Regeln und Strategien
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Seminar Spietheorie - 175.018 SS 2003 Spieltheoretische Ansätze bei Teilverfahren durch 3 Personen Andreas Gaber - 9518880 Gernot Grober - 9806062 Seminar Spieltheorie SS2003 Andreas Gaber - 9518880 Gernot Grober - 9806062 Inhaltsangabe Einleitung ................................................................................................................................... 3 Kriterien für Zufriedenheit: .................................................................................................... 3 Regeln und Strategien: ........................................................................................................... 3 Teilverfahren für unteilbare oder schwer teilbare Güter: ........................................................... 4 Strict Alternation: ................................................................................................................... 4 Balanced Alternation .............................................................................................................. 7 Adjusted Winner .................................................................................................................... 9 Teilverfahren bei teilbaren Gütern ........................................................................................... 12 Die Steinhaus-Kuhn „lone-divider procedure“ .................................................................... 12 Das Banach-Knaster last-diminisher Verfahren ................................................................... 14 Das Dubins-Spanier „moving-knife“ Verfahren .................................................................. 15 „lone-chooser“ Verfahren .................................................................................................... 16 Austins Erweiterung des „lone-chooser“ Verfahrens........................................................... 17 Neidfreie Verfahren.................................................................................................................. 18 Das diskrete Selfridge-Conway Verfahren .......................................................................... 19 Stromquists „moving knife“ Verfahren................................................................................ 22 Das Levmore-Cook moving knife Verfahren....................................................................... 23 Teilen durch Drei Seite: 2 von 24 Seminar Spieltheorie SS2003 Andreas Gaber - 9518880 Gernot Grober - 9806062 Einleitung Kriterien für Zufriedenheit: 1. Verhältnismässigkeit: Zufiedenheit ist stark verbunden mit dem Gefühl einen fairen Teil bekommen zu haben. Verhältnismässigkeit wurde erstmals von Aristoteles in seinem Buch "Ethik" definiert, als das Teilen von Gütern im Verhältnis zu der Anzahl der Antragsteller. So Verhältnismässigkeit entsteht dann wenn jede einzelne Partei denkt, das ihr Stück genauso viel wert sei, wie jedes andere Stück einer anderen Partei. 2. Neid-Freiheit: entsteht dann, wenn keine Partei das bereits erhaltene Öbjekt für ein ein Objekt einer anderen Partei abgibt. D.h. Niemand beneidet einen Anderen, um eines Objektes wegen. 3. Gerechtigkeit: Wenn zum Beispiel ein Partei glaubt 51% des Streitwertes erhalten zu haben, aber die andere Partei, weil sie andere Präferenzen setzte, glaubt 90% des Wertes erhalten zu haben, so glaubt die erste Partei, daß sie benachteiligt wurde, obwohl sie einen größeren Teil (51%) bekam, weil sich die andere Partei noch siegessicherer fühlt, da sie ja, in ihren Augen, 90% bekam. Daher wird der Ausdruck Gerechtigkeit hier genutzt, um auszusagen, daß beide Parteien glauben einen gleich großen Tel erhalten zu haben, obwohl sie die Objekte verschieden bewertet haben. 