen Konzern
mit Tochtergesellschaften);
• für ein Fachgebiet (z.B. Fachrichtung in der Medizin);
• für offene Bereiche, z.B.
• für Allgemeinwissen (CYC-Projekt [Lenat et al., 1990])
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Knowledge Engineering und Ontologien
Ontologie 2/3
Ontologien können in unterschiedlichen Größenordnungen konzipiert
werden:
• für eine konkrete Anwendung;
• für eine Einheit (z.B. eine Firma);
• für mehrere zusammenhängende Einheiten (z.B. für einen Konzern
mit Tochtergesellschaften);
• für ein Fachgebiet (z.B. Fachrichtung in der Medizin);
• für offene Bereiche, z.B.
• für Allgemeinwissen (CYC-Projekt [Lenat et al., 1990])
• für das Semantic Web
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Knowledge Engineering und Ontologien
Ontologie 3/3
Ontologien spezifizieren mit Hilfe von terminologischen Logiken bzw.
Beschreibungslogiken
• Objekte (und Begriffe)
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Knowledge Engineering und Ontologien
Ontologie 3/3
Ontologien spezifizieren mit Hilfe von terminologischen Logiken bzw.
Beschreibungslogiken
• Objekte (und Begriffe)
• Klassen, Eigenschaften von Objekten
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Knowledge Engineering und Ontologien
Ontologie 3/3
Ontologien spezifizieren mit Hilfe von terminologischen Logiken bzw.
Beschreibungslogiken
• Objekte (und Begriffe)
• Klassen, Eigenschaften von Objekten
• Beziehungen zwischen Objekten
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Knowledge Engineering und Ontologien
Beispiel iXDHL
Eine Ontologie für den Postroboter iXDHL enthält z.B. Informationen zu
• Gebäudeplan
• Mitarbeitern
• Arbeitszeiten mit Pausen
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Knowledge Engineering und Ontologien
Beispiel iXDHL
Eine Ontologie für den Postroboter iXDHL enthält z.B. Informationen zu
• Gebäudeplan
• Mitarbeitern
• Arbeitszeiten mit Pausen
mit
• Objekten: raumXY , mitarbeiterN N , caf eteria, treppenhaus1
Begriffe: mittagszeit
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Knowledge Engineering und Ontologien
Beispiel iXDHL
Eine Ontologie für den Postroboter iXDHL enthält z.B. Informationen zu
• Gebäudeplan
• Mitarbeitern
• Arbeitszeiten mit Pausen
mit
• Objekten: raumXY , mitarbeiterN N , caf eteria, treppenhaus1
Begriffe: mittagszeit
• Klassen: Räume, Mitarbeiter
Eigenschaften: In U rlaub sein
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Knowledge Engineering und Ontologien
Beispiel iXDHL
Eine Ontologie für den Postroboter iXDHL enthält z.B. Informationen zu
• Gebäudeplan
• Mitarbeitern
• Arbeitszeiten mit Pausen
mit
• Objekten: raumXY , mitarbeiterN N , caf eteria, treppenhaus1
Begriffe: mittagszeit
• Klassen: Räume, Mitarbeiter
Eigenschaften: In U rlaub sein
• Beziehungen zwischen Objekten: V erbindet(treppenhaus1, eg, e1)
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Knowledge Engineering und Ontologien
Knowledge Engineering
Wenden wir uns zunächst der (allgemeineren) Aufgabe des Knowledge
Engineering zu . . .
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Knowledge Engineering und Ontologien
Knowledge Engineering
Wenden wir uns zunächst der (allgemeineren) Aufgabe des Knowledge
Engineering zu . . .
Beispiel Soap Opera:
Merryville ist eine verträumte Kleinstadt im Nirgendwo. Hier
spielt unsere Geschichte, in der folgende Dinge eine Rolle spielen:
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Knowledge Engineering und Ontologien
Knowledge Engineering
Wenden wir uns zunächst der (allgemeineren) Aufgabe des Knowledge
Engineering zu . . .
Beispiel Soap Opera:
Merryville ist eine verträumte Kleinstadt im Nirgendwo. Hier
spielt unsere Geschichte, in der folgende Dinge eine Rolle spielen:
• Leute
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Knowledge Engineering und Ontologien
Knowledge Engineering
Wenden wir uns zunächst der (allgemeineren) Aufgabe des Knowledge
Engineering zu . . .
