Skript Ionenquellenphysik
Werbung
10) Extraktion von Ionen aus dem Plasma Die theoretische Beschreibung der Extraktion von Ionen aus dem Plasma ist nicht so einfach, wie die Elektronenstrahlformierung. Der Unterschied besteht darin, daß sich die Form des Plasmarandes mit dem Extraktionspotential und dem Gasdruck ändert. Das Arbeitsprinzip einer Plasma-Ionenquelle ist zweigeteilt. Zum einen wird ein Plasmagenerator benötigt, zum anderen auch ein Extraktionssystem zur Strahlformierung. Auf jeden Fall muß für den Raumladungsbereich das Child-Langmuir-Gesetz gelten: Plasma- d elektrode Erdelek- 4 j 0 9 2 eq mi U 3/ 2 d 2 4 I 0 9 2 eq mi U 3/ 2 S U 2 mit S r d dem Aspektverhältnis zwischen den Abstand zwischen Plasmaelektrode und Extraktionselektrode d und dem Radius der Öffnung der Plasmaelektrode r. Plasma r trode E=U/d Ionenstrahl Plasmameniskus WS2011/12 10.1 Mit der elektrischen Feldstärke kann das Gesetz wie folgt dargestellt werden: I 4 0 9 2 eq mi S r 3 / 2 E 3 / 2 1.71 *10 7 q S r3 / 2E3 / 2 A Beispiel: q/A =1, S=1, U = 10000 V --> I = 0.171 A Damit ist keine Aussage über die Strahlqualität getroffen! Die emittierende Oberfläche des Plasmas (Grenzschicht) wird auch Plasmameniskus genannt: Wie unterscheiden sich die Bedingungen bei der Plasmaextraktion von der Elektronenemission: Pierce-Rand ist nur eine gute Näherung, wenn das Plasma das gleiche Potential wie die Elektrode besitzen würde (Plasmapotential). Die Plasmaelektrode müsste am Rand infinitesimal dünn sein, was technisch nicht realisierbar ist. Ionenemission ist nicht homogen über den Querschnitt, wie bei Elektronen aus einer Kathode, da das Plasma in der Nähe der Elektrode immer weniger dicht ist (Plasmarand). Um den Anodenlinseneffekt zu kompensieren muß der Plasmameniskus konkav sein. WS2011/12 10.2 Plasmadichte zu hoch, bzw. Feldstärke zu gering ! Plasmadichte bzw. Feldstärke sind optimal, „Matched case“, r und sind an der Erdelektrode minimal! Plasmadichte zu gering, bzw. Feldstärke zu hoch ! Im Extraktionsraum ist der Ionenstrahl nicht mehr kompensiert, d.h. die Ladungsneutralität ist aufgehoben, da die Elektronen durch die Extraktionsspannung in das Plasma zurückgedrückt werden. WS2011/12 10.3 Die Feldstärke im Extraktionsraum bestimmt wie stark die Dichte der Plasmarandschicht reduziert wird und wie weit das Extraktionspotential in das Plasma hineinreicht. Die Dicke der Randschicht ergibt sich aus: d sheath D WS2011/12 e Zug kT 10.4 Plasmarand bei Extraktion von Ionen: Ionen der Masse M mit schon gerichteter Geschwindigkeit durch das Extraktionsfeld E=Ui/d mit 2qU i vion M . Aus der Kontinuitätsgleichung folgt: der Ionen im Plasma sind. Aus 1 2 Mvi ( z)2 12 Mv0 q ( z) n0 v0 ni ( z )vi ( z ) 2 folgt wobei n0 und v0 Dichte und Geschwindigkeit 2q ( z ) ni ( z ) n0 1 2 Mv0 1 / 2 Mit ( z ) U p U (Up = Plasmapotential) gilt dann für Ionen am Plasmarand: Für die Elektronen gilt die Boltzmannverteilung: Damit wird die Poissongleichung zu WS2011/12 2U 2 z U U p ne