Mathematik 1 ¨Ubung 4

Mathematik 1
Übung 4
Wolfgang Schreiner [email protected]
Abgabetermin: 12.11.2001
Name:
Mat.Nr:
Punkte:
Die Übung ist in Papierform abzugeben.
1. (32 Punkte) Gegeben sei der Bereich aller Autos, Pferde und Hunde.
Gelten die folgenden Aussagen über diesem Bereich oder nicht? Geben
Sie an, wie Sie zu ihrer Meinung kommen, das heisst, was sie tun, um
die Aussage zu testen.
(a) ∀x : (x ist ein Hund ∨ x ist ein Pferd) ⇒ x hat keine Räder.
(b) ∀x : x ist schwarz ⇒ (x ist ein Pferd ∨ x ist ein Hund).
(c) ∀x : x ist blau ⇒ ¬(x ist ein Hund ∨ x ist ein Pferd).
(d) ∃x : x ist blau ∧ x hat keine Räder.
2. (18 Punkte) Gelten die folgenden Aussagen oder nicht? Geben Sie zu
Ihrer Meinung ein möglichst schlüssiges Argument an. (Hinweis: N ist
die Menge der natürlichen Zahlen {0, 1, 2, . . .}; “x ∈ N” bedeutet “x
ist eine natürliche Zahl”).
(a) ∀x ∈ N : ∃y ∈ N : y < x.
(b) ∀x ∈ N : ∃y ∈ N : ∀z ∈ N : x − y ≤ z.
(c) ∃x ∈ N : ∀y ∈ N : x ∗ y ≤ x + y.
3. (40 Punkte) Die folgenden Aussagen definieren die unterstrichenen Begriffe. Schreiben Sie diese Definitionen formal an:
(a) x ist der Grossvater von y genau dann wenn x der Vater eines/einer
z ist und z Vater oder Mutter von y ist.
(b) Ein Schimmel ist ein weisses Pferd.
(c) x ist eine Primzahl genau dann wenn es von keiner Zahl ausser 1
und x geteilt wird.
(d) x und y sind Primzahlzwillinge genau dann wenn x und y Primzahlen sind und y gleich x + 2 ist.
(e) x ist das kleinste gemeinsame Vielfache von y und z genau dann
wenn x von y und von z geteilt wird und es keine Zahl kleiner als
x gibt, die die gleiche Eigenschaft hat.
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4. (10 Punkte) Sind diese Definitionen formal korrekt oder nicht? Geben
Sie eine Begründung an.
(a) x ist ein Maximalwert genau dann wenn er sich um nicht mehr als
1 von y unterscheidet.
(b) x ∗ y ist ein Vielfaches von x genau dann wenn weder x noch y
null sind.
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