4. Brauchbarkeit: Ein Verfahren ist dann brauchbar, wenn es keine andere Verteilung gibt, die für einige Parteien besser wäre ohne für andere Parteien schlechter zu sein. Regeln und Strategien: Der Schlüssel zu einer fairen Abwicklung eines Disputs liegt in unparteiischen Prozeduren. Diese bestehen aus Regeln, die eine unabhängige Person aufstellt, ohne das diese Person von den Präferenzen der Streitparteien weiß. Eine Regel könnte also lauten: "Teile in 2 Stücke!". Aber sie darf nicht lauten: "Teile in 2 Stücke, von denen du glaubst, daß sie gleich groß sind!" Die Parteien passen nämlich ihre jeweilige Strategien nicht nur an die Regeln, sondern auch an ihr privates Wissen an. Wenn also die Regeln erstmals klar definiert sind, bleiben immer noch viele Strategien über, aus welchen die Parteien wählen können. Teilen durch Drei Seite: 3 von 24 Seminar Spieltheorie SS2003 Andreas Gaber - 9518880 Gernot Grober - 9806062 Deshalb wollen wir hier verschiedene Regeln und dazupassende Strategien vorstellen: Teilverfahren für unteilbare oder schwer teilbare Güter: Strict Alternation: ist ein Verfahren, bei dem die Parteien abwechselnd einen Teil des Streitobjekts nehmen dürfen, solange bis alle Teile vergeben sind. Ein unabhängiger Beobachter bestimmt, wer anfängt. BSP.: Ann und Ben liessen sich scheiden und müssen nun ihren Besitz aufteilen. Dieser besteht aus: Dem Haus, einer Pension, die derzeit natürlich noch gebunden ist, einem Investment-Portfolio, das zwar sofort liquidierbar ist, aber vom Wert unterhalb der Pension liegt, und dem Erziehungsrecht der gemeinsamen Tochter Carol. Die Präferenzen der beiden sehen folgendermassen aus: Ann Ben 1 Pension Haus 2 Haus Investments 3 Investments Erziehungsrecht 4 Erziehungsrecht Pension Daher "nimmt" sich Ann zuerst die Pension und Ben das Haus. Da die zweite Wahl von Ann nun auf das Haus fällt, dieses aber schon weg ist, nimmt sie die Investments, deshalb muß auch Ben seine 3. Präferenz, das Erziehungsrecht, nehmen. Also haben beide ihre erste und dritte Präferenz erhalten. Aber was passiert wenn Ann antizipiert was Ben präferiert und ihre Präferenzliste daran anpasst? Dann wird sie wohl kaum die Penion an erste Stelle stellen, da sie weiß das die Pension bei Ben an unterster Stelle liegt. Allerdings kann auch Ben antiziperen was Ann präferiert und weiters können beide auch annehmen, das der "Gegner" seine Stratiegie anpasst, und daher die eigene Strategie wieder verändern. Das führt dann zu sehr komplexen und meist auch unvorhersehbaren Ausgängen. Dieses Problem entsteht aber nicht nur bei dem Verfahren der Strict Alternation. Teilen durch Drei Seite: 4 von 24 Seminar Spieltheorie SS2003 Andreas Gaber - 9518880 Gernot Grober - 9806062 Wir haben also bereits gesehen, daß Strict Alternation einen Vorteil für den bietet, der als erster wählen darf. Wenn wir dieses Verfahren jetzt auf drei Personen umlegen, hat wieder einer einen klaren Vorteil, der zweite einen kleinen Nachteil und der dritte einen bereits erheblichen Nachteil. Außerdem wird das Verfahren noch anfälliger für manipulative Strategien der Spieler. BSP.: Es gibt drei Footbal-Mannschaften: Atlanta, Baltimore, Chicago und 6 Spieler (Center, Guard, Tackle, Quarterback, Halfback, Fullback), die auf diese drei Teams aufgeteilt werden sollen. Jede Manschaft hat wieder ihre Präferenzliste: Atlanta Baltimore Chicago 1 Center Halfback Tackle 2 Guard Fullback Fullback 3 Tackle Guard Halfback 4 Quarterback Center Quarterback 5 Halfback Quarterback Center 6 Fullback Tackle Guard Wenn nun Atlanta zu Wählen beginnt und danach Baltimore und Chicago wählen darf, dann sieht man das Atlanta und Baltimore eindeutig Gewinner des Verfahrens sind. Sie bekommen jeweils ihre erste und zweite Präferenz und Chicago muß sich der ersten und vierten Präferenz zufrieden geben. Dabei gibt es allerdings das Problem, daß jede Mannschaft einen bestimmten Anreiz hat, von der ehrlichen Strategie abzuweichen, um dem Gegner zu schaden und damit die eigene Strategie noch erfolgreicher zu machen. Da das aber alle drei Machschaften machen, kommt in diesem Spiel für alle drei Mannschaften ein schlechteres Ergebnis heraus: Atlanta Baltimore Chicago 1 Center Halfback Tackle 2 Guard Fullback Fullback 3 Tackle Guard Halfback 4 Quarterback Center Quarterback Teilen durch Drei Seite: 5 von 24 Seminar Spieltheorie SS2003 Andreas Gaber - 9518880 Gernot Grober - 9806062 5 Halfback Quarterback Center 6 