ne 0 exp Ue i ( z) U mit e 1 i0 2q ( z ) Mv02 kTe e ene 0 eni 0 U U U p U 0 exp p Ue 0 1 U i 10.5 Lösung der Gleichung nur numerisch, jedoch Vereinfachung durch Normierung mit U p U Ue U z , e , Ui D und 2D Ue 0 en0 1 1 2 exp 2 2 1 1 2 exp 1 (i) oder Numerisch lösbar oder analytisch für 0 . Dann lassen sich die Funktionen entwickeln und es folgt 4 1 0 exp 0 1 2 2 Dies verlangt demnach 2 oder U e 2U i . Dies ist das sogenannte Bohmsche Schichtkriterium. Damit keine "Ionenverarmung" entsteht, werden in einem Teil des Grenzschichtbereiches (z>D) die Ionen bis auf Schallgeschwindigkeit beschleunigt. ß = 1 ist eine gute Annahme, wenn keine Messdaten vorliegen. Innerhalb von 6.5*D fällt das Potential von U p 0.01 U e auf U p U e und innerhalb von 20-50*D fällt es auf Wandpotential ab. WS2011/12 10.6 Vergleich mit Child-Langmuir: 2U j 1 x 2 0 2me U mit U U Anode (d = Anodenabstand) --> , 3z 2d 1 (ii) Der Vergleich von (i) und (ii) ist nebenstehen dargestellt. Man erkennt, daß sich (i) und (ii) (Child-Langmuir) für große annähern. Ist d >> D oder die Extraktionsspannung hoch, so wird die Plasmaextraktion der Elektronenemission ähnlich. WS2011/12 10.7 Wie muß nun die Plasmaelektrode aussehen? Piercerand? Die Kontur der Plasma-Elektrode müsste in unmittelbarer Nähe des Plasmameniskus die Form einer Hyperbel annehmen. Für größere Radien der Plasmaelektrode ist dann der Pierce-Rand ausreichend einen laminaren Strahl zu gewährleisten. Da der dünne Teil der Elektrode in kurzer Zeit weg gesputtert wird, muss die Elektrode am Plasmarand verstärkt werden. Es gibt keine universelle Lösung wie bei Elektronenkanonen. WS2011/12 10.8 Extraktionssyteme: Beim Design von Extraktionssystemen werden bestimmte Parameter, je nach Anwendung optimiert. Im Allgemeinen gilt dies für den Strom oder die Emittanz. Wie wir gesehen haben weicht die Charakteristik der Plasmaextraktion von der von Elektronenkanonen ab. Trotzdem sind folgende Beziehungen experimentell überprüft: 1/ 2 q I tr A I tr U 3 / 2 und , wobei Itr der transportierte Strom durch das System ist. Experimentell wurde ein entsprechend modifiziertes Child-Langmuir-Gesetz ermittelt: I tr P U * 3/ 2 S2 1 aS 2 a= Abberationsfaktor (a~3) und P* = Perveanzfaktor, welche sich für ideale Systeme aus der Perveanz planarer Systeme wie folgt berechnet zu P* 4 0 9 2 eq mu A . Beispiele für gemessene Ströme zu verschiedenen Akzeptanzwinkeln zeigt nebenstehende Graphik. WS2011/12 10.9 Für den transportierten Strahl ist der Abberationsfaktor jedoch vom maximalen Divergenzwinkel abhängig, der vom Extraktionssystem gerade noch akzeptiert wird. Für diese Systeme und unter Berücksichtigung der Durchschlagsfestigkeit von Extraktionssystemen wird ein Aspektverhältnis von 0.5-0.6 empfohlen. Performance Limits liegen bei Systemen mit S = 1, P* = 6*10-5 [mA/V3/2] und a = 1.7 wie nachfolgendes Beispiel zeigt. Für den maximalen Strom durch ein solches System bei dem ein Akzeptanzwinkel von ±20 mrad angenommen wird ergibt sich dann durch I tr , max 0.703 U 3 / 2 mA 3/ 2 (kV ) WS2011/12 10.10 Die Stromlimitierung ist nicht für alle Anwendungen akzeptabel. Neutralinjektion in Fusionsplasmen und Ionenantriebe benötigen spezielle, maßgeschneiderte Extraktionssysteme. 