Algebra des Programmierens - informatik.uni-leipzig.de

UNIVERSITÄT LEIPZIG
Priv.-Doz. Dr. Stefan Milius
Abteilung Algebraische und logische Grundlagen der Informatik
Leipzig, 9. Dezember 2015
Algebra des Programmierens
Aufgabenblatt Nr. 5 – Abgabetermin: 16. Dezember 2015
Aufgabe 19
Ein Funktor F : C → Set heißt repräsentierbar falls er zu einem hom-Funktor C(A, −) natürlich isomorph
ist.
(a) Sind die Vergissfunktoren der folgenden Kategorien repräsentierbar? Begründen Sie ihre Antwort!
Mon,
Setp ,
Gra,
die Kategorie der Monoide und ihrer Homomorphismen;
die Kategorie der punktierten Mengen (X, x) und punkterhaltenden Abbildungen;
die Kategorie der Graphen und ihrer Homomorphismen.
(b) Beweisen Sie den folgenden Satz:
Ein Funktor F : C → Set ist genau dann repräsentierbar, wenn er ein universelles Element besitzt.
Hinweis: Finden Sie zunächst die richtige Definition von universellem Element, so dass der obige
Satz gilt. Benutzen Sie als Hilfmittel das Yoneda-Lemma.
Zur Erinnerung: universelle Eigenschaften sind immer Sätze (im Sinne der Logik der ersten Stufe)
der Form ∀x∃!y.ϕ(x, y).
Aufgabe 20
(a) Bestimmen Sie alle natürlichen Transformationen zwischen dem Quadratfunktor Q : Set → Set, der
durch QX = X × X gegeben ist, und dem Potenzmengenfunktor P.
(b) Es sei C eine Kategorie und f : A → B ein Morphismus aus C. Zeigen Sie, dass f natürliche
Transformationen C(B, −) → C(A, −) und C(−, A) → C(−, B) bestimmt.
Finden Sie ein einfaches Kriterium, wann diese Transformationen natürliche Isomorphismen sind.
Gibt es noch weitere natürliche Transformationen zwischen diesen Funktoren?
Aufgabe 21
Seien C und D zwei Kategorien. Charakterisieren Sie
(a) Initialobjekte
(b) Terminalobjekte
(c) Koprodukte
in der Kategorie DC der Funktoren F : C → D.
Aufgabe 22
Jetzt ist das Ziel, Monomorphismen in DC zu verstehen. Es sei α : F → G natürliche Transformation,
wobei F, G : C → D Funktoren sind. Zeigen Sie:
(a) Falls alle Komponenten αX Monomorphismen sind, ist α Monomorphismus in DC .
(b) Für D = Set gilt auch die Umkehrung.
Hinweis: Evtl. ist das Yoneda-Lemma hilfreich.
(c) Betrachten Sie die beiden Kategorien
C = {0 ≤ 1}
D={A
und
x
y
// B
f
/ C }.
<
f ·x=f ·y
Finden Sie F, G : C → D und einen Monomorphismus α : F → G so dass α1 kein Monomorphismus
ist.
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Letzte Änderung: 8. Dezember 2015