Fullback Tackle Guard Das entspricht dem Prisoner's Dilemma, allerdings mit 3 Spielern. Wieder andere Ergbnisse werden erzielt, wenn man die Reihenfolge der Spieler ändert: Paradoxerweise wird in dem Fall, daß Atlanta als letzter Wählen darf, die ehrliche Strategie auch zur optimalen Strategie für die einzelnen Spieler: Baltimore Chicago Atlanta 1 Halfback Tackle Center 2 Fullback Fullback Guard 3 Guard Halfback Tackle 4 Center Quarterback Quarterback 5 Quarterback Center Halfback 6 Tackle Guard Fullback In diesem Fall ist es tasächlich das Beste, wenn Atlanta darauf besteht als letzter wählen zu dürfen, obwohl allgemein bekannt ist, daß der letzte den größten Nachteil hat. Da wir nun wissen, daß die Reihenfolge des Wählens sowohl einen Vorteil, als auch einen Nachteil haben kann, versuchen wir das Verfahren anzupassen, sodaß diese Vor- bzw. Nachteile verringert werden. Teilen durch Drei Seite: 6 von 24 Seminar Spieltheorie SS2003 Andreas Gaber - 9518880 Gernot Grober - 9806062 Balanced Alternation ist ein Verfahren, bei dem die Reihenfolge des Wählens bei jedem Zug verändert wird. Bei drei Personen Ann, Ben und Carol (A,B,C) ergibts ich daher folgende Reihenfolge: Wenn es nur drei Objekte gibt, dann braucht man nur einen einzigen Durchgang: ABC Bei 6 Objekten bzw 2 Durchgängen: ABC-CBA Bei einer weiteren Vedoppelung der Objekte und Durchgänge erhalten wir: ABCCBA-CBAABC Wenn man hier einen beliebigen Buchstaben weglässt, sieht man leicht das das Ergebnis symetrisch und damit der Vor-, bzw. Nachteil bereits minimiert ist: ohne C: ABBABAAB, ohne B: ACCACAAC, ohne A: BCCBCBBC Bei diesem Verfahren kann man Fairness bereits ungefähr messen. Wenn man von 3 Spielern und 6 Objekten, also 2 Durchgängen ausgeht ABCCBA, sieht man, daß A im schlechtesten Fall seine 1. und seine 6. Präferenz erhält: Der Durchschnitt zwischen 1 und 6 ist 3,5 B bekommt im schlechtesten Fall seine 2. und 5. Präferenz: Durchschnitt 3,5 und C bekommt im schlechtesten Fall seine 3. und 4. Präferenz: Ducrchscnitt wieder 3,5 Diese Ducrhschnittsmessung ergibt natürlich noch keine Garantie für Fairness. Bis jetzt hatten bei unseren Beispielen immer genau ein Vielfaches an Objekten wie Spieler. Was passiert allerdings, wenn wir 3 Spieler aber nur 10 Objekte haben? Dann muß ein Spieler mit 2 Objekten auskommen, während die anderen 4 bekommen oder ein Spieler erhält vier Objekte un die beiden anderen nur drei. Dann tritt das Problem auf, daß man die Objekte werten muß. Bei einer fairen Verteilung sollte also der Spieler der nur 2 Objekte erhalten hat, wenigstens 2 höherwertige Objekte als seine Gegner erhalten haben. Zurück zu dem Beispiel mit den 3 Football-Mannschaften: Wenn jede Mannschaft nun wieder ihre eigene optimale Strategie mit der Balanced Alternation ABCCBA spielt, erhalten wir folgendes Ergebnis: Atlanta Baltimore Chicago 1 Center Halfback Tackle 2 Guard Fullback Fullback 3 Tackle Guard Halfback Teilen durch Drei Seite: 7 von 24 Seminar Spieltheorie SS2003 Andreas Gaber - 9518880 Gernot Grober - 9806062 4 Quarterback Center Quarterback 5 Halfback Quarterback Center 6 Fullback Tackle Guard Es ist also dasselbe Ergebnis wie bei Strict Alternation. Allerdings ist das Ergebnis bei ehrlicher Strategie aller drei Spieler mit Balanced Alternation ABCCBA nicht für alle Spieler besser, wie bei Strict Alternation: Atlanta Baltimore Chicago 1 Center Halfback Tackle 2 Guard Fullback Fullback 3 Tackle Guard Halfback 4 Quarterback Center Quarterback 5 Halfback Quarterback Center 6 Fullback Tackle Guard Man sieht also, daß sich Atlanta verschlechtert hat, Baltimore gleichgeblieben ist und Chicago sich stark verbessert hat. Daraus sieht man, daß Balanced Alternation speziell den Spielern helfen kann, die erst später wählen dürfen, aber es nicht unbedingt so sein muß, wenn alle Spieler nur auf ihren eigene Vorteil achten. Teilen durch Drei Seite: 8 von 24 Seminar Spieltheorie SS2003 Andreas Gaber - 9518880 Gernot Grober - 9806062 Adjusted Winner Bei dieser Strategie ist es möglich eine Aufteilung der Objekte für zwei Personen zu finden, die tatsächlich Neid-frei, brauchbar und gerecht ist. Strategie: Jede Partei muß genau 100 Punkte auf die zur disposition stehenden Objekte verteilen, je nachdem was ihm/ihr dieses Objekt wert ist. Weiters geht man in folgender Reihenfolge vor: 1. Die Partei 1 bekommt vorerst alle Objekte auf die sie mehr Punkte gesetzt hat wie die Partei 2 und ungekehrt. 