Beispiel Soap Opera:
Merryville ist eine verträumte Kleinstadt im Nirgendwo. Hier
spielt unsere Geschichte, in der folgende Dinge eine Rolle spielen:
• Leute
• Orte
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Knowledge Engineering und Ontologien
Knowledge Engineering
Wenden wir uns zunächst der (allgemeineren) Aufgabe des Knowledge
Engineering zu . . .
Beispiel Soap Opera:
Merryville ist eine verträumte Kleinstadt im Nirgendwo. Hier
spielt unsere Geschichte, in der folgende Dinge eine Rolle spielen:
• Leute
• Orte
• Firmen
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Knowledge Engineering und Ontologien
Knowledge Engineering
Wenden wir uns zunächst der (allgemeineren) Aufgabe des Knowledge
Engineering zu . . .
Beispiel Soap Opera:
Merryville ist eine verträumte Kleinstadt im Nirgendwo. Hier
spielt unsere Geschichte, in der folgende Dinge eine Rolle spielen:
•
•
•
•
Leute
Orte
Firmen
Hochzeiten/Scheidungen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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Knowledge Engineering und Ontologien
Knowledge Engineering
Wenden wir uns zunächst der (allgemeineren) Aufgabe des Knowledge
Engineering zu . . .
Beispiel Soap Opera:
Merryville ist eine verträumte Kleinstadt im Nirgendwo. Hier
spielt unsere Geschichte, in der folgende Dinge eine Rolle spielen:
•
•
•
•
•
Leute
Orte
Firmen
Hochzeiten/Scheidungen
Verbrechen und Gaunereien
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Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Knowledge Engineering
Wenden wir uns zunächst der (allgemeineren) Aufgabe des Knowledge
Engineering zu . . .
Beispiel Soap Opera:
Merryville ist eine verträumte Kleinstadt im Nirgendwo. Hier
spielt unsere Geschichte, in der folgende Dinge eine Rolle spielen:
•
•
•
•
•
•
Leute
Orte
Firmen
Hochzeiten/Scheidungen
Verbrechen und Gaunereien
Tod
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
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Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Knowledge Engineering
Wenden wir uns zunächst der (allgemeineren) Aufgabe des Knowledge
Engineering zu . . .
Beispiel Soap Opera:
Merryville ist eine verträumte Kleinstadt im Nirgendwo. Hier
spielt unsere Geschichte, in der folgende Dinge eine Rolle spielen:
•
•
•
•
•
•
•
Leute
Orte
Firmen
Hochzeiten/Scheidungen
Verbrechen und Gaunereien
Tod
Skandale
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Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Knowledge Engineering
Wenden wir uns zunächst der (allgemeineren) Aufgabe des Knowledge
Engineering zu . . .
Beispiel Soap Opera:
Merryville ist eine verträumte Kleinstadt im Nirgendwo. Hier
spielt unsere Geschichte, in der folgende Dinge eine Rolle spielen:
•
•
•
•
•
•
•
•
Leute
Orte
Firmen
Hochzeiten/Scheidungen
Verbrechen und Gaunereien
Tod
Skandale
Geld
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Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Planung 1/2
Ziel:
Wir wollen die Dinge und Vorgänge in Merryville im Rahmen der
Prädikatenlogik beschreiben und aus dem repräsentierten Wissen
Schlussfolgerungen ziehen bzw. Anfragen an die
Merryville-Wissensbasis beantworten können.
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Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Planung 2/2
1. Schritt: Sprache
Zunächst müssen wir eine geeignete logische Sprache festlegen (d.h.
geeignete Namen Objekte, Prädikate und Funktionen bestimmen).
2. Schritt: Wissen
In dieser Sprache werden wir dann relevantes Wissen über die Vorgänge in
Merryville ausdrücken, also eine Wissensbasis KBM erryville aufbauen.
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Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Planung 2/2
1. Schritt: Sprache
Zunächst müssen wir eine geeignete logische Sprache festlegen (d.h.
geeignete Namen Objekte, Prädikate und Funktionen bestimmen).
2. Schritt: Wissen
In dieser Sprache werden wir dann relevantes Wissen über die Vorgänge in
Merryville ausdrücken, also eine Wissensbasis KBM erryville aufbauen.
3. Schritt: Folgerungen
An die Wissensbasis KBM erryville werden wir Anfragen stellen, die wir mit
Hilfe der klassisch-logischen Folgerungsrelation beantworten wollen.