1) Das Diodenextraktionssystem ist das simpelste Extraktionsschema, wenn die Raumladungskompensation keine Rolle spielt, denn Elektronen werden zum Plasma zurück beschleunigt. Aufbrechen der Kompensation und Anodenlinseneffekt 2) Das Triodenextraktionssystem ist das einfachste Schema zum Erhalt der Raumladungskompensation. Eine auf negativem Potential liegende Schirmoder Screening-Elektrode (SE) vor der Erdelektrode (EE) verhindert das Aufbrechen der Kompensation und entkoppelt die Einstellung der Strahlenergie vom Extraktionspotential und reduziert den Anodenlinseneffekt. WS2011/12 10.11 3) Pentodenextraktionssystem (Two-gap-extraction system) Hier unterstützt eine Formierungs- oder Puller-Elektrode (PE) die Strahlformierung durch Anpassen des Piercerandes (wie bei Wehneltelektrode) und die Schirmelektrode (SE) ist zum stabileren Betrieb von zwei Erdelektroden umgeben. Ein Beispiel für ein solches Extraktionssystem zeigt die Nebenstehende Abbildung. Die Praxis zeigt, dass solche Systeme nur für Extraktionsspannungen ab 50 kV Vorteile Gegenüber „single gap“ Systeme zeigen. Man unterscheidet noch Einloch- oder Mehrlochextraktion. Um das Stromlimit für Einlochextraktionssysteme zu Umgehen geht man zu Mehrloch- oder multi apertureSystemen über. Zwar leidet die Strahlqualität, also die Emittanz darunter, trotzdem sind hohe Strahlströme möglich. 7 Aperturen können hexagonal angeordnet werden ohne, dass die Strahlqualität schlechter wird. Es wurden Systeme mit bis zu 1000 Aperturen realisiert und mit Strömen von Protonen von bis zu 10-100 A betrieben. Problem: Kühlung der Gitter WS2011/12 10.12 Für den minimalen theoretischen Divergenzwinkel 0 gilt: 1.67 P 0 0.5 S 1 P planar WS2011/12 mit 4 Pplanar 0 9 2 eq mu A F d2 F = Oberfläche Plasmameniskus 10.13 Bewegung geladener Teilchen in axialsymmetrischen Feldern Bei der Strahlformierung und dem -transport in Elektronenkanonen und in Ionenquellen sind axialsymmetrische Geometrien am häufigsten vertreten. Daher wird die Bewegungsgleichung in Zylinderkoordinaten transformiert. In elektrischen und magnetischen Feldern ergibt sich die Bewegung von geladenen Teilchen aus der Lorentzkraft: In Zylinderkoordinaten (siehe Lehrbücher): m r q( E v B ) m (r r 2 ) q( Er r Bz z B ) m (r 2r) q( E z B r B ) r z m z q( Ez r B r B r ) In axialsymmetrischen Feldern: E B 0 . Außerdem gilt: 1 d 2 ( r ) 2r r r dt m d 2 m (r 2r) (r ) q ( z Br r B z ) , wobei m r 2 r l r dt l ist der Drehimpuls des Teilchens um die Strahlachse! Für das Vektorpotential bei einem axialsymmetrischen Magnetfeld muß gelten: B rot A, B 0 WS2011/12 Ar Az z r Ar , Az Ar Az 0 10.14 A 1 A (0, A ,0) B ( ,0, ( rA )) z r r Eingesetzt in die obige Gleichung ergibt dies: d 2 q A ( rA ) q d ( r ) ( r z