2. Objekte, auf die beide die gleiche Punkteanzahl gesetzt haben, bekommt derjenige der bisher noch weniger Gesamtpunkte zurückbekommen hat. 3. Wenn nun jeder die gleiche Anzahl an Punkten zurückbekommen hat, ist der Algorithmus beendet. 4. Wenn Partei 1 mehr Punkte als Partei 2 "gewonnen" hat, muß Partei 1 einzelne Objekte oder Teilobjekte (sofern teilbar) an Partei abgeben. 5. Dieses Zurückgeben beginnt man mit dem Objekt, daß das kleinste Verhältnis zwischen der Punktezahl von Partei 1 und der Punktezahl von Parte 2 hat. BSP.: Ann und Ben liessen sich wieder scheiden. Es gibt folgende Vermögenswerte: 1. Die bereits einbezahlte Pension: Die Pension wurde bisher von Ben's Arbeit einbezahlt, und kann an beide Personen ausbezahlt werden. Allerdings ist sie für Ann mehr wert, da sie die schlechteren Möglichkeiten hat in den verbleibenden Jahren bis zur Pension noch genügend Geld einzuzahlen. 2. Das Haus ist für Ben mehr wert, da es in der Nähe seiner Arbeitsstätte liegt. 3. Das Sommerhaus ist zwar weniger wert als das Haus, aber Ann möchte gerne dort wohnen. 4. Investments sind erheblich weniger Wert, als die Penion 5. Andere Werte: Inkludiert sind hier die beiden Autos und ein Segelboot, welche Benn gerne behalten möchte. Teilen durch Drei Seite: 9 von 24 Seminar Spieltheorie SS2003 Andreas Gaber - 9518880 Gernot Grober - 9806062 Vermögenswert Ann Ben Pension 50 40 Haus 20 30 Sommerhaus 15 10 Investments 10 10 Andere Werte 5 10 Summe 100 100 Die beiden setzen also folgende Punkte: Daher bekommt vorerst Ann die Pension und das Sommerhaus und hat somit 65 Punkte gewonnen. Ben bekommt das Haus und die anderen Vermögenswerte und hat damit 40 Punkte gewonnen. Weiters bekommt Ben nun die Investments, da er bisher weniger Punkte hat und beide die Investments mit 10 Punkten bewertet haben. Folglich hat er damit 50 Punkte und damit immer noch weniger als Ann. Nun müssen wir und die Verhältniszahlen ausrechnen: Bei der Pension ergibt das 50/40 Punkte = 1,25 und bei dem Sommerhaus ergibt das 15/10 Punkte = 1,5 Daher hat di ePension die kleiner Verhältniszahl. Also könnten wir das Sommerhaus einfach von Ann an Ben übergeben. Allerdings hätte dann Ann nur mehr 15 Punkte und Ben 90 Punkte, was noch ungerechter verteilt wäre als vorher. Daher versucht man die Pension zu teilen. Das macht man mit folgender einfachen mathematischen Berechnung: Ben erhält 50+40x und Ann erhält 65-50x 50 + 40x = 65 - 50x 90x = 15 x = 1/6 Also sollte Ben ein Sechstel der Pension und Ann 5 Sechstel der Pension erhalten: Ben: 50 + 40(1/6) = 56,67 und Ann 65 - 50(1/6) = 56,67 Damit haben beide die exakt gleiche Anzahl an Punkten erhalten, die auf ihren eigenen Werten basieren. Teilen durch Drei Seite: 10 von 24 Seminar Spieltheorie SS2003 Andreas Gaber - 9518880 Gernot Grober - 9806062 Wenn man versucht dieses Verfahren auf 3 Personen umzulegen, bemerkt man, daß es nicht mehr möglich ist eine Lösung zu finden, die für alle 3 Personen gleichzeitig Neid-Freiheit, Brauchbarkeit und Gerechtigkeit produziert. Ganz in Gegenteil findet man immer eine Lösung, die zwei der drei Partei zufrieden stellt, aber eine Partei benachteiligt. BSP.: Es gibt drei Personen Ann, Ben, Carol und drei Objekte X, Y und Z: Ann Ben Carol X 40 30 30 Y 50 40 30 Z 10 30 40 Als die einzig gerechte Lösung findet sich folgende: Ann erhält X, Ben Y und Carol Z. Damit hat man eine Verteilung von 40-40-40. Allerdings ist Ann neidisch auf Ben, da er Y erhalten hat, obwohl sie Y mit mehr Punkten bewertet hat, als er. Man könnte nun Ann Y Ben X und Carol weiterhn Z geben, aber dann hätten wir eine ungerechte Vertelung von 50-30-40 und Ann wäre immer noch neidisch auf Ben, weil er X bekam, obwohl sie X höher bewertete. Teilen durch Drei Seite: 11 von 24 Seminar Spieltheorie SS2003 Andreas Gaber - 9518880 Gernot