lsg10

Einführung in die Festkörperphysik I
Prof. P. Böni
Lösungen zu Blatt 10
Edith Maurer
http://www.ph.tum.de/lehrstuehle/E21/uebungen.html
10.1 Dreiachsenspektrometer
Die Energie E i des einfallenden Neutrons beträgt 30.5 meV. Erzeugt das Neutron ein
Phonon der Energie 8 meV , so beträgt die Energie des auslaufenden Neutrons E f 22.5 meV.
Diesen Fall bezeichnen wir im weiteren als Neutronenenergieverlust. Vernichtet das Neutron
ein Phonon der Energie 8meV, so wollen wir von Neutronenenergiegewinn sprechen. In
diesem Fall gilt E f  38.5 meV
Für Neutronen kann der Betrag des Wellenvektoren in Abhängigkeit der Energie berechnet
werden durch:

2m n E
2k 2
E
k 
2m n


ki 
Für k f


2  1.6749  10 27 kg  30.5  10 3 eV  1.6022  10 19 J
1.05457  10
gilt im Fall von
34
Js
eV
 3.83656 A 1
Neutronenenergieverlust:

k f  3.2952 A 1
Neutronenenergiegewinn:

k f  4.31045 A 1

Die Länge des Streuvektors Q im reziproken Raum beträgt:
 2
2
Q 
h2  k 2  l 2 
1.86 2  3.14 2  0 2  5.0309 A 1
a
4.558 A
Um den Streuwinkel  zu berechnen betrachten wir obiges Dreieck, dessen 3 Seitenlängen
wir kennen.
Cosinus-Satz:
c 2  a 2  b 2  2ab cos 
Es gilt für
 Neutronenenergieverlust:
2  2

2
2
 Q 2  ki  k f
 5.0309 A 1  3.83656 A 1  3.29521A 1
  arccos
 arccos
 
2  3.83656 A 1  3.29521A 1
2 ki k f


 
 

2
 89.39
Neutronenenergiegewinn:
  76.02
Bei diesem Experiment wurde ein
Neutronenenergiegewinn von 8meV eingestellt.
Es werden folglich nur Neutronen von 38.5
meV detektiert.
Im Energiescan sucht man, indem man eine
Richtung des reziproken Raums abfährt,
Phononen der Energie 8meV . Hat man den
richtigen Punkt im reziproken Raum gefunden,
so wird an der zugehörigen Stelle ein Peak in der
Streuintensität detektiert. Damit ist ein Punkt
der Dispersionsrelation gefunden.
Im nebenstehenden Diagramm wurde eine
Richtung im reziproken Raum gescannt, indem k
und h von 3,0 und 2,0 schrittweise nach 3,2 und
1,8 variiert wurden. An jeder Stelle galt l  0 .
Jeder Kombination von hkl entspricht ein
bestimmter Streuvektor und damit ein
bestimmter Streuwinkel. Man detektiert bei
hkl  1.86,3.14,0 bzw.   75.98 ein
Intensitätsmaximum.
Reduziert man den Streuvektor auf die erste Brillouinzone durch Addition reziproker
Gittervektoren, so erhält man:
  
q QG
MnSi hat die kubische Kristallstruktur P213. Jeder Braggpeak (h k l), insbesondere (2 3 0),
existiert und hat eine endliche Intensität. Man erhält:

q  (0.14, 0.14, 0)
 2
 0.142  0.14 2  0 2  0.27 A 1
q 
a
Wurde in der
Übung nicht
gemacht!
Für die Schallgeschwindigkeit ergibt sich damit:
Wurde in der
Übung nicht
gemacht!
 
E
8  10 3 eV  1.60  10 19 J / eV
km
v     
 4.51
 29.6 eVÅ
34
10
1
q  q 1.05  10 Js  0.27  10 m
s
Durch Drehung im realen Raum, wird auch der reziproke Raum gedreht. Der Kristall muss so
orientiert werden, dass der im Raum feste Q-Vektor der gewünschten Kristallrichtung
entspricht.
10.2 Messung von Phononen am Synchrotron
Die einfallende Wellenlänge sei 1.45 Å.
Die Photonenergie
c
3.0  10 8 m s
1
 8.568103keV
beträgt: E  h  h  6.626  10 34 Js
10