r ) ( ( rA ) ( rA )) dt m z r m dt t da wir nur statische Fokussierfelder betrachten ist die partielle Ableitung nach der Zeit Null. Damit erhält man: d ( mr 2 q r A ) 0 mr 2 q r A const . P dt P ist der generalisierte Impuls der -Komponente. Für den magnetischen Fluss gilt: B dF rotA dF F F A ds (F ) 2 (r ) rA d 2 rA 0 Damit nimmt der generalisierte Impuls die folgende Form an: WS2011/12 10.15 2 r q q ( r ) ( 0 ( r0 ) ( r )) P P 0 m r 2 const . 02 0 2 2 r 2 m r Das ist das sogenannte Busch-Theorem (Drehimpulserhaltung)! Für ein Solenoidfeld erhält man: Bz = const ( r ) Bz r 2 Damit nimmt das Busch-Theorem die folgende Form an: 2 2 r q r 02 0 ( 02 B0 z Bz ) r 2m r q Bz Sind die Winkelgeschwindigkeit 0 und das Magnetfeld B0 z am Startpunkt Null, dann ist 2m und damit identisch mit der Lamorfrequenz. Wenn also Teilchen aus einer feldfreien Zone in eine Magnetfeld eingeschossen werden, dann gyrieren diese mit der Lamorfrequenz L = c/2. Damit lauten die Bewegungsgleichungen für 0 0 2 q r 0 ( 2 B 0 z Bz ) , m z q( E z r B r ) m ( r r 2 ) q( Er r Bz ) , 2m r WS2011/12 10.16 Setzt man nun die mittlere Gleichung in die beiden anderen ein, so erhält man die Randstrahlgleichung 2 2 q q r04 B02z q 2 r E r Bz r 3 m 2m r 2m Der erste Term beschreibt den Kraftanteil der Raumladung, der zweite die Zentrifugalkraft oder magnetische Emittanz und der dritte Term beschreibt die Fokussierkraft des Magnetfeldes. Für die zAbhängigkeit erhält man analog: q r02 m z qE z qr ( 2 B0 z Bz ) B r 2m r Wenn man die Bewegung der Randstrahlteilchen in Abhängigkeit von z darstellen möchte, dann muss man die obigen Gleichungen kombinieren: q q2 2 v z r E z 2 m 2 m 2 4 2 2 r02 q q r B q 0 0z 2 r 2 B0 z Bz Br r E r Bz r 3 m 2m r 2m r Die ist die Paraxialgleichung. Wenn Ez = 0 und Br << Bz, dann ist der Term in r’ zu vernachlässigen. Br sorgt für eine Änderung von vz und damit von Wkin||. Damit wandelt also Br kinetische Energie von der longitudinalen Bewegung in die transversale, wie wir es beim magnetischen Spiegel schon kennen gelernt haben. WS2011/12 10.17 Die Paraxialgleichung mit Raumladung (betrifft nur Er) lautet daher: q q2 2 v z r E z 2 m 2 m 2 4 2 2 r02 q I q r B q 0 0z 2 r 2 B0 z Bz Br r Bz r 3 m 20 v z r 2m r 2m r Beispiele (ohne Raumladung): Magnetische Solenoidlinse Bz B0z = Ez = 0 q2 q I q 2 2 v z r 2 rBz Br r Bz r m 20 v z r 2m 2m 2 z1 z2 z Im Integral von z1 bis z2 werden sich die Effekte von Br weitgehend aufheben, da das Feld symmetrisch in z ist. Man kann nun die obige DGL numerisch mit Raumladung lösen oder ohne Raumladung analytisch behandeln: 2 q 2 2 vz r Bz r 0 r k r 0 2m Hillsche Differentialgleichung Dieser Typ von DGL bildet die Grundgleichung der linearen Strahloptik! Integration der Gleichung: WS2011/12 10.18 dr dz z2 z1 2 q 1 2 2 m vz z2 q 2 r0 z1 B r dz 8m q U acc 2 z z2 dr dz B dz 2 z 0 z1 dr dz z1 z1 z2 f z2 z Hier wurde eine dünne Linse angenommen. Daher bleibt der Strahlradius r0 in der Linse nahezu konstant. Für die Geschwindigkeit kann man noch die Beschleunigungsspannung dr Uacc einsetzen.Damit erhält man für die Fokallänge: dz z2 r 0 f 1 q2 f 8mq U acc z2 2 B z dz z1 z2 Mann nutzt in der linearen Strahloptik eine effektive Feldlänge zL mit B02 z L Bz2 dz Nun gyrieren geladene Teilchen im Soleniodfeld. Nach dem Busch Theorem ist mit WS2011/12 d d vz dt dz z1 . q Bz . 