Grober - 9806062 Teilverfahren bei teilbaren Gütern Voraussetzungen für die Anwendbarkeit der folgenden Methoden: Jeder Spieler muß das Gut so in drei Stücke teilen können, dass der Größenunterschied der einzelnen Teile akzeptabel ist. Nach einer Zerteilung sollte jeder Spieler zumindest ein Teil als akzeptabel betrachten. Alle zwei Spieler, die ein Stück unakzeptabel finden, ist es möglich ein faires Zwei-Personen Teilverfahren über die restlichen Stücke des Gutes durchzuführen. Die Steinhaus-Kuhn „lone-divider procedure“ Ablauf: Ein zufällig bestimmter Spieler teilt den Kuchen in, seiner Meinung nach, drei äquivalente Stücke (Bob). Anschließend bestimmt ein weiterer Spieler (Carol), welche Teile er akzeptiert, und welche er für zu klein oder zu groß hält. Der dritte Spieler (Ted) trifft die gleiche Auswahlentscheidung. So ergeben sich folgende zwei Möglichkeiten: 1) Entweder Carol oder Ted (Annahme: Carol) findet zwei oder alle drei Stücke akzeptabel (bedeutet nicht, dass diese auch gleich groß sein müssen). In diesem Fall nimmt sich zuerst Ted das Stück, dass ihm am akzeptabelsten erscheint, dann Carol und zuletzt Bob, der den Kuchen in die drei Stücke aufteilte. A B C Carol 2) Carol und Ted finden höchstens ein Stück akzeptabel. (Annahme: Carol Stück A, Ted Stück B) A Carol Teilen durch Drei B C A B C Ted Seite: 12 von 24 Seminar Spieltheorie SS2003 Andreas Gaber - 9518880 Gernot Grober - 9806062 In diesem Fall gibt es einen Teil (oder zwei Teile), der für beide Carol und Ted unakzeptabel erscheint (in unserem Fall Stück C). Dieses Stück bekommt einmal Bob. Die anderen Spieler setzen die zwei restlichen Stücke wieder zusammen und teilen den Kuchen nochmals nach der „divide-and-choose“ Methode. Da die beiden Spieler glauben, mehr als 2/3 des Kuchens wieder zusammengesetzt zu haben, ist das Ergebnis für alle Spieler akzeptabel. Ein Problem bei dieser Methode ist, dass Sie nicht neidfrei ist: Tritt der Fall 1 ein, beneidet Bob und Ted niemanden, wohl aber Carol Ted, wenn dieser das größere Stück von beiden nimmt, die Carol als akzeptabel bezeichnete (Ausnahme: Carol findet alle drei Stücke äquivalent, dann beneidet auch Carol niemanden). Bei der zweiten Möglichkeit könnte Bob die beiden anderen beneiden, wenn seiner Ansicht nach die 50-50 Teilung nicht akzeptabel ist, da für Bob dann ein Spieler mehr als 1/3 bekommt. Nur Ted bleibt in jeder Situation neidfrei. Teilen durch Drei Seite: 13 von 24 Seminar Spieltheorie SS2003 Andreas Gaber - 9518880 Gernot Grober - 9806062 Das Banach-Knaster last-diminisher Verfahren Dieses Verfahren ermöglicht im Gegenteil zur Steinhaus-Kuhn Methode auch das Aufteilen unter mehr als 3 Personen: Alles Spieler werden nach einer beliebigen Reihenfolge gereiht (A,B, ..., N). Spieler A schneidet ein, nach seiner Ansicht, 1/n großes Teil vom Kuchen ab. Dieses Stück wird an B weitergereicht, der dann die Wahl hat, es entweder weiter zu verkleinern, falls es ihm zu groß erscheint, oder es gleich an C weiterzureichen. Spieler C hat die selben Möglichkeiten wie B, und so wird das Kuchenstück von Person zu Person durchgereicht, bis es zum letzten Player N gekommen ist, der es dann erhält. Anschließend werden die durch das Schneiden entstandenen Reste wieder mit dem Kuchen vereint und das Spiel beginnt von Neuem, jedoch mit 1-n Teilnehmern. Diese Methode wird so lange angewandt, bis nur mehr die ersten zwei Spieler übrig sind, die dann nach dem „divide and choose“ Verfahren vorgehen. Bob Carol Ted Das größte Problem bei dieser Methode ist, dass die Spieler, die ganz hinten eingereiht sind, nur solche Stücke bekommen, die irgendwelche Spieler vor ihnen, nach deren Meinung, in 1/n geteilt haben. So kann leicht passieren, dass ein Stück kleiner als 1/n ist, wenn es zum letzten Spieler kommt. Dadurch ist dieses Verfahren nicht komplett neidfrei. Die Nutznießer dieser Methode sind die beiden ersten Spieler, denn Sie erhalten vor dem „divide and choose“ mit großer Wahrscheinlichkeit ein 2/n großes Stück und beneiden dadurch keinen anderen Mitspieler. Teilen durch Drei Seite: 14 von 24 Seminar Spieltheorie SS2003 Andreas