UNIVERSITÄT LEIPZIG Priv.-Doz. Dr. Stefan Milius Abteilung Algebraische und logische Grundlagen der Informatik Leipzig, 9. Dezember 2015 Algebra des Programmierens Aufgabenblatt Nr. 5 – Abgabetermin: 16. Dezember 2015 Aufgabe 19 Ein Funktor F : C → Set heißt repräsentierbar falls er zu einem hom-Funktor C(A, −) natürlich isomorph ist. (a) Sind die Vergissfunktoren der folgenden Kategorien repräsentierbar? Begründen Sie ihre Antwort! Mon, Setp , Gra, die Kategorie der Monoide und ihrer Homomorphismen; die Kategorie der punktierten Mengen (X, x) und punkterhaltenden Abbildungen; die Kategorie der Graphen und ihrer Homomorphismen. (b) Beweisen Sie den folgenden Satz: Ein Funktor F : C → Set ist genau dann repräsentierbar, wenn er ein universelles Element besitzt. Hinweis: Finden Sie zunächst die richtige Definition von universellem Element, so dass der obige Satz gilt. Benutzen Sie als Hilfmittel das Yoneda-Lemma. Zur Erinnerung: universelle Eigenschaften sind immer Sätze (im Sinne der Logik der ersten Stufe) der Form ∀x∃!y.ϕ(x, y). Aufgabe 20 (a) Bestimmen Sie alle natürlichen Transformationen zwischen dem Quadratfunktor Q : Set → Set, der durch QX = X × X gegeben ist, und dem Potenzmengenfunktor P. (b) Es sei C eine Kategorie und f : A → B ein Morphismus aus C. Zeigen Sie, dass f natürliche Transformationen C(B, −) → C(A, −) und C(−, A) → C(−, B) bestimmt. Finden Sie ein einfaches Kriterium, wann diese Transformationen natürliche Isomorphismen sind. Gibt es noch weitere natürliche Transformationen zwischen diesen Funktoren? Aufgabe 21 Seien C und D zwei Kategorien. Charakterisieren Sie (a) Initialobjekte (b) Terminalobjekte (c) Koprodukte in der Kategorie DC der Funktoren F : C → D. Aufgabe 22 Jetzt ist das Ziel, Monomorphismen in DC zu verstehen. Es sei α : F → G natürliche Transformation, wobei F, G : C → D Funktoren sind. Zeigen Sie: (a) Falls alle Komponenten αX Monomorphismen sind, ist α Monomorphismus in DC . (b) Für D = Set gilt auch die Umkehrung. Hinweis: Evtl. ist das Yoneda-Lemma hilfreich. (c) Betrachten Sie die beiden Kategorien C = {0 ≤ 1} D={A und x y // B f / C }. < f ·x=f ·y Finden Sie F, G : C → D und einen Monomorphismus α : F → G so dass α1 kein Monomorphismus ist. 1 Letzte Änderung: 8. Dezember 2015