8. ¨Ubungsblatt - Universität Konstanz

Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik
Mathematische Grundlagen des Information Engineering 1
WS 2004/2005
Dr. U. Friedrichsdorf
Lehrstuhl für Praktische Informatik
Daniel Fleischer
8. Übungsblatt
Ausgabe: 9. Dezember 2004 Abgabe: 14. Dezember 2004, 14:00 Uhr
Die Bearbeitung in Zweiergruppen ist ausdrücklich erwünscht.
Aufgabe 22:
6 Punkte
Auf den natürlichen Zahlen N sei die Relation R = {(a, b) ∈ N 2 : a teilt b} gegeben.
a) Zeigen Sie, dass R eine Ordnungsrelation ist. Handelt es sich dabei um eine totale
Ordnung?
b) Ist R ein Verband?
c) Induziert R auf der Menge M = {a ∈ N : a ≤ 100} einen Verband? (D.h. ist R ∩ M 2
ein Verband?)
d) Finden Sie eine endliche Teilmenge M 0 der natürlichen Zahlen, welche die Zahlen 2,3,4
und 5 enthält und auf der R einen Verband induziert. Zeichnen Sie das Hasse-Diagramm
dieses Verbands.
Aufgabe 23:
6 Punkte
Widerlegen Sie folgende Aussagen durch Angabe eines Gegenbeispiels.
a) ∀x ∃y xRy → ∃y ∀x xRy
b) (∀x P x → ∀x Qx) → (∃x P x → ∃x Qx)
c) ∀x (P x → Qc) ↔ (∀x P x → Qc)
Aufgabe 24:
6 Punkte
a) Skizzieren Sie die Hasse Diagramme aller Verbände mit maximal 5 Elementen.
b) Geben Sie für die 5 Verbände mit je 5 Elementen alle Ordnungsisomorphismen an.
c) Geben Sie für die beiden Verbände V14 und V24 mit 4 Elementen jeweils 4 Durchschnittshomomorphismen Vi4 −→ Vi4 , i = 1, 2 an.