Gaber - 9518880 Gernot Grober - 9806062 Das Dubins-Spanier „moving-knife“ Verfahren Dieses Verfahren wurde von Lester E. Dubins und Edwin H. Spanier im Jahr 1961 beschrieben: Ein Schiedsrichter hält ein Messer am linken Rand des Kuchens genau im rechten Winkel zu dessen Längsseite. Anschließend beginnt er das Messer langsam parallel zur Startposition nach rechts zu bewegen, bis einer der Spieler (Bob, Carol oder Ted) „Schnitt“ ruft. Der Kuchen wird an dieser Stelle geteilt, die Person, welche Schnitt gerufen hat, bekommt das linke Stück, der Schiedsrichter beginnt wieder das Messer weiter nach rechts zu bewegen, bis der nächste Spieler „Schnitt“ ruft. Dieser erhält wiederum das linke Stück, der andere das übrig gebliebene. Wenn zwei Spieler gleichzeitig gerufen haben, so wird das linke Stück zufällig an einem der rufenden vergeben. Auch diese Methode ist nicht neidfrei. Angenommen Bob und Carol sind der Meinung, genau je ein Drittel des Kuchens zu besitzen, so ist Ted überzeugt, dass beide wenige als 1/3 bekommen haben, sonst hätte ja er „Schnitt“ gerufen. Ted beneidet also niemanden, wohl aber vielleicht Bob und Carol. Bob könnte entweder Carol oder Ted beneiden, falls diese, seiner Meinung nach, die verbleibenden 2/3 des Kuchens nicht zwei äquivalente Stücke bekommen haben. Carol könnte nur Ted beneiden, nicht Bob, da sie nicht als erstes gerufen hatte. Da jedem ein Drittel des Kuchens zusteht, hat Carol gerufen, als sie glaubte, genau ein Drittel des Kuchens zu bekommen, so wäre Teds Stück größer, da ihrer Meinung nach, Bob weniger als ein Drittel genommen hat. Dieses Problem zu beheben wäre ein leichtes: Nachdem Bob sein Stück genommen hat, lautet die Strategie, erst zu rufen, wenn das Messer die Hälfte des übriggebliebenen Teils erreicht. Diese Methode ist auch deshalb interessant, da man das Risiko selbst bestimmen kann, indem man erst dann ruft, wenn das Messer schon etwas mehr als ein Drittel des Kuchens überschritten hat, was natürlich zu Folge haben kann, dass ein anderer Spieler zuerst gerufen hat, und man so einkleineres Stück erwischt. Teilen durch Drei Seite: 15 von 24 Seminar Spieltheorie SS2003 Andreas Gaber - 9518880 Gernot Grober - 9806062 „lone-chooser“ Verfahren Das besondere an diesem Verfahren, dass A.M. Fink im Jahr 1964 entwickelte, ist die Gleichgültigkeit der Anzahl der Teilnehmer, es funktioniert mit drei Spielern genauso wie mit vier oder noch mehr Spieler. Zuerst teilt Bob den Kuchen in, seiner Meinung nach, gleich große Teile A und B. Carol nimmt sich das nach ihrem Ermessen größere Teil und gibt Bob das andere Stück. Anschließend teilen Bob und Carol ihre Stücke jeweils durch drei. Ted nimmt sich jeweils das seinem Anschein nach größte Teil der zwei dreigeteilten Kuchen, die übrigen Teile gehören jeweils Bob und Carol. Bob Carol Bob glaubt, dass er genau 1/3 des Kuchens hat, da er 2/3 seines von ihm geteilten Kuchens bekommen hat. Das gleiche gilt für Carol. Auch Ted glaubt, mindestens 1/3 vom Kuchen zu haben, da er jeweils das „größte“ Stück aussuchen konnte. Bob könnte entweder Carol oder Ted beneiden, falls er den Eindruck hat, dass Carol ihren Teil in drei ungleiche Stücke geschnitten hat. Carol könnte Bob aus demselben Grund beneiden. Ted könnte Carol oder Bob beneiden, zum Beispiel, wenn Stück A ¾ und B ¼ des Kuchens ausmacht, und Ted nur jeweils 1/3 der beiden Teile bekommt. Bei n=4 Spielern werden die drei Teile durch vier geteilt und der vierte Spieler sucht sich dann das jeweils „größte“ Stück aus. Daher kann man dieses Spiel grundsätzlich auch mit n Spielern durchführen. Teilen durch Drei Seite: 16 von 24 Seminar Spieltheorie SS2003 Andreas Gaber - 9518880 Gernot Grober - 9806062 Austins Erweiterung des „lone-chooser“ Verfahrens Bob und Carol teilen den Kuchen nach Austins moving knife Verfahren in zwei Teile (A und B), die für beide Spieler äquivalent sind. Bob und Ted schneiden dann von einem Teil genau ein Drittel ab, wiederum mit Austins moving knife Verfahren damit das Stück beide für genau ein Drittel (A`) befinden. Dieses Stück bekommt Ted, die anderen 2/3 sind Bobs. Anschließend führt Ted mit Carol die gleiche Prozedur durch und erhält somit wieder 2/6 des ganzen Kuchens. Exkurs: Austins moving knife Verfahren Dieses Verfahren entwickelte Austin für das neidfreie Teilen durch zwei. Ein Schiedsrichter führt ein Messer senkrecht zum Kuchen von links nach rechts, sobald einer der beiden Spieler „Cut!