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Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Sprache 1/4
In unserer Soap Opera-Welt wollen wir Aussagen über folgende Individuen
und Objekte (→ Konstantensymbole) machen:
• Personen
Soap Opera: maryJones, johnQSmith, joannaSmith
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Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Sprache 1/4
In unserer Soap Opera-Welt wollen wir Aussagen über folgende Individuen
und Objekte (→ Konstantensymbole) machen:
• Personen
Soap Opera: maryJones, johnQSmith, joannaSmith
• Tiere, Roboter, Geister etc.
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Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Sprache 1/4
In unserer Soap Opera-Welt wollen wir Aussagen über folgende Individuen
und Objekte (→ Konstantensymbole) machen:
• Personen
Soap Opera: maryJones, johnQSmith, joannaSmith
• Tiere, Roboter, Geister etc.
• Firmen
Soap Opera: faultyInsuranceCompany
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Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Sprache 1/4
In unserer Soap Opera-Welt wollen wir Aussagen über folgende Individuen
und Objekte (→ Konstantensymbole) machen:
• Personen
Soap Opera: maryJones, johnQSmith, joannaSmith
• Tiere, Roboter, Geister etc.
• Firmen
Soap Opera: faultyInsuranceCompany
• Regierungen
Soap Opera: evilvilleTownCouncil
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Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Sprache 2/4
Individuen und Objekte (Forts.)
• Restaurants
Soap Opera: rockAndRollRestaurant
• Orte
Soap Opera: tomsHouse, abandonedRailwayCar , norasJacuzzi
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Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Sprache 2/4
Individuen und Objekte (Forts.)
• Restaurants
Soap Opera: rockAndRollRestaurant
• Orte
Soap Opera: tomsHouse, abandonedRailwayCar , norasJacuzzi
• andere Objekte
Soap Opera: earring35, butcherknife1
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Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Sprache 3/4
(Elementare) Typen und Attribute können durch einstellige Prädikate
spezifiziert werden:
• (elementare) Typen, z.B. Person(x)
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Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Sprache 3/4
(Elementare) Typen und Attribute können durch einstellige Prädikate
spezifiziert werden:
• (elementare) Typen, z.B. Person(x)
Soap Opera: Man(x), Woman(x), Place(x),
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Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Sprache 3/4
(Elementare) Typen und Attribute können durch einstellige Prädikate
spezifiziert werden:
• (elementare) Typen, z.B. Person(x)
Soap Opera: Man(x), Woman(x), Place(x),
Company(x), Jewelry(x), Knife(x),
Contract(x),
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Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Sprache 3/4
(Elementare) Typen und Attribute können durch einstellige Prädikate
spezifiziert werden:
• (elementare) Typen, z.B. Person(x)
Soap Opera: Man(x), Woman(x), Place(x),
Company(x), Jewelry(x), Knife(x),
Contract(x),
Restaurant(x), Bar (x), House(x),
SwimmingPool (x)
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Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Sprache 3/4
(Elementare) Typen und Attribute können durch einstellige Prädikate
spezifiziert werden:
• (elementare) Typen, z.B. Person(x)
Soap Opera: Man(x), Woman(x), Place(x),
Company(x), Jewelry(x), Knife(x),
Contract(x),
Restaurant(x), Bar (x), House(x),
SwimmingPool (x)
• Attribute
Soap Opera: Rich(x), Beautiful (x),
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Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Sprache 3/4
(Elementare) Typen und Attribute können durch einstellige Prädikate
spezifiziert werden:
• (elementare) Typen, z.B. Person(x)
Soap Opera: Man(x), Woman(x), Place(x),
Company(x), Jewelry(x), Knife(x),
Contract(x),
Restaurant(x), Bar (x), House(x),
SwimmingPool (x)
• Attribute
Soap Opera: Rich(x), Beautiful (x),
Bankrupt(x), Bloody(x)
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Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Sprache 3/4
(Elementare) Typen und Attribute können durch einstellige Prädikate
spezifiziert werden:
• (elementare) Typen, z.B. Person(x)
Soap Opera: Man(x), Woman(x), Place(x),
Company(x), Jewelry(x), Knife(x),
Contract(x),
Restaurant(x), Bar (x), House(x),
SwimmingPool (x)