1.45  10 m 1.60  10 19 J eV
E
8meV

Die Energieauflösung
beträgt somit 9  10 7
E
8.56keV
Streuung am Monochromator und Analysator
.
Die Bragg-Gleichung lautet:
n  2d sin  B mit    B
Für den Streuwinkel  gilt:
  2 B
Die Bragg-Gleichung kann folglich auch formuliert werden als:

n  2d hkl sin  
2
Auf den Monochromator trifft Strahlung in einem Wellenlängenband. Durch das Einstellen
einer Ausfallsrichtung sortiert man einen Bragg-Reflex einer Wellenlänge aus. Dicht neben
dem gewünschten Bragg-Reflex sitzt aber im Raum der Reflex einer leicht verschiedenen
Wellenlänge.
Zu vergleichen sind die Unterschiede  in Relation zur räumlichen Trennung  .
d hkl 
 d hkl



cos  
cos 

n
 2  2d sin   
2
 
hkl
2
1  1   
 cot 
  2  2 
1 
Falls
verschwindet, bedeutet dies, dass eine kleine Winkelabweichung (etwa durch die
 
endliche Spaltöffnung) keine Wellenlängenänderung beinhaltet.
Der Cotangens verschwindet bei
   : Rückwärtsstreuung
Folglich ist die Energieauflösung am besten in Rückwärtsstreuung
In der Praxis sind Streuwinkel am Monochromator in der Nähe von 1800 möglich, wenn der
Monochromator weit von der Quelle (Undulator, Wiggler) und der Probe entfernt sind. Wir
nehmen an, dass diese Bedingung im folgenden erfüllt ist.
Zur Breite der Bragg-Peaks
Die Breite eines Bragg-Peaks wird bestimmt durch die Anzahl der Netzebenen N, die
kohärent interferieren. Es folgen Überlegungen zum Streubild eines Monochromators:
Der Gangunterschied s zwischen Wellen, die von benachbarten Netzebenen gestreut
werden, beträgt:
s  2d hkl sin 
Für die Streuamplitude A gilt:
A  Ar  e it ei 2kr1 1  ei  ei 2   
r1 sei der Abstand der ersten Netzebene zum Betrachtungspunkt. r sei der mittlere Abstand.
Für den Phasenunterschied gilt:
2
  ks 
2d hkl sin 

Der Ausdruck für die Streuamplitude ist eine geometrische Reihe:
N
i  
 i N2 
N
e 2 
i  e
iN
2
1 e
e


A  A0 e it e i 2 kr1
 A0 e it e i 2 kr1 1
i
1
1
i 
1 e
i  
 i 2 
e2
e 2 
e


N

sin   
N 1
i
k 2 d hkl sin
2

 A0 e it e i 2 kr1 e 2
1


sin   
2




i 2 k  r1 
~
Ar , t   A0 e it e 
N 1

d hkl sin 
2

 A0 e i 2 kr t 
Für die räumliche Intensitätsverteilung erhält man:
 2 N d hkl sin  
sin 2 




I    I 0
 2d hkl sin  
sin 2 




Man beachte den Faktor 2 in den Argumenten des Sinus in Zähler und Nenner. Dieser Faktor
taucht in der Formel für das Streubild an einem Strichgitter nicht auf. Der Grund liegt in dem
doppelt so großen Gangunterschied in Reflexionsgeometrie.
Intensitätsmaxima treten auf, falls    B mit sin  B   m

2d hkl
.
Zwei Wellenlängen können getrennt werden, wenn das Intensitätsmaximum der Wellenlänge
  d auf das erste Minimum von  fällt (Rayleigh’sches Kriterium). Der
Winkelunterschied zwischen den zwei Wellenlängen ist gegeben durch:
  d

d

sin  B  sin  B  m
m
m
.
2d hkl
2d hkl
2d hkl
Zwischen zwei Hauptmaxima m und m+1 befinden sich N  1 Minima, also
sin  B 2  sin  B 
(m  1)  m


.
2 Nd hkl
2 Nd hkl
Nach dem Rayleigh Kriterium gilt:

sin  B  sin  B 2
Aus dem Vergleich folgt das Auflösungsvermögen für das Gitter:

 mN .
d
Wenn wir die erste Ordnung des Monochromators verwenden ( m  1 ), dann sind etwa 1
Million kohärent streuende Netzebenen notwendig. Das heißt:
Der Kristall muss


sehr perfekt sein: 10 6 Netzebenen in Si entsprechen 0.5 mm Kristalldicke für Si (001).
Schwach streuen, damit die einfallende Strahlung alle Netzebenen etwa gleichstark
beleuchtet.
10.3 Eisenbahnfahrt in die Weihnachtsferien
Der Zug besteht aus n+1 starren Wagen der Masse m und n Kopplungen, die sich zwischen
den Wagen befinden und eine Länge a haben. Die Dispersionsrelation einer linearen Kette
lautet:
ka
f
 k   2 0 sin
mit  0 
2
m
In der Mitte der Brillouinzone gilt näherungsweise:
 k    0 ka
Innerhalb der Kopplungen gilt deshalb für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit c der Störung
„sanftes Anfahren“
c  0a
Die Zeit T , die verstreicht bis sich der letzte Wagen in Bewegung setzt, addiert sich aus den
Zeiten, in denen sich die Störung in den Kopplungen bzw. in den Wagen ausbreitet.
Die Wagen seien aber starr d.h es gelte:
cw
 c cW sei die Schallgeschwindigkeit im Wagen und A sei die Wagenlänge.
A
a
Somit erhält man
T
na na
n


c
0a 0