“ ruft, wird der Kuchen geteilt, der rufende Spieler bekommt die linke Hälfte, der andere die rechte. Teilen durch Drei Seite: 17 von 24 Seminar Spieltheorie SS2003 Andreas Gaber - 9518880 Gernot Grober - 9806062 Neidfreie Verfahren Im einfachsten Fall eines Teilverfahrens, dem Devide and choose kann nur der Cutter auf den anderen Spieler neidisch sein, wenn er selbst den Kuchen nicht in zwei gleichgroße Stücke teilt. Damit dies nicht passiert, muß der Cutter eine „konservative“ Strategie wählen und den Kuchen in genau zwei gleich große Teile schneiden, um auszuschließen, dass die andere Person mehr vom Kuchen erhält. Also ist ein Teilen durch zwei ein neidfreies Verfahren. Anders sieht das bei n > 3 Spielern aus. Keines der bisher erwähnten Verfahren ist komplett neidfrei: obwohl jeder Spieler ein 1/n großes Stück bekommt, ist nicht garantiert, dass die anderen Personen der Meinung sind ein kleineres Teil als die andere zu besitzen. Die anschließend aufgeführten Verfahren, einen heterogenen Kuchen zu teilen, beschreiben Methoden zu einer neidfreien Problemlösung. Teilen durch Drei Seite: 18 von 24 Seminar Spieltheorie SS2003 Andreas Gaber - 9518880 Gernot Grober - 9806062 Das diskrete Selfridge-Conway Verfahren 1960 entwickelten John L. Selfridge und John H. Conway unabhängig voneinander einen ersten Lösungsansatz, der sich rasch verbreitete, obwohl ihn keiner der beiden jemals der Öffentlichkeit präsentierte. Der Ansatz basiert auf einem diskreten Algorithmus, bei dem es höchstens fünf Schnitte gibt: drei in der ersten Phase, zwei in der Zweiten. Weiters setzt diese Methode voraus, dass bestimmte Stücke aus der ersten Phase mit Stücken der zweiten Phase zusammengeführt werden können. Als Spieler wählen wir wieder Bob, Carol und Ted: 1. Bob teilt den Kuchen in drei seiner Ansicht nach äquivalente Stücke und reicht sie an Carol weiter. 2. Carol schneidet vom ihrer Meinung nach größten Stück soviel ab, bis es gleich groß ist, wie das Zweitgrößte. Der neu erhaltene Kuchenteil wird weggelegt, die restlichen drei Teile an Ted weitergereicht. 3. Ted nimmt sich das seiner Meinung nach jenes Stück, von dem erglaubt, es sei das Größte. 4. Als nächstes wählt Carol mit dem Vorbehalt, dass wenn sie in Punkt 2 etwas vom Kuchen abgeschnitten hat, sie jenes Stück nehmen muß, von dem sie etwas abgetrennt hat. Es sei denn, Ted hat es bereits genommen. 5. Bob bekommt das übrig gebliebene Stück, der abgetrennte Teil wird vorerst nicht weiter berücksichtigt. Bei diesem Verfahren kann Neid vollkommen ausgeschlossen werden: Ted kann niemanden beneiden, da er als erstes wählen kann. Wenn Carol in Punkt 2 ein Stück weiter geteilt hat, muß sie dieses nehmen. Auch hier kann kein Neid entstehen, da dieses neue Stück mindestens äquivalent ist, wie die anderen. Durch die Bedingung im zweiten Punkt erhält Bob ein Stück, welches er anfangs herunter geschnitten hat. Teilen durch Drei Seite: 19 von 24 Seminar Spieltheorie SS2003 Andreas Gaber - 9518880 Gernot Grober - 9806062 Für eine leichtere Verständlichkeit eine graphische Lösung des Problems: Bevor Bob den Kuchen teilt sieht dieser für die Spieler folgendermaßen aus: Nach der ersten Phase (nach dem Bob den Kuchen durch drei geteilt hat): Damit Carol nun zumindest zwei gleich große Teile erhält, muß sie von C ein Drittel abschneiden: Carol gibt das neu erhaltene Stück T beiseite und lässt Ted wählen. Er nimmt natürlich das Stück A: Da Ted C’ nicht genommen hat, muß jetzt Carol auf Grund der Regeln dieses Stück nehmen. Bob bekommt das Stück B, bei dem sich seit Bobs Teilung die Größe nicht mehr verändert hat. Teilen durch Drei Seite: 20 von 24 Seminar Spieltheorie SS2003 Andreas Gaber - 9518880 Gernot Grober - 9806062 Was geschieht nun mit dem übrig geblieben Stück T (Phase 2): Die Problemlösung, das Stück