2m folgt dann für die Winkeländerung mit dem Ort: 10.19 d q q Bz Bz dz 2m vz 8mqU acc q 8mqU acc z2 B dz z z1 Neben den radial wirkenden Kräften gibt es auch azimuthal wirkende Kräfte, die zu einer Winkeländerung in diese Richtung führen Die Änderung des Winkels hängt vom Vorzeichen der Ladung und der Richtung des Magnetfeldes ab. Vorteile der Solenoidlinsen sind die Erhaltung der Raumladungskompensation und das Fehlen der sphärischen Abberation. Nachteile sind die Beschränkung auf niederenergetische Strahlen und die chromatische Abberation. Elektrostatische Zylinderlinsen B z = Br = 0 , q q vz2 r Ez r Er m m Ziel hierbei ist es die Felder mit den Potentialen auszudrücken: WS2011/12 v z2 2 qU acc m 10.20 r Ez Er r 0 2U acc 2U acc V V Ez , Er , E 0 und z r 2V 1 V 2V V 2 2 0 z r r r Für axialsymmetrische Probleme kann man das Potential entwickeln: 1 2 2V ( z,0) 1 4 4V ( z,0) V ( z, r ) V ( z,0) r r ... 2 4 2 r 24 r mit der Laplacegleichung erhält man Nun gilt außerdem: 1 2 2V ( z,0) 1 V ( z,0) V ( z, r ) V ( z,0) r r 2 2 z 2 r V 1 2 2V 1 2 2V ( z,0) r r V ( z, r ) V ( z,0) r 2 r 2 z 4 z 2 Damit ergeben sich die elektrischen Feldstärken zu V V 1 2V 1 Ez V , Er r 2 rV z r 2 z 2 Die Bewegungsgleichung in elektrostatischen Rohrlinsen ergibt sich damit zu WS2011/12 10.21 r V V r r 0 mit U acc U 0 V 2U acc 4U acc d dr r V U V 0 dz dz 4 U0 V dr U0 V dz z2 z1 dr dz 0 z1 dr dz z1 z2 z2 f f z r V 4 U0 V z1 z2 1 f 1 r0 U 0 V 1 1 dr f r0 dz z 2 r V z1 4 U 0 V dz z2 Das Integral lässt sich schreiben als: r V r0 dz z1 4 U 0 V 4 z2 z2 z1 z2 V r0 V r0 dz 4 U0 V U 0 V z1 8 z2 U z1 V 2 V 3/ 2 0 dz Spezialfälle: WS2011/12 10.22 A) Einzellinse Vz1 = Vz2 = 0 dr dz z2 z2 z2 r0 V 1 (V ) 2 dz 3/ 2 4 U 0 U 0 z1 2 z1 (U 0 V ) Sind die Feldstärken z1 z2 z VE Vz1 Vz2 0 , dann erhält man für die Brennweite 1 1 f 8 U0 (V ) 2 z1 (U 0 V )3/ 2 dz z2 Dies bedeutet das Einzellinsen immer Sammellinsen sind, da alle Größen in der Gleichung positiv sind. Bei Strahlen mit hoher Raumladung besitzen diese Linsen den Nachteil, dass diese die Raumladungskompensation brechen. B) Diaphragma 1 1 f r0 U 0 V WS2011/12 r V z1 4 U 0 V dz z2 10.23 Da z1 z2 geht gilt: 1 1 f r0 U 0 V 1 4 U0 U2 U2 U1 r0 V z1 4 U 0 V dz z2 Vz2 Vz1 1 (Vz2 Vz1 ) , U 0 U 2 4U 0 z1 z2 z wenn U2 = 0 Die Brennweite ist dabei proportional zur Differenz der Feldstärken im Raum vor und hinter der Blende. Ist Vz1 E1 Vz2 E2 , was im Falle einer Anodenanordnung (E2=0) vorliegt, dann ist f negativ. Damit ist eine Anodenblende eine Zersteuungslinse und zwar für alle Extraktionssyteme. Man nennt diesen Effekt den Anodenlinseneffekt. 4U 0 4U 0 f E1 E Anode WS2011/12 10.24