• Attribute
Soap Opera: Rich(x), Beautiful (x),
Bankrupt(x), Bloody(x)
ClosedForRepairs(x)
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Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Sprache 4/4
Beziehungen können durch (mehrstellige) Prädikate (bzw. Relationen) und
(ein- und mehrstellige) Funktionen ausgedrückt werden:
• Prädikate
Soap Opera: MarriedTo(x, y),
DaughterOf (x, y), LivesAt(x, y),
Blackmails(x, y), Loves(x, y),
LoveTriangle(x, y, z), ConspiresWith(x1 , · · · , xn )
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Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Sprache 4/4
Beziehungen können durch (mehrstellige) Prädikate (bzw. Relationen) und
(ein- und mehrstellige) Funktionen ausgedrückt werden:
• Prädikate
Soap Opera: MarriedTo(x, y),
DaughterOf (x, y), LivesAt(x, y),
Blackmails(x, y), Loves(x, y),
LoveTriangle(x, y, z), ConspiresWith(x1 , · · · , xn )
• Funktionen
Soap Opera: fatherOf (x), bossOf (x)
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Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Wissen 1/3
Wir beginnen mit einfachen Fakten zur näheren Beschreibung der
Individuen in Merryville; solche Fakten lassen sich durch atomare Sätze (in
positiver oder negierter Form) ausdrücken:
Soap Opera: Man(john), Woman(jane),
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Wissen 1/3
Wir beginnen mit einfachen Fakten zur näheren Beschreibung der
Individuen in Merryville; solche Fakten lassen sich durch atomare Sätze (in
positiver oder negierter Form) ausdrücken:
Soap Opera: Man(john), Woman(jane),
Company(faultyInsuranceCompany),
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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WS 2015/16
77 / 206
Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Wissen 1/3
Wir beginnen mit einfachen Fakten zur näheren Beschreibung der
Individuen in Merryville; solche Fakten lassen sich durch atomare Sätze (in
positiver oder negierter Form) ausdrücken:
Soap Opera: Man(john), Woman(jane),
Company(faultyInsuranceCompany),
Rich(john), ¬ HappilyMarried (jim),
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Wissen 1/3
Wir beginnen mit einfachen Fakten zur näheren Beschreibung der
Individuen in Merryville; solche Fakten lassen sich durch atomare Sätze (in
positiver oder negierter Form) ausdrücken:
Soap Opera: Man(john), Woman(jane),
Company(faultyInsuranceCompany),
Rich(john), ¬ HappilyMarried (jim),
WorksFor (jim, faultyInsuranceCompany),
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Wissen 1/3
Wir beginnen mit einfachen Fakten zur näheren Beschreibung der
Individuen in Merryville; solche Fakten lassen sich durch atomare Sätze (in
positiver oder negierter Form) ausdrücken:
Soap Opera: Man(john), Woman(jane),
Company(faultyInsuranceCompany),
Rich(john), ¬ HappilyMarried (jim),
WorksFor (jim, faultyInsuranceCompany),
Knife(butcherknife1 ),
Bloody(butcherknife1 ),
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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77 / 206
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Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Wissen 2/3
Soap Opera: john = johnQsmith,
john = bossOf (faultyInsuranceCompany),
john = bestFriendOf (jim)
insurance = faultyInsuranceCompany
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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♣
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78 / 206
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Knowledge Engineering und Ontologien
Exkurs: Die Gleichheitsrelation “=” 1/2
Die Gleichheitsrelation = wird als zweistelliges Prädikat mit speziellen
Eigenschaften aufgefasst:
• es ist (als Relation)
• reflexiv: ∀x. x = x,
• symmetrisch: ∀x, y. x = y ⇒ y = x,
• transitiv: ∀x, y, z. x = y ∧ y = z ⇒ x = z;
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Knowledge Engineering und Ontologien
Exkurs: Die Gleichheitsrelation “=” 2/2
• “gleiche” Objekte spielen in allen auftretenden Prädikaten und
Funktionen exakt die gleichen Rollen, können also beliebig füreinander
substituiert werden:
• Substitutionsaxiome für Funktionssymbole f :
∀x1 , y1 ,
...,
xn , yn . x1 = y1 , . . . , xn = yn
⇒
f (x1 , . . . , xn ) = f (y1 , . . . , yn )
• Substitutionsaxiome für Prädikatssymbole P :
∀x1 , y1 ,
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
...,
⇒
xn , yn . x1 = y1 , . . . , xn = yn
P (x1 , . . . , xn ) ≡ P (y1 , . . . , yn )
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