T neidfrei aufzuteilen beruht auf dem „irrevocable advantage“ Bobs gegenüber jenem, der das geteilte Stück C’ bekommt. Bob bekommt auf alle Fälle ein ungeteiltes Stück (A oder B). Dadurch kann Bob auch jenen Spieler nicht beneiden, der das geteilte Stück C’ und das Stück T erhält. Angenommen Ted nimmt sich das Stück C’, dann hat Bob gegenüber Ted einen irrevocable advantage. Carol schneidet T in drei ihrer Meinung nach äquivalente Teile (Schnitt vier und fünf der zweiten Phase). Anschließend darf zuerst Ted, dann Bob und zuletzt Carol ein Stück nehmen. Da Ted wieder als erster einen Kuchenteil nehmen durfte, kann er keinen beneiden. Bob darf auch keinen beneiden, da er gegenüber Carol den Vorteil hat, das „größere“ Stück zu nehmen und gegenüber Ted, da er einen irrevocable advantage hat. Carol ist sowieso neidfrei, da sie das Stück T geteilt hat. Teilen durch Drei Seite: 21 von 24 Seminar Spieltheorie SS2003 Andreas Gaber - 9518880 Gernot Grober - 9806062 Stromquists „moving knife“ Verfahren Dieser im Jahre 1980 von Walter Stromquist entwickelte Algorithmus bildet die bekannteste neidfreie moving-knife Methode. Ein Schiedsrichter bewegt ein Messer langsam im rechten Winkel von links beginnend über den Kuchen. Jeder Teilnehmer bekommt ebenfalls ein Messer und bewegt dieses so über den Kuchen, dass sein Messer den Kuchen, der rechts vom Messer des Schiedsrichters ist, in seiner Ansicht nach genau zwei gleich große Stücke teilt. Wenn ein Spieler „Cut!“ ruft, bekommt dieser das Stück Kuchen links vom Messer des Schiedsrichters ( X ). Den zweiten Schnitt macht jener Spieler, dessen Messer sich zwischen den übrigen beiden Messern befindet (das kann der gleiche Spieler sein, der „Cut!“ gerufen hat). Jener der zwei übrigen Spieler, der sein Messer am nächsten zum Messer des Schiedsrichters hat, bekommt das mittlere Teil ( Y ), der andere Spieler das rechte Stück (Z). Angenommen Carol bekommt das Stück Y, so war ihr Messer an zweiter oder dritter Stelle (inclusive des Messers des Schiedsrichters) und glaubt dadurch, dass Y mindestens so groß wie Z ist. Erhält Ted das rechte Stück Z, hatte er sein Messer an dritter oder vierter Stelle und ist dadurch überzeugt, dass sein Stück mindestens so groß wie Y ist. Teilen durch Drei Seite: 22 von 24 Seminar Spieltheorie SS2003 Andreas Gaber - 9518880 Gernot Grober - 9806062 Das Levmore-Cook moving knife Verfahren Diese Methode, entwickelt 1981 von Saul X. Levmore und Elizabeth Early Cook, ist in der cake-cutting Literatur weitgehend unbekannt. Im wesentlichen gehört das Verfahren zu den moving-knife procedures, obwohl die beiden das Verfahren als „infinitely small shavings“ procedure präsentierten. Bob teilt den Kuchen in drei seiner Meinung nach äquivalente Teile P, Q und R. Die anderen Spieler wählen je ein Stück, suchen sie sich verschiedene Teile aus, ist das Verfahren bereits zu ende. Nehmen wir aber an, beide entscheiden sich für das Stück P. In diesem Fall wendet Bob das Dubins-Spanier moving-knife Verfahren an, er bewegt ein Messer vertikal zum Kuchen von links nach rechts. Gleichzeitig aber hält er ein weiteres Messer 90 Grad (horizontal) zum anderen über den Teil des Kuchens, der sich links zum ersten Messer befindet. Ein Schnitt würde nun bedeuten, das P in zwei zusätzliche Teile ( S und T ) geteilt werden würde. Bob versucht das horizontale Messer so zu positionieren, dass S und Q äquivalent mit T und R ist. Am Beginn ist S und T null, daher sind Carol und Ted überzeugt, dass P grösser als Q und R ist. Folgend erhalten wir vier Ungleichungen: Carol: P ohne S und T > Q mit S Ted: P ohne S und T > Q mit S Carol: P ohne S und T > R mit T Ted: P ohne S und T > R mit T Teilen durch Drei Seite: 23 von 24 Seminar Spieltheorie SS2003 Andreas Gaber - 9518880 Gernot Grober - 9806062 Sobald sich eine dieser Ungleichungen zu einer Gleichung verwandelt wird einer der beiden Spieler „Cut!“ rufen. Angenommen es ist Carol, die nun glaubt, P ohne S und T ist äquivalent mit R und T, so erreichen wir folgende neidfreie Aufteilung: Carol: R und T Ted: P ohne S und T Bob: Q und S Teilen durch Drei Seite: 24 von 24
